LA GÉOMÉTRIE 8CB UNE COCRBB ALGÉBRIQUE

que l'on appelle le théorème de Riemann et Roch. L'ex.ainen de cet ordre de faits va nous occuper maintenant.

L'introduction des fonctions 0 dans les théories dont il s'agit repose, d'après ce qui précède, sur la solution du problème de rinversion qu'elles permettent précisément d'obtenir. Mais on peut aussi aborder ces théories d'une autre manière, savoir par l'intermédiaire des intégrales de deuxième espèce, et à ce mode de représeqjtation on peut rattacher de même une étude des groupes spéciaux et des systèmes spéciaux. Nous insisterons d'autant plus volontiers sur ces dernières méthodes que jusqu'ici nous n'avons pas encore trouvé l'occasion de nous occuper d'une manière un peu approfondie des intégrales de deuxième espèce.

Si nous parvenons ainsi, à l'aide de l'algorithme simple que met à notre portée la théorie des intégrales abéliennes, à traiter les questions énoncées d'une façon plus directe que nous n'avons pu le faire par voie purement algébrique (par exemple dans le théorème de la p. 143, t. II, où nous n'avons fait que conclure de ^ à ^-l-i), si, d'autre part, c'est historiquement par la première marche que l'on a été conduit d'abord à poser et à résoudre le problème signalé plus haut, on doit néanmoins beaucoup apprécier l'intérêt capital que présente par elle-même une démonstration purement algébrique de propositions algébriques. Les recherches suivantes ne sont donc pas destinées à remplacer les démonstrations précédentes dont nous parlons, mais seulement à éclairer une autre face du problème offert par cette manière de poser la question. On peut d'ailleurs observer que la théorie des fonctions transcendantes n'a pu jusqu'ici être employée par nous à indiquer le nombre des groupes ou des systèmes spéciaux possibles d'une espèce déterminée tandis qu'auparavant nous avons réellement effectué des déterminations numériques de cette sorte, au moins pour des cas particuliers, à l'aide de l'extension du principe de correspondance (p. 106 et suiv. et p. ii3 et suiv.).

Le fait que toute famille spéciale g\^\ c^ est-à-dire toute famille pour laquelle (p. 49)

peut former les intersections de courbes adjointes du [n — 3)''^'"'^ ordre, s'établit de la manière suivante. Considérons d'abord un

a56 TOMB m. — chapitre i.

groupe de points dans lequel p — i points seulement (et non p] sont déterminés par les autres. Alors, parmi les p équations du problème d'inversion

duh -h I rf«/,4- . . . -f- / dtif^ = «•/,,

OU parmi les équations différentielles correspondantes

l'une doit être la conséquence des autres; ou, en d'autres termes, on doit pouvoir déterminer des constantes c^*\ c^^\ . . . , c^p\ telle> que Ton ait

(2) Cjyt[a:(')] 4- c,9),[.r(0] -+....-+. r,,(p,,[j:(0] =0.

Mais CCS p équations n'expriment précisément pas autre chose que ce fait, savoir que les points x^'^ sont situés sur la courbe de degré n — 3 I C| Çi 4- . . . -h Cp^p^=' o- Si, en effet, parmi les points d'un groupe le nombre de ceux qui sont déterminés par les autres esl moindre encore (précisément comme dans le cas de y ^ Q — ;; -H 1 !? il faut nécessairement que plusieurs des équations (1) soient la conséquence des autres, et Ton sera semblablement conduit à un plus grand nombre de relations de la forme (2). Mais ces dernières expriment toujours que les points en question (conjointement avec les points fixes d'un groupe résiduel) sont toujours siluts sur différentes courbes adjointes C/,8, et peuvent en conséquence être déterminés par une famille linéaire de courbes de celte espèce, ainsi qu'il a été énoncé.

Nous effectuerons d'abord la démonstration du théorème de Riemann et Roch au moyen des fonctions 0 dans quelques hypothèses particulières. Le cas le plus simple est celui où par /)— i points x^^\x^^\ . . ,yX^P~^^ passe encore un nombre simplement infini de courbes C^.s (*). Alors ces points sont tous situés conjointement avec un^**™® point quelconque z def sur une courbe

(* ) On a par conséquent Q = R =/» — i, r = i, et il en résulte aussi y = i. car on a toujoars Q-f-R = 2/> — a, Q — R = ay — ar {voir p. 35 et 01 ).

LA QÈoutnn sca umb cocrbb ALCiBiuocs. a37

Cy,s, c'est-à-dire que, d'après un théorème cité eu commençant, existe indépendamment de z et ^ la relation

(3) e( y I dii^H- I du^— I fltt„]=o.

D'un autre côté, suivant le théorème d'Abel, comme la courbe Cii.3 complétée par la tangente de fjt forme une courbe C,,2i on a, en désignant par j^^\j^^\ . •MJ^^^"*^ lesp — i autres points d'intersection d'une autre courbe C/i.s passant par les points x^^\

(4) > / dun-^ y I dUf.'^if rfi/,,= o.

Les arguments de la fonction© qui intervient dans (3) deviennent donc égaux à

— > / dtt^-^ l du^^ l du,, — 2 / dUh

' = ^-' -Hi)

= — \ / du,,— I du,,-h I du,,.

De l'équation (3), par suite de ce que 0 est une fonction paire de ses arguments, résulte donc, indépendamment de Ç et z, cette autre relation

e( \ 1 du,,-^ 1 du,,— I du,, ] = o,

laquelle exprime qtte les p — i points j'^'^ sont situés ensemble^ avec tout point quelconque Ç dey, sur une adjointe Gn s, c'està-dire que par les points j^^^ passe encore un système simplement infini de courbes C/i^j; or c'est là le théorème trouvé page 35.

Un autre exemple nous sera fourni par le cas de Q ==;? (d'où R = p — 2), r=i, dans lequel par p points jr^ *^ j:^*\ . . • , x^p"^ passe encore un nombre simplement infini de courbes C/2 8. Alors tout groupe de p — i de ces points x^'^ est situé, ensemble avec

C^«9«ai» - Géométrie, \\\, I7

a58 TOMB m. — crapiteb i*

tout point quelconque ^ ( * ), sur une courbe C/i a, c'est-à-dire que nous avons les p relations

/ dUf,^ \ dii^^ / du^\ = o

(Xl = l, 2, 3, . . .,/?),

rindice k ajouté au signe sommatoire étant supposé indiquer que dans la somme le terme correspondant à Tindice i=^k doit être négligé. Si les points j^^*\ .. .,^^/'~*^, parmi lesquels on doit d^ailleurs négliger j^^*^, sont les p — 2 points résiduels par rapport aux.rf'^, nous pouvons ici, d'après le théorème d'Abel, remplacer l'équation (4) par la suivante

(6) y / ^//A-4- y / du^-h / du^-h du^=o.

