LA GÉOMÉTRIE SDR Q:<B COURBE ALGÉBRIQUE

ment les rapports des mn grandeurs

pi^L(«»«)«r'«r'l'

mais, d'autre part, on peut, entre mn équations prises dans la

totalité des -{/i-f-w — '2){n-hm — i) équations (18), éliminer

ces grandeurs, et l'on obtient ainsi un certain nombre de relations entre les coordonnées des points de rencontre de^'et cp, relations où les coefBcients de y et 9 ne figurent plus, et qui par conséquent dépendent uniquement des coordonnées en question. Le nombre de ces relations, eu égard à ce que les rapports seuls des mn grandeurs S^ y figurent, est égal à

Pour m= n, ce résultat concorde avec celui précédemment objtenu, suivant lequel, entre les 2/1^ coordonnées des n^ points, doivent exister {n — i)(7i — 2) relations (p, 121). Mais, pour m'^ ny ces relations ne peuvent pas être indépendantes les unes des autres, car autrement il pourrait arriver que l'on eût

c'est-à-dire que le nombre des relations surpassât celui des inconnues, ce qui ne peut pas être. Nous avons déjà trauvé que le nombre des équations indépendantes les unes des autres entre les coordonnées des mn points était égal à mn — 3/i H- 1 . Toutefois, on doit être porté à demander de déduire directement ce résultat de la nature des relations auxquelles donnent lieu les équations (18) ou de ces dernières équations elles-mêmes; c'est ce qui a été effectivement réalisé par Jacobi ( * ) ; toutefois, nous n'insisterons pas davantage là*dessus.

Ce qui précède est, au premier examen, uniquement vrai pour le cas où les mn points x^^^ sont tous séparés. Lorsque les courbes y et 9 se touchent en un point x^^\ les grandeurs «""*«/ et a^'^ai

(') Voir son Mémoire, cité p. 131.

Stl3 TOME III. — CDAPITRE 1.

en ce point (autrement dit les coordonnées de la tangente commune) deviennent proportionnelles les unes aux autres, et par conséquent le dénominateur du terme qu'elles concernent s'évanouit dans le premier membre de (17), et cette équalion cesse au premier aboTd d'être exacte. Cependant, si nous disposons les choses de telle manière que la fonction U du numérateur s'évanouisse également pour le point de contact et que nous posions pour un instant

la somme des termes du premier membre de (17) qui renferment les points x^'^ et x^'^ -h dx^*^ sera

«r j jc (IX jc j

r étant un point de la tangente commune aux deux courbes enx''^ de sorte que dx'l = axA-4- T) a- De même, dans la somme (17), se présente un teriîie comptant r fois si les courbes /', o ont en un point un contact d'ordre /' — 1, et que la courbe U ait en même temps un contact d'ordre /• — 2 avec les deux courbes. Un fait analogue a lieu au cas où Tune des courbes^, ^ passe par un poinl double de Tautre.

Nous nous proposons maintenant de déduire encore le théorème d'Abel des équations (17).

Nous transformerons d'abord les expressions qui figurent au premier membre de (17). Du système de points d'intersection j' de la courbe o A\ecfj passons au système voisin x^'^ -f- dx^*^ qui détermine sur y une courbe o -h$<f = o voisine de ç. Ici, âtf sera une expression du m'*™* ordre en x/, expression dont les coefficients sont des grandeurs infiniment petites et doivent être considérés comme des accroissements des coefficients a/;^^ ... de 9. Pour les points x^^^ -f- rfx^'^ ont lieu par hypothèse les relations

(,9) //i(«^-»a,,^),-h(?^(x(0)=o, («r*«rfar)/=0.

Actuellement nous mettrons pour la fonction quelconque U le produit Q„2'00f iî = o étant une courbe adjointe à/* et passant par n — 2 des intersections de u avec/*(p. 168). Nous place-

LA CÉOMÉTRII SCR CNB COCRBB ALCÉBRtOOB. 21 3

rons ensuite les deux points Ç, n aux deux autres points d'intersection de u avec y*, en sorte que

(20) /(î) = <if = o, /(i,) = < = o.

Si l'on écrit encore, eu égard à (19), ma^'^ a^x au lieu de — dy, qu^on multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque terme dans le premier membre de (17) par aj"' a^» c étant un point quelconque y et qu'on ajoute au numérateur le terme û.fl"~*a<i>.aj'~' oLcy nul en vertu de aj~* a,iix=' o, il vient

Ici nous pouvons encore poser et par là nous obtenons, pour u,== ( Jr;)/,

et au second membre figure maintenant une différentielle de troisième espèce, comme dans le théorème d'Âbel.

