VII. — Les intégrales normales de première, de deuxième

et de troisième espèoe.

Les intégrales désignées (p. 161) sous les n®' 1 et 2 vont maintenant être étudiées avec plus de soin sous le rapport de leurs propriétés.

En premier lieu, il est clair qu'il peut exister des intégrales qui ne deviennent infinies pour aucun point de la courbe, et dont conséquemment la différentielle pour tous les points de la courbe reste infiniment petite du premier ordre; ce sont évidemment les différentielles de la forme

si Ton détermine la courbe R de telle sorte qu'en tous les points dételle ait un zéro du même ordre que le dénominateur, excepté aux points de contact des tangentes proprement dites que Ton

(* ) Et non à Tordre -t car le point de rebrouMement est un point de remificatieo de la surface de Riemann correspondante, et en un tel point, si x devient égal à «, est une grandeur Inflniment petite du premier ordre. (Comparer la note de

la page 163.)

LA GÉOMÉTIU SU UXB CODKBB ALGftBRlOOB. 167

peut mener de c à la courbe, points pour lesquels le déterminant (cjcdjc) devient également nul (p. i6a). Or il suflit pour cela de choisir pour R*~*=o une courbe d'ordre n — 3 adjointe à f^ ainsi qu'il ressort immédiatement de la définition donnée pour cette nature de courbes (p. ^3). En effet, la courbe dont il s'agit a en tout point singulier de /* autant de points communs avec f que la polaire a^'^ac^ en retranchant du nombre de ces derniers les points de ramification (t. II, p. ai 5) qui peuvent être situés aux points multiples; mais pour ceux-là le déterminant (ex Jx) devient de nouveau infiniment petit du deuxième ordre, si Ton passe du point multiple x à un point x+ dx, en avançant sur la branche sur laquelle le point de ramification s'est rapproché de x, et notre différentielle reste, en fait, une quantité infiniment petite du premier ordre, de quelque manière que Ton puisse choisir le point X + dx dans le voisinage de x. A Texemple de Riemann, nous désignerons toujours une courbe adjointe du [n — 3)**"** ordre par 9, et l'intégrale qui reste constamment finie par J. Nous appellerons la différentielle de cette dernière différentielle de première espèce :

(/.rj Ox^ axj

De nos précédentes observations sur les courbes adjointes d'ordre n — 3 (p. 21) résulte immédiatement ce théorème :

Il existe p différentielles de première espèce linéairement indé- /fendantes les unes des autres, ou, en d'autres termes : Toute différentielle de première espèce appartenant à f peut être repré^ sentée comme combinaison linéaire de p autres dijfférentieltes similaires.

Parmi les différentielles désignées sous le n® 1 (p. 161), nous commencerons par nous occuper, dans ce qui suit, uniquement (les différentielles de première espèce qui viennent d'être définies, toates les autres pouvant être considérées comme des cas particuliers des cas désignés sous les n^' 2 et 3, ainsi qu'on le verra 4'ncore incessamment. De même, dans les différentielles désignées

■ 68 TOMB III. — CHAPITRB I.

SOUS le n** 2, nous nous proposerons de considérer d'abord celles seulement qui ne deviennent pas finies aux points doubles de/; c'est-à-dire que nous remplacerons la courbe Q = o par une courbe adjointe du (ti — 2;*^"™* ordre ïîj"^ = o. Cela est toujours possible, car la courbe £2 = o n'est assujettie, en dehors de celle condition, qu'à passer par n — a points de rencontre de la droite 1/^.=: o, Ux désignant la fonction linéaire qui figure au dénominateur de la difTérentielle. Donc, parmi les points de rencontre de la courbe û = o ai\ecf= o,

n[n — i) — 2ai*(/ — i) — [n — i) — p =/?

peuvent encore être choisis arbitrairejnent. Les deux autres points de rencontre de 1/^=0 avecy^= o étant désignés par 5, yj, les dérivées de l'intégrale par rapport aux x/ ne deviendront infinies qu'en \ et in. Une telle différentielle y qui ne prend une valeur infinie qu'en deux points distincts de f, s'appelle une différentielle de troisième espèce, et l'intégrale correspondante, qui devient infinie en ces deux points seulement, s'appelle semblablement une intégrale de troisième espèce ( ' ).

Cette dernière intégrale sera, dans ce qui suit, désignée par Sç^, I, y? étant les deux points où elle devient infinie. Sa difierentielle est donc définie par

en supposant Texistence des équations suivantes :

(3) arM'îS'KïS^) — (5-^^]'-/^(ï'î'^)-N-

Cette dernière équation résulte immédiatement des conditions

(*) L'intégrale de deuxième espèce sera définie incessamment {F'oir RiEiiA!i!f, J 2 ; Clbbsch et Gobda;«, p. 20. Il est à remarquer que les désignations du texte ne concordent pas avec celles introduites par Legendre et Jacobi pour les intégrales elliptiques; en eflct, l'intégrale elliptique normale de troisième espèce de Legendre a quatre infinis. (^Voir KÔsigsbbrgeb, Théorie der elUptischen Functionen, i'* Partie, p. 376, et Bbiot et Boqqcbt, Théorie des fonctions eUiptiqueSy 3* édition, p. 68i.)

LA GÊ0M£tE1B SCS CNE COVRDE ALCéfiBlQl'E. 169

que nous avons imposées à la fonction 0; les quantités ^i sont ici les coordonnées d'un point quelconque [introduites uniquement dans le but d'écrire l'équation sous forme homogène, de même que le facteur (Ç»3^)^ mis auprès de y] et N est une fonction entière du (/ï — i)»^"»© ordre. L'équation dont il s'agit aune importance particulière pour une application qui viendra plus tard.

