PU

• pi,n-%

Prt— 1.0 P/i— ».l • • • Pn—t,n^t

Celle-ci est du degré [n — i)(/i — a) en x. On est conduit à la même équation, écrite en X, si Ton élimine entre les équations (i3) les grandeurs x/; deux racines de (i4) donnent donc le même point

double. Conséquemment, il existe en fait -(« — i)(/i — 2) points

doubles (^), lesquels sont déterminés par (i4)» ^^ cette dernière

('] Sur la formation de cette équation, voir aussi Hâasb, Math, jinnaie/tt t. H p. 5î5.

(*) Le nombre des points doubles s'obtient également simplement par la eonsidération du système surabondant d'équations

qui «st équiraleot aux équttioai (la).

agô

TOMB III. — CHAPrrMB I.

équation peut être ramenée à une équation du degré -[n — i ) (/*— 2)

ler

et à -(/i — ')(i — 2) équations du second degré. Ce demi

mm

fait résulte, d'après des théorèmes connus, de ce que de deux racines connexes, l'une peut être calculée rationnellement si l'autre est donnée.

Pour la détermination des points d'inflexion de notre courbe, nous avons à établir la condition que trois points voisins x, x + 6'x, X 4- ar/x-f- rf^x soient en ligne droite. Or, comme on peut toujours prendre dx>2= o, on a pour un point d'inflexion x

fn

OU, d'après le théorème des fonctions homogènes.

= («ii')(«'fl")(€i''^7)^r»«;'»-«r/;«-«:=o.

Le nombre des points d 'inflexion est donc égal à 3 ( /i — ^^ ) ( * )•

D'un autre côté, les points d'inflexion doivent pouvoir se tirer de l'équation R'= o pour x = X = /:/.. Nous pouvons donc aussi poser

A=af-»pr«7r*.

Les tangentes douLles se trouvent par l'interversion dualislique

(') Los points <f inflexion deviennent par suite indéterminés si le combinant à est identiquement nul; mais alors les éqtiations (3) ne donnent plus la représentation paramétrique étune courbe du /i**^ ordre. L'éTanouissement de A exprime, en o&t, que les (n — a )<•»•• polaires d'un point quelconque x sont les couples de points d'une iiiTolution, t. Il, p. q49» c'est-à-dire qu'on a, indépendamment de x et ji,

«f=«.aj«-»«;*-^^.<

De là résulte en particulier, pour x = Jl, /, = a/,+ ^/„ en sorte que rélimiosUoD de X entre les équations (3) donne pour résultat ar,— «x,— ^jr,=ro; la courbe se composa donc d'une droite {n fois représentée), cas que nous avons déjà exclu, p. î88-

LA CÉOMATBII SFK OUft COl'ftBB ALCKBRIQCB. 307

du procédé employé à la recherche des points doubles, c'est-à-dire parla permutation respective des formes yi, f^^f^ avec les déterminants fonctionnels ^ss^ d^sn ^12* ^^ obtient par là d^abord unt^ équation du degré (2n — 3)(2/i — 4) répondant à Téquation (i4)- Mais il est à remarquer que dans cette dernière équation deux racines connexes (c'est-à-dire fournissant le même point double) doivent devenir égales l'une à l'autre si l'un des points doubles dégénère en un point de rebroussement. Maintenant, comme chaque tangente d'inflexion doit être considérée corrélativement comme la dégénération d'une tangente double, Téquation ci-dessus de degré (2/1 — 3)(a/i — 4) fournira en même temps que les tangentes doubles les tangentes d'inflexion comptées deux fois ; c'està-dire que de son premier membre on pourra isoler le facteur û^. Comme d'ailleurs deux racines de Téquation restante se réfèrent à la même tangente double, le nombre des tangentes doubles est égal à

-[(ail — 3)(2;i— 4) — 6{/l — 2)]=:2(/l — 2)(/l— 3).