La transformation du second membre de (17) se rattache à Tidentité qui existe pour £2 (p. 168), savoir

Nous avons à remplacer 0 par A. 12.$^, A étant défini par Téqiiation (16). U vient alors, d'après l'identité précitée,

Mais des équations ( 1 5 ) résulte

et si l'on substitue dans la dernière équation et que l'on forme ensuite la |x**"* polaire de 73 pour a:== ^ (en d'autres termes, si Ton pose X = Ç -+- Xt], et qu'on cherche de part et d'autre le coefficient de X^*), il vient

2r4 TOME III. ^- CHAPITRE T.

On a ensuite, d'après (i5) et (ao),

(x>î5)»'=B(.).y(>:), (xÇ>3)^-:D(Ç).y(Ç), et l'on trouve, en conséquence,

ait V *; ^/^\ ^/i:\

[Ui^n' ' fN f(«)

Par substitution de cette valeur dans le second membre de (17), on obtient enfin, en vertu de (21),

I =: nm i = l

ce qui n'est autre chose que l'équation différentielle (8) dont, par intégration, le théorème d'Abel s'est déduit sous la figure connue. Nous aidons ainsi fourni la seconde démonstration directe de ce théorème.

Si, parmi les points xS^\ quelques-uns (7* par exemple) se rapprochent indéfiniment les uns des autres, r différentielles deviennent égales dans la somme qui figure au premier membre; mais aucune autre particularité ne se présente, car le dénominateur de la différentielle ne devient pas nul, ainsi qu'il arrivait cependant dans le théorème de Jacobi. La raison en est qu'alors par r — i des points voisins passe aussi la courbe ^-f-5ç = o, et que par suite, pour U = û.59, le numérateur s'évanouit toujours au même ordre que le dénominateur, c'està-dire que le déterminant fonctionnel àe f, 9 et 1/, ce qui s'accorde avec les remarques précédentes concernant l'équation (17) (page 212).

On aperçoit facilement qu'au lieu de l'équation (1^) du théorème de Jacobi il suffit d'employer l'équation plus simple (18) si l'on veut établir le théorème d'Abel seulement pour les intégrales àe première espèce, et conformément à cette observation la démonstration pourra se simplifier si, au préalable, on établit directement Téquation (18). Mais c'est une chose très importante que, réciproquement y de cette dernière équation on puisse aussi déduire le théorème d'Abel pour les intégrales de troisième

LA CÉOMÉTRll ftCR CXE COOBBB ALCÉBRIQCE. 9l5

espèce; c'est à quoi Ton arrive en se basant sur les réflexions suivantes (*).

Dans la démonstration du théorème de Jacobi, Tirréductibilité de la courbe f^ a J == o n'a été supposée nulle part; l'équation est donc encore vraie lorsque la courbe f ou ç ^e décompose. Si nous posons en particulier

n étant ainsi égal kp -i- q, il vient

Si nous désignons, d'après cela, par j^'^ les points d'intersection de i^ = G et «^ = o, par z^'^ ceux de cj =: o et «^ = o, l'équation (i8) se transforme en

Les quotients qui se présentent ici sont complètement indépendants des quantités Ui] on peut donc aussi poser, dans la première somme, iz/= c/cj.~\ et dans la seconde somme Ui=- bib^~\ en sorte qu'il en résulte l'équation

i = mp i = ma

et, à cause de la symétrie complète qui existe, les deux sommes sont aussi égales à

i = pq i=l

(') Voir Harnack, Ueber eùie Behandlungswehe algebraischer Différent ùde in homo^ gencn Coordinaten {Math, Annalen, t. 9, p. 871 et buîv.). L'équation (18) y est obtenue par discussion de l'équation du m/i*^<°* degré qui détermine les valeurs du quotient

aux mn points x^^. CompRrer la note a de la p. 196.

3l6 TOIIB III. — CBAPITBB I.

x^'^ désignant les points d'intersection de 6^ = o avec cj = o. Or, si Ton choisit en particulier cj égal à {^njr) == Mx> l'équation (24) se transforme en

En partant de là on arrive de nouveau au théorème d'Âbel de la manière suivante. Le premier membre se transforme immédiatement en vertu de (21), pour V = û|,t J9 (sauf un facteur numérique m), en la somme des différentielles de troisième espèce qui se présentent dans (aS), à la seule condition d'y remplacer û^ par b^. Mais on peut traiter d'une manière tout à fait analogue le second membre de notre équation en intervertissant seulement les rôles des courbes ijj = o et Mx= o. Il vient alors en premier lieu, si l'on procède comme pour la formation de l'équation (21),

