IL '"""-IL

quelques-uns des termes de la seconde somme disparaissant si quelques-uns des points x^^^ devaient coïncider avec les points a^'^; cette circonstance peut toujours se présenter sans que les explications suivantes en soient influencées. Si Ton entend par intégrales de cette seconde somme les valeurs que lesdites intégrales prennent sur des contours d'intégration arbitrairement choisis, on peut, dans le second membre de (2), remplacer la valeur zéro par le système le plus général de modules de périodicité

(') Cela est permis, parce que l'existence de semblables courbes résulte d'une simple numération de constantes. Nous n'introduisons d'ailleurs cette courbe que pour faciliter la désignation des termes constants qui entrent dans le théorème d'Abel.

LA GlIOllÉTUI Smi ORB OOOIBB ALGÉBaïQCB. 23 f

Pa de l'intégrale u^y Pa satisfaisant à la relation

(3) P/k= ani/^ijr H- qxa^^-^ 7t^iA + - • '-^^P^phf

et il nous faut faire cette substitution si nous voulons avoir tous les systèmes de points j^^'^ On trouve, en divisant par r (* ),

relation où, au second membre, ne figurent que des grandeurs connues, en sorte que ces équations sont celles du problème de Tinvcrsion, problème qui est en général résoluble pour m^n — 3, quelle que puisse être la nature des grandeurs ^^ qui entrent dans les équations (29) (p. 220). On voit aussi par là que, par un choix déterminé des modules de périodicité Pa, le système des p points j^'^ et conséquemment aussi la courbe de contact cherchée, peut élre déterminé sans ambiguïté au moyen du problème de l'inversion. Mais les points obtenus j^^^ ne varient pas si Ton augmente ou si Ton diminue simultanément les quantités Pa de 7* fois un système de modules de périodicité, car, dans cette circonstance, les valeurs des fonctions 0 que Ton a à employer dans le problème de Finversion ne subissent absolument aucune modification. Il suffit donc, pour obtenir toutes les courbes de contact possibles, d'assigner aux nombres entiers mi, m2, . • . , rrip^ qu q2j • • m ^p^ qui entrent dans les fonctions Pa, les valeurs o, i, . . . , r — 1 . On obtient aihsi r^P systèmes de grandeurs Pa et conséquemment aussi un nombre pareil de courbes de contact : Le problème proposé a r^P solutions (^). Parmi les courbes de contact trouvées est

(') Si l'on Toulait choisir autrement les limites inférieures c^'\ les seconds membres de ces équations ne Tarieraient que de quanlités constantes. Soient, par exemple, c^*\ c^'^ ..., c^'T^ les autres points de rencontre d'une courbe C^ passant par les points a^'^, et soit z un point quelconque de la courbe, on obtiendrait, à la place de (3),

0 On peut effectuer par extraction de racines la résolution de l'équation du

encore en particulier comprise celle supposée connue qui est tangente aux points c^'K On l'obtient en attribuant simultanément à tous les nombres m,-, Çi la valeur zéro.

Les r^P systèmes correspondants de chacun p points de contact j^ occupent les uns par rapport aux autres une situation très digne d'attention. Si Ton distingue par l'addition d'indices supérieurs r systèmes de l'espèce en question choisis arbitrairement (en sorte que les points de ces systèmes soient respectivement désignés par j)'î*'\j) f^'^, ...,j^f'"'^, et les valeurs correspondantes P* par Pj^ ', P)^-\ . . ., P^'^'), et que l'on ajoute les expressions correspondantes ( 4 ), on obtient, pour A = i , 2, . • . , /^»

Si donc on détermine les nombres m, q qui entrent dans les quantités P>i de telle façon que

( m^/'^-/7zJ2J-h...-4-/7z^;=o (mod. r), Uj/'-f-7J,''+... + 7/r=o (mod. r],

on peut poser zéro au lieu du second membre de (5), et celle équation exprime alors que les r systèmes de points de contact r sont situés avec les points donnés x sur une courbe adjointe du jf^ième qj^^j^q^ H est visiblc, d'après (6), que, parmi les r systèmes, /• — I peuvent être choisis arbitrairement, le r*^"* se déterminant conformément aux lois du problème d'inversion de Jacobi. On a, par suite, ce théorème :

Si l'on fait passer une courbe adjointe du ni^^"*^ ordre par les

degré r^P correspondante, si l'on considère comme résolu un problème spécial de division en peireics égales, qui prend naissance lorsque dans (i)) on fait coîocider les a avec les jr, d'une façon analogue à ce qui se produit pour les fondions elliptiques. {Foir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 235 et suiv.; Dans des cas particoliers (par exemple pour des courbes à modules spéciaux), il peut se présenter un nombre infini de solutions. 11 résulte en particulier du théorème du texte qull existe r^P courbes d'ordre n — 2 passant par les autres n — 2 points d'intcrseclion d'une tangente de / et touchant encore celte dernière courbe en p points (p. 335). Mais nous verrons plus tard que certaines de ces courbes C»., se décomposent en la susdite tangente et en une courbe C,,.,.

LA UËOJIÉTRIB SCS UNE COUEBE ALGÉBEIQCE. ^33

1 points donnés et par r — i systèmes de points de contact, cette courbe passe encore par un r*^"" système ( * ).

