M >IB

Toute foncLion algébrique du [n — 3)'^''"'' ordre qui ne devient infinie que pour un certain nombre de points de f distincts peut Jonc se décomposer^ à l'aide û?e /'== o, en une /onction entière d'ordre n — Z et en une somme de Jonctions dont les dénominateurs sont linéaires et qui ne deviennent infinies qu'en deux des points d'évanouissement de ces derniers, le numérateur devenant nul en vertu de ( 36 ) pour les n — a autres { * ) .

Il nous reste encore à traiter le cas où m = i, où, par suite, dans le dénominateur de Hf figure une fonction linéaire u = u^, dans le numérateur une fonction M du [n — a)**"® ordre, en sorte que

¥=— . Supposons que les points d'intersection de Ux avec J

soient désignés par a:^*J,a:f*^, . . .jX^^^, et soient Q2=o, Q3=o,. . . , {)n= o des courbes spéciales du [n — 2 )^*"* ordre comprenant tous les points de rencontre de la droite avec /*= o, excepté pour Q2 les points x^^^ et x^^^, pour Q3 les points x^*^ et x^'\ . . .,, pour

(*) La possibilité d'un tel développement résulte au surplus immédiatement des conceptions de Riemann; car une fonction algébrique est complètement définie (h une constante près) sur la surface de Riemann qui répond à/iso par ses zéros et ses infinis; mais les deux systèmes se confondent pour les deux membres de (38). Au cas où plusieurs des intersections de / et N sont situées sur une droite passant par I, quelques modifications sont à apporter au texte, mais elles sont sans influence sur les résultato.

l58 TOMK Ul. — aiAnTRE I.

Qn les points x^*^ et x^'^K On peut alors, dans réqualion { ^ )

déterminer les n — i constantes ki de telle sorte que la courbe ainsi représentée passe par n — i points d'intersection de la droite avec /= o, et conséquemraent renferme cette droite tout entière. En effet, si Ton indique par des indices supérieurs que les coordonnées du point d'intersection en question ont été inth>duites dans les fonctions M et Q/, il suffît de satisfaire aux équations

pour que les points x^^^, x^^\. . . , x^'*^ soient situés sur la courbe précédente. Si Ton détermine les constantes A,* par ce moyen, la courbe dont il s'agit se décompose en une courbe du (n — S)**"* ordre R = o et en la droite Wx= o, de sorte que Ton a identiquement

M = X-jQj-f ^aQa-i ... -h X,,Q«-h «x-R,

et il vient, par suite,

expression dans laquelle chacun des termes de la somme ne devient infini qu'en deux points. Le résultat précédent reste donc encore exact pour m = i .

Nous mentionnerons encore les modifications que subissent les développements précédents lorsque, parmi les mn intersections, plusieurs coïncident (toutefois non en des points singuliers def). Supposons qu'il n'y ait plus que v de ces points x^'^ ayant une situation distincte, etque chacun d'eux compte respectivement/'/ fois, en sorte que

/•j -♦- Tj + . . . -H Ty = m/î.

Faisons coïncider encore le point ^ avec un de ces points, ar^*^ par exemple, et posons, pour abréger,

1 = mn — Tv,

(*) Foir Cledsch et Gordax, op. cit„ p. i8.

LA Gtouttma, s» c» cocbbe alcéuique. i59

/\ étant choisi de telle sorte que mn — 2i\ soit égal ou supérieur à zéro (* ). Uéquation des lignes qui joignent | aux X autres points étan t donnée par (^xÇ)^=: o, à la place de la seconde équation (34) inten'ient la suivante

X — r, intersections de B -- o avec f= o étant réunies en ^. Nous déterminerons ensuite une courbe C == o de Tordre X -f- /i — 3 répondant aux équations (35) et (36), en sorte que la /r**"* polaire de or^*^ s'évanouit rjt fois pour tout point x^*»'^ (^). A la place de S vient alors Texpression

(39) / -C--*^ Z,.ej;î,(x(*>r|){x,ï)'-. «

ou

îi* Vk)

X JJ (*("xï)''(4.x(')Ç)W,(|^ç)r,.

