II

12 i4 16 l3 i 2 3 II

I 2 3 II 10 8 5 iG

Mais, dans chacun de ces quinze systèmes de coniques est compris, en outre des quatre couples de tangentes doubles proprement dites, un couple de tangentes improprement dites (comptant au surplus double), savoir un couple de deux des quatre tangentes menées du point double à C4. Comme, en elfet, toute conique d'un système de cette espèce touche la courbe Cji partout où elle la rencontre, la conique tangente en $ doit nécessairement être tangente en même temps en r, car toute courbe qui renferme \ passe aussi

384 TOMB III. -* CHAPITBB I.

par 19, et cela n'est possible que si la conique a elle-même an poinl double au point double. Or le point de contact y d'une tangente issue du point double se détermine, comme on sait, au moyen des deux équations (y = j ^ 2)

JfV* ni*- I , , , I ,

si ^f*\ (3^-^ sont les points associés au point \l de telle façon que lafonctionGl / da^^ l ^«3 )s'annulepoura:=(3^'Jetx==^-,

et si, entre les nombres figurant dans le second membre, est satisfaite la condition qui exprime révanouissement de la fonction

0( / duy-\- I duy ), savoir (p. 240)

( 29) m\ q\ 4- m\ 7 2 ^-= 1 ( mod . 2 ) .

Pour étudier d'ailleurs les équations (28) en connexion avec les équations (21) et (26), il est nécessaire d y choisir les limites inférieures d'une façon semblable. Or on a, d'après le théorème d'Abel (v = i,2),

du^ -f- 1 du^ -H - / du^-^ - I du^z=z ^ R„

Ri, R 2 désignant des systèmes de périodes. Par suite, les équations (28) se transforment en

Si, de plus, Â\ est un autre système de périodes dont les nombres satisfont à la condition (29), et z le point de contact correspondant, il existe entre z et/r" une équation tout à fait analogue, dans laquelle entre le même système de périodes R». Par addition des deux il vient

(32) 1 ^ffvM- I r/i/v-h / '/Wv-h / ^ttv-f-al r/ttv^ -(*^+ ^» • •/a't) •/«(») *«'a'«) t/a(») JaW ^

équation qui se forme de ( 26) pour y = x^ *^', z = xf'\ J = J'^ ?

LA GÉOMÉTBIB SUR UNE COOKBB ALGÉBBIQCB. q85

13 = x^*^ A% + /r" = A*v. Mais la détermination des points j^, z se fait uniquement par le problème de Tinversion ordinaire et est en conséquence complètement indépendante de Tintég^ale de troisième espèce i/«y indépendante, par suite aussi, de la valeur des nombres g^, g^", g. Ces derniers peuvent être pris arbitrairement égaux à zéro ou à l'unité. En effet, la somme correspondante d'intégrales de troisième espèce prendrait une valeur indéterminée. U résulte de là que chacune des tangentes issues du point double doit être comptée deux fois comme tangente double, que deux quelconques des trente systèmes de coniques qui appartiennent à un couple [c'est-à-dire diffèrent seulement par la valeur de g) comprennent le même couple de ces tangentes doubles improprement dites, et que celui-ci compte double comme conique de contact dans chacun des deux systèmes ( * ).

Désignant maintenant par [mxq\m2q2) l^s nombres qui répondent, en vertu de (a8) et (29), à la tangente qui touche la courbe en jy nous avons les six tangentes [courbes de contact du («3)ié«n«ordre]

(ooii) (iioi) (iiio) (iioo) (lO'O (oui),

et celles-ci se répartissent sur les quinze couples de systèmes de coniques, d'après le tableau :

rs'

Le trente et unième système de coniques de contact renferme

(') En effet, dans chacun des systèmes de coniques do contact appartenant à une courbe du quatrième ordre sont nécessairement compris six couples de coniques décomposables, car l'équation d'un tel système, si P = 0, R= o sont deux coniques qui en font partie, est de la forme

P-i-2aQ-i-;i«R = o.

Alors PR — Q*=o est l'équation de la courbe C4 et Q = 0 celle d'une conique qui passe par les points de contact de P = 0, R = o avec C4. ( J^oir, par exemple, Saluon, Higher plane eurves^ n* 251).

^86 TOME III. — CBAPiTSB I.

chacune des six tangentes issues du point double comme courbe dégénérée en une droite double, ainsi qu^on le vérifie immédiatement; il conlient donc les mêmes tangentes improprement dites que le trente-deuxième système répondant à la même valeur de j qui se compose des droites du plan comptant double.

Les tangentes doubles improprement dites ont encore des relations particulières avec les systèmes de coniques de contact adjointes; nous n'insisterons néanmoins pas sur ce sujet. On peut d'ailleurs établir facilement sur la situation des points de coolaci des propositions semblables à celles données au cas de p = '5. Ainsi, par exemple, les huit points de contact de deux couples de tangentes doubles du même système sont situés sur une conique, et ainsi de suite.

D'après ces explications détaillées relatives au cas de p = 2, on a des aperçus pour traiter, en général, le problème de l'inversion étendu. On peut énoncer, sous la forme suivante, la question qui se présente alors :

Soient p sommes chacune de p -{- q intégrales normales de première espèce similaires ayant pour limites supérieures les points inconnus x^'^x^^^, ...,jc^/^y^ et les points connus c^'^ c^^K—c^p+*i) pour limites inférieures égales à des quantités données v^, V2> •••? ^p\ soient en outre q sommes chacune de p -\- q intégrales normales de troisième espèce similaires ajant les mêmes limites égales à des grandeurs données w^, w^-i • • • j^^î soient enfin ^•'', yj(Oj ç(2}^ y^(2j. ^ ^ ^ i^iq)^ y^{q) fespectivemcnt les infinis de ces dernières intégrales; ou, en d'autres termes, soient données les p-\-(l équations suivantes :

I p-hff i=:p-t-Q

Le problème est celui-ci: Représenter les coordonnées des points limites supérieurs x^^^ comme fonctions des grandeurs r, w, ou

LA GÉOHATAIE tVR CNB CQOBBB AMÎÉBRIQUB. 387

représenter en cette qualité les coeflicients d'une équation

dont les /? -f- y racines sont les valeurs d'une fonction algébrique j

avant son numérateur et son dénominateur du même degré qui correspondent aux limites supérieures.

Sous cette forme le problème est d'abord indépendant de la question de savoir si les infinis Ç^'\ r,^'^ sont réunis ou non deux à deux en un point double. Toutefois le premier cas présente pour les applications géométriques une importance excessive, et le second peut s'y ramener par transformation unidéterminative de la courbe primitive. Un intérêt particulier s'attache encore à la recherche des courbes d'ordre n — 3 qui ne passent pas par q points doubles de la courbe originaire et touchent celle-ci partout où elles la rencontrent, une relation devant alors être satisfaite entre les g^randeurs Ç'i, . . . , Vp] W\^ . . ., w^ du problème d'inversion, c'està-dire entre les demi-systèmes de périodes correspondantes, si le problème doit être résoluble. On pourra venir à bout de toutes ces questions en procédant d'une manière analogue à ce qui a été Tait au cas de p = 2,, Mais des considérations particulières sont toujours nécessaires, si parmi les q points doubles se trouvent compris des points de rebroussement (*).