Dans le problème précédent, nous ferons, parmi les points donnés dont le nombre sera supposé supérieur à l^-r [(x étant un nombre entier), coïncider fx fois r points, en sorte que les autres A — (ir points soient seuls donnés; alors se présente le problème indéterminé qui suit : Une courbe adjointe d'ordre m doit passer par X — (xr= mn — 2 «/ 1 ( i — i ) — i^p -^p.)r points donnés sur la courbe primitiv^e du n^'"^ ordre, et ai^oir, en outre, en p -^ p. points un contact d'ordre r — i as^ec cette courbe.

Ce problème est, en général, pour le cas de m^ n — 3, résoluble comme le précédent; p points de contact restent encore arbitraires, mais les p autres sont alors déterminés (d'après le problème d'inversion de Jacobi). On peut donc faire passer par les points donnés un nombre p fois inflni de courbes de l'espèce cherchée, et encore r^P différents si p points de contact sont pris arbitrairement. Si l'on part, dans ce dernier cas, de l'une des r^P courbes, pour laquelle le système de périodes qui figure dans les équations (4) sera supposé avoir la valeur P)^, et qu'on fasse prendre successivement sur la courbe primitive aux p points arbibîtrairement choisis toutes les positions possibles (le nombre de celles qui sont différentes étant infini d'ordre /x), on obtient oc i* autres courbes de contact, et à toutes celles-ci répond, dans les équations (4), le même système de périodes P^. Et, par la variation des p points en question, on ne peut arriver à aucune autre courbe qui soit donnée par un autre système de périodes ; car ces derniers systèmes sont complètement distincts, et caractérisés indépendamment des p points mobiles. Toutes les courbes que l'on peut ainsi déduire par un procédé continu forment ce qu'on ap-

(*) II se peut que, par suite de situations spéciales des a points donnés, plusieurs des premiers systèmes coïncident par groupes; mais il peut aussi arriver que le r'*™*' système se confonde avec l'un des premiers. Cette dernière circonstance se produit toujours au cas de r = 3, parce que p points d'intersection sont précisément déterminés par les autres; on ne peut donc plus faire passer par les X points et par J'un des r^ systèmes qu'une seule courbe adjointe. Cette courbe unique est précisément slors la courbe de contact trouvée. Si /t systèmes se confondent, la nouvelle courbe C^ a, aux points dont il s'agit, un contact d'ordre /< — i avec/= o.

234 TOMB III. ^ CBAMTRB I.

pelle un système de courbes de contact (*). Nous pouvons^ en conséquence, énoncer le théorème suivant :

On peut, pour m^n — 3, déterminer un nombre infini de courbes adjointes du m}^'^^ ordre ayant, ai^ec la courbe primitivt de la question, un contact d 'ordre r — i en p-i- [.i points, le reste des points d'intersection étant supposé connu et yir étant égal ou inférieur à mn — Sa/i (i — i) — rp. Ces courbes se partagent en r^P systèmes, complètement séparés, et tels qu'il est impossible d'arrii^er d'une façon continue d'une courbe d'un système à une courbe d'un autre système en ne passant que par des courbes de contact.

Soit maintenant donnée une courbe adjointe dWdre m ayant, en p-H/!x points c^'^ un contact d'ordre r — i,et passant par X — ur points fixes a^'^ ; nous avons

Considérons actuellement r courbes du même système (pour lesquelles Pa a conséquemmentlaméme valeur), et ajoutons les équations correspondantes; il vient semblablement aux équations (5)

Par conséquent, les points de contact de r courbes de contact d'un même système sont toujours situés sur une courbe adjointe du nt^^'"^ ordre qui passe par les points fixes donnés.

Dans le cas précédemment traité, on obtient en outre la proposition qui suit :

Si, par les points donnés et par r — i systèmes chacun de

(*) GeUc notion a été introduite dans la Géométrie par Hessb et appliquée parlai aux courbc^s du troisième et du quatrième ordre {Journal de Crelle, t. 49; voiir aussi p. 58 et suiv. et p. 47)* Nous mentionnerons incessamment diflerents exemples pour 1« cas de n = 4> Pour /i = 3, m = a, voir t. II, p. a66 et suiv.

LA GÉOMÉTRIB 8Cft CMC COOKDB ALGÉBRIO». 335

p-h l^ points de contact appartenant à des systèmes identiques ou différents de courbes de contact, on mène une courbe adjointe du m*^*^ ordre, celle^i passe toujours par un r'^"" système,

La proposition ci-dessus (p. a3a et suiv.) peut être envisagée comme un cas particulier du présent théorème.

Sont particulièrement intéressants les cas dans lesquels le nombre /n«— Yàaii[i — i) est divisible par r, de telle sorte que

mn

--liXii[i^ i) = [p-^ iL]r,

Alors se présentent des courbes de contact adjointes ayant, aMec la courbe primitive y, un contact d'ordre r — i partout où elles la rencontrent (les points singuliers de y exceptés), et les systèmes qui prennent naissance dépendent uniquement de la courbe primitive elle-même et de Tordre m de la courbe de contact; ils ne sont donc plus caractérisés en outre, comme précédemment, par certains points particuliers choisis arbitrairement sur la première. Le nombre des systèmes distincts peut ici, suivant les cas, différer de celui indiqué par le nombre r^/*, les autres propositions trouvées plus haut continuant à être exactes.