Les arguments des fonctions 0 qui figurent dans (5) deviennent par suite égaux à

'"^rï" AT"' r^ rf^ /•/* rÇ /•■'*'

— y I du;, -h I dUf,— I du;,— I du;,— j du,,— ] du,

■•^(i) /»Ç px\k\

— — > / du,,— I duj,— \ du;,-h I du;,.

Les équations (5) expriment donc aussi que par les p — 2 points y^'^, par l'un des p points x^'^ et par un point quelconque (, on peut faire passer encore une courbe C„3 ; conséquemment par les points j^^^ passent p faisceaux différents de courbes C/,.i et par suite aussi une famille au moins doublement infinie de courbes de cette espèce. On reconnaît, en reprenant le même raisonnement en sens inverse, que la multiplicité de cette dernière famille ne peut non plus être supérieure à 2. Nous avons donc y = 2, ainsi que l'exige le théorème de Riemann et Roch.

■ (') On suppose naturellement ici qu'il s'agit uniquement do points de/= 0. {f^oir l'étude'algébrique de cet exemple, p. 43 et suiv.)

LA GAOMÉTIUB ftUB DMB COOaBI ALGÉBRIQUE.

Pour effectuer la démonstration générale, posons

Q = /> — H-p, doù K = p — I — />.

Par les Q points x^^\ x^^\ . . . , x'^ doivent, par hypothèse, passer des courbes C,i i en nombre r fois infini, c'est-à-dire que tous les déterminants k p — r dimensions doivent sWnuler dans le tableau ( * ) :

yp(x(Q))

Mais l'évanouissement de ces déterminants exprime précisément que p — /' quelconques des Q points x^^^ sont situés avec r points arbitraires sur une courbe adjointe C/2^3. Les relations dont il s'agit sont donc aussi représentées par le système d'équations qui suit (*) :

OÙ les indices Arj, /rj, . . .,Âr;.^i qui affectent le premier signe sommatoire sont censés indiquer que dans la somme les termes répondant aux valeurs i = /ti, Arj, . . . , ^r+p-i doivent être négligés, en sorte que la somme ne se compose plus que de

termes; la notation 2**** désigne d'ailleurs r points quelconques. Dans ces équations, la distribution des limites inférieures a^'^ par rapport aux limites supérieures x^^^ est encore très arbitraire. Pour nous affranchir de ce caractère arbitraire, et pour pouvoir donner à la notation une tournure plus simple, nous iû- * .• troduirons comme limites inférieures toujours le même point jùt et,

(*) Foir p. 53. Il faut remplacer alors dans ce passage R par Q, q par r, e par

(') Parmi les équations représentées par l'éTanouissement du déterminant précité, (/•^i](Q — p^r-^i) seulement sont indépendantes les unes des autres (p. 56) et, corrélativement, les relations en S établies ici dépendent encore aussi les unes des autres. Le fait qu'inversement les relations (7) sont également suffisantes pour entraîner Tannulaiion de tous les déterminants à ^ — r dimensions du Tableau précédent se reconnaît aisément. . . .

36o TOMI III. — CBAMTM I.

en outre, des constantes K^ définies par (*) Les équations (7) se transforment alors en

(®^ **( 51 r ''''* "^^ r */«* + ka - r du^ )=o.

Désignant ensuileparo:^^"^*', .r^û-^»)^ . . . ^ j^iq+ri \q groupe des R points résiduels des points x^'^, on a, d'après le théorème d'Abel,

vr

Les arguments de la fonction 6 (8) se transforment donc en

Or, comme en toute hypothèse r est inférieur à R, nous pouvons, dans ces formules, faire coïncider r — i des points z^^*' avec /■ — I quelconques des points x^^''\ poser, par exemple,

Si nous écrivons ensuite, pour abréger, z au lieu de z'**"', Téquation (8) devient

D'autre part, nous aurions pu aussi, par exemple, faire coïncider ^(*i) avec j:^**^ et non avec x*^**^, changement qui laisserait l'équation (9) invariable pour le reste ; seulement, dans la première intégrale de la seconde somme, interviendrait la limite supérieure

(*) Ce sont là les constantes désif^iiées dans Riemanx, iœ. cit,, § 22, par ^ji. {^'>"' les notes des p. 226 et 22-],)

LA CÉOMtTBIB BQft UNE COMBE ALGÉBKIQCB. O^ï

j;(Q-»-*i*, Or, comme les points x***' ont été choisis à volonté parmi I«s Q points x^'*^, l'équation (9) subsiste alors même qu'où choisirait un autre de ces points pour x^^*' ; le point <lont il s'agit doit seulement n'être pas compris parmi les points x^**^, x**»*, . . . , x(*r^-p-i). On peut donc prendre, pour x^'\ Q-r-r, — p-H-a = /; — r-f-i autres points x^'^ et aussi, d'après la remarque que i^ous venons de faire, chacun des R points x*^*^ Considérée comme fonction de x^^'^, la fonction 0, qui figure au premier membre de (9), s'évanouit en conséquence pour R-4-;?+i — r= np — r — p valeurs différentes de x***^ Comme actuellement R est toujours supérieur à /•, on a aussi

p — I — p — r>o, ou

Donc, comme fonction de x^**\ la fonction 0 s'évanouit pour plus de p valeurs de x^*»^ et par conséquent ( * ), en général, indépendamment de x^*'^ Un fait analogue a lieu pour x^**\ . . :,x(*'h^-0; en désig:nant donc par z^*^, z^^\ . . . , z^'^', $ points quelconques def, on aura toujours l'équation

laquelle exprime que par R — /• -+- 1 points quelconques du groupe résiduel Gr passe encore une famille r -f- pfois infinie de courbes Cn 3- Or on a R — r4-i = ;? — r — p\ si donc y^^\ . . . ^j^-"^^ sont n'importe lesquels des R points x^^*\ on aura toujours l'équa-

(') Voir RiEMANN, loc. cic, § 22, ei Ueber dos yerschwinden der Q^Functionen, § 2 {Journal de Crelle, t. 65). Les considérations présentées dans le § 3 de ce dernier Mémoire, sur quelques cas particuliers des systèmes spéciaux, concordent au fond arec celles du tekie; la dififérence dans Teiposé est uniquement causée par le choix différent des limites inférieuréa. D'après les § 4 et'suîvants du Mémoire cité, le cas où la foDction 0 s'évanouit, indépendamment de certaines parties de l'argument, peut toujours se ramener à l'évanouissement de toutes les dérivées d'un ordre déterminé prises par rapport aux arguments.

