LA GÉOMÉTRIE 8CII C.IE COCRBB ALGÉBRIQUE

ment tangentes à la courbe C4 aux points où elles la rencontrent . Et ces derniers se partagent en deux groupes, l'un de vingt-huit^ l'autre de trente-six; les points de contact de toute courbe des vingt-huit systèmes du premier groupe sont toujours situés, en même temps que les points de contact d'une tangente détermince parmi les vingt-huit tangentes doubles, sur une courbe d'ordre m -h I , tandis que rien de semblable ne se produit pour les trentesix systèmes du second groupe. Mais tous possèdent la propriété que les points de contact de deux courbes du même système sont situés sur une courbe du même ordre.

On peut aisément passer de ces théorèmes à la discussion détaillée des cas où les points de contact de six, huit, . . . , tangentes doubles sont situés sur des courbes C3, Ci; divers théorèmes relatifs a ces cas ont également été établis par Hesse et Steiner. Nous nous contenterons ici de donner un exemple qui se réfère à des propositions d'un autre caractère. Suivant ce qui a été dit p. 236, il existe 3" — 1 = "jaS systèmes de cubiques ayant un contact du second ordre avec C^ en quatre points. Entre les intégrales ont lieu ici les équations

c'M Jc^r Jci> «//;'*) ^

dans lesquelles le système des Pa, étant admis que les points c^'^ soient les points de rencontre d'une droite quelconque avec C4, ne doit jamais s'annuler, parce qu'autrement G3 se composerait d'une seule droite comptant trois lois. Si Ton considère ici une courbe appartenant à celui des autres systèmes dans lequel aP^ se présente toujours à la place de P^, et qu'on ajoute les équations qui répondent à une semblable courbe aux précédentes, on trouve que la somme des intégrales analogues est toujours congruente à zéro. Les sept cent vingt-huit systèmes précités se partagent deux à deux en trois cent soixante-quatre couples, tels que les points de contact de chaque courbe de l'un des systèmes et ceux d'une courbe du système correspondant sont situés sur une conique.

On peut aisément établir une foule de théorèmes semblables pour les courbes de cet ordre et des ordres supérieurs.

Dans les problèmes que nous venons de traiter, il s'agissait toujours de plusieurs contacts d*un même ordre. Or on peut généraliser ces recherches d'une manière remarquable en se proposanl le problème suivant :

Déterminer les limites supérieures x^'^ de telle Tnanière qu'elles satisfassent aux p équations

dans lesquelles les quantités q^ désignent des nombres enliers positijs (^ i) et Vh des quantités données arbitrairement.

C'est évidemment ce problème qu'il faut résoudre pour trouver les courbes d'un système linéaire qui sont adjointes ày*=o, el qui touchent cette dernière en /; points où elles ont avec elle des contacts des ordres y, — ï, yo — *? •••> qp — 1 respectivement. C'est encore par la théorie des fonctions 0 que l'on peut aborder cette question (*). Nous nous bornerons à indiquer les théorèmes suivants, auxquels on est conduit par ces recherches :

Dans un sjstème de courbes adjointes d'ordre m (>/i — 3) qui dépendent de

A"! qi -4- X'4<7, -h . . . + /"a^* — A'i — ^i ~ • . — ^'9

paramètres linéaires et qui coupent la courbe f= o en des systèmes de

points mobiles dont p sont déterminés par les autres, il j a

courbes dont chacune a avec f=o en ht points des contacts (*) yoir le Mémoire de M. Lixdemanni cité t. II, p. 17^61 &uir.

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d'ordre q^ — i, en h^ points des contacts d'ordre q^ — i, ..., en h, points des contacts d'ordre q^ — i .

Si tous les nombres /r< sont égaux à Tunité et que a soit égal à /?, ce nombre devient en particulier égal à

q\q\ . . 'qlp{p — ^)[p — 2) ... 3.2. 1.

Si au contraire ki=p^ A-2= /tj . . • = A*„= o, q^ = </, le nombre des solutions devient égal à q^Py et, en effet, dans ce cas le problème n'est autre que celui de la division des fonctions abéliennes (p. 23o). Aux théorèmes sur le groupement des solutions de ce dernier correspondent, dans notre généralisation, des théorèmes analogues qui se réfèrent au groupement des diverses solutions dans le cas où tous les nombres qi sont divisibles par un facteur commun.

Le résultat énoncé n'a plus lieu si les courbes proposées sont de Tordre n — 3 (ou peuvent être remplacées par des courbes d'ordre n — 3 d'après le théorème du reste). On parvient ici au théorème qui suit :

Lorsqu'il n'y a que p — Ç points entre les intersections mobiles des courbes adjointes du système linéaire propose qui soient déterminés par les autres^ et que l'on suppose, pour plus de simpUcitéy les nombres qi tous différents entre eux, le nombre des courbes demandées devient égal à

— 57iVï • • • iApIp — i) ...{/> — ff -4- 2)27i7, . . . 7<r-i

expression ou l'on a désigné de La manière connue par ^q\q2 . . . qi la somme de tous les produits à i facteurs dijfférents que Von peut jormer avec les a nombres qi.

Ce nombre doit être divisé par i , 2, 3, . , . ,k, s\k des nombres qi sont égaux entre eux. Pour k = tjy m = n — 3, ^ = i , a =: p — i ,

^/= 2, on retrouve ainsi le nombre 2^~* (a/* — i) des courbes C/i 8 qui ont avec /= o en p — i points des contacts simples

(p. 243). Pour/r=2, m = I, pz=-[n — i)[n — 2), \ = p — /1 + 2,

(7=2, r/, = ^2=2, le nombre en question devient égal à

-«(/i — 2)(/ï^ — 9), qui est en effet celui des tangentes doubles

(t. II, p. 64).

X. — L'évanonissement de la fonction e. Observations sur le théorème

de Riemann et Roch.

Nous avons déjà fait remarquer précédemment (p. 228) que la fonction ©(('i, ç^,, , . ,,Vp) dont les /; arguments sont définis par (')

s'évanouit indépendamment de Ç si les points x^'^ sont situés sur une courbe C„3 adjointe à f=^ o, c'est-à-dire si la courbe Cn^j déterminée par p — i des points j:^'^ renferme aussi le />*^"® point: en d'autres termes, nous avons mentionné ce résultat qui s'obtient pour \ = x^'^ que la fonction 0 s'évanouit toujours si ses arguments sont de la forme

les points j:^*^,.r^^^, . . ., x^p^^"^ pouvant alors être complètement arbitraires. Ce cas est un premier exemple du fait que les relations algébriques entre les systèmes de points d'intersection de courbt\> adjointes C„s peuvent s'exprimer de la manière la plus simple lorsqu'on a recours aux fonctions transcendantes 0. Parle développement ultérieur de cette remarque on peut aussi obtenir toute cette catégorie de propositions relatives aux courbes adjointes C«-j que nous avons précédemment traitées en nous rattachant au théorème du reste, et qui nous ont en particulier conduits à ce

(*) Pour la signification des points /x et a^*'), voir p. aa5 et 3/{i