LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGËBRIQOB

autres cas se réduisent à celui-là par transformation unidéterminative dey= o (p. 176). Les considérations nécessaires à cet objet présenteront pour nous de Timportance, parce que par leur intermédiaire on peut envisager le problème appelé problème de Vinversion généralisé comme un cas limite du problème de Jacobi de rinversion des intégrales abéliennes, et plus tard nous pourrons nous référer à ce qui va suivre.

Si, par variation continue des coefficients def{x) ou F(x,j'). nous faisons en sorte qu'un point double prenne naissance, deux des points de contact des tangentes issues d'un point quelconque du plan tomberont en ce point double sans compter néanmoins comme points de contact proprement dits, {f^oir t. \\,Jig. 18, p. 55.) La chose a lieu en particulier pour le point à l'infini de Taxe Y; autrement dit, sur la surface de Riemann, qui répond à F == Oy deux points de ramification se rapprochent sans cesse l'un de l'autre, la coupure de ramification qui les joint se raccourcissant de plus en plus. Lorsque les deux points sont arrivés à coïncider^ deux feuilles de la surface s'y rencontrent; néanmoins on ne peut plus, par un circuit autour du point de coïncidence, parvenir d'une feuille à l'autre. On peut, au point en question, éloigner par flexion les feuilles l'une de l'autre sans changer par là le caractère de la surface ; mais on ne peut pas prolonger sur l'autre feuille un chemin qui va jusqu'à ce même point sur l'une. Les deux feuilles ODl, au lieu dont il s'agit, ce seul point commun; les points qui s'y trouvent réunis doivent, pour tout le reste, être traités comme deux points entièrement distincts , et seront, pour cette raison, désignés par deux lettres différentes Ç et r^. Nous dirons alors qu'au point double de la courbe correspondent les deux points Ç, n de la surface.

On peut supposer que la forme normale de la surface et notre système canonique de sections transverses aient été choisis de telle sorte que les deux points de ramification qui doivent venir à coïncidence forment un couple autour duquel est tracée une coupure &«, hp par exemple. Alors, après la déformation, bp est sur l'une des deux feuilles une courbe fermée environnant le point 5. Actuellement la coupure correspondante a» se compose d'une courbe qui part de ^, passe sur l'autre feuille en franchissant la coupure de ramification U, caractérisée par le tracé du système de sections

igo TOm m. -~ CBAPITRI I.

iransverses (p. iSo), et revient ensuite au point m sur celte dernière feuille; le chemin dont il s'agit joint alors seulement les points ^ et y} l'un à l'autre, sans former d'ailleurs une courbe fermée.

Considérons actuellement nos p intégrales u^. Si un nouveau point double prend naissance surf= o, une intégrale quelconque de première espèce I se changera par là en une intégrale de troisième espèce, car la fonction cp qui figure au numérateur de la différentielle dl, égalée à zéro, ne représentera pas nécessairement une courbe passant par le nouveau point double. Mais on doit remarquer comme une circonstance très importante que les p — i intégrales normales de première espèce U|, 1/27 • • • « M/>-i de f-=. 0 deviennent les p — i intégrales normales de première e^/^èce «', , ttj, . . . , w' , de la courbe déformée f = o^ si nous supposons que les deux points de ramification entourés par la coupure bp se sont réunis au point double àef. En effet, les intégrales U|,. . >jUp i ne varient pas lors d'un circuit autour de la section transverse, puisqu'elles ont toutes pour la coupure ap la période zéro. Par conséquent les intégrales u^, u^y - •; m' , restent également invariables lors d'un circuit autour de bp^ c'est-à-dire du point double situé à l'intérieur de bp ; elles ne deviennent donc pas logarithniiquement infinies en ce dernier; ce ne sont pas des intégrales de troisième espèce : ce sont, au contraire, des intégrales normales de première espèce, puisque leurs autres propriétés satisfont aux conditions qui se rapportent à ces dernières. Au contraire, l'intégrale Up a pour la coupure ap la période ai7r; l'intégrale qui en dérive lors de la déformation acquiert donc par un circuit autour de la coupure bp, c'est-à-dire autour du point | ou », un accroissement égal à 2t77; elle devient donc logarithmiquement infinie en \ ou r. C'est une intégrale de troisième espèce , et nous la désignerons en conséquence par IIçy).

Pour les intégrales 11^, les grandeurs «1^^, a^py -.., Op-i,p ne sont plus actuellement à considérer comme des périodes, car nous les avons trouvées respectivement égales aux valeurs des intégrales M|, «j,. . ., u^^i prises le long de la coupure apy et cette dernière n'est plus une courbe fermée pour la surface déformée; elle ne représente donc plus un circuit complet. Mais, comme elle joint l'un à l'autre les points l et ïî, nous

LA GÉOMiTBIB SCft CNB COOBBB^ ALGÉDBI(}CB. I9I

avons

On a d^ailleurs fl,A= a;t/, et les grandeurs Up^ , a^a, . . . , ap^^^p sont les périodes de Tintégrale Upj qui se transforme en IIçyi. Les p — i périodes de l'intégrale Ilçyj pour les coupures h^yb^y • -^hp^^

sont donc en fait données piw les intégrales f du^, Conséquem-

ment IIçy} est aussi de prime abord une intégrale normale de troisième espèce. En effet, ses périodes pour les coupures ai, a2, . . . , (ip-i sont toutes ensemble nulles comme celles de Tintégrale Up] d'autre part, la période 2in de Up pour la coupure ap donne maintenant la période logarithmique de Tintégrale ITçy}; de son côté, la période app devient infiniment grande, car on a

app-^ /

^nç,,

et ^, r) sont les infinis de II^y]. Mais une période infiniment grande ne doit plus compter comme période. Nous avons ainsi établi toutes les propriétés caractéristiques qui appartiennent à l'intégrale normale.

