XII. — Courbes du genre p = o

Dans nos précédentes recherches relatives à la Géométrie sur une courbe algébrique, nous avions d'abord exclu les cas /; = o et /; == I , au moins dans tous les problèmes qui se référaient à des courbes adjointes du [n — sy^me ordre, car il n'existe pas de systèmes de courbes de cette espèce si p est inférieur à 2. Ces deux cas vont être examinés l'un après l'autre dans ce qui suit. Nous allons, en particulier, nous occuper avec soin de la représentation de la courbe primitive, au moyen d'un paramètre, représentation que nous exposerons aussi en détail

^ - I - M ^ M I ■ I M ■ ^^ ■ I .--ji I ----^ - , --- -r^

{ * ) Foir Clessco et Gobdan, op, cie», p. 296.

a88 TOMB III. — CBAMTIB I.

pour le cas de p = 2, et en général pour les courbes hypereliiptiques.

Nous commencerons par les courbes du /i>*"« ordre du genre

^•=0, lesquelles possèdent par suite -(/i — i){n — 2) points

doubles ou cuspicjaux ( * ). Nous nous proposons de montrer d'abord que CCS courbes peus^ent toujours être transformées unidétermnativement en une ligne droite (*).

Nous considérerons les points doubles et 2n — 3 autres points arbitrairement choisis sur la courbe comme points de base d'un faisceau de courbes d'ordre n — i . Ce faisceau est ainsi complètement déterminé, car par les 1 -(w — i)(/2 -h 2) — i I points fixes

les constantes d'une courbe d'ordre n — i sont données, à l'exception d'une seule. Cette dernière constante qui demeure arbitraire étant désignée par ^, l'équation du faisceau est de la forme

cj> et vj^ étant des fonctions d'ordre n — i qui, égalées à zéro, représentent deux des courbes du faisceau.

En joignant l'équation (1) à l'équation y == o de la courbe donnée et à une équation Ux= o, nous obtenons par l'élimination des j, le produit des n[n — i) points d'intersection en coordonnéeslignes, produit qui est du degré n par rapport h X et du degré n[n — i) par rapport aux quantités m/. Or les /i(/i — i) points d'intersection se composent des -(/z — i)(/i — 2) points doubles et

cuspidaux fixes dey comptés chacun deux fois, des 2/1 — 3 points fixes choisis arbitrairement et de

n[n — i) — [n — i)(« — 1) — (2/* — 3)=i points d'intersection mobiles, c'est-à-dire dépendant de ?i. Du ré-

(*) Nous admettrons toujours que ces points soient séparés. Pour ce qui couceroe les singularités élevées, voir ce qui a été dit t. II, p. uio et suiv., et 1. 111, p. 33.

(*) 11 n'en est toutefois ainsi qu'à l'égard des courbes irréductibles; ainsi, |»r exemple, une cubique générale C, forme, ensemble avec une droite, une courbe da quatrième ordre de genre zéro; cependant les coordonnées de ses points ne pearent s'exprimer rationnellement au moyen d'un paramètre. Quant à la méthode de transformation que nous allons appliquer, nfoir Clebsch et Cordai, ^p ci r., p. 67 et soir.

LA GiOMATMB Ml U:il GOUBW ALCÉBBIQOB. 369

sultat de rélimination, on doit donc pouvoir isoler un facteur du degré [n{n — i) — i] par rapport aux a/ et ne renfermant pas X; et la séparation une fois effectuée, Téquation d'élimination prend la forme

les fi étant des fonctions du /î»'°»« degré en ?.. C'est là Téquation du point d*intersection mobile; ses coordonnées sont donc entre elles dans le même rapport que les quanti tés^}^ et l'on a les coordonnées Xi du point d' intersection mobile représentées contme Jonctions rationnelles du n***"' degré d'un paramètre X à l*aide des éi/uations

p étant un facteur arbitraire.

Posant encore X = — > nous avons les quantités x/ représentées

comme fonctions homogènes du /i**™* ordre àey^^y^. Considérons mainlenantji,^'2} J^s comme coordonnées d'un point de la courbe transformée; nous pouvons envisager les Xi comme des fonctions des ^1 dans lesquellesj^ s = o; celle* dernière équation est donc l'équation de la courbe transformée, c'est-à-dire que celle-ci est une droite comme cela devait être.

Nous pouvions ainsi transformer toute courbe à-[n — i)(/i — a)

points doubles ou cuspidaux en une droite à l'aide de la transformation, ['2l) qui est du /i'*'"* ordre et unidéterminativement rester sible.