Toai ui. — aurmi i.

tion

fp(jrc))

fp(z('H^))

car aatrement il faudrait qu'il existât une relation linéaire entre les fonctions cp^, ce qui serait en contradiction avec un théorème connu. En d'autres termes, il y a évanouissement de tous les déterminants mineurs d'ordre r + jo de la matrice (dans laquelle

Cela veut précisément dire que par Tensemble des R points de Gj passe encore un système r + p fois infini de courbes C„j (p. 54). Les groupes spéciaux, dont l'un était donné comme groupe Gq, forment conséquemment eux-mêmes un système spécial g^^\ où

ou

afy-'-l^Q-R,

ce qui est de nouveau Téquation du théorème de Riemann et Roch. On reconnaît encore que q ne peut pas être supérieur à r-^p en observant que la même marche de démonstration peut être suivie dans Tordre inverse ; la supposition y = r -f- p -f- 1 conduirait donc au nombre r -f- i au lieu de r pour la multiplicité des groupes Gr.

Une autre démonstration de notre théorème fondamental se rattache, ainsi qu'il a été -mentionné, à la représentabilité des fonctions algébriques par des intégrales de deuxième espèce (')•

(*) Fo/r RocB, Ueber die Anzahl der willkurlichen Conttanten in algehraisckf»

LA GtoMÉTBIB 8CR UKB COCRBB ALGÉBBlQCE. )63

Nous énoncerons d'abord le théorème à démontrer sous une forme un peu différente.

La multiplicité des groupes Gr résiduels d'un groupe donné Gq peut être définie algébriquement ainsi qu'il suit. Faisons passer par Gq une courbe adjointe quelconque tp = o qui découpera le groupe Gr sur f\ par ce dernier groupe menons une autre courbe du même ordre, ^ = o, qui peut d'ailleurs elle-même

être complètement arbitraire. Alors X = y est une fonction algébrique qui devient infinie aux points Gq, et la multiplicité q du système g)^^ qui répond au même résidu Gr est évidemment inférieure d'une unité au nombre des constantes arbitraires dont on peut encore disposer dans la courbe j^ = o si aucune autre condition n'est imposée à cette dernière que celle de passer par les points du groupe Gr et d'être adjointe à y. Mais on verra, en examinant la chose de près, que ce nombre dépend du nombre r -h i des adjointes Q*n-% linéairement indépendantes les unes des autres que l'on peut faire passer par le groupe Gq. Le théorème que nous avons à démontrer est donc le suivant :

Si une fonction algébrique X devient infiniment grande du pre^ mier ordre en Q points Gq, et qu'en ces Q points puissent s^ésfa^ nouir /• -h i fonctions ^{x)^ entre lesquelles n'existe aucune rcla^ tion linéaire [en d^ autres termes, s* il passe par Gq un système rfois infini de courbes C/|3 ), i renferme le nombre Q — p 4- /' -h 2 de coefficients arbitraires ( c'est-à-dire que le groupe Gq appartient à un système q fois infini, pour lequel ^==Q — p-h/'H-i).

Pour la démonstration, nous représenterons la fonction X sous une autre forme. Une fonction qui devient en Q points x^^\ . . . , x'^ algébriquement infinie du premier ordre est évidemment donnée par une somme de Q intégrales de deuxième espèce, dont chacune devient infiniment grande en Tun des points x^^^ (p. 171), ot à cette somme on peut encore adjoindre des combinaisons

Funetioncn {Journal de Creîle, t. 64, p. 372), et, pour le cas le plus simple, Uieiia3(x, loc. cit., § 5. C'est encore sur cette repréeentabilité que repose la démonstration du principe de correspondance de MM. Bbill et Gatley par l'application des intégrales abéliennes, démonstration mentionnée t. Il, p. 147» note.

364 ^** Ulf.-— CHAMTU •

linéaires quelconques d^intégraies (partout finies) de. première espèce, de sorte qu'on obtient l'expression (*)

OÙ les ûc/ et les P; désignent des constantes. Sous le symbole 2>/yOn comprend ici l'intégrale normale de deuxième espèce qui devient infinie au point x^^^ et est complètement déterminée par ce point, en sorte que

'»*«iû/«x.«2"*«c'

tandis que la première série des modules de périodicité de %i s'évanouit et que le module de périodicité de %i pour la section Iransverse iv est donnée par une /onction algébrique, savoir (p. 188)

avec (a"."*a.)/=: o. La somme (11) varié donc, pour une section transverse a^ de la surface de Riemann décomposée, de ^nia,, et au contraire, pour une coupure b^f de

Si donc on détermine Ils constantes a/ et |3/ encore arbitraires, de telle façon qu'on ait lés équations

«1 = 5Cj := • . • = OLp = O,

l'expression (11) représente une fonction qui est continue et uniforme dans toute la surface de Riemann répondant ày=: 0, et reste aussi partout finie, excepté aux Q points x^^^ où elle devient algébriquement infinie au premier ordre ; autrement dit, cette expression est une fonction algébrique de Xi, x^^ Xj. Et réciproquement la fonction X, qui devient elle-même infinie aux mêmes Q points, ne peut différer de l'expression (i i) que d'une constanteC

(*) Pour limite inférieure de l'iutégrate So^, a été choisi un point fixe quelconque de /; la limite supérieure est le point mobile x..

LA CtOHÉTIlS sut IHIB CODKBB ALGtDUQCB.

On a en cooséquenee

^ = | = ?i2bi+p,2b,4-..

Ici existent entre les candeurs /3/ les p équations (la); Q — p d'entre elles peuvent donc être prises à volonté. Alors la fonction X renferme encore Q — /7-hi coefficients arbitraires, c'est-à-dire que les courbes X = ^ déterminent sur f un système Q — p foîs infini de groupes Gq dont l'un est traversé par ^ = o. Cela concorde avec le fait qu'en général p intersections sont déterminées par les autres. Si, en particulier, Q = p-f-i, les rapports des grandeurs P/ sont complètement déterminés, et nous avons un système simplement infini de groupes Gj^i qui seront donnés par le faisceau ^ — Xtfi = o. Il peut toutefois arriver, pour des positions particulières des points x, que les équations (12) ne soient pas indépendantes les unes des autres. Ainsi, par exemple, l'une sera une conséquence des autres si Q = /? et si le déterminant de (12) s'évanouit. Mais de ce dernier on peut séparer le produit

[{cxa\ 1 r [cxol] ~\ r [cra] "1

lequel, puisque |i(a:a),= aj"*a/, est indépendant des points x^^ L'équation en 'question se transforme donc en