YIII. — Le théorème d'Abel et le problème d'inTereion de Jacobi.

Les différentielles et les intégrales dont nous avons expliqué les principales propriétés présentent une grande importance lorsqu'il s'agit de formuler certains problèmes géométriques ou algébriques, et cette importance se montre spécialement à l'égard des questions que nous avons précédemment traitées à l'aide du théorème du reste (t. II, p. i38 et suiv.). Nous revenons de nouveau^à ce dernier.

On peut représenter la substance de cette proposition sous une forme symbolique qui conduit directement aux applications du théorème d'Abel. En eflFet, si deux groupes de points G^ et G» sont découpés sur la courbe primitive f= o par une courbe adjointe,

iga TOME III. — CBAPITBE I.

nous pouvons exprimer symboliquement cette circonstance par Téquation

(l) Gp-4-Ga=:0.

Si, maintenant, G^ et G» sont traversés par une courbe adjointe A = o, Gq et G.» par une autre, B = o, G. et G^» par une troisième, a = o, le théorème du reste exprime que G^. et G^. sont traversés aussi par une courbe adjointe. Dans la conception symbolique précitée, cela veut dire que, des trois équations

(2) Go-*-G« — o, Go-4-G«. = 0, Go-f-G.:-^o

doit résulter la quatrième équation G^. -|- G,. = o, et, par là, se trouve exprimée cette proposition, que nous pouvons combiner, d'une manière quelconque, suivant les lois de l'addition et de la soustraction, les différentes équations symboliques de laforme[i). Les résultats obtenus par cette voie coïncident, d'après ce qui y esl contenu, avec le théorème du reste. Notre distribution des points d'intersection de A = o avec la courbe primitive y= o en deux groupes Gq et G, était d'ailleurs très arbitraire; nous aurions pu aussi bien former d'autres groupes au lieu de ceux-là (et même plus de deux simultanément) avec les G -+- R points d'intersection. Pour exprimer cette égalité de rôle de toutes les intersections de A = 0 (non situées aux points multiples de y), nous introduisons ces points isolément. Désignons-les suivant un certain ordre par x^^\ x^^K,.x^^\ |D étant égal àQ-f-R, et nous pourrons, à la place de (i), poser l'équation symbolique suivante :

( 3 ) G;c(i) -h G;c(t) H- G^«) -i- . . . -h Gj:(p) = o,

les groupes particuliers G se composant chacun d'un point.

Il y a lieu de se poser la question de savoir si l'on peut remplacer ces relations symboliques par des relations effectives, autrement dit s'il existe des fonctions F (x) de x<, Xj, x^ telles que pour les intersections j?^'^ d'une courbe adjointe avec f non situées aux points singuliers de /existe l'équation effectisfe

(4) F(xO))-f.F(.rf»))4....4-F(«(?))z=o,

dans le second membre de laquelle pourrait aussi figurer, au lieu de o, une constante quelconque.

LA GÉOMÉTBIE SUB UNE COVRBB ALGÉBRIQUE. ig.*)

Or nous reconnaîtrons pour être des fonctions de cette nature les intégrales algébriques traitées par nous, et, s'il s'agit de systèmes d'intersections de courbes adjointes, les intégrales (constamraenl finies) de la première espèce. On reconnaît en effet que la fonction ¥ [x) ne peut devenir infinie en aucun point de f. Car si tel était le cas, en xf*^ par exemple, l'équation (4) ne pourrait plus subsister que si F devenait en même temps infini négatif en im autre des p points d'intersection; mais, si l'on trace par x^^ loutes les autres courbes possibles, les p — i points d'intersection restants deviendraient différents et encore différents (*), toute la courbe y* étant ainsi parcourue par eux; c'est-à-dire que F devrait devenir infini en tous les points de y*, ce qui rendrait encore illusoire l'équation (4)- F est donc, en toute hypothèse, une fonction constamment finie de x, et l'on est conduit par suite à choisir pour la fonction F(x) une intégrale de première espèce. Nous partirons maintenant d'une telle intégrale, et nous montrerons réciproquement qu'à son égard existe en fait un théorème de la forme (4)- C'est là le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce.

Le théorème dont il s'agit est d'une nature purement algébrique si Ton part, non des intégrales, mais des différentielles de premièreespèce, et nous allons incessamment en donner deux démonstrations où l'on ne fait usage que de calculs algébriques. Dès que l'on passe aux intégrales, on doit faire des hypothèses déterminées relativement au parcours du contour d'intégration sur la surface de Riemannqui correspond k f=^ o, et abandonner ainsi le terrain purement algébrique, ainsi que nous le verrons d'une manière plus approfondie.

Avant d'établir les deux démonstrations en question, nous ferons connaître en peu de mots comment, après Riemann, en faisant usage de théorèmes connus de la théorie des fonctions, on peut arriver au but d'une manière très simple (^), Soit B = o une courbe adjointe du même ordre que A = o, et ne passant pas par

(') Celle conclusion devient inexacte pour les points doubles de/; en eflet, dans les courbes non adjointes se présentent des intégrales de troisième espèce. (Comparer p. 2o3.)

(') Voir RiEMAS!!, loc. cit., § 14.

