L.l GÉOMÉTRIE SDR UNE COCRBB ALGÉBElQrE

nels simultanés des formes fondamentales y, cp(x,j'), çf'(j:, r), el Téquation (17) donne une relation qui existe entre elles ( * ). Mais une telle relation ne peut être modifiée, de quelque façon que puissent varier les coefficients de ces formes fondamentales; elle doit, en particulier, persister si sur la courbe^les variations dont nous parlons donnent naissance à des points doubles, cas qu(! nous considérerons d'abord. Nous nous proposons d'ailleurs de déterminer précisément les intersections de OCj=o avec /*= o qui ne tombent pas aux points doubles.

Comme nous n'attribuons plus aux correspondances (f, 9' aucun point exceptionnel, deux courbes complètement déterminées C,, C^ répondent au point double en question; et, parmi les intersections de celles-ci, y/ sont situées au point double lui-même, romme en un point quelconque dey. La courbe OIL^. ne passe donc pas par le point double, et il en est conséquemment de même, en vertu de (17), des courbes ^j. et OC^. Le nombre des couples cherchés est par suite encore égal à nhy, c'est-à-dire à

si y possède d points doubles et que p = - i^n — \)[n — 1) — d

désigne le genre dey. Si donc les courbes G„ C^ ne passent pas parles d points doubles de fj la valeur tr ouvrée (t. JI, p. i53) pour {^') doit être abaissée de idy/.

Nous ferons maintenant varier les constantes des correspondances 9 et <p' de manière à produire sur y des points exceptionnels. Toutefois nous ne considérerons que des cas particuliers nécessaires pour les applications ultérieures. Nous supposerons qu'un point simple x de f soit en même temps un point S et un point S', et qu'il soit caractérisé par les nombres t, r^ t', t' de la manière convenue. Nous déformerons d'abord la correspondance 5', de telle sorte que le point multiple d'ordre t' des courbes Gj/ (el d'ordre t' des courbes G/y) soit séparé de a:, mais se trouve encore ^ury, en jr^ par exemple. Alors cj)(jr,a:) s'évanouit au degré £ -h t

(*) Le fait que, dans (17), il ne peut plus se présenter d'invariant simultané, proprement dit, comme coefficient de DTL^ ou DC^ se reconnaît par des raisonnements semblables à ceux éUblis t. Il, p. 1 83.

de roultipliciléy c^est-à-dire que la courbe cp, répondant à un point voisin de x, a en jc un point multiple d'ordre t -{- r; par conséquent, {t-h t)/ intersections de cette dernière avec la courbe ^' qui répond à .r tombent en x. De même (^-l-t')y intersections d'une courbe a/ répondant à un point voisin de y, avec la courbe ^ qui répond à 7 se trouvent réunies en j. Si maintenant a: coïncide avec y y il se trouvera en x

points d'intersection des deux courbes ç, (s/ qui répondent à jr 4- dx. Mais comme, pour chaque couple de deux courbes homologues &, (ï»', y/ intersections sont situées en ar, le nombre des intersections qui se présentent à nouveau, ou, en d'autres termes, le nombre qui exprime la multiplicité de Xy = o e/i un point commun t'P'^ pour les cp et t'*P^^ pour les 9' est égal à

(22) l^f^7)y-hi/-^7')y^yy'.

Ce résultat reste vrai si l'un des nombres f, t' est égal à zéro.

Dans (17), à la place de CfïLy figure maintenant, si f'= o, d'après des développements précédents (p. 89), le produit 31Lj(ç^)', de telle sorte que l'équation (17) doit être remplacée par

(23) OîL^.(9»;)^=X^..Dt^-+-A/.

Si £ et t' sont différents de zéro, nous obtenons

(24) 01lLy[fsr[fsy=Xy.Diy+A/,

<fs= o, <][>',= o étant les deux courbes C,, Cs/ qui répondent à un point dey voisin de S. De môme, s'il se présente, plusieurs points S de cette espèce, figurera avec JTL^, dans le premier membre de •(ly), un produit Tly, dont les facteurs individuels sont de la forme (({>',)% .... Les points cherchés j ne sont donc plus les seules intersections de la courbe D^y= o, mais cette courbe passe aussi par les points de rencontre de Ef^ = o avec f= o. actuellement, les points d'évanouissement du quotient