Que réciproquement toute courbe telle que les coordonnées de ses points puissent se représenter rationnellement au moyen d'un paramètre est du genre p = o, cela est évident; car cette représentation n'est précisément pas autre chose que la transformation unidéterminalive de la courbe en une droite (*); or, dans une

(*) Cependant, si la représentation paramétrique rationnelle est donnée pour une courbe, il ne s'ensuit pas qu'à tout point de la courbe réponde une valeur unique du paramètre; mais on peut alors toujours introduire un nouveau paramètre tel qu'il en soit ainsi. {Voir, sur ce sujet, Lûboth, Math, Annalcn, t. IX, p. i63.)

Clbbsch. — Géométrie, III. 19

ago Tom m. — cbapitu i.

transformation semblable le genre se conserve. Mais on peut^ en allant plus loin, se proposer le problème qui consiste à établir en fait les équations dont dépendent les différents points singuliers, et à déterminer ainsi directement les nombres pliickériens : c'est ce dont nous allons nous occuper dans ce qui suit, et nous verrons au surplus dans cette étude comment le théorème d^Abel el en général les propositions sur les systèmes de points d'intersection se comportent ici ( * ).

Actuellement; en admettant qu^une courbe soit donnée par les

équations (2 ) ou, pour A =— > par les équations

pXj=/,(x,,Xil = û,'»,

nous supposons d'abord que les fonctions^} soient indépendantes les unes des autres, et avant tout que Jl ne soit pas représentable sous Informe kf -f- //i- Conformément à la nature des choses, le premier problème qui se présente est de déduire des équations (3) l'équation de la courbe elle-même en coordonnées-points. Celte dernière est ici de Tordre 72, car les paramètres des points de rencontre d'une droite quelconque u avec elle sont les racines de l'équation de degré /i,

(4) «jâri^-f- //,«;" -f-«,«?=o.

L'équation cherchée (^) s'obtient par l'élimination de f, îc,,X2

(*) Voir en particulier, pour ce qui suit, Cledsch, Ueber diejenigen ebenen Cureeit deren Coordinaten radonale Functionen eines Parameters sind (^Journal de Crellf, t. 64). Quelques propriétés de ces courbes aTaicnt déjà été traitées par Salmoh dans la première édition de son Traité des Courbes d* ordre élevé, ( Vmr aussi le Calcul barycentrique de MObius.) Nous ne nous occupons pas dans le texte de ce que deviennent les propositions relatives aux systèmes spéciaux de points (p. 53 et suiv. et p. io4 et 1 13) au cas de/» = o. Ces propositions peuvent ici être traitées très simplement, parce que (par suite de la représentation paramétrique) on opère seulement sur le terrain binaire, c'est-à-dire sur une droite (x'oi'r à ce sujet Banx, ^oA. Annalen^ t. V, p. SgS).

(*) Le résultat de l'élimination ne donne autre chose que la relation qui, soiTaot une remarque faite t. I, p. 375, doit exister entre trois formes binaires quelconques: seulement, dans le texte, les trois formes sont supposées du même ordre.

LA CÉOMÉTBIB 80B VNB COOIBE ALG^BBIQCB. 39 1

entre ]es équations (3) ; nous montrerons au surplus incessamment comment cette élimination peut être effectivement réalisée dans les cas les plus simples, c'est-à-dire dans ceux de /z = 2 et n := 3. Mais pour les coordonnées-lignes de la courbe primitive ellemême, on peut indiquer une loi de formation générale. Si, en effet, une droite u doit être tangente à la courbe, il faut que deux racines 3C| 1x2 de l'équation (4) deviennent égales Tune à l'autre, ou, en d'autres termes, l'équation delà courbe primitive en coordonnéeslignes est donnée par r évanouissement du discriminant de l* expression qui figure dans le premier membre rfe ( 4 ). On peut, d'autre part, représenter d'une manière simple les coordonnées d'unetangente dans leur dépendance du paramètre du point de contact. En effet, pour un point x 4- dx voisin de a:, nous avons, d'après (3),

Les coordonnées de la ligne qui joint x k x -h dx sont donc

OU, puisque le facteur (xrfx) entre de la même manière dans les Iroiscoordonnées ,

(5) Ti/,= («''«)«:-«<-» =2r3„

( rii,= {aa' )a;-' a'/^-^^^,,.