Clebscd. — Géométrie, III. l3

1^ TOME Itl. — CHAFITKB I.

les points x^*\ . . ., x^^^ Posons

Ç sera alors une fonction rationnelle de x^y x^y x^ qui [/(x) étani égale à o] est ramifiée commey et devient simplement infinie aux p points x^^^ ; et à chaque valeur de T^ répondent (en vertu de/=. o) p points X, savoir les intersections mobiles de /*= o avec la courbe A^ — B = o. On peut donc inversement représenter les points x de y* sous le bénéfice def= oetA?^ — B=o comme des fonctions à p valeurs du paramètre ^ {*), Alors la dérivée d'une intégrale de première espèce (p. 167) par rapport à î^, dérivée que nous désignerons par DJ,

est une fonction à p valeurs de ^, et nous désignerons ses p valeurs particulières par DJ^ *\ . . . , DJ^»^ Ces dernières sont donc les racines d'une équation du p**™" degré qui s'obtient en éliminant les Xi el les dxi entre les équations

AÇ — B = o, k.dX. -h ci ^ dxi - 2 1^ dxi= o,

ÔXi OXi

7 Af

f[x) = 0, «2"*tf^DJ = ç2dzfijr,-~j 2 — <lr, = o,

dont la seconde exprime précisément que les points x-hdx doivent être les points de rencontre de A(î[-f-rff) — B=o avec /=o.

Les fonctions symétriques des dérivées DJ^*^, . . . DJ^p^ d'autre part (c'est-à-dire les coefficients de l'équation en question) sont des fonctions à détermination absolument unique de Ç] le fait a aussi lieu en particulier pour la somme

A = DJ(») -f- DJ(*) H- ... -4- DJC?).

Or l'intégrale /ûrff comme intégrale de première espèce reste

(') Une substitution de cette espèce est celle employée, p. i5o, d'après Briotchi, pour l'intégrale elliptique.

LA G£0MAT|UB tOft ONK COURBI ALGÉBRIQCE. igS

partout finie ; elle est donc une fonction de ^ qui reste holomorphe (suivant la désignation de MM. Briot et Bouquet) dans tous les points du plan servant à la représentation de Ç, et qui, par suite, d'après un théorème connu (*), est une constante; sa différentielle est donc nulle, c'est-à-dire que nous avons la relation

'A^ = f/JO) -4- £/J(»ÎH- . . . -h dJ(9)=o («),

dans laquelle

Or, il existe p différentielles de première espèce, linéairement indépendantes les unes des autres, et les considérations précédentes sont applicables à chacune d'elles. Nous obtenons donc, en particulier pour la différentielle des intégrales normales ua) ce théorème :

Si l'on désigne par x^'^ les intersections de f a\^ec une courbe adjointe X, et par x^*^ -+- dx^^^ les intersections de f avec une courbe voisine de A,^ p de ces dernières étant supposées ne pas coïncider avec les points x^^\ on a les équations

(5) du)l'^ du'i' H- . . . du]; ■= o.

Nous verrons ultérieurement que, réciproquement, au moyeic de ces p équations, p des points x^'^ sont, en général, déterminés par les autres, mais qu'au contraire ils ne déterminent pas autant de points si l'ordre de A = o est inférieur k n — 2. Actuellement, on obtient par intégration le théorème d'Abel pour les intégrales

(' ) Foir, par exemple, NsniAXii, Théorie der AheViehen Intégrale^ p. a4 et suiv., ou Di7AicE, Théorie der Funciionen eines compîexen Arguments^ ou encore Briot et Bou- QCET, op. cit., p. 205.

(') Le fait que cette somme doit être nulle peut aussi se déduire directement, par Toie algébrique, de la nature du problème d'élimination susénoncé. ( Voir, sur es sujet, Harnack, Math» jinruUen, t. IX, p. 871 et suiv.) On trouve aussi dans ce travail, établie, d'une manière effective, l'équation du quatrième degré relative aux points d'intersection d'une droite avec une courbe C4 ; l'équation correspondante pour une courbe C, a été indiquée par le même auteur {iàid,, p. a35).

196 TOME III. — CHAPITBK I.

de première espèce, théorème qui se présente à la place de l'équation symbolique (3) pour p = Q-|- R, et est, par suite, en conneicîon avec le théorème du reste. En vertu de l'inversion du théorème que nous venons d'indiquer, laquelle forme l'objet principal de la théorie des fonctions abéliennes, on peut aussi déduire du théorème d* Ahel le théorème du reste, ainsi qu'il est visible d'après les explications données en commençant, et le contenu de ce théorème se trouverait ainsi établi a priori. Mais il était d'une importance capitale que l'on apprît à envisager cette proposition purement algébrique, indépendamment des fonctions transcendantes du théorème d'Abel, ce dernier représentant d'ailleurs le théorème du reste sous une forme très avantageuse pour les applications. En outre, le théorème d'Abel permet d'établir de la manière la plus simple certaines formules de contact qui ne peuvent être immédiatement données par le principe de correspondance sous une forme facile à saisir.

Nous nous proposons maintenant de donner une manière dirccle d'établir les équations (5). On peut, au surplus, généraliser le problème de façon à considérer aussi les systèmes de points d'intersection de courbes non adjointes et les sommes de différentielles de troisième espèce; à l'égard des intégrales de cette nature nous établirons le théorème d'Abel de deux manières différentes.