... ,^(x(')) ... fp(xC))

f,[x^P)) ^t(x^P^) ... fpi^riP))

Par conséquent, dans ce cas, les Q = ^ points x^^^ sont situés sur une courbe y = o, et le nombre des constantes arbitraires dans X est égal à Q — /;-f-i-|-i = 2, c'est-à-dire que, par le résidu de p — 2 points, on peut encore faire passer un système simplement infini de courbes C/,8, ce qui concorde as^ec les résultats connus, Semblablement, pour une valeur quelconque de Q, le nombre des constantes arbitraires est augmenté de 7- -f- i si entre les équations (12) existent/' 4-1 relations de la forme

C,fi(.r(''))-*- C,y,(a:CO)-H. . .-f Cp^p[x^^^)=o,

a66 TOUS III. GBAMTIIB U

OÙ les quantités C/ sont des constantes, ou, en d^autres termes, si par les points x^^^ passent r -+- i courbes différentes ç, résultai qui fournit de nouveau le théorème énoncé plus haut, Par là se trouve aussi à nouveau démontré le fait que tout système spécial peut être traversé par des courbes adjointes C„ j .

Pour élucider cette matière, nous considérerons un exemple; soit donnée une courbe primitive /'= o du cinquième ordre sans point double, d'où p =z6. Ici toute fonction entière du deuxième ordre des Xi est une fonction cp. La fonction

devient infinie aux cinq points d'intersection de ix=o a^^c f=z o. En ces points s'évanouissent trois fonctions y indépendantes les unes des autres, savoir : bxX^^ ix'^2, b^x^] X renferme donc le nombre 5 — 64-2-f-a = 3 de coefficients arbitraires, lesquels sont, par le fait, les grandeurs ai, a,, ^3.

XI. — Systèmes de points d'intersection de courbes non adjointes arec la courbe primitive. Extension du problème de l'inversion.

Les recherches géométriques que nous avons précédemment rattachées au théorème d'Abel et au problème de' l'inversion se référaient expressément aux points d'intersection de courbes adjointes, et il suffisait, dans cette étude, de considérer des sommes d'intégrales ào première espèce (p. 2o3). Dans ce cas, en effet, le nombre p des équations se confond avec le nombre p des relations qui ont lieu entre les points d'intersection, et le problème d'inversion de Jacobi nous a appris la détermination de p intersections par les autres au moyen de ces p équations intégrales, en supposant que l'ordre de la courbe sécante est supérieur à n — 3. Si Ton a au contraire affaire à des courbes non adjointes, un plus grand nombre de points d'intersection se trouvent déterminés par les autres; auxp équations précitées entre des intégrales de première, espèce, qui doivent toujours continuer à avoir lieu, il doit donc se joindre encore d'autres équations, et c'est par l'ensemble de ces deux catégories que le système de points d'intersection est de nouveau caractérisé d'une manière complète. C'est ce qu'on

LA cÉOMtraiB ami ojib codkbb algébbiocb. 367 *

aperçoit aisément, si Ton imagine que la courbe primitive dégénère graduellement, de façon à acquérir un point double. Alors le genre de la courbe s'abaisse d'une unité, et, comme il a été mentionné plus haut, p — I des p intégrales normales de première espèce se transforment en les intégrales normales de première espèce de la nouvelle courbe; la p*""* intégrale, au contraire, se transforme (par un choix convenable du système de sections transverses de la surface de Riemann) en une intégrale normale de troisième espèce pour la nouvelle courbe, intégrale dont les infinis I) Tt se trouvent réunis l'un à l'autre dans le nouveau point double qui prend naissance [voir p. 190). A la place des p équations du problème d'inversion de Jacobi, interviennent donc actuellement, si nous désignons par Tf=p — i le genre de la nouvelle courbe, les it -f- i équations

au moyen desquelles on a de nouveau à déterminer les limites supérieures x^^K On obtient de même q équations où figurent des intégrales de troisième espèce si les courbes considérées ne passent pas par q points doubles de la courbe primitive, et q équations de cette sorte ont effectivement lieu, d'après le théorème d'Abel, pour les intégrales de troisième espèce. Le problème de la détermination des points x^'^ au moyen des p -h q équations est ce que l'on appelle l'extension du problème de V inversion ( * ).

La résolution de ce dernier problème ne résulte pas d'ailleurs, sans autre développement, de celle du problème de Jacobi, par 1^ passage aux limites indiqué. Comme, en effet, dans ce passage, une période de l'intégrale IIi, devient infiniment grande, on ne peut

(') Poiir/> = I, ^sr 3 ce même problème a été traité (boqs d'autres points de rue) par ^Q%muk\r^ {Mémoires des Savants étrangers, t. XI, p. 376); il l'a été d'une manière générale pour /7=:i, par Clebsch {Journal de C relie, t. 64); pour /» = 3, par Brill, ibid,, t. 64 ; pour les courbes de genre quelconque, par Glbdscb et Gordam, op» cit.^ p- 148, 270 et suiT.

• 368 TOMB III. '^ caAflTBB

plus utiliser, iinmédiateuient la fonction & employée pour le problème de Jacobi ; il faut, au contrairei introduire une autre fonction, qui, au surplus, est une combinaison des fonctions 6 ordinaires et de fonctions exponentielles. Dans ce qui suit, les faits dont il s'agit (*), et en particulier les propriétés de cette nouvelle fonction, ne seront exposés que pour le cas de ^ = a (nous récrivons p au lieu de tt); de cet exemple ressortira suffisamment la méthode suivant laquelle on aura à procéder dans le cas général. Nous nous proposons de faire usage des résultats pour les courbes du quatrième ordre qui ont un point double^ et en particulier pour la détermination de leurs tangentes doubles.

Nous désignerons les deux intégrales normales de première espèce par U|, u^ et Tintégrale noripale de troisième espèce qui répond au point double de la courbe C4 par u^. Nous prendrons pour base de nos considérations une surface de Riemann à deux feuilles et six points de ramification, telle qu^elle correspond à l'équation de C4 (p. 177)

si l'on considère j^ comme fonction de x. Les six points de ramiCcation sont reliés deux à deux par trois sections de ramification; nous tracerons autour de ces derniers les coupures a^y a^, i|, £3, C|, C2, suivant la manière dépeinte dans la /if^. i (p. 180), pour /> = 3. Au moyen de ces coupures la surface est alors décomposée en une surface simplement connexe dont le bord est précisément formé par ces coupures. Nous désignerons les valeurs d'une fonction (j) pour deux points opposés de ce bord par y+ et o~, distinguant ainsi, suivant la manière connue, un côté positif et un côté négatif de la courbe qui limite ce bord.