OU, en vertu de joza= (wa)*»^"*,

en supposant actuellement Uz-= o et Udz=^ o. La différentielle qui figure au second membre se réfère donc à la droite tt, = o, au lieu de se référer à la courbe a" = o. Nous pouvons, en conséquence, pour les points de cette .droite, introduire une nouvelle variable binaire X| : x^ au moyen de la substitution

Il vient alors, en vertu de l'identité (22) relative à lî,

et le déterminant [czdz) devenant égal à (c^y3)(xiC^X2^ — xarfxi), expression où (cjrî) = Ucy la différentielle (26)* se transforme en

fn — — ■ = ma log — •

XjXj X|

Nous avons à former la somme de ces différentielles étendue à toutes

LA GÉOMÉTRIE SCR CNB COURBB ALGÉBRIQCE. 317

les racines de Téquation (xi aç-4- X2aii)'' = o. Mais cette somme est égale à

Or, comme le facteur numérique m, diaprés la transformation indiquée, s'est présenté de la même manière dans le premier membre de (20), nous avons à nouveau obtenu en fait, au moyen de (a5), le théorème d'Abel pour les intégrales de troisième espèce.

De même que le théorème de Jacobi, le théorème d'Abel est également vrai pour les courbes décomposables. Ce théorème étant censé connu pour les intégrales qui ne deviennent infinies qu'en des points doubles de y, on peut en déduire son énoncé pour d'autres intégrales sans revenir au théorème de Jacobi. Si l'on pose en effet

et qu'on désigne par j^^^ les points d'intersection de a^ = o et jS^ = o, par z^'^ ceux de a^ = o et yj = o, l'équation du théorème d'Abel se transforme immédiatement en

i=mn i = mp i = mff

Une somme de différentielles qui appartiennent à la courbe primitive jS^ = o et dev*iennent infinies en quelques-uns ( * ) des points d'intersection de cette dernière avec 7Î= o se trouve donc ramenée à une somme de différentielles qui appartiennent à la courbe primitive yj= o et deviennent infinies aux mêmes points d'intersection de cette dernière avec Çi^ = o. Il résultera immédiatement de là pour nous qu'une somme d'intégrales à infinis quelconques, étendue aux points de rencontre de la courbe primitive (3^ == o avec une courbe a^ = o, est représentable par des logarithmes et des fonctions algébriques, ce qui, au surplus, ressort déjà de la réduction précédemment donnée d'une différentielle quelconque à des sommes de différentielles ayant une fonc-

C*) Par les autres intersections des deux courbes passe aussi alors la courbe 6 = 0.

2l8 TOME III. — CHAPITae I.

lion linéaire au dénominateur (p. i52 et suiv.). Dans le cas actuel^ on devra recourir à une décomposition analogue à celle employée alors pour réaliser en fait l'évaluation de la somme d^intégrales. Désignons, en effet, par m|'^=o Téquation des points d'intersection de 7Î = 0 avec j3^ =o; on a (p. i54)

d'où -77 = 7- — — — 1 en vertu de Éf. = o, et par suite aussi

iz=mf) i~-f>qm

Y V^r'i'^ydxU ^ Y r yr»c(c3rf») 1

Dans le second membre figurent des différentielles qui se rapportent à la courbe [^x\^P^-=^o comme courbe primitive. Mais cette dernière se décompose précisément en lignes droites ; on peut donc décomposer encore la somme qui est au second membre en une somme de différentielles dont chacune se rapporte à une seulement de ces pq droites, et peut conséquemment être évaluée directement par l'introduction d'une variable binaire, ainsi qu'il a été l'ait récemment pour les différentielles de troisième espèce. On arrive ainsi naturellement à un résultat identique à celui donné par une décomposition de l'expression qui figure au premier membre en fractions simples.

Considérons encore comme application du principe développé ici le cas particulier où la courbe primitive se décompose en irois lignes droites, telles que Xj = o, X2 = o, Xs = o. Pour ses points d'intersection x^'^ avec a'I' = o, nous obtenons alors

ir=3.7l

^ L .^8^3 J/ jLd L 233, Ji Zj L ^^î J*

relation où l'on a désigné par^^'^ les points de rencontre deaj =^0 avec Xt = o, par z^^^ ceux avec 0:2= o, par t^'^ ceux avec j:j = o.