Nous commençons par l'examen du système de points d'intersection avec une droite quelconque (* ). Choisissons cette dernière pour axe de coordonnées, et prenons un système de coordonnées rectangulaires tel que la susdite droite coïncide avec l'axe des x, et que, par suite, son équation soit donnée par j' = o. L'introduction des nouvelles coordonnées s'effectue au moyen d'une transformation linéaire. Or, nous avons vu précédemment que, dans une telle transformation, une différentielle algébrique subit, en fait de modification, l'adjonction de la première puissance du déterminant de la substitution comme facteur, et c'est là une conséquence de ce que dans le numérateur figure le déterminant [cxdx). Mais dans la forme normale d'une différentielle de troisième espèce figure au dénominateur le déterminant (Ç»3x), en sorte que le dé-

(*) L'auteur doit la démonstratioa suivante du théorème à une commuDicalion de Brill.

LA GiOMtTlIlE SUB n!fB COCRBE ALGÉBBIQCE. 197

terminant de substitution précité disparait (comparez p. i44)- ^^ donc nous désignons actuellement par x, r les coordonnées rectangulaires, par 5, >î et |', tî' respectivement les coordonnées des infinis, notre différentielle normale de troisième espèce se transforme en une différentielle de la forme

dans laquelle a=r! — >?, i = Ç' — 5, c = Ç»j' — rj^'.

Nous considérerons une somme de différentielles de cette nature, formée par rapport aux n points d'intersection def=Oy les dj- devant être choisis de manière à déterminer les points de rencontre d'une droite voisine de Taxe des jc avec/l Nous admettons qae cette droite voisine est menée parallèlement à Taxe des a: à la distance infiniment petite i, en sorte quej^ — e = o est son équation.

En désignant donc par Xi, yi les coordonnées des n intersections, par rfxi, dji les différentielles correspondantes, on aura les équations

Notre somme de différentielles est conséquemment la suivante :

( iixt -f- c ] .y; .

Fexpressiony]^. indiquant que, dans les dérivées partielles de y par rapport à x, on doit également poser y = o et x = x,-. Le facteur e est commun à tous les termes de la somme, et peut, par suite, être placé devant celle-ci. La somme qui reste alors n'est autre

évidemment que le développement de l'expression — -r-^ — -■ en

^ trr r «./(x, o)

fractions partielles simples, si, dans ce développement, on pose X = • Nous avons donc d'abord l'équation

^ Zu[axi^c).j'^. a ( c \ ^

/(^--,oj

/(x, o) étant égal à (x — X|)(x — Xq ),..., (x — x^)

198 TOMB III. — CBAPITU I.

Maintenant la fonction £2, qui figure dans une différentielle normale, satisfait, d'après les fixations précédentes (p. 168), à la condition

^«-j ('îU) (Çï^) -=i (ÇiîÇ)' ■/-+- (5«'^) -N,

J[ étant un point quelconque; ou, dans noire système de coordonnées, si nous prenons ^, = o, ^[2 = o, ^3=1,

n^-îf-rij' — jÇ')(jÇ — a:ï3)==c*./-|- {ax -h bjr ^ c) N,

identité qu'il est aisé de vérifier directement en ayant égard aux propriétés de û. Il en résulte, pour^'- = o, a: = >

Si donc nous multiplions finalement les deux membres de (6) par e = djr^ nous avons, puisque a =. ri — n, la relation

OÙ l'indice i dans l'expression entre crochets indique que l'on y doit poser x = xi, j = o.

Dans les deux termes de droite de l'équation (7), figure au dénominateur le premier membre de l'équation j' = o exprimé respectivement par les coordonnées des deux points de discontinuité, et au numérateur le premier membre dp Téquation de la ligne voisine^ — s = o exprimée par les mêmes coordonnées. Remplaçant donc l'axe des x par une droite quelconque Ux=^ o, désignant encore les deux infinis de la difiiérentielle de troisième espèce par I et Tj, et passant des intersections x^'^ de la ligne u aux intersections d'une ligne u-i-du dont l'équation est donnée par 2(m,h- dui)xi=Of on aura, dans le second membre de (7),

n = ttç, t/=z ltr^, m — e=i 2Ç/(</«/-i- «,), 73'— e= lni{dai-h «,).

Par conséquent, pour les n points de rencontre x^'^ et x^^^ •+- dx^^ de deux droites Ux=-o et 2(m/+ rfa£)X|= o aYecf=o existe

LA GtOUttnitL SCR UNE COOBBE AIGÉBRIQCE. I99

r équation différentielle

C'est là l'équation cherchée, de laquelle résulte par intégration le théorème d'Abel, établi d'abord, il est vrai, exclusivement pour les intersections d'une droite avec f. Mais si nous effectuons sur la courbe primitive une transformation unidéterminatîve x/= ^/(j'), les fonctions ^i étant du /n'*"»* ordre, à la place de Ux= o intervient la courbe du m**"* ordre 2m/^/= o; en outre, une différentielle normale de troisième espèce se transforme encore en une différentielle de même nature (p. 175). Récrivant donc après la transformation x au lieu de y et désignant l'équation de la nouvelle courbe primitive par 0.^*^= o, nous obtenons l'équation différentielle (7) sous la forme

lisn

en posant f (^) = Sui<:p/(a:). La somme qui figure dans le premier membre renferme n termes, tandis que f et f se coupent en mv points, V désignant l'ordre de la nouvelle courbe F ^ «i= o. La raison en est qu'une courbe du réseau YéUiCfi= o rencontre la nouvelle courbe y*= o seulement en 71 points mobiles. Si donc nous passons d'une courbe (j> du réseau à une courbe voisine, n seulement des mv points d'intersection varient, n pouvant d'ailleurs être aussi alors égal à mv (par un choix convenable de la transformation de F en une courbe/*). En effet, pour les points de / communs aux deux courbes cp= o et t/cp = o, les quantités dxi s'évanouissent à la fois, en sorte que les différentielles correspondantes doivent d'elles-mêmes disparaître dans la somme. L'équation (8) représente donc l'équation différentielle du théorème d'Ahel pour les intégrales de troisième espèce sous sa forme la plus gé^ nérale; on doit y choisir les dxk de telle manière que les points ^k-^dx^l^ forment le système des points d'intersection avec f d'une courbe voisine de 9 = o.