Le mode suivant lequel l'intégrale 8=,. devient infinie aux points Ç et >9 est aisé à déterminer. Nous poserons (comme à la p. i63) a: = 5 -h 6?![, e étant une quantité infiniment petite et f un point de la tangente de Ç; nous obtiendrons alors en première approximation, pourc/=: t?/,

Mais de Téquation (3), si l'on forme dans les deux membres la première polaire de >g pour x = $, résulte

(4) nr*--/7«r^«v

el l'on obtient conséquemraent pour le voisinage du point ^

r/hr, ^- -— •

L intégrale S^^ se comporte donc dans le voisinage du point $, où elle devient infinie^ comme -h log( J/}a:), et, par suite, dans le voisinage du point de même espèce m, comme — ^og[\rix) ( * ).

Il a été observé précédemment que, pour la courbe û, p points d'intersection peuvent encore être pris arbitrairement sur /I La différentielle rfSç, n'est donc nullement définie par les points Ç et >?, et, au contraire, nous obtiendrons une autre courbe Qf et une autre différentielle dS\^ si nous remplaçons ces p points, en totalité ou partiellement, par d'autres. Relativement à la fonction D! existent alors également (pour une fixation convenable des valeurs absolues de ses coefficients) l'équation (3) et par conséquent aussi

(*) Cela reste rrai même quand un point où l'intégrale devient infloie tombe en un point de contact des tangentes menées de c &/» La situation de c est complètement indifférente. Les points Ç, r^ peuvent aussi se réunir en un point double, ainsi qu'il sera expliqué ultérieurement.

170 Ton ui. — ciAnm u

réquatioD (4) qui en est déduite, c^estnà-dire que Ton a

11 résolte que la différence fl""* — ^'ï~* s'évanouit pour x=:: ; et X = >). La courbe ù — û'= o comprend donc la droite \yi tout entière, et l'on peut poser

o étant une courbe adjointe C^.s. Si donc, pour les deux mêmes points Ç, n donnant des infinis, on forme de deux manières différentes la différentielle de troisième espèce ^Sç,, les deux formations, quand on dispose coni^enablement des constantes qui j figurent, ne dijffèrent entre elles que d'une dijfférentielle de première espèce.

Si nous rapprochons indéfiniment sur la même branche de courbo les deux points de la différentielle de troisième espèce qui donnent des infinis, <iSç^ donne naissance à une différentielle de seconde

espèce. La ligne ^m deviendra la tangente de/" au point unique que nous désignerons par Ç, et l'on peut par suite [en se servant de la notation rfEç) définir la différentielle de deuxième espèce par l'équation

n'.a'{'^aj,.a%~^a^^

12 est encore actuellement adjointe ày*et passe par les ix — 2 autres points où la tangente de^* en \ rencontre y*. Pour 12 existe donc, n étant un point quelconque, une équation de la forme

(5) arM5^-'-)*= [^r'^^'-f-^ ^r-»/7,.Mr'.

La courbe y* est touchée par la courbe M, en tous les points de rencontre de la ligne (Çt?x) = o, à l'exception du point Ç luimême.

En ce qui concerne la différentielle de deuxième espèce, observons ici, sans indiquer la démonstration, qu'une telle fonction peut toujours, à part une différentielle de première espèce entrant addilivement, être déduite d'une différentielle de troisième espèce

LA GÉOMÊTIIB sot OIIE COOtBI ALGÉBAIQI'B. 171

par un procédé de difTérentiation ; on a en eflet^ si af '* a^^ = o ( * ),

Ou Ou Ou

A Faide de cette relation, on peut déduire les propositions rela* tîves à ia diiTérentîelle dKi des propositions similaires relatives à la différentielle dSi^. On obtient ainsi en particulier ce résultat, que Fintégrale fd¥*i devient infinie pour Xi = $i, comme

' djc

-. -Tj pour jr ^ Ç. L'intégrale de deuxième espèce déifient

donc au point \ algébriquement infinie au premier ordre, ce que Ton vérifie aussi sans peine directement en faisant usage de Téqualion (5).

Nous ne voulons pas ici insister davantage sur les intégrales citées sous le n** 3 (p. 162); on pourra déduire leurs propriétés de celles des intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce, en employant le procédé de différentiation indiqué précédemment. Faisons toutefois remarquer qu'une différentielle dans le dénominateur de laquelle figure le carré d'une expression linéaire, c'est-à-dire une différentielle de la forme

peut toujours se ramener directement à des différentielles de seconde et de troisième espèce^

Pour démontrer cette proposition, nous déterminerons n courbes Qi = o, Q2= o, . . . , Q„= o telles que Qa= o touche la courbe primitive en tous les points de rencontre x^^^ de Ux = o, à l'exception du point x^*^ Nous pouvons alors déterminer n constantes kiy telles que la courbe

passe par la totalité des n points x^^\ car il suffît pour cela de

C) Voir sur ce sujet Clebsch et Gobdan, p. 28. M. Thom&e obtient les intégrales de deuxième espèce en diflerentîant celles de première espèce par rapport aux paramètres dont dépendent les points de ramification {^Journal de CrelU, t. G6 et 71).