LA GÉOMÉTaiX SL'R OSE COOKBE ALGÉBBIQCE. llQ

Il vient alors, semblablement à ce qui arrivait pour Téquation (26),

On trouve de même pour les sommes qui répondent au3c lignes j:« = o, 0:2 = 0 les valeurs respectives

^H^-'^y et .log(-^)

Mais rintégrale de la somme de ces trois valeurs est égale à log ( — I )*" = miity et par conséquent existe la relation

^{t)UV v(/«) -(l)^(î) -(//i) #(1)/U) fini) i^Q\ >^a >^a • • • ^3 ^1 ^1 • '^i *2 'î • • •'* __ \m

Cette équation se confond avec la proposition appelée théorème de Carnot, proposition que l'on énonce habituellement sous la forme suivante :

Si j'I^vy^j z-^^l z^i\ ^2"! t^l^ sont les rapports de distances des points d'intersection d'une courbe du /n'^"** ordre avec les côtés d'un triangle aux sommets de ce triangle, entre ces rapports de distances existe la relation (28).

Des propositions analogues ont lieu pour les points de rencontre de la courbe avec un nombre quelconque de droites (*).

Enfm faisons encore observer que du théorème d'Abel établi pour les intégrales de troisième espèce on peut aisément déduire le théorème d'Abel relatif aux intégrales de deuxième espèce

par application du procédé N "p's' (P- '70» à la place des logarithmes interviennent alors dans le second membre des fonctions algébriques. Mais nous n'insisterons pas davantage là-dessus.

Ici se présente naturellement la question suivante, dont nous avons déjà dit quelques mots plus haut : La réciproque du théo-

(*) On les démontre d'aiUeurs algébriquement par une méthode élémentaire. (roir la Géométrie de position de Càbhot, ainsi que la note de la p. i3o).

230 TOME III. — CHAPITBE I.

rème d*Abel est-elle vraie, c'est-à-dire peut-on toujours conclure des équations (8) ou de leurs/? équations intégrales

' ^^"/« H- / ^'Oi -h . . •^- /

que les fi points x^'^ sont situés tous ensemble sur une courbe adjointe? Observons ici que {i n'est pas nécessairement divisible par /i, car, d'après ce qui précède, tous les points d'intersection qui sont situés en même temps sur la courbe qui détermine les limites inférieures disparaissent. Or, comme par mn — Za/i(i — i) — p points quelconques on peut toujours faire passer une courbe adjointe du m*^™® ordre, notre question revient au fond à celle de savoir si, par les équations du théorème d'Abel relativement aux intégrales de première espèce {*)^ p points sont en général déterminés sans ambiguïté par les autres. Or il en est effectivement ainsi, comme l'apprend l'examen du problème de V inversion des intégrales abéliennes appelé problème de Jacobi, Ce dernier peut se formuler de la manière suivante {-).

Soient données les p équations

(29) > / ^«i = <'l» > / du^zznv^, ..., XI- ^"i'^*''" î=I i = \ ^ 1 = 1

les quantités \f\, v^} •••; ^/? étant des constantes indépendantes les unes des autres ( savoir les sommes intégrales négatii^es s'cten-

(') Pour ce qui concerne les questions correspondantes relativement aux inté|rraleâ de troisième espèce, 'voir plus loin la Section sur les systèmes de points d'intersection des courbes non adjointes.

(*) Il a été ainsi énoncé (quoique non résolu) par Jacobi pour les intégrales hyper elliptiques {Journal de Creiîe, t. 9 et 13). Il diffère du problème d'inversion de Riemann, où l'on se propose de déterminer une limite supérieure, les valeurs «'ji des /> intégrales i/^ étant données pour cette limite supérieure, et qui dérive de celui de Jacobi si l'on fait coïncider p — i des points jr('^ avec les points correspondants c("- Ce problème n'est naturellement résoluble que si entre les grandeurs v,^ existent /» — < relations d'une certaine espèce. {JToir sur ce sujet C. Nedmaxx, îoc, eit,, p. 393 et suiv., et p. 5i'|, Prtm, loe, cie.)

LA CÉOMÉTRIS SUR V2<E COCBBB ALCÉBBlOt'B. 221

dant aux fi — p autres points connus) et les quantités c^'^ désignant des points quelconques Jixés une fois pour toutes, points qui peuvent de toutes les manières possibles se confondre totalement ou partiellement en un seul : on demande de déterminer les p limites supérieures x^*^ comme fonctions des grandeurs données vi^ ( * ) .

La solution efleclive de ce problème est en dehors de nos considérations; elle s'eflfectuey diaprés Riemann, à Taide des fonctions © (^).