Admettons en effet que le nombre M[= mn — 2a//(i — i)j des points d'intersection mobiles d'une courbe adjointe C^ ait, avec /", un facteur commun, en sorte que M = M'.5, r = i^.s, d'où aussi /^(^p -H a) = M', M', /•' étant des nombres premiers entre eux. Aussi souvent que tous les nombres w, (/ entrant dans les quantilés P>i renferment le facteur s^ on a

les F^ étant des expressions analogues aux P^. On a constamment

alors

V Jc^P+V^) J

== O (lM(»d. P/J,

et cette équation nous apprend que la courbe répondant aux j ^'^ a un contact non d'ordre r — i , mais seulement d'ordre /•' — i , et

q36 tome III. — CHAPITRE I.

n'inlervient conséquemment dans la qucslion que parce que. comptée s fois, elle représente une courbe improprement dite avant un contact d'ordre r — i. En faisant abstraction de ces courbes exceptionnelles et observant que, d'après ce qui précède, le nombre de tels systèmes particuliers est égal à /•'^Z' (*), on arrive à ce théorème :

Si le nombre total M des points d'intersection mobiles dune courbe adjointe du //i'*'"* ordre (m étant supérieur à n — 3) est égal à [p'^l'-)^} il existe des sjstèmes de courbes de contact ajant, av^ec la courbe primitive, un contact d^ ordre r — i en p + l^- points dont y. sont quelconques. Si Von a M = M'.5, /• = r'sy M', /•' étant des nombres premiers entre eux, le nombre de ces sj sternes est égal à r^P — r'^P ; dans le cas seulement où M et r sont des nombres premiers entre eux, le nombre des systèmes dont il s'agit est égal à r^P,

On devra, en général, supposer que le nombre r est de la forme r*»,/'àS«.-î /'o 7*2, . . . étant des nombres premiers, étalons, suivant le caractère de ce nombre r, il se présente encore d'autres particularités, mais nous ne développerons pas ici ce sujet (*> parce qu'il s'agit uniquement de distinctions prolixes et non de recherches nouvelles. Au résultat trouvé en dernier lieu se ralUchent diverses propositions relatives aux cas où les points de contact de plusieurs courbes de contact sont situés encore ensemble sur une courbe adjointe. Ces propositions sont encore vraies alors même qu'on ne considère pas des courbes de contact d'ordre égal. En effcl, si M' i\ ^'; M", i'', /, ... ; W^\ /-^e), ^(e) désignent les nombres qui correspondent aux différentes courbes de contact considérées ensemble [en sorte que ]\r'^= [p ■+- /x^'J)/*^'^], il suffit

(*) Si un semblable système est formé pur des courbes adjointes d'ordre r — 3 on d'un ordre moins élevé, sa multiplicité peut être supérieure à yu, p — i points seulement ou un plus petit nombre étant déterminés pnr le problème d'invorsion (p-^^; et suiv.). Ainsi, par exemple, il existe, pour une courbe du qualrième ordre C^, s'*'! systèmes distincts de courbes proprement dites G, en nombre simplemeni infini dont chacune a avec G^ quatre contacts du premier ordre; en môme temps se présente le système des droites comptant double, or ce dernier se compose d*un nombre doublement infini de courbes.

(') f'oir Cledsch et Gordam, op. cit., p. 242 et suiv.

LA CÉOHÉTBIB SCB C.NE COCBDB ALGËOniQl'B. 237

que les équations

■^ Pa -♦- i P/* -+-•••-+- -TT P/f •= ^

soient satisfaites pour que les pp-^Y^yS^^ points de contact des courbes ayant respectivement M', M'', . . . , M^?^ points d'intersection mobiles soient situés sur une nouvelle courbe adjointe. On suppose ici que le nombre

peut être fait égal à

hn — 1oiii[t — i),

/i étant précisément l'ordre de cette nouvelle courbe. Nous n'attirerons l'attention que sur un seul exemple des nombreuses propositions qui découlent de cette source.

Pour le cas où M devient égal à/;/', nous obtenons, par les théorèmes précédents, des classes de courbes de contact complètement déterminées, dont aucun point de contact ne peut plus être choisi arbitrairement. C'est ce qui arrive, par exemple, pour n = 4, /j = 3 , 7/1 = 3 ( d'où M = 1 2 ) , /• = 4 7 et nous obtenons immédiatement ce théorème :

// existe 4* = 4096 courbes du troisième ordre ayant en trois points un contact du troisième ordre ai^ec une courbe donnée du f/uatrième ordre sans point double.

Si l'on désigne ici les nombres correspondant aux différentes courbes de contact qui entrent dans les systèmes de périodes P/^ par des indices supérieurs, les points de contact de trois courbes sont toujours situés sur une nouv^elle courbe du troisième ordre lorsque

m)^ H- ni\ H- wJJ -h w^ ^ o ( mod. 4 )>

ù -+- 7/i H- <7a h- 7a = o (mod. 4).

Les courbes du troisième ordre ainsi obtenues se groupent en trois classes. Les courbes de la première classe ont un contact simple aux points de contact de deux des courbes trouvées, celles de la seconde classe ont un contact simple aux points de contact d'une courbe et passent par les points de contact de deux autres,

a38 TOME III. — CHAPlTtB I.

enfin celles de la troisième classe passent par les points de conUct de quatre courbes difiiérentes.

On obtient la première classe en prenant deux fois deux des nombres m, q égaux entre eux, en posant par exemple n^=zni', m"= m^*\(f= y"', y"=: 7^", ce qui entraîne l'existence des équations

!k{m'f,-hm\) = o, 2(y;,-hç;) = o (mod. 4).