172 TOME III. — CBAPITRK I.

satisfaire aux équations

les indices ayant une signification analogue à celle qu'ils avaient (p, i58). Il vient donc

(6) Q=z2XvQ,-f-//.n,

ù étant une courbe du [n — 2 y*"»» ordre, et, pour préciser, une courbe adjointe à y, si nous admettons, comme on peut le faire pour abréger, que les courbes Q = o et Qa = o soient simultanément adjointes kf. Actuellement, en vertu de (6), on a

Mais ici chacun des termes de la somme qui figure à droite est une différentielle de deuxième espèce, car, à cause des déterminations faites relativement à Q/ = o, on peut poser

ni= o désignant une courbe C«2 qui passe par les n — 2 autres intersections de la tangente de Jt^'^ avecy= o. Le dernier terme du second membre de Téquation (7) peut être décomposé en une somme de n — i intégrales de troisième espèce. On a donc finalement

L'intégrale V déifient, d'après cela, infinie en chacun des points

■ x^'^, de la même manière que la fonction log(x — Ç)

de\^ient infinie pour x = £.

On traitera d'une manière analogue les différentielles dans lesquelles figure au dénominateur une puissance supérieure de «x* C'est dans cette classe d'intégrales abéliennes que doit être rangée l'intégrale d'aire Jydxy qui répond à une courbe F(jr,j^)=o donnée en coordonnées rectangulaires. En effet, pour x^==. X\\ otj, j = x, lOTs, on a

Çydx:=. n^.^^>^.---n^'-^)^^

LA CtoMÉTBlK SUB tXB COOftBB ALGÉBRIQUE. ï'jZ

Cette intégrale^ où figure la troisième puissance de i/^, se déduit de Y si l'on pose, Q désignant la fonction du numérateur^

ôF

Au point de vue de certaines applications qui doivent venir plus tard, une importance particulière s'attache aux remarques suivantes. Nous pouvons, entre autres choses, réunir en un point double demies points H, vî qui figurent dans la différentielle rfSç,. Mais n passe par ce point double comme courbe adjointe à /*, et a par suite n — i points d'intersections communs avec la ligne |r, ; en d'autres termes, Q renferme cette droite tout entière. On a donc

rxn-i . -. lia -3

les quantités a/ étant les coordonnées de la droite qui figure au dénominateur de dS-.y.. La différentielle elle-même prend consé- (]uemnicnt la forme

H passant ici par tous les points multiples de fy à l'exception du point double situé sur Ujc] cette même différentielle est d'ailleurs devenue complètement indépendante de iijc. La différentielle dont il s'agit fournil également la représentation des intégrales indiquées sous le n" 1 (p. 161) et qui ne sont pas constamment finies, puisqu'elles deviennent infinies aux points doubles dey*; car il est aisé d'apercevoir que toute différentielle de la forme n" 1 qui devient infinie en plusieurs points doubles peut être développée en une somme de différentielles dont chacune ne devient infinie qu'en un point double. Nous pouvons encore ramener ces différentielles à des différentielles de troisième espèce; elles aussi deviennent logarithmiquement infinies en deux points [voir p. i63), le point

(') De la formule qui sera ainsi obtenue, on déduira toutes les propriétés (et en particulier la détermination des périodes) de l'intégrale y^-</x, qui ont été indiquées par M. Maub {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 187'!, p. 692, 767, 863, 9^3% Foir aussi, pour les courbes de genre /> = o, i, Hermite, Cours d'Anal) se de l'École Polytechnique, !'• Partie. Paris, 18; 3.

double pouvant être regardé comme placé d'abord sur Tune des branches qui le traverse, puis sur Tautre. Cette dernière circonstance devient évidente si Ton résout le point double, par transformation unidéterminative de la courbe primitive, en deux points distincts, ainsi qu'il sera plus amplement expliqué tout à Theure.

On reconnaît d'une manière analogue qu'une différentielle infinie à point de rebroussement unique doit être considérée comme une différentielle de deuxième espèce {*)] car toute droite menée par le point de rebroussement y réunit deux points infiniment voisins, à la différence d'une droite passant par le point double qui doit être considéré comme ligne de jonction de deox points différents de la courbe.

Ces dernières explications, ainsi qu'il a déjà été énoncé, présentent un intérêt particulier si l'on soumet la courbe f à une transformation unidéterminative. Nous abordons maintenant l'examen de l'influence exercée par une pareille transformation de la courbe primitive sur une différentielle de première, de deuxième ou de troisième espèce. Supposons que la transformation de/{x) = o en une courbe du v""* ordre F(j^'-) = o soit, comme à la page a , donnée par des équations de la forme

et que par leur intermédiaire /x''F(j^ ) = F(4>) se change en M.J, On a alors pour tous les points def= o

et par suite, puisque (p. 14) f* -. = — >^ — >

V dx, ^dx^ ^ôxj ^ L àfy "^ dj^ dit J

en posant

OXx OJCf w.

(*) Au point cuspidal, elle est en effet algébriquement infinie au premier ordre. {Foir p. 166, note).

LA QiOMtrmn sn cme cocrbb algêbriqce. 17.5

Il vient ensuite, d'après le théorème sur la multiplication des déterminants,

p«(Xjrfj)=i:{A*£/*)=-(cj:££r). (♦,♦,♦,),

i^î^^^i) désignant encore le déterminant fonctionnel et j Tordre des^i'. Or les relations établies ici suffisent pour la transformation de notre différentielle. Admettons qu'une différentielle de cette nature soit donnée pour la courbe F, que cette différentielle soit de la troisième espèce, et que les deux points qui donnent des infinis soient sur la ligne (^ ; on trouve immédiatement

nf r] . {krfir) a(») . (♦,♦,♦,] . {cjrff.r)

2<'/7/ * 2 X/ -7— 2 Vi ♦/ . M . 2 Ci ^—

Oji oxi

L'expression qui figure dans le premier membre et celle qui figure dans le second sont d'une nature tout à fait semblable, sauf en ce que, à la place des fonctions H et f'^, se trouvent respectivement les fonctions û(*).(<I>,4>j<I>3) et 2i^,<f>|-.M, et qu'à la place des quantités absolument arbitraires h apparaissent les quantités également arbitraires c.