En vertu de nos fixations précédentes sur les intégrales nor^ maies, pour tout point de la coupure ai, ont lieu alors les équations

dans lesquelles la limite inférieure de l'intégrale i// a été choisie

(') Pour ce qui concerne le problème d'inTersioii de Jaeobi au cas de/>= 2, nous renvoyons encore une fois au Mémoire de Prym, déjà cité p. i35.

LA GÉOIIÉTRIB ftt* UICB COUR» AtCiSRIOUB. 269

arbitraire et constante. Nous avons de même, pour les coupures

(2) (<— «;)«,= O, [uX—u;)a,Z=z2izi\ (4^ «;)«,= O,

et Ton a en même temps, en entendant par I Tintégrale prise le

va

long de la coupure entière a, et en choisissant convenablement le sens dans lequel on prend l'intégrale (*),

2/7? = I (Iui= I rfUf.

Enfin l'intégrale 113 varie encore de ±2171 à chaque circuit autour de l'un des infinis ^, n* Les coupures C|, C2 n'entrent plus en considération pour les propriétés de périodicité des inté* grales.

Pour la fonction 0 qui dépend des intégrales W|, M2 (p« 226),

nous avons d'ailleurs, comme on sait, les équations (v == i, 2)

et si l'on pose

(5) «/ = i^-f 2/nv7rH-«iv7i-t-«jv<72,

on a en général

(*] f7>i>, par exemple, Nboma!I!I, op, eit,, p. 126, note.

1170 TOHB 111. — CBAMTKB I.

Actuellement le problème que nous avons à traiter consiste eo ceci :

Au moyen des trois équations,

déterminer les points x^*\ x^^\ x^^^ en /onction des grandeurs données «^1,^2, iVj. D'après ce qui a été dit sur le problème d'inversion de Jacobi (p. 223), on voit immédiatement que l'on pent

obtenir une équation pour les valeurs d'une fonction algébrique -

aux points x^^\ x^^\ x^^^ si l'on réussit à représenter comme fonction des grandeurs (^1,(^2,^3 la somme des valeurs d'une intégrale de troisième espèce à infinis quelconques (^, d, c'est-à-dire la somme

(8) Çç^f ) = / dun^j-^ I i/nça-+- / dïir^.

Il s'agit donc uniquement dans ce qui suit de fournir la représentation dont il s'agit.

On y parvient à l'aide d'une fonction @'(u|, U29 i^s) ou plus brièvement @'(u), dépendant des trois grandeurs Uf , Us, Uj (quoique non symétriquement), et que nous définirons par l'équation suivante

où A|, Aa indiquent les intégrales désignées de la même façon dans (3). En ayant égard à (3), on a, pour les coupures bj^^ h étant égal à I, 2,

En vertu des propriétés de l'intégrale U) exprimées dans (3^

LA CiOHÉTIII SQft Q!(B CO.OIBI AUiÉBBlOOB. 3^1

aous avons donc, d'après (9),

(10) .[loge'(«)+ — loge' (»)-]*,= tt;^-+- Ifl^A (//=i,a),

et, en définissant ensuite v\ par l'équation

[11) v\:=zv^A- 2^i7r-t-7iAiH- 7,A„

et l'j, 1^2, d'autre part, encore par (5), on trouçe, en général, loge'(f/) = log^'(p) -t- y,!»!-!- f,P,

et Von vérifie aisément que

Les propriétés de périodicité de la fonction 0'sont, d'après cela, complètement analogues à celles de la fonction 0 ordinaire. Au contraire, la première, sur la surface de Riemann décomposée, n'est plus, comme la dernière, une fonction qui soit partout uniforme, car, en découpant la surface le long des sections transverses, un circuit autour de l'un des points Ç, yj n'est pas rendu impossible, et un tel circuit change le signe de 0'. A chaque point de la surface correspondent donc deux valeurs de cette fonction ; pour les points ^, % seulement, ces deux valeurs se confondent. En ces points, en effet, 1/3 devient infiniment grand, comme log(x — \) ou log(j: — yj) en x = ^ ou jc = y? respectivement, et par suite 0'

devient algébriquement infini, comme [x — Ç) ^ou(a: — r^)'. Les points \, m sont donc des points de ramification de la Jonction &\ et, pour préciser, celte dernière (étendue sur la surface décomposée) n'a pas d^ autres points de ramification, ainsi qu'on le reconnaît d'après la manière dont elle est formée, avec les fonctions 0 ordinaires. Si donc &{u) s'annule en un point de la surface, c'est au moins au premier ordre, c'est-à-dire comme x — a pour X = a.

Pour la résolution du problème d'inversion donné dans les équations (7), nous procéderons exactement comme Riemann l'a

279 TOME III. — CflA^mi I.

fait pour le problème d'inversion de Jacobi ( * ). Nous désignerons par U|, U2f Uz nos trois intégrales dont la limite inférieure commune sera supposée arbitraire et constante, et la limite supérieure comme variable; de plus, Vij U2, v^ désigneront trois constantes données d'une façon quelconque. Nous démontrerons d'abord cette proposition que \di fonction &{u — t') s? évanouit en trois points de la surface de Rieniann, à moins qu'elle ne soit identiquement nulle ; mais cette dernière circonstance sera exclue pour commencer. D'après les remarques qui viennent d'être faites sur l'évanouissement de 0', il nous suffit de montrer que le carré de &[u — yf) devient infini du premier ordre en six points; mais ces six points doivent précisément consister en trois couples de points coïncidant deux à deux pour que &[u—^v) y puisse devenir infini du premier ordre. Nous désignerons, pour cette raison, dans ce qui suit, par aV le nombre à chercher des points d'évanouissement de [0'(w — ^)]"» ^^ est alors le nombre correspondant pour &{u — ^), La fonction

0 ( w, — Py — aJ .e (ttv— "v-h - Avj

est d'ailleurs, sur la surface décomposée par les coupures a, i, c, partout continue et uniforme; aux points ^ et n seulement elle devient algébriquement infinie du premier ordre. On a donc, d'après une proposition connue,

(i4) Jd\og[e'Y^^ ij'^ = 2i7r(2V- 1 - 1) = 4/,r(v- 1)

si l'on prend la seconde intégrale sur le bord entier de la surface décomposée, c'est-à-dire dans les deux directions le long de toutes les coupures a, J, c. Cette intégrale est, d'autre part, égale à

' 2/r/(Joge'+ — loge'-) prise suivant une seule direction le long des coupures a, fr, c. Mais

(<) Foir RiEMANM, op, cit., § 22, et pour de plus amples dévcloppcmeuts, Neuas^ et Pbym, ioc, cîe.