Nous pouvons imaginer que l'intégration de l'équation (8) soit réalisée de telle sorte que le système des points x^'^ sury=ï o passe

300 TOME Ilf. — CHAPITRE I.

d'une situation dans laquelle il satisfait à la condition (f = o à une autre situation dans laquelle il est traversé par une courbe ï|/ = o du même ordre que ç = o. On peut mettre ce fait en relief en considérant un faisceau de courbes cp -+- Xtp = o ( * ) et en intercalant entre les systèmes de points d'intersection quey=o a en commun avec <p = o(i = o) et«p = o(X = oo) ceux que détermine y= o avec (p -+- Àvp = G (pour les valeurs de X comprises entre o et 00 ). Ces systèmes intercalaires réunissent les systèmes limites tels que, tandis que X se meut de o à oo ^ les systèmes de points se meuvent des limites inférieures de Tintégrale aux limites supérieures. Dans rintégration elle-même, on a donc affaire à la seule variable 7.. Par intégration de Téquation (8) on obtient ainsi le théorème d'Abel sous l'énoncé suivant, dans lequel S^y^ est défini comme à la page i68 (2) :

La somme des mn intégrales normales de troisième espèce similaires (c'est-à-dire formées de la même manière) ayant pow infinis $, yî, dont les limites inférieures x^'^ sont les mn systèmes de valeurs qui correspondent aux mn intersections de /'•= o avec une courbe du m'^'"* ordre 0 = 0, et les limites supérieures y'^' donnent les mn intersections avec une courbe du m}^^^ ordre ^ = 0, e^r égale au logarithme d' une fonction algébrique ^ et, pour préciser, a lieu l'équation

On peut ici, au lieu de Sçyj, écrire aussi IT^,., 11^^ en différant

( * ) La variable X joue alors le même rôle que précédemment la variable ^ dans le faisceau AÇ — B =: 0, pour U démonstration de Riemann. (f^oir p. 810.)

(*) Foir Clebsch et Gordam, op. cit., p. 47* On obtient une démonstration simple du théorème (sans emploi de l'équation différentielle) au moyen des principes de

Riemann, si Ton conduit l'intégrale / log - dUi^ autour de la surface de Riemann

sectionnée, et autour des pointa Ç, q, x^*\ j-^'i; voir Cledsch et Gordàn, p. ia5, et. pour les intégrales de première espèce, Weber, Math, Annalen, t. VIII, p. 49- ^ théorème a été découvert par Adbl, pour les intégrales hyperclliptiques. Journal de Crelle, t. 3» p. 3i3; pour le cas général (i8a6), Mémoire sur une propriété générale d*une doue très étendue de fonctions transcendantes (^Mémoires des Sapants étrangers, t, VII, 1841).

LA GÉOXÉTRIB 80R l':4E COCRDE ALGÉBRIOl'B. 301

au plus de S^ par radjonction d'une intégrale de première espèce (p. 187); car nous verrons incessamment que la somme correspondante d'intégrales de première espèce est nulle. Il est nécessaire d'ajouter une remarque sur les chemins d'intégration choisis pour les intégrales. Si on les laisse arbitraires, il peut encore s'adjoindre dans le second membre des modules de périodicité des 11^^ absolument quelconques (p. 187). Mais si l'on range les points x^'^, j^^'^ par couples de telle sorte que le point x^'^ se transforme en j^'^ (♦) lorsque, dans le faisceau 9-hX;J/ = o, on passe de 9 = 0 à ^ =z o (ainsi qu'il a élé fixé plus haut), on obtient, dans le premier et dans le second membre de (9), la valeur zéro, quand on rapproche infiniment les courbes 9, (p, et par suite dans le choix correspondant du contour d'intégration ne se présentent plus de périodes de Ilçr,. Or, dans le passage de <p à ^ par le faisceau 9 -f- ^^t aucun des points x^'^ ne doit atteindre le point Ç ou tî, car» pour la situation correspondante de cp + X(p, 11^^ serait infiniment grand, et par conséquent l'équation (9) deviendrait illusoire, ou, au moins, nécessiterait un examen plus approfondi. On peut enfin rapprocher les points y^'\ j^*^ et x^^\ x^^^ indéfiniment les uns des autres; par là deux intégrales de la somme deviennent égales en supposant que l'on puisse ramener leurs contours d'intégration l'un à l'autre sans franchir un infini de H^^ ou un des points de ramification caractéristiques pour les périodes de Ilçy,; on admettra que cette supposition soit réalisée. Nous résumerons ces règles dans le théorème suivant :

Dans l'équation (9), les limites supérieures et inférieures des chemins d'intégration employés dans le premier membre sont coordonnées de telle sorte que ces chemins deviennent infiniment petits lorsque l'on rapproche infiniment les courbes 9 = 0, ^ = o, et les dijfférents chemins doivent être situés de telle manière que deux d^ entre eux soient directement /déductibles l'un à l autre lorsque leurs limites deviennent égales, et aucun d'eux

(') Cet arrangement n'est, au surplus, pas complètement déterminé.