Or n est une courbe du (/i — ^^^^^ ordre adjointe à F, d'où, suivant une proposition précédente (p. 20),

(♦,♦,♦,). a(*) = M.»(x) -hC./,

«(x) = 0 étant une courbe d'ordre 5 4- n — 3 qui, en dehors des points multiples et des points communs des ♦, rencontre y uniquement aux points correspondant aux intersections de A avec F. Conséquemment ci)(x) passe aussi en particulier par les n — 2 intersections de la courbe Sç'/^/ss o avec y, qui correspondent aux n — 2 points de v^-= o situés sur Î2. Le second membre de Téquation

Vy.^k^ •3— 2f'|4>/ • 2 Ci

représente donc une différentielle qui devient infinie, uniquement aux deux points où le même fait se présente pour la différentielle qui figure dans le premier membre, et représente en

conséquence encore une différentielle de troisième espèce; car, d'après ce qui précède, pour tout point commun /'p'® des * qui est un point commun i*P'° de f{i^i)i w(a:) s'évanouil r -f- i — 1 fois, c'est-à-dire toujours le même nombre de fois que le déterminateur du second membre. On doit d^ailleurs pouvoir représenter la différentielle figurant au second membre de telle façon qu'au dénominateur n'entre qu'une fonction linéaire. Car si ^, n sont les points de notre différentielle qui donnent des inûnis, et que û'= o soit une courbe adjointe à f^ et passant par les n — 2 autres intersections de la droite {oclr,) = o avecy, il existe évidemment, en vertu de y== o, une équation de la forme

. (Çï3.r) = n'.2fv*/.

Les points ^, rt peuvent en particulier former l'un des couples de points de f qui se réunissent en un point double de F; alors ^{j) ^s^ divisible par i'^, et dans le premier membre de l'équation ci-dessus figure une différentielle de troisième espèce, de la nature mentionnée en dernier lieu et représentée par l'équation (8). Nous avons donc le théorème suivant :

Dans une transformation unidéterniinatwe de la courbe f, une différentielle de troisième espèce se change toujours en une différentielle de troisième espèce, et il en est ainsi indépendamment de la circonstance que les deux points de cette intégrale donnant des injïnis soient séparés surf ou réunis en un point double de f: au contraire, une différentielle de l'une des catégories peut être ramenée à une différentielle de Vautre catégorie.

La môme chose a naturellement lieu lorsque les deux points donnant des infinis sont infiniment rapprochés l'un de l'autre, ou lorsqu'on pose il = ^/^, 4>, <J> = o étant une courbe adjointe à/.

Donc(*) :

Jjne différentielle de première ou de deuxième espèce se change toujours, lors d 'une transformation unidéterminati\^e de

(') Pour les différentielles de première espèce, voir Cledscii et Gordan, p. 5o.

LA CtoHÉTRIB SUR D!1B COCBBB ALCISBRIOCB. 177

la courbe primitwe, en une différentielle de première ou deuxième espèce respectivement.

Nos recherches précédentes ont été de nature purement algébrique, et elles se sont rapportées à des quotients de fonctions algébriques. En passant aux intégrales de nos diiTérentielles, nous devons encore porter notre examen sur d^autres recherches et en particulier sur celles relatives aux propriétés périodiques des intégrales algébriques, car c'est précisément sur ces dernières que reposent les applications géométriques ultérieures de ces théories {voir l'exemple des intégrales elliptiques, t. II, p. 862 et suiv.). Ce n'est pas toutefois ici le lieu de donner une exposition détaillée des faits dont nous parlons ; nous nous bornerons à un court aperçu des résultats, aperçu qui sera d'autant plus utile que nous y trouverons l'occasion de mettre en connexion et de définir des systèmes de désignation dont nous ferons usage plus tard.

Dans la considération d'une intégrale algébrique, il est à remarquer, avant toutes choses, que la valeur d'une telle intégrale peut toujours dépendre du contour d'intégration employé, et n'est conséquemment pas déterminée d'une manière complète. Les questions qui découlent de là se résolvent de la manière la plus simple possible, si Ton fait usage des représentations de Riemann, ou, en d'autres termes, si l'on prend pour base l'équation de la courbe en coordonnées rectangulaires, et qu'on développe l'une de ces dernières coordonnées considérée comme fonction de l'autre sur la surface de Riemann correspondante, représentation qui présente au surplus une grande utilité pour l'étude purement algébrique du champ de valeurs représenté pary=o {voir t. II, p. 366, ^t t. III, p. 27). Dans ce qui suit, nous résumerons en peu de mots les résultats ainsi obtenus, dans la mesure où nous devons en faire usage plus tard pour les recherches, mais sans pouvoir donner d'une manière absolument complète les démonstrations qui s'y rapportent.

Nous considérerons d'abord Vintégrale de première espèce. La valeur d'une semblable fonction est déterminée si l'on donne la limite inférieure et la limite supérieure, ainsi que le chemin le long duquel l'intégrale va de l'une à l'autre. Deux contours d'intégration qui peuvent être ramenés l'un à l'autre, soit par le fini, soit

Clebsch. — Géométrie f III. 12

1^8 TOHB III. — CBAPITBI I.