Ces équations correspondent dualistiquement aux équations ( 3 ) ; elles donnent la représentation paramétrique des tangentes de la courbe. On obtient donc, à un facteur près, l'équation de cette dernière en coordonnées-points, en égalant à zéro le discriminant de l'expression

Actuellement, comme le point de contact d'une tangente est toujours situé sur cette tangente, on a l'identité

(6) ^ /i2rjj-h/j2r3i-h/,^ij=o,

facile aussi à obtenir directement.

agi TOHB III. — CHAPITU I.

Sous le bénéfice de cette équation, pour le cas de n = 2, en posant

on obtiendrait, par élimination de p, x^, 23c,X2, x^ c^^^r^ (3)^^ (6), Téquation de la conique sous la forme

.ri

a/, a^, rt/ désignant les coefBcients des trois iovraes fu/t^ft- Celle élimination s'effectue plus élégamment si Ton forme préalablemenl Téquation en coordonnées-lignes. Cette dernière est donoée par Tévanouissement du discriminant de Téquation

c'est-à-dire par

(7) I>ii«î-^I>iî«î + I>j»«î + 2 D„ a, II, -♦- a D,itt,«i -h 2Di,«, If, = 0,

les D/A désignant les invariants formés avec deux, des forme en sorte que

Par suite, d'après des propositions connues de la Ûiéorie des coniques, l'équation en coordonnées-points de la conique représentée par les équations (3) au cas rfe /i= 2, ou autrement dit le résultat de l'élimination de p, x<, X2 entre les équations (3], est{*)

Du Du Di3 Xj

I>»i D„ D„ X, D31 Djj Djj j:.

. (») Pour .r,=/„ x, = /„ ar, = /„ c'est là une identité, (roir Clebsch, Tktorir dcr binàren algebraischen Vormen, Leipzig, 18 ;2, p. lo5.) En vertu de (5) et (7) onlliw aussi entre ios f^ et les ^g^ les trois identités

pfi-= Dii2fM-+-I>.t9^.i-*- I><|2f,t.

LA GiOMtTBIB SOft CHI COUSBI AIjG£BWOV£. a^S

Pour 71 = 3, nous avons à observer que par tout point x de la courbe passe, en outre de sa propre tangente, celle du point X + </x, c^est-à-dire que conjointement avec (6) a lieu aussi Téquation

Mais comme on peut toujours prendre dy.2=o ou ^X| = o, nous pouvons remplacer cette équation et Téquation (6) par les deux suivantes :

dx,

Si donc nous posons

nous obtenons pour ti = 3 V équation de la courbe du troisième ordre, par élimination des grandeurs p^ X|, X2, entre (3) et (9), sous la forme (*)

Nous allons maintenant établir les équations dont dépend la détermination des nombres plùckériens pour nos courbes. Ces équations sont évidemment indépendantes de la situation du système de coordonnées sur lequel est basée la représentation para-

où l'on trouTe pour ^, en continuant le calcul, la valeur

— R = — (tfa')(a'a')(a''fl).

Là «e trouve le lens géométrique du dualisme étudié par Clebsch, loc. cit,^ p. 4 18, et qui existe entre trois formes quadratiques et leur déterminant fonctionnel. Le principe appelé principe de la translation de Heste {Foir Hessb, Journal de C relie, t. 66 trouve également, dans les équations (3) au cas de ii= a, son expression algébrique la plus simple (Foir aussi la note de la page 3o3, t. II).

(*) Fdr RosESOW : Die Curven dritter Ordnung mit einem Doppelpuncte, Breslau, 1873, p. 48.

39'( "TOMB IH. — CHAPITIB I.

métrique (3). Elles ne peuvent donc varier que d'un facteur (qui est une puissance du déterminant de la substitution) si Ton prend pour base^ au lieu des formesy}, des combinaisons linéaires quelconques de ces formes, et les choses se passent, en général, d'une manière analogue pour les équations qui déterminent des propriétés invariantes relatives à des systèmes de points sur la courbe ou qui déterminent ces systèmes eux-mêmes. Les^remiers membres de toutes les équations de cette espèce sont donc des combinants des trois J ormes binaires f^y J^^ fz* H est d'ailleurs évident qu'ils doivent être des invariants simultanés de ces dernières formes, parce que la représentation paramétrique ne dépend pas essentiellement du système de coordonnées binaires x^ :x2.

Pour déterminer d'abord les-(7z — i)(/i — 2) points doubles de

la courbe primitive, nous partirons de la condition pour que trois points V.J X, jx soient en ligne droite, condition qui se présente ici sous la forme

/.(«) /,{«) M*) /.{>) /.(>) /.(i) /iW /.(f*) /.W