LA C£0SUST8IC Sia C:iB- COCaSB ALGÉBBIQDE. H'j'i

il résulte de (lo) et (12) pour les coupures a et c

loge' (m — «')"+^— loge'(a — p)~=o, et pour les coupures b

I [r/loge'(M — P)+— r/!og0'(tt -r)-]/i,= ^^«,,= 271/.

Nous tîrons conséquemment de (i4)

où V= 3. c. Q. F. D.

Il s'agit maintenant de déterminer plus à fond comment ces trois points d'évanouissement de la fonction &{u — ç*) dépendent des constantes données i^i, \^2j^z* Nous aurons à montrer que cette dépendance est représentée par les équations (7) de notre problème d'inversion, à la condition d'ajouter à leurs seconds membres certaines constantes (ou, ce qui revient au même sans passer par l'intermédiaire de ces constantes, à la condition de déternainer convenable ûient les limites inférieures c^'^). Les trois points d'évanouissement de & [u — if) coïncideraient alors avec les points x^^\ x^^\ x^^^ qui figurent dans (7), et en conséquence nous les désignerons immédiatement par ces lettres.

Sur le bord de la surface décomposée par les lignes a, i, c, nous prendrons quelque part trois points X}^^t X}^\ t}^^» De f^'^ nous mènerons un lacet /| enveloppant le point x^*^ et revenant ensui le à ^f *^ 5 nous joindrons de même les points x^'^\ o:^'^ respectivement aux points î^f^\ î^^'^ par des lacets /j, ^3, et nous imaginerons que la surface soit coupée le long des lignes /|, /2, lz\ enfin nous mènerons encore une coupure a^ autour des points Ç, >?, et nous la joindrons par une autre coupure à la courbe de bord de notre surface. Dans la surface ainsi décomposée, log0'(iz — v) est une fonction partout continue et uniforme du point variable x. Il eu est de même pour les intégrales i/|, U2, et conséquemment existe la relation

si l'on étend l'intégrale qui figure dans le premier membre à toute la courbe du bord de la surface, c'est-à-dire dans les deux direr-

Cleoscu. — Géométrie f III. l8

374 TOME UI. — COAPITAB I.

lions le long de toutes les coupures Ai, aa, as, Co ^2* ^19 ^S) /i< Uj /g. D'un autre côté; cette intégrale est égale à la somme des intégrales

W i=/[loge'(ii — p)+ — loge'(i« — i')-]^/»,

prise sur toutes les lignes a, bj c, /. Mais nous avons, le long des lignes,

hy ^ï. ^a, loge'-^— log0'-r= 2/îr,

cj, c,, loge'-^— loge'-= o,

«/*, loge'-^— l0ge'-=: 2^/,/7r (/f = I, 2,3), /\, log©'^" — log0' ~ = i£v — l'y H «vv 4- 2 /fy/ir.

Les quantités g^ et A indiquent ici des nombres entiers qu'il esl nécessaire d'ajouter, parce que les différences de logB' ne sonl définies qu'à un multiple près de azTT. Si nous désignons maintenant par a[^\ a[^\ a^^^ les valeurs de Wv aux points l^^^K ^^^N Ç ' • par ai*', al^\ a^'^' celles aux points x^'\ il vient

fdW ^ 2/7r r du,^ [itj'' — a'J'' ) 2/ir,

Jd^^rlnig^j du^^^^g^iiv.af^^ (// =r i, 2),

Ici / dii^ est égal à î>- 7r i ou o suivant que h = v ou /i ^ v ; l'intégrale

1 u^du^ dépend seulement de la valeur initiale constante de Fin

légrale u^; les intégrales a^'^ sont de môme indépendantes des x' . Si donc nous désignons par kv de pareilles constantes indépendantes des x^'^ il vient finalement, pour v = i , 2,

On établit de la même manière pour fij une équation complète-

LA GÉOMÉTRIE SOt UNE COCEBE ALGÉBEIQUE. 376

ment analogue. Il vient donc enfin, à part un système complet de périodes (pour v = i , 2, 3 ),

^=«:>^-f.«i«' + fl;»J

relation où i^" désigne la valeur de l'intégrale i/v aux points c^'^, et où de plus les quantités Xv sont de nouvelles constantes^ et les quantités iv^ doivent coïncider avec les grandeurs données dans les équations (7). Nous avons par conséquent ce théorème :

Si l'on fait les arguments de la fonction 0' définie par (9) égaux à Uv — çVv — Xv, les x^ étant des constantes d'une certaine espèce, et les w^ étant données par (7), la fonction & s'annule aux trois points x^*^, x^^\ x^^K

Pour déterminer exactement les constantes X|, Xg, Xg, nous procéderons de la manière suivante (*). La limite inférieure constante de l'intégrale étant désignée par fx, la fonction

Of*x /»jrU) /«xW /»a:(8) \

dU/^ — 1 «^"A — / ^«A — / ^«/i — '^h ) ft JcH) Jc^^) Jc''^) J

s'évanouira pour x = x^'^, d'après la proposition que nous venons d'énoncer, indépendamment des points x^'\ jc^'^; ou, en d'autres termes, la fonction

dUf, — 1 €lu,^ — f du;, — Xyi )

s évanouit indépendamment de la situation particulière des points

Les points c^*^, c^'\ c^'^ sont encore ici tout à fait arbitraires; seulement il faut toujours faire varier convenablement en même temps qu'eux les grandeurs Xj, Xj, X3. Nous déterminerons ces dernières par la construction suivante. La tangente de G4 au point p. coupe encore G4 en deux points -, par ces points faisons passer une conique qui touche de plus d en trois points et ne passe pas

(') Cette détcriniimlion des constantes est imitée de celle donnée par Weder {Journal de Crellcj t. 70) pour le problème din version do Jacobi. Le résultat concorde avec celui obtenu par une autre vo ^^(pour lo ca général) par Clebscu et Gordax, op, cit., p. x84*

376 TOUE- III — CHAPITAB I.

par le point double. Il existe des coniques de cette espèce en nombre fini, et nous ferons d'abord coïncider les points c^^\ é^\ ^(3) avec les trois points de contact de l'une d^ elles d^ abord arbitrairement choisie. Cette conique doit toutefois être une coDiquc proprement dite, c'est-à-dire ne pas se décomposer en la tangenlc du point l lui-même et en une tangente double de C4. La ligne qui joint x^^^ et x^^) coupe encore C^ en deux points que nous désignerons par j^^)^ ^^(3), Qn a alors, d'après le théorème dWbel, pour /i = I5 2, 3,

r»/x /*x^*) /«xO) /V'*** /*J

(16) 2 / (iu/^-h I ^«/4-+- / dUfy-^ I (lUh-\' f

Jc'M x/c'V •.c'St Jc^i) Jc^i

»jr(?) /.x(3) ^j[i) ^yiS)

liU/^ = 0.