par rinfini, mais sans' qu'il y ait franchissement d'un point de ramification de la surface, fournissent toujours le même résultat pour la valeur de l'intégrale; car cette dernière (comme intégrale de première espèce) ne devient infinie en aucun point de la surface. Mais si les deux chemins comprennent des points de ramification et pas plus tous qu'aucun, en sorte qu'il ne soit pas possible de transformer directement un contour d'intégration eo l'autre, on a en présence deux valeurs différentes de l'intégrale, quoique les limites supérieures et inférieures de l'intégrale soient les mêmes. On peut alors mettre à la place du second chemin le premier augmenté d'une courbe fermée qui comprend le second contour d'intégration parcouru dans sa direction primitive et le premier parcouru dans la direction opposée ; on peut donc considérer le second chemin comme dérivant du premier par l'adjonction d'un contour entourant les points de ramification franchis et pouvant serrer ceux-ci d'aussi près qu'on le voudra, contour qui est, par suite, équivalent à un contour fermé tracé autour des points de ramification dont il s'agit, puisque le chemin qui joint ce dernier contour au premier est parcouru deux fois en sens opposé et ne fournit par conséquent aucun accroissement à l'intégrale. Toutes les modifications qu'éprouve l'intégrale par changement du contour d'intégration sont, par suite, représentables par les valeurs prises par l'intégrale, le long des lacets qui entourent les points de ramification. Il s'agit donc d'abord de déterminer le nombre des chemins de cette espèce, indépendants les uns des autres (non réductibles par déformation et combinaison), qui sont possibles sur la surface.

Il est utile, pour cet objet, de se former des idées plus précises sur la conformation des surfaces de Riemann, et de faire les fixations nécessaires. En premier lieu, on peut toujours, suivant la marche indiquée par Lùroth, prendre pour point de départ relativement à ces surfaces une certaine forme normale, c'est-à-dire faire certaines hypothèses simples sur le groupement des points de ramification et des feuilles qu'ils réunissent ( ' ) ; on reconnaît alors, entre autres choses, que l'étude des modules de périodicité peut se ramener au type plus simple des intégrales hyperellip- -

(*) f^o/> LÛROTH, Math, jinnalen, t. IV, p. i8i, et Clebsch, ibid,^ t. VI, p. 3i6.

LA GÊOMÉTSIB 801 OXB COCBBB ALCÉBRIQDB. 17^

tiques. La marche dMdées qui conduit là est, en résumé, la suivante.: Nous supposerons que le nombre des feuilles de notre surface soit désigné par m, et celui de ses points de ramiCcation par /* ( ^ ) ; de plus, nous entendrons par groupe de points de ramification Vensemble de tous les points qui réunissent de telle façon les deux mêmes feuilles que ces feuilles ne se présentent plus comme réu-* nies par d'autres points de ramifîcation. Dans chaque groupe est nécessairement renfermé un nombre pair de points de ramificalion, comme on l'aperçoit de suite directement. Actuellement, un examen plus approfondi montre que ni dans Tordre des points de ramification ni dans la succession suivant laquelle les feuilles sont liées ne se trouve rien de spécifique, pas plus que dans le nombre des points qui sont employés dans l'arrangement donné pour chaque groupe; ce dernier nombre est assujetti seulement à ne pas être nul. On peut donc, en particulier, préférer un arrangement dans lequel un groupe se compose de /' — '2 [m — 2) points (le ramification et tous les autres groupes de deux de ceux-ci seulement. Alors deux feuilles, la première et la seconde par exemple, sont liées entre elles par r — 2 (m — a) points de ramification; les m — 2 autres feuilles ne sont plus connexes entre «lies, et chacune d'elles est seulement rattachée à la première ou à la seconde par deux points de ramification. Ainsi se trouve établie la forme normale précédemment mentionnée de la surface de Riemann.

Une surface ainsi ramifiée peut toujours être réduite de la même manière, par un système canoni(/ue de sections transv^erses, en une surface simplement connexe, comme la surface à deux feuilles employée dans les intégrales hyperelliptiques; ce système de sections transverses est analogue à celui pris par Riemann pour point de départ de ses considérations (^).

Il suiBt en effet, dans notre arrangement des points de ramification, de considérer la liaison de la première et de la seconde feuille, car une feuille qui est connexe avec la première par deux

(*) On a toajours alors a/? = r — 2(m — i). Ea général, m sera égal à l'ordre do la courbe primitive, r à aa classe, augmentée du nombre des points de rebroussement. [yoir la note i de la page 3i5, t. II.)

(') Voir Riehahn, op, cit.^ § ^^î Pbym, loe, cit., et Neumasin, op^cic, p. 4o5. Le système de sections transverses dont il est fait usage dans le texte est d'ailleurs uu peu différent du système de Riemann.

TOMB III. — CHAriTRB I.

points de ramification seulement, c^est-à-dire par une ligne de passage ( section de ramification), peut toujours être déformée de telle sorte qu'ensemble avec la première feuille elle ne forme qu'une feuille, ainsi que cela est connu dans les surfaces à deux feuilles dont les feuilles sont liées par deux points de ramification seulement. Entre la première et la seconde feuille, nous avons 7* — 2 (m — ^) = 2/^-f- 2 points de ramification, et par conséquent p -h 1 sections de ramification ; et Ton dispose autour d'elles delà manière suivante le système canonique dont il a été parlé.

On place d'abord, sur la première feuille par exemple, p sections &«, £29 • • • 9^p9 chacune autour d'une des p lignes de passage, en sorte qu'une ligne de passage n'est pas entourée par une section b^.