La deuxième classe s'obtient en choisissant m"' égal à m'^', et m' et m" difTérentSy en sorte que

m^-hm",,-^ 2wJ = o, ^;,-h ql-h^ql^o (mod. 4).

Au contraire, dans la troisième classe, il faut prendre les quatre nombres m, q tous différents.

A la classe des problèmes complètement déterminés appartient aussi le suivant qui présente une importance considérable pour la géométrie sur la courbe fj ainsi que pour le problème de Tinversion des intégrales abéliennes, mais se distingue des questions traitées jusqu'ici en ce qu'il s'agit à présent de courbes du [n — 3)»«n>e ordre. Nous serons conduits ensuite par la succession des idées à des considérations relatives aux tangentes doubles de la courbe générale du quatrième ordre et à la situation des points a^'^ qui, dans le problème de l'inversion, ont été choisis confonnément à la nature de la question pour limites inférieures de l'intégrale. Il s'agit, dans le problème que nous abordons, de construire une courbe adjointe du [n — 3 )'*'"* ordre, telle quelle ait un contact simple en p — i points avec la courbe donnée d'ordre n et de genre p.

Nos notations précédentes continuant à être observées, les équations entre les intégrales auxquelles conduit ce problème se représentent de la manière suivante, Ra désignant une combinaison numérique entière des périodes (*)

(7) / ^«/»+ / £/«/* + .. .-f- / r/ttA=-R,.

(') Une courbe de cette espèce ayant pour points de contact c^'' est présupposée connue, {f^'oir la note de la page aSo.)

LA GÉOMtTlIB SUH CXB COCRBB ALGÉBBIQUE. ^2g

Le nombre de ces équations est supérieur d'une unité à celui des inconnues. Elles sont toutefois compatibles, car il existe une relation entre les sommes des intégrales ua si leurs points-limites supérieurs sont situés sur une courbe adjointe Cm^s \ ^^ cette relation, comme il a déjà été mentionné plus haut (p. 228), est donnée par Tévanouissement identique de la fonction @(('i • • .^;>), où

les a^'^ désignant encore les points de contact de la courbe C,f 3 qui répond à fx suivant un mode déterminé (p. aaS)^ tandis que fx est quelconque. Or la tangente de fi, ensemble avec la courbe G„i donî les points de contact c^'^ figurent dans les limites inférieures de (7), forme également une adjointe C„^2 qui passe par les autres n — 2 intersections de cette tangente avec y, et, par conséquent, a deux points communs avec la courbe partout où elle la rencontre encore. Il doit donc exister un certain système Qa de modules de périodicité pour lequel, d'après le théorème d'Abel,

Les arguments v^ des fonctions 6 récemment mentionnées deviennent, eu égard à {7),

a 2 Si donc les équations (7) doivent avoir lieu simultanément, il faut qu'il y ait évanouissement de la fonction 0 ( - R^ Qa ) ou

Q(-Pa)> si l'on pose Pa=Ra — Qa> en sorte que P^ désigne

encore un système de périodes. Or, des propriétés de périodicité des fonctions 0 résulte immédiatement ce théorème ( ' ) que la

fonction © I - P^ | s^ annule toujours et en général uniquement

{*) ï'oir Clebsch, loc, cit., § 8, et entre autres auteurs Clebscq et Gobdak, op. cit., p. a6o, Neumak:!, op, cit., p. 87.

240 TOXB 111. — CHAPITRB I.

lorsque ses arguments sont un des systèmes de demi-périodes

pour lesquels la sonune m,^q^-\- m^ 72 -+- • • • "I- ^^p^p ^^^ ^^ nombre impair, c'est -à-dire pour lesquels on a

(10) /Uj^i-i- /n,^j + . . .-4-/Wpgp=:2H-hi.

Il y a donc autant de fonctions ©( -Pa) s'évanouissant que

l'équation (10) a de solutions entières. Pour trouver le nombre de ces dernières, admettons que A~ des nombres m soient égaux à zéro, et que les p — k autres soient égaux à i ; les nombres q qui répondent aux premiers nombres m peuvent alors être zéro ou l'unité, ce qui donne 2* combinaisons. Mais la somme des aulrcî nombres q doit être impaire, c'est-à-dire que l'un d'eux est toujours déterminé par les p — k — i autres. Ces autres nombres peuvent donc encore être choisis de 2^"*"'* manières différentes: autrement dit, il existe, dans ce cas, 2^*"^ systèmes des quantités y. Suivant la manière dont parmi les p nombres m/^ on choisit les  qui doivent être nuls, on a

/j{f} — i). . .{p — Ar -4- 1)

différents cas, et par conséquent en tout

systèmes des nombres m, q pour une valeur donnée de A'. Enfin k peut prendre les valeurs 0,1,...,/? — i ; le nombre total des solutions possibles est donc

C'est là conséquemment le nombre des systèmes Pa des demimodules de périodicité pour lesquels la fonction 0 (- Pa) s an-

nu

le.

LA g£031£tB1E SIA U:<£ CUURBE ALGÉBRIQUE. 2^ I

Nous avons posé Pa= Ra — Qa, Qa étant complètement déterminé par l'équation (8), puisque Qa dépend uniquement des points cf^^ et a^'^. A chacun des 2P~*{iïP — i) systèmes de valeurs Pa répond par conséquent un système complètement déterminé de périodes Ra à l'égard duquel les équations ( 7 ) peuvent avoir lieuy et par suite aussi un système entièrement déterminé de points de contact j^'^ d'une courbe adjointe C«3. Nous avons donc ce ihéorème :

Il existe 2P^* [2P — 1) courbes adjointes du (n — 3y«"»« ordre simplement tangentes à la courbe f= o en p — i points.