On résout le problème par l'intermédiaire d'intégrales de troisième espèce en développant d'abord une méthode au moyen de laquelle une somme de p intégrales normales de troisième espèce ayant les mêmes limites c^'^ et x^^^ est représentable comme fonction des grandeurs données v^^ v^^y .. .,^'y, ('). Pour déterminer les p points x^^\ on peut d'abord déterminer les p rayons d'un faisceau Ux — 'kvx=o qui passent par ces points, c'est-à-dire établir l'équation du )[;'*'"' degré en X qui détermine ces rayons. Si l'on cherche alors les rayons correspondants d'un second faisceau, on peut trouver les points x^^\ comme étant leurs points d'intersection, par des équations linéaires. Il est à remarquer que les rayons précités du second faisceau peuvent ^e déterminer rationnellement (et pour préciser au moyen d'équations linéaires) si ceux du premier sont connus. Il s'agit donc de déter-

(*) f^o/r Clebscb et Gorda:<, op, cit., p. i38. Dans les p équations (29), à la même limite supérieure x(i) répond toujours la même limite inférieure c^*K C'est là une différence avec la méthode de Riemann pour déterminer les limites inférieures; Riemann, en effet, emploie toujours dans la même somme, quand même les limites supérieures sont différentes, une même limite inférieure, et au contraire dans chacune de» p sommes d'autres limites inférieures. [Foir Riemann, op, cit., § 15 et 16.)

(*) Foir RiEMARX. ioe. cit., $ 17 et 22. La théorie de ces fonctions se trouve en détail dans HiEMAXX, Théorie der AbeVschen Intégrale, Leipzig, i865, p. aS et suiv., et p. 4^3 et suiv. 11 est à remarquer que la définition donnée par Riemann des fonctions 6 s'écarte de celle que Ton trouve dans Clebsch et Gordan, op. cit., p. 98, en

ce que les arguments diffèrent d'un facteur numérique -9 ce qui a sa raison dans le

choix différent des modules normaux de périodicité des intégrales de première espèce. [Voir plus haut, p. i85.) (') Voir Clebsch et Goedan, op, cit., p. i38-aoo.

3J3 TOME 111. — CHAPITRB I.

miner la valeur de la fonction algébrique — aux p points a* '' par

une équation de degré p. On peut encore généraliser le problème

en considérant, au lieu de — > le quotient ^» dont le numérateur et

le dénominateur doivent être du même ordre, autrement dll en cherchant les courbes du faisceau 9-^/^ = 0 qui passent par les

points x^^K Les valeurs que prend - en ces derniers points se détermineront alors par une équation algébrique

dont les coefficients M/ sont des fonctions à déterminer des sommes d'intégrales s^h^ et il suffit de connaître les racines relatives

à une fonction ^ pour pouvoir calculer les racines relatives à toute

autre fonction j? (comme dans le faisceau de rayons u — \v).

Ces fonctions M/ ou plus généralement les fonctions sjmétriiiues des p valeurs que prend une Jonction homogène de dimension nulle aux p différents points sont appelées fonctions abéliennes des arguments v définis par ( 29 ) ( * ). Ce sont des fonctions 2 p fois

(') Ce sont d'autres grandeurs que Rieraann (dans ses Leçons) a désignées sous le nom de fonctions abéliennes. Soient x^^\ x('\ . . .,x(^~')p — i points dans lesquels la courbe primitive est touchée par une courbe adjointe G,«,, ce qui, en géDéral, ne peut se produire qu'en un nombre fini de systèmes de points, et soit ^ s=s 0 réquatioo de cette courbe G^-g, ^ = o l'équalion d'une autre courbe G^,., de même espèce aysnt

pour points de contactât') ; le quotient a /P est proportionnel à un quotient de fooetions 0 dont les arguments ne diffèrent des grandeurs

où 17 et r sont des points choisis arbitrairement, que par une constante. Les rapports ff : ^ ainsi formés, comme aussi les quantités ^ et ^ elles-mêmes, soot

LA GÉOMéTRlB 8CR CNB COORBB ALGÉBRIQCE. 333

périodiques de ces grandeurs, puisque les p intégrales de première espèce (d'après ce qui a été dit, p. i86) ont 2/7 systèmes de modules de périodicité, que par suite les gi*andeurs v peuvent être augmentées d'une manière quelconque de semblables périodes et que, pour préciser, \fh peut l'être de

sans que Téquation (3o) soit par là modifiée.

Actuellement l'introduction des intégrales de troisième espèce se fait de la manière suivante. Considérons la somme de p intégrales IIç^ conduites entre les mêmes limites c^^\ or^*^ et ayant deux infinis Ç, y;. Cette' somme

se présentant comme fonction symétrique des limites supérieures, et les fonctions symétriques de ces dernières ayant déjà été considérées comme fonctions des quantités ^, peut être aussi considérée comme fonction de ces mêmes quantités, ainsi qu'il sera expliqué plus en détail incessamment. Et c'est à la représentation efiective de cette fonction Sç,, que peut se ramener le problème de l'inversion. Les coefficients de l'équation (3o) peuvent en effet s'exprimer de la façon suivante par les fonctions S.