301 TOMR III. — CBAPITU I.

( OU bien tous) ne peut couper le chemin sur lequel on arrive de

Pour les recherches géométriques, les intégrales de première espèce et celles des intégrales de troisième espèce qui deviennent infinies en un point double de/* présentent une importance particulière. On obtient ces intégrales comme cas particuliers de Si^oaTIi, si n,i j renferme le facteur {l^rix), et il s'agit alors de savoir si la fonction du {n — 3)'*°* ordre restante ne passe plus par un point double de y (p. 173 ), ou bien si elle est de nouveau adjointe à/.

Dans le premier cas, nous avons Çi= yh] f (Ç) devient par suite égal à 9(>î), et ^{^) à ^(x), en sorte que le second membre de (9) arrive à la valeur zéro. Dans les deux cas, figure dans Téquation (6), à chaque terme de la somme qui se trouve au numérateur du premier membre, une fonction d'ordre n — 3 de x, tandis que la fonction linéaire disparaît au dénominateur; mais une telle somme est, d'après une proposition connue de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, égale à zéro, en sorte que dans le second membre de (9) au second cas aussi se présente une valeur nulle ou une constante. Mais on peut supposer cette constante égale à zéro si l'on a fixé les chemins d'intégration de la manière convenue. On a donc ce théorème :

La somme des intégrales similaires de première espèce ( * ) ou de celles des intégrales de troisième espèce qui ne deviennent in^ finies qu'en un point double def, prises entre des limites qui sont déterminées par le sjstème de points d 'intersection de la courbe

(') Ces hypothèses faites, on peut aussi, d'oprès le théorème sur la permulatioD do paramètre et de l'argument, p. 188, écrire aussi l'équation (9] aous la forme

(Clebsgh et Goto AS, op, cit., p. 127).

(*) Cette proposition résulte au surplus directement de (9), car cette dernière équation a toujours lieu, de quelque manière que Ton puisse former S^i;, pour lei mêmes points ^, >}; or la différence de deux semblables valeurs de S(^ est (p. i7<% une intégrale de première espèce.

LA GBOMtTUB •» ONE COCBBE ALGÉBRIQCE. 2oZ

J=o avec une courbe du m'^*"* ordre © = o ef par le système de points d'intersection de /'= o avec une courbe du m^^^^ ordre 'J^ = o, est toujours nulle ( * ).

lia été préalablement supposé ici que les courbes 9 = 0, ^ = 0 ne passent pas toutes deux par le point double. En effet, la proposition devient alors inexacte pour les intégrales de troisième espèce qui deviennent infinies au point double, puisque Ton n'a plus zéro dans le second membre. Car soit pour un instant

o — a»'" b — •h'" • r — rar » r — r x >

on a, dans ce cas, yi étant les coordonnées du point double,

a étant un point quelconque sur Tune des tangentes de j', tel conséquemment qu^un point voisin de Ç sur la surface de Riemann (comparez p. 189), et (3 un point de Tautre tangente de y (voisin de >î). Mais ces deux quotients ne sont plus égaux l'un à l'autre ; on n'obtient donc plus zéro pour différence de leurs logarithmes. ^u contraire, à l'égard des intégrales de première espèce, ce théorème subsiste même quand les courbes ç, <p passent par les points doubles de f\ donc, en particulier, p différentes équations de la forme (9) ont lieu pour les courbes adjointes si l'on pose zéro dans le second membre. C'est ce qu'on vérifie directement sur (6), car, dans le premier membre de cette équation, on obtient alors une somme de la forme

f;,-3(-^Mf>)

somme qui est nulle, d'après un théorème connu d'Algèbre. En

(') Un autre cas, où, dans le second membre, apparait la valeur zéro, se présente lorsque la courbe du faisceau ^ + Jl^ = 0, qui passe par Ç, renferme encore par là même 17. Si, en effet, ^ est le paramètre de cette dernière, on a simultanément

d'où

104 TOME m. — CUAPITBB I.

eiTet on aurait au second membre de (6), Q renfermant le fadeur ax "h hy -f- <7,

et cette dernière expression s'annule pour jc = — -• Donc, Uni

que le théorème se réfère à des intégrales de première espèce, il nous ramène à notre point de départ; car son contenu résulte aussi de Téquation diiTérenliellc (5) par intégration. Dans se> équations, ne figurent que les intersections non situées aux points singuliers dey, comme cela doit être; car les autres sonl communes aux courbes f et ;{/ qui déterminent les limites. L' nombre p des conditions transcendantes ainsi trouvées concordr exactement avec le nombre des conditions algébriques qui, suivant ce qui précède, doivent exister entre les points d'intersection d'unf courbe du m**-''"® ordre avec f dans le cas de ni^n — 3. Nous verrons plus tard quelle modification se produit au cas de mfin — 3.

On peut maintenant se poser la question (déjà indiquée plu> haut) de savoir si réciproquement, lorsque \es p équations (5) ou leurs équations intégrales existent, on peut toujours obtenir de< courbes coupant respectivement la courbe primitive aux points qui se présentent aux limites de l'intégrale, et si, par suite, lo système de points en question est caractérisé complètement par les équations (5) comme système complet des intersections dey avec une courbe adjointe. Nous répondrons plus tard affirmativement à cette question.

Actuellement nous nous proposons d'établir le théorème d'Abel d'une autre manière (sans faire usage de transformations unidéterminatives), et cela d'autant plus volontiers que nous mettrons ainsi en relief sa connexion avec d'autres théorèmes purement algébriques qui émanent principalement de Jacobi.