Ces courbes se déterminent, si nous résumons les explications précédentes, au moyen des équations

i -=p — i , (n) > / f^l^h-^ I «^"A^-Pa (/' = I,2 p),

dans lesquelles f* et a^'^ ont les significations connues (p. aaS), et qui sont compatibles lorsque les nombres entiers m, q qui entrent dans les quantités Pa satisfont à l'équation (10).

On remarque immédiatement que les équations (11) se tirent des équations (p. 23i)

si l'on fait coïncider un des points j^^'^ avec le point p. Ces dernières équations déterminent d'ailleurs en premier lieu les a'/* — i courbes de contact adjointes du [n — 2)'"™® ordre qui passent par les rt — 2 autres points de rencontre de la tangente de [l si l'une de ces courbes (dont les points de contact sont a^'^) est connue. Mais, comme chacune des courbes trouvées C/,3, tangentes en /; — i points, forme, ensemble avec la tangente de f^, une courbe C,|2 de l'espèce précitée, il n'y aura plus que

courbes G,,a non décomposables dont les points de contact satis-

Clebscq. — Géométrie, III. . 16

2^2 TOME III. — CHÀPITRB k

font aux équations (12). Nous avons par suite le théorème suivant, qui complète le précédent :

Il existe iP^^ (7.P -\- i) courbes adjointes du [n — ^i)''*"' ordre passant par les n — 2 points où la tangente en un point quelconque ft rencontre la courbe /'= o et simplement tangentes à fz=. o en p points.

On trouve les points de contact de ces courbes au moyen des équations (12) en mettant pour les quantités Pa tous les système? de modules de périodicité pour lesquels Téquation (lo) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire pour lesquels

Parmi eux est compris en particulier le système pour lequel m/= </i== o, corrélatif à la courbe tangente aux points a^'^ euxmêmes qui est caractérisée entre les autres courbes C^^j par le choix du système employé de modules normaux de périodicité (p. 29.7, note i). La recherche effective des différents systèmes de points de contact est réalisable par une équation du degré 2^~* (a/*-}- i); mais il est à remarquer que les racines de cette équation peuvent s'exprimer rationnellement par les racines de l'équation du degré 9.p~^[iP — i) dont dépend la détermination des courbes adjointes Cn-9 tangentes en p — i points, ainsi qu'il est enseigné dans la théorie de la division des fonctions abéliennes ('-). De même que les courbes de contact du (n — 2)""* ordre répondant au point f* se répartissent en deux classes complètement distinctes, de mcme tous les systèmes de courbes de contact adjointes qui louchent la courbe primitive partout où elles la rencontrent se séparent en deux classes différentes, et les systèmes de l'une de ces classes sont en relation spéciale avec les 2^""*( a^ — 1)

(' ) Un système de nombres qui satisfait à cette relation est appelé un système de car€ictéristiques pair, tandis que les nombres satisfaisant à (10) forment un système de caractéristiques impair. Gomme nous le verrons pour le cas de p =■ S, il eùiW entre les nombres de ces systèmes d'assez nombreuses relations, qui sont interprétées dans la géométrie par le groupement des courbes C,, et €,,. La théorie des caractéristiques a été particulièrement étudiée par Schott&y dans TOuTrage cité (p. i35).

(') f^oir Clcbsch et Gorda:s op, cit., p. a66 et suîv.

LA GéOMÉTAIE 6CR UNI COCRBB ALGÉBRIQUE. 34 ^

groupes de points de contact des courbes adjointes C/j.s. Supposons en effet qu^une courbe adjointe coupe la courbe primitive, abstraction faite des points singuliers de cette dernière, en M= 2pi points, et qu'une semblable courbe louche la courbe primitive en a^*\ a^^\ . . . a^'^^ ; alors, pour les autres 2.^p — i systèmes de courbes de contact ont lieu les équations

Ryi désignant un système quelconque de périodes. Actuellement nous attribuerons aux nombres entiers qui entrent dans R>^ des valeurs, telles que les équations (7) puissent aussi avoir lieu; il viendra alors, si nous entendons par R^ les mêmes grandeurs dans

(i3)et(7),

Si donc le nombre y^-hp — i -+- ^aii{i — i) est divisible par n (*), les points x^'^ et j^'^ sont encore situés sur une courbe adjointe, ou, en d'autres termes, le groupe des points x^'^ est résiduel du ^oupe des points j^'^ ft. II, p. iSj). Nous avons donc ce théorème :

Parmi les a^f» systèmes de courbes de contact adjointes^ qui sont simplement tangentes à la courbe primitive f en fx points, et ne la rencontrant plus ailleurs, les points singuliers exceptés, il en existe toujours

[|x -f-/? — I -\- 2.aii[i — i) étant égal à hn].

(') Dans le cas contraire, les points x'-'\ j^'^ seraient situés, avec un certain nombre de points fixes, sur une courbe adjointe, et avec ces mêmes points fixes se trouveraient les points a^'' et c^'^ sur des courbes adjointes. Si l'on a /> = -(// — i)(/i — 2 )

et 2^ = mrif il vient A = -(m-h/i — 3); il faut donc que l'un des nombres m, n suit

pair et l'autre impair; si ici ;r( = 2y) est le nombre pair, parmi les a*^ systèmes st compris celui des courbes du v'**"* ordre comptant double.

a44 lOUE III. — CHAPITRE 1.