Actuellement, de Téquation qui se présente à la place de la pre* ralère équation (34), savoir

*) Parmi les v points est, en général, compris un point de cette espèce, car on ne peut pas disposer arbitrairement des nombres r, puisque, pour m>R — 3, par

exemple, -(n — i){n — a) sont déterminés par les autres.

(') La condition nécessaire k la possibilité de cette détermination est ici (voir p. i55 ).

;(A— 3)-4-2^QA(n — 2).

Pour rv=i, m> I, elle est toujours satisfaite. Pour les cas exceptionnels, il faut Mtrer dans des considérations particulières, comme dans l'hypothèse précédente.

l6o TOMB III. — CHAPITRE I.

résulte par formation polaire

et, en aj^ant égard à ces relations et à (35), on reconnaît que S' a un zéro simple en chacun des points x^^^ et un zéro d'ordre X — 1\ au point \ (en vertu des propriétés de B) ; de plus, en disposant convenablement des constantes de C, on pourra obtenir qu'un (X — r^-\- i)'*"* point de rencontre de S'= o avec y = o tombe en \. D'ailjeurs, S' a un zéro multiple d'ordre r^ en toute intersection r^-iple x^*»'^ de B avec y. Si donc on entend par R = o une courbe de l'ordre X -f- « — v — 2 qui comprend /> — i fois seulement tout point x^*»'^ (comptant /'A fois), ne comprend au contraire pas les points x^*^, et possède en ^ un zéro d'ordre X — r\ — v -f- 2, on a la relation analogue à l'équation (37)

(4i) S'= P/+R JJ (x(O^Ç).

Substituant dans (39), divisant dans les deux membres f0 i^^^Y et posant encore, pour abréger,

3^=z !][ (xCOj^Ç)'-*-!,

il vient, à cause de (34) et (4o) et en vertu de f=z o,

En vertu des conventions faites relativement à R, le quotient R:X devient infini seulement aux points d'intersection de N avec J et conséquemment aux mêmes points que V, mais en chacun d'eux (en Ç = o:^^^ également) il devient infini d'un ordre moins élevé, et, pour préciser, de l'ordre /> — 1 en x^^K La fonction ^ est donc ramenée à une fonction qui devient infinie d'un ordre moindre d'une unité aux mêmes points et peut par conséquent être traitée semblablement à ¥, de manière à conduire à des fonctions

LA GÉOVÉTRIB 8l*R VUE COCRBB ALGÉBRIQUE. l6l

de Tespèce de celles qui se présentent dans la somme (4^) ^t au dénominateur desquelles ne figurent que des puissances de fonctions linéaires. Or, pour ces dernières, on a

(.rïîg)^'*-' T Y d r(.rr.;K*->"|

Les termes de la somme (4^) se déduisent donc, à des facteurs constants près, des termes de la somme qui figure dans (38) par

application réitérée du procédé de formation polaire \ -r^ »3/.

Pour finir, nous allons supposer en outre des circonstances précédentes que la courbe N = o ait un point multiple d'ordre ç en un point double P de/! Alors, généralement, en ce dernier sont situées 2if intersections des deux courbes; l'équation (j^j:^)'"''= o renferme donc un rayon multiple d'ordre 217. Par suite, on peut, comme dans le cas précédemment considéré, employer pour la décomposition en fractions simples une fonction S' analogue à celle formée dans l'équation (Sp). La courbe S'= o passe alors simplement par le point double, de même que la courbe ll(^x^*^x'^) =^ o composée de mn — 2ç-f-i rayons. En conséquence, l'équation (il) a lieu de nouveau, et il en est de même de l'équation (4^)i qui se déduit de cette même équation et de (Sp).

Dans cette dernière apparaît comme premier terme du second membre une fonction qui a, au point double P, un zéro d'ordre (/ — I seulement. Le résultat reste donc le même. On procédera ^ enfin d'une manière semblable en cas de survenance de points multiples, en sorte que toute Jonction algébrique V peut être, en vertu (Ief=o, développée en une somme de la forme {4^)-

Actuellement, en appliquant ces considérations sur la fonction Y à notre différentielle rfV, on aperçoit que toute différentielle de l'espèce par nous considérée peut être ramenée à des réunions de différentielles des formes suivantes :

i^ Différentielles de la forme -""^^[^ — '~^*

2^ Différentielles de la forme —^ — ^7^1 ? dans lesquelles la

Clebsch.' ~ Géométrie, III. II

i6q Tom m. — CDApfras i.

courbe Q;~*=o passe par n — a des n intersections de Ux=o a9ec y = o.