On relie alors les sections b l'une à l'autre dans un ordre quelconque par les sections de rattachement c^ , Cj, . . . , Cp^i ; enfin, on dispose p autres sections at , a^^ .... a^ de telle sorte que chacune d'elles, en partant de la (p-f-i)'*"* ligne de passage U, ait son cours partie sur la première, partie sur la seconde feuille et conduise chacune à l'une des p autres lignes de passage, ainsi qu'il est représenté dans Isijîg' i pour^ = 3 (les sections qui ont leur cours sur la seconde feuille sont figurées par des points). Or, on peut

Fig. I.

imaginer que le système de courbes ainsi tracé soit composé de 2^ sections transverses (*); et celles-ci forment dans leur ensemble une courbe revenant sur elle-même lorsque l'on parcourt

(*] Il faut considérer comme première section transverse la courbe b^f a|Nrés que l'on a préalablement converti la surface sphérique (fermée) de Riemann par renié" vement d'un poiiften une surface non fermée. Les ip — 1 autres sections transverses sont Tj et ^2f Cj et ^,f . . .| <'n i et ^., tt^^ a^, a^f . . .j ap.

LA GtfOMÉTHIB 80H U!IB COCBBB ÀLCtfBBIQOB. l8l

les sections successivement dans le sens positif et dans le sens négatif; c'est-à-dire que la surface ainsi décomposée a une seule courbe d'encadrement. Elle est, par suite, décomposée en même temps'par les ap sections en une surface simplement connexe; sa connexité est donc égale à 2^ -h i ( * ).

En faisant usage de ce système canonique de sections transverses, on résout la question de savoir quels sont les changements de valeur d'une intégrale de première espèce par l'effet du changement du contour d'intégration. En effet, tout chemin qui a son cours sur la surface simplement connexe ainsi décomposée, c'està-dire qui ne franchit pas les sections ^i, i|, Ci, peut être resserré de manière à se réduire à un point; une intégrale I, prise le long d'un tel chemin, donne toujours une somme nulle, et deux chemins de cette sorte réunissant les mêmes points conduisent à la même valeur de l'intégrale. Nous n'avons plus à considérer que les changements qui peuvent survenir lorsque les coupures dont nous par^ Ions viennent à être franchies. Or tous ces changements de valeur peuvent se représenter par des fonctions linéaires et à coefficients entiers de ap grandeurs, comme on le reconnaît de la manière suivante. Nous imaginerons que les 2/7+ 2 points de ramification (entre la première et la seconde feuille) qui entrent en considération aient été numérotés, et cela de telle sorte que le n® i soit lié au n? 2, le n® 3 au n" 4> • • • ? le n" 2;? -h i au n* 2jc? -h 2, au moyen d'une section de ramification. Nous choisirons ensuite deux points quelconques^! et 52 de la surface situés Tun au-dessous de l'autre sur la première et la seconde feuille respectivement, et nous désignerons par ak la valeur de l'intégrale I prise le long d'un chemin qui part de 5i sur la feuille supérieure, tourne dans un petit cercle autour du A^^*"* point de ramification et revient alors en 52 sur la feuille

inférieure (^g^. 2). L'intégrale l' donne évidemment une somme

(*) Foîr BiBMAMS, op, cit., $ 7, et Mbcmasn, loe, cic.

,r&a TOME III. — CDAPITRE I.

.nulle si on' la prend le long d^un chemin embrassant la totalité des np-i- a points de ramification; car un chemin de cette nature (en passant par Tinfini) peut se réduire à un point. Mais, d'autre part, on peut réduire ce chemin à une série de lacets séparés qu'on tracera de la manière prescrite autour de chacun des points de ramification. Le contingent fourni à la valeur de I par deux lacets tracés autour des points 2 A — i et âA est alors a2A-i — ^2A- Ici, en effet, le premier chemin va de 54 à 52, et le second retourne de s^ ,à Si ; ce dernier donne en conséquence la valeur changée de signe

Fig. 3.

Ht

de a2h [fis* 3). Si donc on ramène l'intégrale I de j| à Si en faisant le tour de tous les lacets, il en résulte l'équation

"(7) «i~ajH-a3— a4-+- . .. + a,p+i — a,p^, = o.

Or la différence de deux intégrales quelconques a^ et «^ est complètement indépendante des points s^yS^, car nous pouvons réduire le contour d'intégration de l'intégrale a^ — «a à un lacet qui ferre aussi étroitement que l'on voudra les points de ramification 7i et Ar, et à un chemin conduisant de s^ à un point de ce lacet et ramenant de même ensuite à 5| ; la partie relative à ce dernier chemin est nulle, et de là résulte gue a^ — a* est une constante indépendante de 5| et ^2* Or, avec toutes les constantes possibles de cette nature, on peut composer toutes les variations de valeur de I [voir p. 178). On peut de plus composer linéairement les différences cLh — «A avec 2/7-1-1 différences d'entre elles qui s'obtiennent en retranchant l'une des intégrales «a? a2/>+2? par exemple, de toutes les autres, c'est-à-dire avec les a;? -h 1 quantités

LA GtoMÉTUB SVft VJIB GODBiB ALCiBRIQIJB* ^83

Entre ces grandeurs, on déduit de Téquation (7) la relation

Tune d'elles s'exprime donc linéairement en fonction des autres^ el il reste 2^ variations de I linéairement indépendantes les unes des autres, ou, suivant l'expression usitée, 7,p « modules de périodicité » <fe /7/ife^ra/el. Nous pouvons en conséquence énoncer le théorème suivant :

Une intégrale de première espèce a en général 2/7 modules de périodicité. Si nous appelons I la valeur de l'intégrale prise le long d'un chemin quelconque, F*^, F'^^, . . . ^F^''^ je5 modules de périodicité,

est la -valeur la plus générale que puisse acquérir l'intégrale par variation du contour d' intégration , m^*\ m^*^, . . . , m^^^^ étant des nombres entiers, positifs ou négatifs,