Soient dans le plan yL points quelconques x^'^x^^^,. . .,x'î^: leur ensemble pourra être représenté par une équation de classe u en coordonnées lignes telle que lij^ r= o. Joignons séparément ces points à deux points Ç et v} choisis de même d'une manière complètement arbitraire. Les équations des deux systèmes ainsi oble-

LA GÉOMÉTBIE BCB CRB COCRBB ALGÉBRIQUE. ao5

nus de fx rayons chacun seront respectivement (j^x5)H'= o, [y^XTo)^= o, et Ton peut poser

[,0) (y,xÇ)!^=]][(xÇx(0). (y,^„)l*=j][(x,x(0).

Ces deux systèmes de rayons se coupent en a^ points dont fi sont précisément les points x^'^; ils ont donc, en dehors de ceux-là, fi[li — i) points communs. Par ces intersections restantes on peut, dans tous les cas, faire passer une courbe d'ordre afz — 2

e?-«=ro.

car une courbe de cette espèce ne sera déterminée que par (/x — i)(2j:A-hi) conditions; il reste donc fi^ — i paramètres arbitraires dont nous disposerons plus tard d'une manière convenable. Après ces fixations, nous allons montrer que Tégalité suivante est une identité ( * ) :

y}e^»ll^x^^'^^)^~'ix''l]{x''^'^^)^-'ix'^-')

Dans la seconde partie du premier membre figure ici une somme de jex termes dont chacun se compose encore du produit de

05**(^rJ:^*^) par fx — i autres facteurs, car Tindice A" ajouté au signe de produit II indique que, dans le produit figurant au A**'"*^ terme de la somme, le facteur correspondant à Tindice i = k doit être négligé; ensuite Tindice ky ajouté au terme entre crochets, signifie qu'il y faut faire y = x^^\ et l'indice i ajouté à l'autre expression entre crochets signifie qu'il y faut faire 2 = x^'^ ; enfin

(') Si l'on imaoine quo les deux paramètres qui déterminent les rayons des faisceaux issus de Ç et q aient été introduits comme variables, on peut aussi produire cette équation par l'emploi, deux fois répété, de la décomposition ordinaire en fractions simples; comparez p. i53 et suiv. C'est par do telles opérations que Cleoscu et GoBD&n arriTent aux théorèmes de Jacobi et d'AaEL {op. cit., p. f\^\ et suiv.).

3o6 TOME III. — CBAPITRB I.

.e symbole j^' sera équivalent à ^ de telle sorte que iij = uj. Pour prouver Texactitude de Téquation (i i), nous avons à montrer que l'expression figurant au premier membre représente une courbe passant par la totalité des fx* points d'intersection de {x^^Y'^^ et (y^xrï)\^=. o. Faisons d'abord, dans ce but, x égal à x^^^\ c'està-dire se confondant avec le point de rencontre de la ligne joignant x^'"^ à I et de la ligne joignant x^'^ à r,; le premier terme à gauche est nul, parce que 0 doit passer par ce point, et chaque terme de la somme dans la seconde partie est nul à cause des équations

(^COÇ^C)) =0, (x(«)i3ar(*)) z=o,

car un de ces facteurs se rencontre en chaque terme de la somme. Si l'on pose ensuite dans (ii) x=zx^''\ il vient également zéro dans le premier membre, les deux termes se détruisant Tun l'autre. Dans la somme de [â termes, le terme qui répond à l'indice / =r est, en effets le seul qui ne disparaisse pas. Mais, pour  = r, existent les équations

qui se déduisent aisément des équations (lo) par formation polaire, et, en vertu de ces équations, le seul terme qui reste de la somme, c'est-à-dire le /•'*"•, est précisément égal et de signe contraire au premier terme du premier membre, comme nous FavoDS énoncé. L'expression du premier membre s'évanouit donc en fait pour tous les [i^ points d'intersection des deux systèmes de ji rayons chacun, ce qu'il fallait démontrer.

Nous formerons maintenant, dans les deux membres de l'équation (il), la {[i — i)'*"® polaire de J, et nous poserons ensuite x = Y}j OU, en d'autres termes, nous ferons, dans les deux membres, .r=^-t-X7;, et nous chercherons les coefficients de Ai*~*. Nous obtenons alors, dans le second membre, un résultat ideoti-

LA GÉOMÉTBIB SrB UKB COVIBE ▲LAtBRlQDB. 307

quement nul. On a donc

les indices i, k ajoutés aux expressions entre crochets exprimant que, dans ces dernières, il faut prendre x = x^'^ ou x = x^*^ respectivement. Chaque terme de la somme qui figure au second membre renferme le produit complet, c'est-à-dire s'étendant à la totalité des [i valeurs de l'indice i.

i=ii>

-fJ(|i,jr(0)(^Ç.rC0) = .(;^ç^)|i(/„ç)l*=;-l)|.4.i[(^j,)^]..

Nous placerons ce facteur devant le signe sommatoire, et dans les deux membres nous diviserons par ce même facteur, ainsi que par le produit complet qui se présente dans le premier membre. Nous obtenons alors le théorème suivant :

Entre [JL points quelconques x^^^ du plan, représentés par uj= o, et deux points Ç, 13 également quelconques existe l'équation identique

^ir-:)

OÙ 0 =i o passe par la totalité des /ut (p. — i) intersections restantes des lignes qui joignent \ etti aux points x^^K

De cette identité résulte, par une transformation facile, la proposition appelée théorème de Jfacobi, et de laquelle on peut encore déduire le théorème d'Abel. Nous admettrons en particulier que les it. points en question soient les intersections de deux courbes

/=fl«=:o et 7==«i»=.o

TOHE III. — CHAPITBB I.