3^ Différentielles déduites des précédentes par le procédé [à

appliquer éventuellement plusieurs fois ) \ ru -r— > yi désignant les

coordonnées de l'une des intersections deux=o avecy= o. — On peut les représenter comme des sommes de difTérentielles dont les intégrales deviennent chacune infinie, ou bien logarithmiqueroeni en deux points, ou bien algébriquement en un point (en général d^ordre élevé), d'une manière analogue à ce que nous verrons plu<^ DdS, dans le cas où figure au dénominateur le carré d'une fonction inéaire.

Nos considérations précédentes se sont rapportées à des infinis de la fonction placée dans V sous le signe d'intégration f c'est-àdire des dérivées w-j* qui prorenaient de la natore de la fonction ¥• Mais les dérivées ^— peuvent aussi devenir infiniment

grandes, si l'expression Df^a^'^ac^ qui figure au dénominateor, est nuUe. Cette dernière circonstance se présente d'abord lorsque X est un point de contact de la tangente que l'on peut mener de c à la courbe (t. II, p. 7). Alors le point x -f- dx est en ligne droite avec c et Xy et par suite l'expression (^cxdx)f qui est en général un infiniment petit du premier ordre, devient un infiniment petit du second ordre; le quotient [cxdx)la^^ac reste conséquemment infiniment petit du premier ordre. Donc, pour un point de contact des tangentes menées de c à la courbe (^ ), V intégrale \

(*) Si (en coordonnées rectan^pilaires) on plaee le point e an point à rinâni dr

Taxe Y, ce qui est indifférent au point de vue projectif» cea pointa de contact teront

les points de ramification de la surface de Riemann. En un tel point, dx devient aoafi

infiniment petit du second ordre ; si donc on 7 a x = a^ dY devra se comporter ta

ffx point xss a comme , ce qu'il est aisé de prouver directement. ( Voir Clibscb

^x — a et GoBDAM, op. cit,f p. II, et Riemasis, op, cie,^ $ 7 et 9. En effet, ^x — a est, au point de ramification, une grandeur infiniment petite du premier ordre, et par suite le quotient de dx par ^x — a en j: = a reste infiniment petit du preaiier ordre, ainsi qv'il a été obtenu au texte.

LA CtfOMÉTmiB Wntk V:«B COOtBft AUSÉBBIQCB, l63

rte devient pas infinie; en effet, sa valeur est aussi complètement iodépendante du point c (p. i43).

En outre, l'expression D/* s'évanouit, et cela indépendamment des quantités c/, dès que x est un point multiple de y*; cependant nous ne supposerons ici que la présence de points doubles ou cuspidaux de la courbe primitive. Dans ce cas, le déterminant [cxdx)^ dans lequel les quantités dxi se déterminent au moyen de Téq nation du second degré a^~^ a^^. = o, reste infiniment petit du premier ordre, et les dérivées de V par rapport aux xi deviennent infinies. Pour déterminer exactement la nature de ce passage à Tinfini, nous partirons de l'équation

(43) a^-^ac.u^.dV=^q2r^.[cjcdx),

en prenant dV sous la forme désignée dans le n® 2. Par ^ nous entendons un point de l'une des tangentes du point double jr, par n un point de l'autre tangente. Au moyen de (43)} nous obtiendrons alors, pour un point voisin de^ sur l'une des branches, la valeur de rfV, si nous posons Xi = ji-j- eÇ/, dxi= td\ij e désignant une quantité infiniment petite du premier ordre. Il vient maintenant, en première approximation,

Choisissons maintenant pour c le point y; ; alors, puisque la tangente de la première polaire de % au point double y coïncide avec la ligne {"nyx) =: o, il viendra, C désignant une constante,

d*oii

(44) rfv= Q'"' l^^ = c\rf[iog(,rs)3.