Nous mettrons, dans l'équation (9) du théorème d'Abel (p. 200 et 202, note), à la place de Ç successivement x^^\ x^-^, . . . , x^/^^; à la place de yj successivement é^\ c^^^ . . . , c^^^; nous prendrons ensuite, au lieu de la courbe 9=0, une courbe quelconque du faisceau <p — X^{i = o, et nous désignerons par yM^ les points d'intersection de f= o avec «|^ = o qui ne sont pas situés en même temps sur y = o, par ^^'^ les points d'intersection de cp — l^z=o di\ecf= o qui ne sont pas situés sur 9 et ^, Nous obtenons alors, en vertu du théorème d'Abel et de la proposition sur la permuta-

tion des fonctions aàéliennes des greuideurs c^, Wj^f dans le sens de Riemann. {^oir, sur ce sujet, Roch, Journal de Crelle, t. 66, p. io4, et Riemanx, Gesammelte Werke, Leipzig, 1876, p. 456.)

334 TOXE III. — CBAPITRE 1.

tion du paramètre et de Targument (p. 187 et sulv.), les équations qui suivent :

'«« [(i)-«- »] - '»« [(I)..,-'] = - sxr-^'-

(3„ ] '°«[(i)..-^]-'"«L(î).--']=-sr''""-'

'"« [(!)-..- '] - '"^ [(?)*- *] = - SX- '^'-

Les points $^'^, >3^'^ sont coordonnés l'un à l'autre comme le prescrit le théorème d'Abel (p. aoi), et les sommes qui figurent au second membre se rapportent aux couples d'intersection ainsi formés. Les contours d'intégration sont également régis par ce même théorème : ils ne sont donc éventuellement pas les mêmes que ceux qui se présentent dans les équations (29), et au contraire fourniraient, au lieu des quantités t'A» des sommes d'Inlégrales i^'^ qui diffèrent des v^/i par des modules de périodicité. Mais les sommes du second membre ne varient (p. 187), par changement du chemin d'intégration, que de multiples de l'expression

y 1 duk (abstraction faite de la période 2171 qui se présente

également dans le premier membre); et ces dernières sommes ►s'évanouissent, d'après le théorème d'Abel, puisque Ç, m sont des sj'stèmes de points d'intersection pouvant être ramenés directement les uns aux autres par variation continue de la constante /. il n'est donc pas nécessaire d'y avoir égard.

Si l'on ajoute maintenant les équations (82) et qu'on passe des logarithmes aux nombres, on trouve, en vertu de (3i),

(33) JjVW-"» __ /

et dans cette équation est contenue la solution de notre problème dès que les fonctions G sont encore exprimées par les quantités v.

LÀ CÊOMÉTHIB 8QS DXB COOBBB ALGÉBRIQUE. 23 5

Si l'on pose en effet

M ne renfermant en dehors des constantes (car nous avons assigné à la grandeur X une valeur quelconque) que des fonctions 5, on peut aussi écrire l'équation (33), eu égard aux coefficients M, de l'équation (3o), sous la forme

Il suffit de former cette équation p fois successivement pour autant de différentes valeurs de i pour obtenir un nombre égal d'équations avec M/ pour inconnues, et l'on peut alors, au moyen de ce système d'équations linéaires, exprimer ces dernières quantités par les fonctions 5. Les coefficients de l'équation de

degré p dont les racines sont les p fonctions I ^ j deviennent

conséquemment des combinaisons rationnelles des différentes transcendantes e"^^"^.

Il ne s'agit donc plus que d'une étude plus approfondie de la fonction Gç„ et la théorie des fonctions abéliennes fait voir que cette fonction est représentable par les fonctions 0 dont les arguments dépendent essentiellement des grandeurs données Vh ^t de certaines constantes. Pour la détermination de ces constantes, il est avantageux de choisir, au lieu des grandeurs c^'^, d'autres grandeurs a^'^ définies de la manière suivante : Menons en un point quelconque fx la tangente kf=o\ cette tangente coupe encore y en 7ï — 2 points ; faisons passer par ces derniers une courbe adjointe du (/z — 2)*^"® ordre tangente ày*== o en tous les points où elle rencontre/*, c'est-à-dire en p points. Pour chaque point |ut, on peut trouver ol^p courbes de cette espèce C,,„ comme nous le verrons plus tard; mais parmi elles il en est une qui se trouve désignée d'une façon complètement déterminée pour les limites inférieures (elle dépend du choix du système canonique de sections transverses de la surface de Riemann employé pour la définition des périodes a/^, p- 181 et suiv.); nous désignerons ses points de contact par «^ '■ , oS^\ . . . , a^^^ En substituant ces points aux points t^'^ dans les équations (29) du problème d'inversion et écrivant en