2P~* [iP — i), tels que le groupe des points de contact de chaqm courbe du système est situé, av^ec les p — i points de contact d' une courbe déterminée faisant partie des précédentes courbes de contact du [n — ^y^"*^ ordre, sur une courbe adjointe d'ordre h Si, au contraire,

l>-'\-p H- 2ciii[i — i) = /in,

il existe parmi les i^p systèmes précités, ainsi qu'on le reconnaît d'une manière analogue, ^p~^[iP-\-\) systèmes, tels que leiws points de contact sont situés, avec les p points de contact d'une des courbes Cn 2 ci^ dessus, sur une courbe Ck-

Si nous prenons, par exemple, n = 4j /^ = 3, les courbes Cfl j relatives à ce cas sont données par les 2^(2' — i) = 28 tangentes doubles de la courbe C4. Que Ton fasse maintenant passer par les points de contact de Tune de ces tangentes doubles un système de coniques ; ces dernières déterminent un système de six points mobiles sur C4, et aux six points de chacun des groupes Gc ainsi obtenus une courbe C3 peut avoir un contact simple. Mais il existe aussi des courbes Cj, tangentes partout en leurs points de rencontre qui ne peuvent être déterminées de cette façon.

Nous nous proposons maintenant d'appliquer les résultats généraux obtenus à la recherche des tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre.

Ainsi qu'il vient d'être énoncé, le nombre de ces dernières, tel au surplus qu'il est connu d'après les formules de Plùcker, est égal à 28. Chacune d'elles sera désignée par la suite (placée entre parenthèses ) des nombres correspondants m, q qui entrent dans les systèmes de périodes P>i des équations (12), c'est-à-dire par

Ces nombres peuvent être o ou i, tels cependant que l'on ail toujours

/Wi^j-f- mj7,-h m3^j==i (mod. 2).

Si donc nous prenons, pour les quantités m, tous les systèmes possibles composés des nombres o et i, le système o, o, 0 seul excepté, et que nous déterminions, conformément à l'équation pré-

LA GÉOMÊTBIB 8CB UNE COURBB ALgAbRIQCE. 24b

cédente, les quantités correspondantes 9, nous obtenons les vingthuit tangentes doubles dans le tableau suivant :

On peut considérer m tangentes doubles de cette espèce comme une courbe de contact adjointe décomposable de Tordre 77? ; suivant que Ton choisit le nombre m, il résulte alors immédiatement des théorèmes généraux qui précèdent une série de théorèmes sur la situation respective des tangentes doubles, dont la plupart ont été trouvés par Hesse et Steiner par voie algébrique (*).

(*) Voir Hessb {^Journal de Crelle, t. 49, 55 et 59; Steiner, ibid.^ t. 49, et Cayley, ibid,^ t. 68). Des démonstrations algébriques d'autres propositions sur les tangentes doubles, publiées sans démonstrations par Steiner, ont été données par Clebsch : Ucber die Ànwendung der AbeVschen Functionen, etc., § 10 {Journal de Crelle, t. 63); des démonstrations géométriques Tont été par Geiseb {Journal de Crelle, t. 73). Le dernier paragraphe de ce dernier Mémoire doit être corrigé d'après une note de Fraqx. {Math, yinnalen, t. VU, p. 635.)

D'après une remarque précédente (note i de la page 24^), la théorie des tangentes doubles est étroitement liée à ce qu'on appelle la théorie des caractéristiques paires et impaires, pour /» = 3. Riemann s'en était aussi occupé; mais ses recherches n'ont été publiées qu'après sa mort {Gesammelee Werhe, Leipzig, 1876, p. 456); une étude détaillée des caractéristiques a été donnée par H. Weber dans l'OuTrage cité (p. i35).

Une question d'une autre espèce est celle de la réalité des tangentes doubles. Déjà Plûcker avait montré qu'elles peuvent être toutes réelles, (^oir sa Théorie des Courbes algébriques). Toutefois ses résultats numériques ne sont pas tous corrects. Une exposition complète de tous les cas qui peuvent se présenter (comme en général de toutes les formes possibles d'une courbe du quatrième ordre) a été donnée par Zeutbbn {Math, Annalen, t. Vil, p. l\io). Sur la connexion de ces théories avec celle des vingt^sept droites sur une surface de troisième ordre, voir Geiser {Math. Annalen, t. 1, et Zectubn, ibid., t. VIII). On trouve un résumé des dilTérentes méthodes d'exposition dans Salmom, Higher plane curves, art. 25i etsuiv. Nous avons déjà fait observer, dans la note de la page 64 (t. Il), que l'on peut, d'après Hesse, obtenir une courbe du quatorzième ordre, déterminant par ses intersections avec C4 les cinquante-six points de contact des tangentes doubles.

En partant de la théorie des intégrales abéliennes, et en étudiant la réalité de leurs périodes et la fixation de leurs intégrales normales, Kleix a été conduit àdéter-

'j46 tome III. — CHAPITIE I.

Nous considérons d'abord les cas les plus simples où m = 2 el m= 3.