La proposition est vraie pour chacune des intégrales de première espèce en nombre p — i fois infini. Mais on aura toujours à considérer uniquement p quelconques de ces dernières, car toutes les autres s'expriment comme fonctions linéaires et homogène; de celles-là, pourvu que l'on prenne Jes p intégrales dont il s'agit toutes suivant le même chemin que l'intégrale à exprimer par elles. C'est ce que nous ferons toujoui^s dans ce qui suit. Soient I{ , T2, • . • , Ipy p intégrales de cette espèce prises suivant un contour quelconque (mais le même pour toutes); le système de valeurs de ces intégrales le plus général le long d'un autre contour quelconque est représenté par le tableau

I, -h /w(Ol'J'-+- m(«)r*' -I- . . -4- m(*P)VlP[,

I, -h m(^n^; -f- //i(*)IJ' -f- . . . H- mi^P)V}P\ .* ••.••• ••**•• • •■•.«.•y

Les modules de périodicité forment un système de 2p^ constantes

l84 TOME III. — CHAFITRS I.

dans lequel les ip grandeurs de la même ligne horizontale se rapportent à une même intégrale et à des circuits indépendants les uns des autres autour des points de ramification, les p grandeurs d^une même ligne verticale à un même circuit et à des intégrales différentes. Mais ces modules de périodicité V^ ne sont pas indépendants les uns des autres; il existe, au contraire, entre eux des relations algébriques, et en particulier entre les VJ!^ de deux lignes horizontales ont lieu des équations qui sont linéaires par rapport à ces mêmes quantités dans chacune de ces deux lignes.

Pour développer les équations dont il s^agit, le mieux est de choisir pour IJ^*' les 2jy valeurs de l'intégrale I>i, valeurs qu'acquiert cette dernière, prise le long de Tune des coupures a^ et 6*; ce sont là, en effet, aussi des circuits autour de deux points de ramification, circuits de telle nature qu'aucun ne puisse se réduire aux autres. Actuellement nous désignerons par Bjj|^ la valeur de l'intégrale Ia prise le long de i^, par A]{* la valeur de l'intégrale prise le long de a^. Nous poserons par suite

T'I) R(l) !(«) . Dd) 1[P) l|(Pl

Comme les coupures b^ et a^ s'entrecroisent, et que deux coupures peuvent être supposées tracées aussi près ou aussi loin qu'on voudra autour des points de ramification, on peut évidemment exprimer la même chose en disant que l'intégrale Ih varie de la quantité &^ au cas de franchissement de la coupure a^, de la quantité A]j' au cas de franchissement de la coupure i^, et reste^ au contraire, constante pour les coupures c^. L'intégrale est donc, d'après les h} pothèses faites par nous sur la position des sections transverses, discontinue pour les coupures a^ et 6v, tandis que, pour tout le reste, elle a partout sur la surface de Riemann un parcours fini et continu.

Actuellement, pour établir les relations annoncées entre les modules de périodicité, nous prendrons l'intégrale flfidlk tout le long du périmètre de la surface décomposée, simplement connexe, c'est-à-dire successivement dans le sens positif et dans le sens négatif sur toutes les coupures Ov, b^ et Cv, ce qui donnera la valeur

LA GÉOMiTMl iQ« miB COQBBB ALCtfBBIQUB. |85

zéro, et l'on trouve ainsi les relations ( ' )

(9) ^(Alï'Blj'-Biî'Ali:»)

Ces relations existent donc entre les modules de périodicité de deux intégrales I^ et Ij^.

Les mêmes considérations conduisent enfin à une forme normale déterminée de V intégrale de première espèce. Nous avons choisi précédemment les intégrales I|, I,, . . ., I^ tout à fait arbitrairement parmi les intégrales I en nombre /? — i fois infini. Au lieu de ces dernières, on peut, en particulier, prendre pour base certaines combinaisons linéaires des fonctions I|, I2, . . ., I/? dont les modules de périodicité ont des valeurs particulièrement simples, et, pour préciser, on aperçoit que Ton peut faire nulles toutes les grandeurs correspondantes Bj^*' pour A^A", tandis que les grandeurs Bjj^ peuvent toutes être prises égales à une même valeur quelconque; on choisira 2iTr pour cette valeur (^). Mais il résulte alors de (9) que l'on a Aj^*' = Aj^^^ Pour indiquer ce fait, nous ferons usage de la notation ahk \ on aura donc

Les intégrales ainsi choisies et qui forment en un certain sens (en quelque sorte) dans la multiplicité p — i fois infinie des intégrales I un système canonique de coordonnées (dépendant du système canonique de sections transverses) seront appelées intégrales nor-

(*) yoir RiBMAXx. loc, cit., § 20, et Clebsch et Gobdan, op, cit,, p. 106. Pour les intégralet byperelliptiques, ces équa lions ont été trouvées par Weiebstrass, loc. cit.; comparer aussi Bbiot et Booqobt, Théorie des fonctions elliptiques, a'édit., p. i84 0167) ; elles l'avaient déjà été dans Thypothèse de /» =? a, par Rosbnhaiii, Mémoire sur les fonctions de deux variables à quatre périodes, qui sont les inverses des intégrales mltra-^Wptiques de la première espèce ( Mémoires présentés par divers savants, Paris, i85i). Il existe encore d'autres relations qui d'ailleurs, en général, ne sont pas con* nues. ( Voir sur oe sujet V Introduction aux fonctions abéliennes de Riemann, et Fucns, Journal de C relie, t. 71 et 73, Thohae, ibid., t. 66 et 71, Webeb, op, cit., p. 35).

(') Ribiia:«n, loc. cit., § 20, Clebscu et Gordax, op. cit., p. 108. {^oir sur ce sujet les Mémoires de Pbym, Journal de Crelle, t. 71, et Scblabfli, ibid., t. 76, où il est démontré que le déterminant des équations linéaires ayant lieu pour les intégrales J n'est pas nul en général.) Faisons observer que Riemann choisit la valeur 1 ir au lieu de a I ir.