Clerscii. — Géométrie, III. l5

a36 TOHB III. — CHAMTBB I.

même temps tù^ au lieu de i^a, en sorte que, pour A = i , 2, •..,/?, on ait

1 = 1 ^ i=zi ^

on trouve le résultat suivant [*) :

(35) Çç.

en sorte que Téquation (33) se transforme en

la fonction 6 étant définie par la série p fois infinie

0(«',,) = e(«'i,cv„ . . .,««';,)

__ V' V' V ^-■^2*2it'-*nk«»»+2ir,»'/^

r| = — • r, = — «D r^=— Qc

Za solution du problème est donnée dans l'équation (36), ainsi qu'il ressort des explications précédentes. Maintenant, à la place des «^'^ et des w^, on peut réintroduire les grandeurs é^^ et ^'a-

( ' ) P'oir Cleoscu et Gordan, loc, cit. On peut aussi établir ces formules et, en psrticulicr, la détermination des arguments des fonctions 0, par les points /t et 2'-''. au moyen des principes de Riemann, en faisant usage de ce qui est dit au$ 25 des Fonctions abéliennes de Riemanm ; consulter sur ce point Wbbbb, Zur Théorie der Umkehrung der Abet schen Intégrale (Journal de Crelle, t. 70), et Fccns, Zar Théorie der Jbel'schen Functionen {ibid., t. 73, p. 3o6). Pour /7 = 2, la formule correspondante a déjà été établie par Rocu, ibid., t. 65, p. ^i, suivant la marche indiquée parWeber; w)ir aussi pour ce cas Brill, ibid., p. i-jS,

Car si l'on pose

LA GÉOlUnil s» UXB CODBBB ALG^BIIOOE. 221

'=" .c(ft

en sorte que

on a naturellement aussi, comme dans (36),

(38) TT \^/g<'' ■ TT \ *^« / Vf» /,

et, en divisant le premier membre de (38) par celui de (36), on obtient de nouveau le premier membre de Téquation (33). Les grandeurs wa et ^h 9"* interviennent dans les arguments de la fonction 0 sont ici définis par les équations (34) et (37); et les OL^^ sont les points de contact d 'une courbe déterminée corn-prise parmi les 2^P courbes du [n — a)'^*"* ordre ( * ) qui passent par les n — 2 autres points de rencontre de la tangente menée en fi àj = o, et touchent en outre la courbe f= o enp points.

Dans un système de points d'intersection, p points, comme on sait, ne sont pas déterminés par les autres si le système est découpé par une courbe adjointe du [n — 3)**™* ordre, et cette circonstance doit aussi se présenter dans le problème de Tinversion, ce dernier ne pouvant plus alors donner de résultat. En effet, dans ce cas, les fonctions 0 employées s'annulent identiquement, c'est-à-dire indépendamment des points ^, m qui entrent dans les limites supérieures de leurs arguments, car il existe une proposition (^) d'après

(*) Le choix à faire parmi ces courbes dcpeod du système de modules normaux de |»ériodicité que l'on prend pour base, c'est-à-dire de la manière dont on choisit le système canonique de sections sur la surface de Riemann (p. i83). A chaque système semblable de périodes correspond, /m étant donné, une des courbes C^,.,, dont il s'agit, et réciproquement; voir sur ce sujet Clebsch et Goedàm, op, cit., p. 3i4 et 33 1, ainsi que Fcchs, loc. cit,, et pour/» = 2 la Section XI de ce Chapitre.

(■) Foir RiBMARx, $ 22 et 23; Clebsch et Gobda!i, p. 206.

328 TOME III. — COAPITBB I.

laquelle, en supposant les arguments w déterminés comme dans (35), la fonction Q{w) considérée comme fonction de ^ s'annule aux points x^*^, x^^^, . . ., x^P^^ c'est-à-dire pour Ç = x^*\ a:f'^ ..., x^P^ ; elle devient conséquemment nulle si les p arguments (Va ont la forme (pour ^ = x^p^ par exemple)

iss p - l ...

x^*\ ..,^x^P~*^ étant des points enùèrenient arbitraireSy tandis que les a^'^ dépendent de f*. Si maintenant les points x^*^, . . ., x'''' sont situés avec p — 2 autres points x^P'^^\ . . ., x^^/*"*^ sur une courbe adjointe Cn-zy cette dernière forme, ensemble avec la tangente de ([X une adjointe C,/2. Par n — a intersections de celle dernière avecy (savoir les n — i intersections restantes de la tangentes en /jt) passe aussi la courbe C„2 qui est tangente aux points OL^^K On a donc, d'après le théorème d'Abel,