(intersections que nous supposerons toutes séparées), en sorte que |x= mn. Alors les deux systèmes, issus de ^ et >3 et composés chacun de jtx rayons, passent par tous les points de rencontre de f et de <p, c'est-à-dire que nous pouvons poser

/ (xj-,)|i=Cï-''./-HDr"*.T-

Si l'on fait, dans ces équations, x = x''*>, les premiers membres seuls deviennent égaux à zéro, mais il n'en est pas de même de / et de ©. Donc, pour les intersections restantes, le déterminant

sera nul. Mais si Ton pose dans (i5) x = x^'^,fei 9 s'évanouîssenl également. Si donc on forme la première polaire de ^ et ï3 relativement à (x-^?)**^^^ ^^ ix^^)^^^^ pour X =^ x^'\ il vient, en négligeant comme nuls les termes multipliés par y, 9,

Dans la deuxième et la troisième équation, les deux premiers membres ont, à cause des facteurs (x?$)> (Z'^*^)» ^^ valeur zéro. D'après le théorème sur la multiplication des déterminants, on a donc ([JL étant égal à nin)

-ta"*"*

si Ton imagine que Ton a écrit toujours x^'^ au lieu de x, et qu'on ait posé u/=(^tJ/. Au moyen de cette relation, nous pouvons dans (j4) exprimer le dénominateur qui figure dans le second membre en fonction de A et du déterminant fonctionnel àej] 9 et Ux (c'est-à-dire de la droite Çyj). La forme A disparaît alors, eu égard au numérateur, si nous posons en même temps

LA GÉOMéTElB SUK UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 209

U étant une fonction quelconque de l'ordre m -t- « — 2. On peut toujours faire ainsi, car la courbe 6 = 0 était assujettie unique^ ment à la condition de passer par les ii^^i — i) intersections restantes, et cette condition est remplie par A = o. Au moyen de la substitution indiquée, Téquatîon (i4) prend la forme suivante :

fx étant égal à mn, Ui à ((vî)/; et l'indice h ajouté à l'expression entre crochets signifiant que dans cette dernière il faut poser x= x^^K C'est là l'équation du théorème de Jacobi; ce théorème est ainsi conçu :

Soient y = o, 9 = o deux courbes du n^^^^ et du m'^'"* ordre, et 11^"= o l'équation en coordonnées lignes de leurs mn points d'intersection [ayant une situation séparée) ; supposons ensuite que Asoil défini par l'équation (16), et que U soit une fonction homogène et entière quelconque de l'ordre n-h m — 2, et enfin qu'on ait 0 = AU; relatis^ement aux points d'intersection de fz=:o et (^ ^=: o^ et à deux autres points quelconques ^, yj, existe toujours l'équation (17).

Nous devons encore attirer l'attention sur un cas particulièrement important de ce théorème. Si l'on pose

il vient aussi, en vertu de wç = o et u, = o, ©p* ©'*"* = o, et nous obtenons ainsi l'équation (*)

Cette équation dépend uniquement des coordonnées des mn

(*] Pour ce cas, le théorème ci-dessus a été donné par Jacobi : Theoremata nova algebraica {Journal de Crelle, t. 14, p. 281}. L'équation plus générale (17) se trouve dans Clebsch et Gordan, op, cic, p. 44* Pour la marche de la démonstration insérée

Clebscb. — Géométrie, III. l4

aïO TOME III. — GHAPITHB I.

points d'intersection des courbes y*, cp et des coefficients de leurs équations (et non plus des points arbitraires ^, 7)), et présente pour cette raison une importance particulière. Son premier membre est, en effet, complètement indépendant de la ligne m, car, pour un point d'intersection àefel 9, on peut toujours poser •(comparez p. i4o).

La fonction V^.^"*"' est encore complètement arbitraire; on peut donc composer linéairement toutes les équations possibles (18;

avec -(/i-f-m — 2)(/î-+-m — 1) d'entre elles , arbitrairement

choisies. Mais V(x^'^) peut aussi, en vertu dey(x^'^) = o, (j)(x^')) = o, être remplacé par

V(^(')) -4- A/'(.r(')) 4- By(x(0),

A étant du [m — 3)^*"' ordre et B du (/i — 3)'*"** ordre en x^'', sans que l'équation (18), à laquelle on se réfère, soit changée. On

peut donc, en vertu de/'= 0,9 = 0, établir toutes les équations (18) au moyen de

- [n-\-m — 2)(/H-m — i) (/w — a)(/w — 1) [n — i)(/i — aj — m/i — J

d'entre elles.

Au moyen de ces mn — i équations, on peut calculer linéaire-

aii texte, l'auteur a fait usage de quelques remarques orales de M. Gohda!<. L'éqoation (18) est une extension d'un théorème énoncé p. 3o3 et suit, pour une variable

binaire x, théorème qui dans la forme homogène exprime que, si ;r'| ', x^, * sont \ti racines d'une équation

«5 = (a»*, H- «,«,)* = 0, on a l'identité

^L(««)«r'Jr°'

y désignant une forme binaire quelconque du (/i — 2)'*^ ordre. Pour ce qui concerne l'extension à un nombre quelconque de variables, 7*oi> Clebsch, Journal de C relie, t. 63, p. 224 et iuIt.