Si Ton établit au moyen des déterminants fonctionnels d/j^ la forme A' qui répond dualistiquement à la forme A et qui est du degré 3(2/i — 4), l'équation ù!=o devrait, d'après les précédentes observations, fournir les points de rebroussement de f; mais ceux-ci n'existent pas sur la courbe primitive en général (c'est-à-dire si les fonctionsy} sont choisies indépendantes les unes des autres), tandis que d'autre part il n'y aurait aucun point d'inflexion si les fonctions 9ai ont été choisies indépendantes les unes des autres. Les points de rebroussement doivent donc être absorbés tous par les tangentes d'inflexion, c'est-à-dire que le combinant ù! doit être proportionnel au carré du combinant û ( * ).

L'équation (i4) doit, ainsi qu'il vient d'être observé, avoir une racine double lorsqu'un point double se transforme en un point

(*) Et pour préciser l'on a, d'après réqoation (19), p. 207, dans la Théorie des

formes binaires, de CLBSscn, A'= - A* ; les calculs effectués dans ce passage pour // =1 2

restent en effet exacts si Ton ne fait que multiplier toules les équations par des facteurs symboliques du type a^^aj^~*a^~^ ; il faut encore dans l'équation (19), /oc. cit., remplacer les indices 3, 4» ^f 6, respectivement par a, 3, 3, 1.

398 TOME III. — ClUmiB I.

de rebroussement. Mais, d'autre part, lorsque le discriminant de (i4) s'annule, on a à distinguer deux cas différents suivant que les deux racines de cette équation sont des racines connexes ou que ce sont des racines non connexes. Au dernier cas, il ne se produit pas de point de rebroussement, mais deux points doubles infiniment rapprochés, tels que les deux tangentes de chacun d'eux se confondent en une. Cette circonstance n'apporte à la classe aucune autre réduction que celle qui appartient d'une manière générale aux deux points doubles en question; mais une réduction a lieu dans le second cas, où l'on obtient en fait un point de rebroussement. On est, en effet, conduit à poser alors, dans les équations (12), }.| = X| + e, X2=X2, en sorte que, par exemple, la première de ces équations devient

(17) ((7~ix=/ii.ûr'^i,

ou, pour Xj = X2 -f- rî, X, = x, ,

(18) (d— l)^y?=:/ï)3.«»-»fl,.

Mais il résulte de ces deux équations, si l'on raisonne de même à l'égard de/i et^i,

Actuellement, l'équation en coordonnées-lignes delà courbe primitive serait donnée par l'évanouissement du discriminant de (^)^ c'est-à-dire par l'élimination de x entre les deux équations

Mais, en vertu de (19), l'une de celles-ci est la suite de Tautre, et le discriminant doit alors nécessairement renfermer le facteur U|a|-4-a2aa-t- ligas psii* Tévanouissement duquel les deux équations (20) sont satisfaites, les grandeurs a/ étant d'après (3) les coordonnées du point de rebroussement dont il s'agit. Si donc n est le nombre des points de rebroussement, la classe de la courbe primitii^e est égale à 2{n — i) — x. On détermine aisément, d'une

LA G<OIIÉTaiB 8DB 0!(B COUBBB ALCiBBIOVB. 31^

manière semblable, l'influence d'un point de rebroussemeut sur les autres nombres de Pliicker ( * ).

Si nous considérons maintenant lès points d intersection de la courbe primitive avec une autre courbe, nous serons de nouveau conduits au théorème d'Abel; mais, comme la courbe primitive dérive d'une droite en vertu des équations (3), les intégrales qui s'y rapportent ne renferment plus aucune irrationnalité et peuvent être évaluées d'une manière explicite. En entrant dans les détails, on trouve que les faits en question se passent de la manière suivante :

Nous poserons, pour abréger, 3C| = X et X2= i; nous désignerons ensuite par a<<), é^); a^^>, b^^^; a^»), A(s); . . . a«*), iW, y étant égal

à - (/i — i) (/2 — 2), les couples de valeurs de X qui répondent aux

divers points doubles. On trouvera les intersections de la courbe donnée avec une courbe d'ordre m

(ai) ff[x^, x„.r,)=:0,

en substituant dans cette équation aux quantités X| leurs valeurs (3). On obtient alors une équation en X de la forme

(22) n(X) = c(X — Xi)(X — X,) ...(X — X„;„)=.p(xi, x„j:,)=o,

dans laquelle les valeurs X^, X2, • • • , X„m du paramètre correspondent aux /7in intersections. Si maintenant nous faisons dans (22) X successivement égal à a^'^, puis à i^'^, les x restent invariables dans cette opération, à part un facteur commun c^'^ ; par conséquent, f et il restent invariables, sauf le facteur [c^'^]'", et l'on obtient

n[«(0]r=[c(')]«n[MO] ou

fp(0]'«.

pour i = I, 2, 3, • • ., V, V étant égal à -(/i — i)(/i — 2). Ces y équations sont, pour la théorie des courbes que nous étu-

( ' ) Foir Clebsch, Journal de Crelle, loc. cit.