Il résulte de là, puisque 0' est une fonction paire, que, conjointement avec l'équation donnée par l'évanouissement de (i5), a lieu aussi l'équation

(la;, — / ditfy — / i/u,, -4- X^ ) =:: O,

^ •/c'«) Je'*) J

et cela indépendamment de y^'^\ j^^"^» On peut donc, dans la dernière équation, poser aussi jf2^ = a:^*^,j^^'^ = a:^'\ et alors l'équation (17) se confond avec (i5), au signe près de za-

Au lieu de poser x =^ x^^\ on aurait pu aussi prendre x égal à x^^^ ou à x}'^K II résulte de là que, indépendamment du signe de la quantité x.;^, la fonction

0'( / duf,-^ \ duf,-^ \ iiu;,-^ f du,,±yih )

\«- /x «/c(l) Jc(i) Jc^ii J

s'évanouit pour x=^x^^\ a: = .x^*\ x = x^^K Or cela n'est possible que si les arguments de la fonction 0' qui dépend de x et de celle qui dépend de — x diffèrent uniquement d'un multiple des systèmes de périodes, c'est-à-dire que nous avons

•/.i = - (2pi7ri-f-fA,.o H-/X3.0 -hyiaii-h 7j«2î)»

'^i= - (/*i-o 4-2/x27ri-i- /xj.o -f-7i«2iH-7j«îs),

--(."1.0 -f-.ix,.o -} -îîAa^î^+yxA, -hyjAa),

LA GÉOHtTtlB SUR VIIB. CQDBDB ALGÉBIIIQCB. 377

• les nombres |x, y ayaiit des valeurs données d^une mqinière complètement déterminée (^omod. a) et étant précisément définis

par cette circonstance que la fonction 0M / du/t-h'/^h 1 s'évanouisse aux trois points c^^K

Si Ton fait passer par les deux autres points où la tangente de [i rencontre G4 une autre conique tangente à C4 aux points a^^\ a(2)j «{3)^ on a, d'après le théorème d'Abel,

k/i désignant un système déterminé de périodes, La fonction

&{ 1 H — kh-i — y-h) s'évanouit alors aux trois points a^^K a^^K

u^^K Mais par là se trouve spécialement caractérisé le système de points a^'^ pour lequel h h == x>i et qui possède en conséquence la

propriété que la fonction &[ l duh ) devient nulle aux points

a^*^, a^^\ OL^^K II est donc avantageux de choisir ce système déterminé de points pour les limites inférieures de l'intégrale dans les équations (7), ainsi que nous le ferons par la suite (conformément à nos remarques précédentes sur le problème de Jacobi (p. 225 et suiv.). Faisons encore observer que la conique tangente en ces points CL^^^ ainsi caractérisés ne peut pas, en général, se décomposer en la tangente de fi et en une tangente double deC\. Alors, en effet, le point [i serait compris parmi les points a^'^, et il faudrait que la fonction 0'( 1 du/i j s'apnulât pour x = /:x, c'est-àdire qu'on eût l'équation

ce qui, évidemment, n'a pas lieu en général.

Nous reviendrons incessamment sur les tangentes doubles de C4. Auparavant nous ferons usage des résultats précédemment obtenus pour la solution du problème d'inversion donné dans les équations (7). On en vient très simplement à bout si l'on emploie la

278 lOMB III. — cnAMTEB I.

fonction &* En effet, on vérifie aisément l'exactitude de Téqua-

tion

0' («'/»—/ ^«/i).0'( / dit,,)

(,9, c,c,^^j io, r^ \ f r^ \

il suffit, pour cet objet, de comparer les propriétés de périodicité, ainsi que les zéros et les infinis, dans les deux membres deTéquation . Par là, d 'après des remarques précédentes (p. 270 ), 5e trouve résolu le problème de V inversion étendu»

On peut faire usage de ce problème pour la détermination de courbes de contact qui ne passent pas par le point double, ce qui n'a pas besoin d'être développé plus longuement (voiV p. 29,9 et suiv.). Observons seulement que, dans le cas actuel, ainsi qu'on l'aperçoit facilement, les équations

OÙ les Vh désignent des constantes et les kh des systèmes de périodes, admettent r' = r^^* solutions (*). Pour r = 2, il résulte de là -qu'iZ existe 3i systèmes composés chacun d'un nombre simplement infini de coniques proprement dites qui ne passent pas par le point double et touchent la courbe C4 partout oii elles la ren-contrent; car, parmi les 82 systèmes primitivement trouvés, est compris celui des droites dont chacune compte double.

Un intérêt particulier s'attache ici encore au problème des tan» gentes doubles déjà traité au cas de p = 3 et à la solution duquel nous passons maintenant. Si af*\ a^^\ af'^ ont de nouveau la signification indiquée et que x^^^, x^^^ doivent être les points de

(') Ce Dombre est au contrairo encore égal à r^ si le point double se transforme en un point de rebroussement, car alors l'intégrale de troisième espèce se transforme en une inlégrale de deuxième espèce, et cette dernière n'a plus de période logarithmique.

LA OÉOMÉTBIB SUE tXB €OniBS ALCÉBRIOOB. 379

contact d'une tangente double, cette dernière forme, ensemble avec la tangente de [My une conique pour laquelle, suivant le théorème d'Abel, ont lieu, semblablement à (i 8), les équations

J^/X /»X(,) /.xi») j

r/i/,,4- / du,,-h I du,,^-'k^ (^ = 1,2,3), «'3) •/«'!} «/ait) ^

les kh étant des systèmes de périodes. Mais ici nous avons trois équations pour la détermination des deux inconnues x^*^, o:^^^; si ces trois équations doivent coexister, il faut qu'une relation entre les constantes qui y figurent soit satisfaite. Or cette dernière est immédiatement donnée par la proposition démontrée plus haut et d'après laquelle la fonction

duh-^ I duf,-^ I duf, )

s'évanouit indépendamment des points j^<*^, j^^*\ Si donc nous posons j^*^ = x^^^j y^^^ = x^^\ nous avons la condition moyennant laquelle est satisfaite Féquation

e' f / du,, + / dun "H / ^«A ) = e' (^ k,A =z o.

Nous devons donc nous demander s'il existe des systèmes de demipériodes -kiy -Ar2, -^3 pour lesquelles, comme arguments de la

fonction 0', le premier membre de cette dernière équation s'annule. Posons

La fonction &(-hh\ se forme alors de ©M kfA lorsqu'on

augmente les arguments de cette dernière d'un système entier de périodes Â'a, et par suite il vient, d'après (12),

loge' (1*^) = loge' (-i^,.)