Il existe (p. 284) a* — i = 63 systèmes de coniques (*) qui touchent C4 en quatre points. Une semblable conique de contact, le système de périodes qui la concerne étant déterminé par les nombres ^i», Wo, ma, y,, ^2, ^3 (avec la seule condition que les noml)res m, q ne soient pas tous égaux à zéro, ces nombres pouvant du reste prendre toutes les valeurs o et 1), se décompose toujours en deux tangentes doubles

lorsqu'on a, en même temps [i = 1 , 2, 3),

(l4) w; -t- m' =H /W/, q^-^q]^qi (mod. 2),

en supposant (toujours pour le module 2)

l5] /Wj*7j-4-/72,<72-f-/W3^3=i, m^q^-Jt-m^q^-^m^q.,^\,

Il faut ici, ou bien que les nombres q ou bien que les nombres m ne soient pas tous nuls. Nous admettrons que l'un au moins des nombres q^j q^ soit différent de zéro (au cas contraire, il suffirait, dans la détermination suivante, de permuter les nombres q avec les nombres m). Alors, en premier lieu, les équations (i4) montrent que, pour des nombres donnés qij les nombres q\^ 7Îpc"" vent être choisis de six manières différentes. Il existe, en effel, généralement huit combinaisons qui satisfont aux équations cidessus; mais de ces dernières il faut retrancher les deux dans lesquelles tous les nombres q' ou tous les nombres q" sont nuls, ce qui ne peut se présenter d'après notre tableau. Ces six manières donnent trois couples de systèmes q\y q]^ parce que deux combinaisons du même couple ne diffèrent que par permutation des (f avec les q" , Or, dans chacun de ces couples, il y a au moins un

miner les caractéristiques qu'il faut attribuer à une tangente double donnée, si la courbe est supposée donnée par une figure, et à indiquer les syslèmes de coniques réelles qui touchent C^ en quatre points {Math. Annalen, t. X, p. 365, et t. XI, p. 293 ). La méthode suivie par lui est analogue à celle dont nous ayons parlé poor les courbes C, où ^ = i (t. Il, p. 369).

(') II faut, en effet, retrancher des soixante-quatre systèmes trourés d'abord celui des droites qui comptent double. {Voir la note i de la page 236.)

LA GÉOMÉTRIE SUR UXB COUROB ALGÉBBIQUE. 2^'}

couple de nombres ^', y'' différents entre eux et qui ont conséquemment les valeurs o et i, de sorte que les nombres d'un autre des trois couples doivent être i et o ou i, i (car autrement tous les nombres g devraient être nuls, ce qui est exclus par hypothèse). Il existe donc un nombre y' et un nombre ^/'à indices inférieurs différents qui sont égaux à i. Actuellement si Ton détermine les nombres m qui répondent au troisième indice inférieur de telle manière qu'ils satisfassent à l'équation (i4) (ce qui peut avoir lieu de deux façons différentes), les autres nombres m se déterminent successivement au moyen de (i4) et (i5). A chacun des trois couples q\ q^ correspondent donc deux couples m', m"; autrement dit, on a ce théorème :

Dans chacun des irente-six systèmes de coniques de contact figurent six couples de tangentes doubles.

Comme, pour deux couples appartenant au même système, la somme de tous les nombres m/, ainsi que la somme de tous les nombres ^/, est constamment paire, on a encore ce théorème (qui est d'ailleurs un cas particulier d'une proposition donnée, p. -232) :

Les points de contact de deux couples appartenant au même système sont situés sur une conique ( * ) .

(«) Soient

M«'=rO, Vf^=.0, »VW''= 0

les équations de trois couples de tangentes doubles du même système. Par les points de contact du quatrième couple de ce système et par les points de contact de chacun des trois couples précités, on peut faire passer une conique. On obtient ainsi trois coniques 9, = 0, ^,= 0, a, = o qui appartiennent au même faisceau, en sorte que

A, ff , -f- A, y, -H A, g-, = o.

Les quotients ^itti' : ^ww" et ^vv' ; ^ww' deviennent respectivement aux mêmes points que les quotients v, : r, et r, : 9, nuls ou infinis du premier ordre; en déterminant convenablement les constantes, on peut donc poser

et il existe par suite entre trois couples du même sjrstème une équation de la forme

Aj yfûï? -h A, yjvv' -\- h^s/ww' = o.

Il existe de même; entre trois coniques de contact quelconques S| = o, S,-= 0, S,= 0,

2\B TOME III. <— CBAPITRB I.

Le nombre des coniques ainsi obtenues est égal à celui des soixante-trois systèmes multiplié par le nombre i5 des combinaisons de six. couples deux à deux et divisé par trois, parce que chaque groupe de quatre tangentes dont les points de contact sont situés sur une conique peut être décomposé de trois manières en deux couples, en sorte que chaque conique se présente trois fois. On trouve ainsi que le nombre de ces coniques est égal â 3i5. Ce qui précède permet immédiatement de grouper les tangentes doubles qui leur correspondent respectivement.