3iiO TOMB III. — CHAPITKB I.

dions, de la plus haute importance. Elles se présentent ici à la place du système des v •+• p équations qui, pour le cas général, proviennent du théorème d^Abel et qui, à l'égard d'une courbe de genre p kv points doubles, expriment que mn points de la courbe sont situés sur une courbe du m'*"** ordre ne passant pas par les points doubles (p. 286). En effet, comme pour p=o il n'existe pas d'intégrale de première espèce, il ne reste plus ici que les V équations relatives aux intégrales de troisième espèce; ces intégrales, considérées en particulier, sont respectivement égales à

log vTTj — r pour 1 = 1, a, ..., v; et dans (23) figurent précisément les sommes de semblables intégrales logarithmiques (*). Si donc mn points X|, X2, ••., 7>mii de la courbe représentée § par (3) doivent être situés sur une courbe du m'*'"* ordre ne passant pas par les v points doubles, il est nécessaire et suffi- \ sant pour cela que leurs paramètres satisfassent aux équations (23). .'•

Ces dernières subissent une légère modification si l'un des points doubles (par exemple a^^\ i^'^) se transforme en un point de rebroussement. On a alors a^'^ssa^'^, if'^= a^'J-he, cf''= 1 — x^'^e, % étant infiniment petit, d'où

L'équation (23) se change donc en la suivante [voir pour le cas de /i = 3, t. II, p. 344)*

Les sommes d'intégrales de troisième et de seconde espèce qui, égalées à zéro, tiennent respectivement la place des équations (24) et (26), ainsi qu'il a été mentionné dernièrement, se trouvent en difi*érentiant la première équation logarithmiquement, la seconde à la manière ordinaire et en intégrant ensuite respectivement depuis p^^ jusqu'à X et depuis a^'^ jusqu'à /. On obtient ainsi, au

(•) roir, pour n = 3, t. Il, p. 387 et 3i4.

LA CEOMAtKIS •!)• UMS COCBBB ALG&niQCB. 3oi

lieu de (23) et (24) (pour fA= //m), les équatîous

et les limites inférieures p, a se déterminent par comparaison avec (23), (24) au moyen des équations

En changeant le contour d'intégration, on peut dans le second

membre de ces équations transformer o en 2/i7r^— i , de sorte que ces sommes d^intégrales admettent la période 2i7r; les intégrales de deuxième espèce ont au contraire toujours la période o, parce qu'elles possèdent des^ points donnant des infinis qui ne coïncident que par couples. Il en est ainsi conformément au fait que dans (23) on peut poser dans le second membre [c^'^J'^e^^** à la place de [c^'^]'", tandis qu'un changement semblable apporté au second membre de (24) n'altère point la deuxième des équations qui en résulte par diflTérentiation ordinaire. On peut, d'après cela, énoncer le théorème suivant :

Dans une courbe d'ordre n à -(/i — i)(/i — 2) points doubles

ou cuspidaux, si a^'\ J^'^ sont les paramètres d'un point double [pour x,=:l, X2 = i), la somme des intégrales similaires

[a(fl - iW]^ [^(0--.]^6(0-XJ *"' ^S^^ " a/«nv/=T; au contraire y si a^^^ est le paramètre d'un point de rebroussementy la somme des intégrales 1 ^ ,f. . ^^ est égale à zéro; les sommes

sont ici étendues à tous les paramètres qui correspondent aux points dUntersection de la courbe primitive ai^ec une autre courbe algébrique.

3oa TOI» III. •* CBAPITRB I.