C étant une nouvelle constante. L'intégrale V devient, d'après cela, logarithmiquement infinie en un point double jr def\ savoir, comme +log(rjj^|) dans la direction d'avancement qui correspond au point ^, et comme — ^^%\y^yX) ^^^^ ^^ direction qui cor* respond au point yj.

Une exception se présente lorsque la courbe Q = o passe également par y y l'intégrale restant alors finie.

l64 TOMB III. — dlAPITRE I.

Les considérations précédentes ne donnent aucun résultai si le point double se transforme en un point de rebroussement, les points Ç et yj se confondant alors. Pour trouver la valeur de l'intégrale dans le voisinage du point de rebroussement, nous devons donc considérer les ternies du second ordre infinitésimal, ce qui s'efieclue ainsi qu'il suit, en introduisant de nouvelles variables/', s, t pour les alentours du point j>'. Nous poserons

(45) '^i-'^-rri-^ sli-^ /r,-.

Pour obtenir la courbe j =■ o exprimée par les variables /', 5, / sous la forme la plus simple possible, nous placerons ^ au point d^inflexion de la [n — 3 )»«"»« polaire àey, c'est-à-dire de la courbe du troisième ordre a"~^a^= o et ^ au point de rencontre de la tangente d'inflexion de Ç" avec la tangente de rebroussemcnt dej ; on a de la sorte les équations

(l'y ' ar ---- o, a"~^al - o, a'^'^ a^ai — o, a 'l ' rtr J aç -^ o, «^ "' €ii (tx,— o.

Pour un point dans le voisinage de j (c'est-à-dire pour des valeurs infiniment petites de j et f), il vient donc

Cl par conséquent l'équation y =r: o se transforme en

(46) 3r/*«;*-*«J 4- (« - 1) s^ a'^r^ al -, o (*).

Si nous faisons ensuite coïncider c avec ^, nous obtiendrons

ou, en vertu de (46)>

D/— [n - j)r'»-\^i/- ^ [n — 2)/i«-*«^.a;-'ûJ.

Enfin, pour le numérateur de rfV, on trouve

(4^) [^xdx)-.[}:.xl)[rds-sdr).

(') Par suite, <* devient comparable à s* dans le voi8ina(je de j*, ce qui coDCor<ie Avec les résultats précédents (t H, p. 23 et 33).

LA GéOM^TIIIB SUR D!<B COmBB ALGÉBRIO^B. l6b.

Pour le calcul de rfV, nous devons encore développer la fonclîon — suivant les puissances de s et t. Il vient, par suite de la substitution (34), en première approximation,

I ( I SU'. -+- trtr

Uj^ ru y -r su\ -h ///^ r//^. /^ wj

d'où

et par conséquent, si, en tenant compte de (47 )» o*^ substitue les valeurs trouvées, qu'on pose - = |ui et qu'on exprime la grandeur t par fi au moyen de (46)» on aura

On tire enfin de là par intégration, A, B, C désignant des con^ stantes dont les valeurs sont faciles à emprunter aux expressions trouvées pour dV ( * ),

V — h B \Jii 4- C a -i- . . . ,

ou, puisque, d'après (45), /ji = =- ^^ y

(Î9) V.:At/lii^UBl/i:r:^-4-c(»-^'--f.

^ *^' V U-'ÎJ V l-^ï?) (■'•ïr'

(*) ^o<r Clebsch et Gordan, op. cit.^ p. i3

1^ TOMi ni. — aiArniki u

Gesl là la valeur de V dans le voîsÎDage du point de rebroussement^.

L'intégrale Y dex^ient, d'après (49)> algébriquement infinie au premier ordre en un point de rebroussement ( ' ).

On devra traiter d^une manière semblable une intégrale qui devient infinie en un point multiple de/*. Toutefois, la manière la plus simple d^opérer consiste à supposer que le point multiple a été préalablement résolu de la manière connue (t. II, p. 210 et suiv.) par des transformations unidéterminatives; car, dans une transformation de cette espèce, le caractère de la difTérentielle ne change pas, ce qu^on démontre, ainsi qu'on le fera plus tard pour les différentielles de troisième espèce. La différentielle apparaît alors comme combinaison des différentielles portant les n°* S et 3 (p. 161 et suiv.).