De plus, il existe soixante- quatre systèmes de courbes du troisième ordre qui touchent chacune la courbe du quatrième ordre en six points (p. a34)« Les intégrales qui correspondent aux points de contact satisfont alors toujours aux équations

du,, -{' f ^«,, -H ... H- I i/uf, = - R;, ;

et les soixante-quatre systèmes se séparent, ainsi qu'il a été indiqué, en deux classes suivant que le système de périodes R^i figure aussi en même temps ou non dans les équations (7)

du,, -h I rfi//,= -R/„

c'est-à-dire suivant que, dans le système P>i=RA — Qa qui se présente dans (11), on a Smy ^ i (ce qui arrive vingt-huit fois), ou Swy E£= o (mod. 2) (ce qui arrive trente-six fois). On a, en conséquence, la proposition suivante [voir p. a/f^ et suiv.) :

Parmi les soixante-quatre ^systèmes de courbes du troisième ordre, ^nngt-huit ont la propriété que dans chacun d'eux les six points de contact de chaque courbe sont situés sur une conique^

faisant partie du même système, en vertu do/= o, une identité de la iorme

(voir aussi Hkssb, loc, cit.). Nous reviendrons, à l'occasion du connexe [i, a], sur les recherches de Aronhold, qui sont liées à celles-ci.

Les rapports ^u : ^w , ^v i y/tv sont alors des fonctions abéliennes dans le sens de Riemann {voir Roca, Journal de Crelle, t. 66, p. io5, et les Ouvrages de RiEMmt Weber et Klein que nous venons de citer, ainsi que la note ci-dessus, p. 23a).

LA GÉOMÉTRIE 8CK CNE COOBBB ALGÉBRIQUE. ^49

laquelle passe encore par les points de contact d'une tangente double déterminée; cette tangente double est toujours la même pour le même système. Les points de contact des courbes des trente-six systèmes restants ne sont pas situés sur une conique ai^ec ceux d'une tangente double»

Mais, d^autre part (p. a34)y les deux classes ont la propriété commuDe que les points de contact de deux courbes du même système sont situés sur une courbe du troisième ordre.

Les trente-six systèmes, dont la seconde classe est formée, et dont chacun est au surplus triplement infini, parce que, pour chaque courbe, trois points de contact restent encore arbitraires, sont en relation spéciale avec les trente-six systèmes simplement infinis de coniques tangentes en trois points et passant par les deux points de rencontre d'une tangente quelconque de f. En effet, chacune de ces coniques réunie à la tangente forme également une courbe C3 tangente en six points; seulement, en deux de ces points (les points de rencontre de la tangente choisie), le contact est un contact improprement dit, parce que C3, aux points dont il s'agit, a des points doubles. D'après cela, on reconnaît immédiatement l'exactitude de la proposition suivante : Chacun des trente-six systèmes de courbes de contact du troisième ordre qui n^ont pas, avec les tangentes doubles, la relation caractérisée dans ce qui précède renferme un sj stème simplement injîni de courbes dont chacune se décompose en une tangente de fet en l'une des trente-six coniques répondant à cette dernière. Ces coniques, pour le même système de courbes C3, appartiennent toutes à un même système de courbes C2. — Les six points de contact de chaque courbe d'un système de courbes Cj, les trois points de contact de chaque conique faisant partie du système correspondant, les deux points de rencontre de la tangente précitée et le point de contact de cette dernière sont encore situés sur une courbe C3 (* ).

Aux systèmes de courbes C3 considérés ici appartiennent aussi les quatre mille quatre-vingt-seize courbes du troisième ordre précé-

(') Uo théorème entièrement analogue a naturellement Heu pour les courbes de contact adjointes d'ordre n — 3 relatives aux courbes d'ordre n et de (;enre/i. (Comparer p. 2'|3.)

3J0 TOME ni. — CHAPITRE I.

demment mentionnées qui ont, avec C4 en trois points, un contact du troisième ordre (*), les six points de contact étant ici réunis par couples (p. 287 ). On a, en effet, pour ces courbes,

O^jil) /vit. ,r<8. \ ^

da,, H- / 6?//A -h / flu,, ) ^ -Ra;

chacune d'elles fait donc partie du système de courbes de contact auquel appartient le système de périodes Ra. Mais réciproquement de cette équation résulte

du,, -h / du,^ -h / du„=ii 7R/, -f- -Ra,

les nombres m, q dans Ra et R^ ne pouvant actuellement acquérir que les valeurs o et 1 . En conséquence, si l'on a disposé des Ra, les R^ peuvent encore être choisis de soixante-quatre manières différentes. Donc, dans chacun des soixante-quatre systèmes de cubiques de contact, il y a soixante-quatre courbes ayant en trois points un contact du troisième ordre. Cela concorde avec ce fait que (p. aSi) par deux points quelconques d'une courbe C| on peut faire passer soixante-quatre coniques tangentes à C* en trois points. Or si l'on fait passer ces coniques par les points de contact d'une tangente double, leurs points de contact à elles sont en même temps ceux où une courbe C3 peut avoir avec C4 trois contacts de troisième ordre (p. 248). On obtient ainsi les 28.()4 courbes de contact qui appartiennent aux vingt-huit systèmes mentionnés, mais on voit qu'il existe encore 36.64 courbes de contact aux points de contact desquelles une conique qui passe par les points de contact d'une tangente double ne peut pas en même temps toucher C4. Ces exemples suffiront pour signaler le caractère des propositions qui se présentent ici. Nous pouvons résumer ces dernières dans le théorème plus général qui suit :

Jl existe soixante-trois systèmes de courbes de l'ordre 2m et soixante-quatre systèmes de courbes de l'ordre 2 m -h i simple-

(' ) L*équation du de{jré 4° = 4^96, dont dépend la détermination de ces courles a été étudiée par C. Jordan, Traité des Substitutions, p. 3o5.