]86 TOMB III. — GBAriTBS 1.

maies et désignées par U|, u^, ..., Up. Leurs propriétés sont énoncées dans la proposition suivante :

Une intégrale normale de première espèce Uh ne varie pas au cas de franchissement d'une section transverse a^; pour la section a^ seulement, elle varie de aiït. La première moitié des modules de périodicité des Uk est donc donnée par le tableau :

(mj) a/ïT o o ... o,

[ttp] o o o . . . a/V.

/ La seconde moitié des modules de périodicité forme un système à déterminant symétrique [puisque atk = «ai) •

(«l) ^i\ «U «13 ••• <^\pf («,) Hji ^,, «j, ... <l,^,

("yi) ''/Il ^p\ ^pl ••• «/>/»;

c'esl^-dire que l'intégrale u^ uarie de af^^ au cas de franchissement de Av. Et les valeurs les plus générales que puissent prendre (es intégrales normales par variation du contour d'intégration sont

ttj — tt, -f- 2/7r/ifj -h ûji^r, -hftitqt -+-..• ^ ^ipqpf m',~ «, -i-2/7r//i, -4- /i„<7, -hfljiÇj -^ -^^tp^py

^p'^^^p-^ aiirWy, -,- ûr^, <7, -r «y,j7i -+-... 4- Oppq^,

les lettres m, q désignant des nombres entiers positifs ou négatifs.

Les intégrales de seconde et de troisième espèce peuvent être amenées d'une façon analogue à une forme normale. Une intégrale de troisième espèce S^yj n'a été déterminée d'après la définition donnée plus haut, page 170, que sauf une intégrale de première espèce entrant additivemcnt. En ajoutant une intégrale appropriée, on peut d'abord ramener Sçr; à ime autre intégrale dont les modules de périodicité pour les sections a^ sont tous nuls. Nous ap-

LA GfiOMÉTBIB Si'M UNE COUMB AfcGÉBBlQCE. «187

pellerons cette intégrale une intégrale normale de troisième espèce ; elle sera toujours, dans ce qui suit, désignée par T\\ri* On obtient ses variations de valeur pour les coupures b^ en déterminant les valeurs des intégrales y n^^^fuy prises dans le sens positif tout le long des contours limites de la surface décomposée. Ces valeurs seront nécessairement égales aux intégrales correspondantes prises relativement à des courbes fermées quelconques tracées sur la surface sim* plement connexe et comprenant les infînis \j r,. L'intégrale, traitée de cette manière ( * ), donne pour le module de périodici té de ïl^, relatif à la coupure b^ la valeur / du^.

•A La seconde moitié des modules de périodicité de Tintégrale de

troisième espèce s'exprime donc par les intégrales de première espèce prises entre les infinis. Enfin Uçt}, dans un circuit autour de 5 ou yj, varie respectivement de aiir ou — aiTT, car l'intégrale devient en ces points logarithmiquement infinie (page 169), et nous pouvons toujours supposer que les valeurs absolues des constantes figurant dans lïçtj aient été déterminées de telle façon que la période logarithmique soit précisément égale à 2i7r. La ^valeur la plus générale que puisse prendre ^intégrale Dçr, par variation

du contour d'intégration est donc

du

"^î 7m 92? • • • > qp étant des nombres entiers positijs ou négatijs. Moyennant ces fixations relatives aux périodes, la différentielle rfllfij est déterminée complètement et sans ambiguïté {ce qui n'a pas lieu pour rfSçy,).

Nous mentionnerons encore ici un théorème^ important auquel donne lieu Tintégr^le /riçr^rfllap traitée par une méthode analogue à celle que nous venons de rapporter pour l'intégrale fn^fidu^. Ce théorème est ainsi conçu :

L'intégrale normale de troisième espèce II ne "varie pas

(*} Voir Clebsco et Gobdax, o/k cit., p. 116 et suW.

i88- TOMB m. — otAPinB i.

51 l'on permute les limites as^ec les infinis, c'est-à-dire que [on a

dn^ (»).

Enfin de Tlntégrale 11^^) on peut déduire aussi l'intégrale normale de deuxième espèce, en vertu du théorème d'après lequel on a

O^i Oit ^5ï

af~* âa étant égal à zéro. Nous avons à remplacer S^^j par Tl^, et nous obtiendrons l'intégrale normale de deuxième espèce

dÇi (>ç, dç,

On obtient alors immédiatement les propositions suivantes (^):

Les modules de périodicité de Z^ powf les coupures a* sont tous nuls.

Les modules de périodicité de Tj\ pour les coupures b^ sont des /onctions algébriques du paramètre ^, et, pour préciser, le module de périodicité relatif à la section b^ sera égal à

ar^a.

en posant

du =?^M^'^)

Nous mentionnerons encore, en finissant, la manière dont les propriétés de l'intégrale de troisième espèce Hçrj peuvent se déduire de celles de l'intégrale de première espèce par une méthode de passage aux limites au cas où les infinis ITçt} se confondent en un point double de la courbe primitive y= o ('% et tous les

(•) Fotr Clebsch et Gobdan, op, cit., p. 117.!

(*) Fot'r Rocn, Ueàer die Zahl der Constanten, etc., Journal de Crelie, t. 6i, c» Clbbscd et GoBDAN, op, cit., p. 120.

('} De semblables considérations de limites ont été données par M. MAiisoun Mabib, op, ctt., lorsqu'il s'est appliqué ii déterminer TinOuence d'un point double sur les propriétés de l'intégrale ffde au point de vue de la périodicité.