II) R

Le déterminant qui figure dans le premier membre s'annule pour X =: X ou X = |x ou /x = X ; il est donc nécessairement divisible par (xX), ()|x) et (/Jtx), c'est-à-dire que nous pouvons poser

R' dépendant symétriquement de x, X, /x et étant du degré /i — a par rapport à chacune de ces variables. Soit donc symboliquement (*)

R'=:ar«pr«7rs

de telle sorte que n — 2 symboles a n'aient leur sens effectif que conjointement avec n — 2 symboles (3 et /i — 2 symboles 7. Les points X, X étant donnés, on trouve^ au moyen de l'équation

(*) Sur la formation de l'expression R', voir GoaDA!i| Math, Annaîen, t V, p. 118 et suiY. Pour les raisonnements employés dans ce qui suit à la détermination dei nombres plûckériens, consulter aussi une note de WEra, Zeitsehrifi de Schlômilch, t. XVI.

LA géohAtbii ma umb coobbb alcébeiqob.

agS

R'= o, les n — 2 autres points /x où la ligne joignant x et ). rencontre la courbe, et pour x = X Féquation aJ'^jSf'^y""* = o fournit pour chaque point donné ft les points de contact des 2n — 4 t^i^" gentes que l'on peut mener de /x à la courbe. ^

Or les points doubles de la courbe sont les points pour lesquels deux systèmes de valeurs (x/et7./) du paramètre donnent les mêmes valeurs des coordonnées, en sorte que

Ici la ligne qui joint les deux points (superposés) x et X devient indéterminée^ /'eiyuafîon af"*/3f~*yjJ"^=o a donc lieu indépen» damment de /X|, fji2; c'est-à-dire que nous avons le système de n — I équations

lt^\ A**-* fl/*~* «.«-î t\ »»-* ftw-t ^n-% ^ ^ ««-î ftw-î ^n-t ^

ii^j *« Px 7i — o, «, px 7j 7j — o, ..., a. pi 7, — o,

entre lesquelles nous pouvons éliminer les n — i grandeurs X""*, ^?~*^27 • • • > ^2~* ; si donc nous posons

un point double x est déterminé par Téquation ( * )

Po.o