=:log0'/— -/tyij — 7r/(mi7iH-'Wt7t — g'), '

Ilf. — C APITBE I.

Maïs, comme 0' est une fonction paire, on a aussi

Ces deux équations ne peuvent subsister ensemble que si

mi^i + wjçj — g^ est un nombre pair, ou bien si l'on a

Mais cette dernière circonstance se présente toujours si

miÇi-^m^q^ — g est un nombre impair, c'est-à-dire si (23) ^iîi + 'Wj^j — ê'^ï (inod. 2).

C'est donc seulement dans le cas oh la congruence ( aS ) est salis" faite que les équations (21) peuv^ent servir à la détermination des tangentes doubles.

Par là nous obtenons le nombre des tangentes doubles et lear groupement respectif ( * ). Quant à leur nombre, il est égal à seize, ce qui est d'accord avec les formules de Plûcker (t. II, p. 68), et, pour préciser, nous avons, pour les tangentes doubles désignées par les chiflFres i, 2, . . . , 16, les systèmes suivants de valeurs des nombres m^ q :

ff

(*) La recherche des tangentes. doubles d'une courbe du quatrième ordre à point double a été donnée par Brill {Math, Annalen^ t. VI» p. 66), comme annexe à Mo étude, pour le cas de /? =s a, de l'extension du problème de Tinfersion. Comparer U note de la p. 367 ; 'voir aussi Roch {Journal de Crelle, t. 66, p. xi4 et suit.).

LA CÉOllÉTAIB SCB UK£ COUBBB ALGÉBBIQCE. 38 1

Les points de contact de ces seize tangentes doubles sont aussi, ainsi qu'il a déjà été observé, compris parmi les solutions des équations

«(1) JaW •/a<») ^

qui déterminent les points de contact des coniques de contact passant par les autres points d'intersection de la tangente de [jl. On peut ici précisément faire coïncider l'un des points x^'^ avec le point /x si la condition ( 28) est satisfaite à l'égard des nombres m, ^, g qui entrent dans les grandeurs A^. Si cette condition n'est pas satisfaite, on obtient néanmoins, au moyen des équations (24)? les points de contact d'une conique proprement dite. Le nombre de ces derniers est par suite égal àa^'^"*"* — 16 = 16.

On parvient (comme dans le cas de ^ = 3) à d'autres propositions sur le groupement respectif des tangentes doubles , en partant des systèmes de coniques de contact (actuellement non adjointes). Les points de contact x^^^ ...,j:f*^ d'une courbe de cette espèce se déterminent, c^*\ . . ., c^*^ étant les points de renconti^e de C4, avec une droite quelconque (laquelle comptée deux fois donne une conique de contact), se déterminent, disons-nous, au moyen des équations

dit/, -+- / du,, H- / du,, -+■ l du,, = - A',,, c«i) Jc^.t) ♦/r'-'i Jc'^^ ^

les quantités k/i étant encore définies par (2a). Il est, d'ailleurs, plus avantageux pour la solution du problème de l'inversion de prendre pour base d'autres équations dans lesquelles les points a^'^ qui répondent à n entrent comme limites inférieures. Or, par les deux autres points d'intersection de la tangente de (jt passent deux courbes du quatrième ordre dont l'une consiste en la conique tangente en a^*^, a^^\ a^^^ comptée deux fois, l'autre est formée par la conique tangente en x^*^, . . . , x^*^ et par la tangente de fx. comptée deux fois. Npus pouvons donc aussi déterminer les points x^'^ au moyen des trois équations suivantes :

du,, -f- / du,, -h I du,, -+• / du,,-^^ I du,, = - X7,,

a(i) •/«{«) «/a(t) Jjf.i) •/«'«) ^

où les kk sont différents des systèmes de périodes ainsi désignés

182 TOME ni. — CHAPITRE I.

dans (a5), quand même tous deux appartiendraient aux mêmes limites supérieures. Dans ces équations, on peut toujours prendre encore un point x à volonté ; les trois autres, d'après les lois du problème de l'inversion étendu, se trouvent par là fixés; en effet, les équations (26) se confondent avec les équations (20), à la condition qu'on choisisse convenablement s^h dans ces dernières. Il existé, comme nous l'avons déjà énoncé, trente et un systèmes de coniques de contact proprement dites; il faut y joindre lesyslcme doublement infini des droites comptant double dont les points d'intersection s'obtiennent au moyen de (26) pour /ti = /Iî2 = Aj=o. En fait, toute droite forme, ensemble avec la tangente de (*, une conique, en sorte qu'on a, d'après le théorème d'Abel,

J/»x(') /»j*(*' /»J'''> /»x'*) pp.

duf, + / du,, -4- / tlUh -H / dtih 4- 2 1 rfii,,= 0. a'i) J^it) Ja'i) «/a'») v'aa)

Si maintenant une semblable conique de contact, dont les systèmes de périodes hh sont donnés par les nombres mi, m^, q\, (jn g, doit se décomposer en deux tangentes doubles caractérisées respectivement par les nombres //i'^, m[^^ {/\, y',, ^ et m',, /»,,</,} 9-29 ^y ^^ ^UTdi nécessairement (mod. 2)

On reconnaît facilement par là que cliacun des trente et un systèmes f à l'exception de celui déterminé par les nombres <jr4=::^,= mi = /7i2=o, §^ = 1, comprend quatre couples de tangent es douôles {par conséquent huit tangentes doubles) ; et ces trente systèmes se rangeront ensuite deux à deux suis^ant la valeur de g, de telle sorte que deux systèmes comprennent toujours la tota- ^ lité des seize tangentes doubles. Chaque tangente double peut, par conséquent, suivant la manière dont elle est groupée avec les autres, être considérée comme appartenant à quinze systèmes, comme le fait apercevoir le tableau suivant. Ce tableau a été simplifié par la désignation des tangentes doubles au moyen des nombres 1 , 2, . . . , 16 introduits dans le tableau précédent. Les chiffres romains se rapportent aux quinze couples, de deux systèmes déco*

LA GÉOMÉTRIE SCR CMS GOURBI ALGÉBBIQUE.

aS3

niques chacun, qui correspondent aux quinze couples de systèmes de valeurs m, q, gj les derniers nombres différant dans chaque couple uniquement par la valeur de g. Les tangentes doubles placées Tune sous l'autre forment deux à deux un couple ; à côté des chiffres romains sont placées entre parenthèses les valeurs des nombres correspondants mi, ^1, ma, ^2, tandis que les valeurs de g sont notées à gauche sur le bord. On obtient le tableau :