'^'' ^.xu) '■^-' r^x'P^i)

et les arguments Wh prennent en conséquence la forme

Mais, à cause de ©(iv/^) = 0( — ^h)j la forme des arguments concorde précisément avec la forme (89), car, à part le signe, on n*a fait que mettre Ç à la place de x^p~*\ ce qui est indifférent, puisque la position des p — i points x^'^ dans (89) était complètement arbitraire. La fonction 01 wa — f àu^ \ s* évanouit donc identiquement [c'est-à-dire indépendamment rfe Ç) lorsque les p points x^'^ des équations (29) sont situés avec p — 2 autres points sur une courbe adjointe du [n — 3 )**'"* ordre, et que les quantités wa sont déjinies par (34).

Le problème de l'inversion devient alors indéterminé, et il faut supposer connu un autre [p — 1)»«™« point pour pouvoir déterminer

LA CÉOMÉTRIB SUR VTIE COCBBB ALGÉORIOCE. 229

encore sans ambiguïté \es p — i points restants. D^autres particularités se présentent encore si les points x^*^ sont découpés par une courbe adjointe dont Tordre est inférieur an — 3, les dérivées de la fonction 0 par rapport à iV/t s^annulant alors jusqu^à un certain ordre ; mais nous n'entrerons pas davantage dans Texamen du sujet (*).

Q. -- Les courbes de contact. — Les tangentes doubles des conrbes

dn quatrième ordre (').

Tandis que le théorème d'Abel apprend à exprimer dans des formules simples l'objet du théorème du reste (p. ipS), la possibilité et la déterminabilité d^i problème d'inversion permettent une série d'autres applications géométriques dont les résultats (tant qu'il s'agit de questions relatives à la géométrie du nombre) peuvent s'établir aussi par voie purement algébrique si l'on fait usage du principe de correspondance précédemment traité (t. II, p. i46 et suiv.). Ces applications, de même que celles données plus haut pour le cas de /; = i , c'est-à-dire pour la théorie des fonctions elliptiques (t. II, p. 355 et suiv.), ont pour point de départ le problème de la division, et montrent comment les solutions de certaines équations algébriques qui se présentent dans la Géométrie peuvent être représentées d'une manière simple à Faide de la division des fonctions abéliennes. Le fait a une valeur d'autant plus grande que les relations particulières, ou autrement dit les groupements des racines entre elles, seront, par cette méthode, mis parfaitement en lumière, tandis que le principe de correspondance ne fournirait d'abord que le nombre des solutions, et qu'il faudrait encore faire une application compliquée des théorèmes sur les systèmes de points d'intersection pour étudier le groupement. Mous traiterons d'abord le problème suivant, dans lequel nous supposerons que la courbe /=• o soit d'ordre n et de genre p, et

(•) Foir RiEMAXN, Ueber das Verschwinden der 6 Functionen (^Journal de Crelle, t. 65), et Théorie der yibel'schen Functionen, J 14 et 1 G.

(') Voir, pour les matières traitées dans celte Section, Clebsch, Ueber die Anwen" duttg der AbeVschen Functionen in der Géométrie [Journal de Crelle, t. C3, p. 189 et soir.).

35o TOMB III. — GHAPITBB I.

qu'elle ait a/ points multiples d'ordre i sans qu'entre leurs modules existent des relations spéciales.

Soit m^n — 3 , ef soient mn — S «/i ( i — i ) — pr points donnés d'une façon quelconque sur la courbe primitive; on demande de faire passer par ces points une courbe adjointe du m^*"' ordre ayant en p points un contact d'ordre r — i avec la courbe prindtis^e.

Nous poserons, pour abréger,

(i) mn — 2a/i(/ — i) — pr=.\.

Soient maintenant c^^\ c^^^ . . . , c^P^ les points où la courbe primitive y= o a un contact de Tordre /' — i avec une courbe adjointe Cto- Supposons en outre que cette dernière courbe passe en outre par certains points a^^\ a^^^, . . ., a^'^K Nous prenons celle courbe unique comme connue ( * ) ; notre problème consiste alors à faire passer par les X points donnés x^^\ x^^\ . . . , x^^ une autre courbe adjointe C„t ayant avec ./= o en p points un contact d'ordre r — i, ou, en d'autres termes, à trouver les points de contact j'f*^ y^^\ . . *,j^P^ de celle-ci. Or ces derniers, d'après le théorème d'Âbel, satisfont aux /? équations transcendantes