Il ressort immédiatement de là que tous les problèmes relatifs aux courbes de contact, problèmes qui ont été résolus dans le cas général à Taide de ce qu'on appelle le problème de Vextension de l'inversion des intégrales abéliennes et du problème de la division des transcendantes, qui interviennent dans ces questions (p. 266 et suiv.), que ces problèmes, disons*nous, reviennent dans nos courbes actuelles à la division du cercle et à la résolution d^une équation de degré ^, si la courbe de contact est assujettie à ne pas passer par q des v points doubles, ce qui, de fait, peut se démontrer directement au moyen des équations (23) et (24).

En effet, dans tous ces problèmes, on donne k = nm — juty points d'intersection [dont 2(v — q) sont situés aux points doubles], tandis que parmi les autres ^t. doivent coïncider par groupes de q points chacun. Si nous désignons les paramètres (donnés) qui répondent aux premiers par /| , /2, . . . , /a, ceux des points cherchés par^i, ^2) • • -9 ^^y l^s équations (25), dont au surplus q seulement entrent ici en considération, se transforment en

r = q a hi)7tyj — I ft

aC'^ — >r i«*

Ces q équations suffisent complètement pour exprimer les fonctions symétriques des V psii* des grandeurs connues et établir ainsi relativement à X une équation du ^»«™« degré. On remarque immédiatement que rinfluence d'un point de rebroussement consiste à faire disparaître une des v périodes 2i7r (puisque celle-ci deviendrait alors infiniment grande). Si, comme cela peut arriver pour les courbes du quatrième ordre, tous les points doubles se transforment en points de rebroussement, Temploi des équations de la division du cercle cesse d'avoir lieu. Les problèmes dont il s'agit n'ont plus alors qu'une solution.

Quant à la manière dont on devra effectuer la détermination des courbes de contact et des systèmes de ces courbes*dans des cas particuliers, il est à peine nécessaire, après les explications gêné-

LÀ cÉOMÉnn sim 0!«b diuabb alcébriocb. 3o3

raies données plus haut, de la formuler à nouveau. En particulier,

pour m^n — a et 9 = v = - (/i — i)(/i — 2), le problème qui con-

sis te à faire passer par mn — vr points de la courbe d'ordre n une courbe d ^ ordre m ayant avec la première en v points un contact d'* ordre r — i est toujours résoluble, et l'on trouve que le nombre total des solutions, au cas où il n'existe pas de points de rebroussèment, est égal à r^. Toutefois, comme dans les courbes du genre le plus général et d'après nos théorèmes fondamentaux sur les systèmes de points d'intersection, les cas où m est inférieur ou égal à 71 — 3 méritent une attention particulière. Ainsi, par exemple, pour

m = n — 3, -/i(/i — 3) points d'intersection d'une courbe Cn-z

qui ne passe pas par les points doubles sont déterminés par les

-n[n — 3) autres; on ne peut donc plus que poser la condition

de tracer une courbe C»n-z telle quelle soit tangente à la courbe

C„ partout où elle la rencontre, c'est-à-dire en-n[n — 3) points,

MB

Le problème dont- il s'agit conduit à l'établissement d'une relation entre v des grandeurs v^^\ relation qui doit nécessairement exister lorsque celles-ci peuvent être supposées égales à des sommes comprenant chacune v — i intégrales de troisième espèce de la forme précédente. Nous nous proposons de traiter ce même problème lorsque n=: 4» ^^^ où il fournit la détermination des tangentes doubles d *une courbe du quatrième ordre à trois points doubles (*). Observons d'abord que les grandeurs c^'^ qui figurent dans (23) peuvent aisément s'exprimer au moyen des grandeurs flfO et i^'\ ce qui est utile pour la suite. Si l'on sépare, en effet,

le point double (a^'^, J^'^) des - n[n — 3) autres points doubles, ces

autres points (comptant chacun deux fois) forment l'ensemble complet des intersections de C„ avec une courbe C/i j qui est précisément déterminée par eux. Si Ton établit maintenant relativement aux points de rencontre de G/,.» les équations (23), il ne doit subsister qu'une seule équation, savoir celle qui se réfère au

(*) Voir le problème correspondant pour /i = 4 ^t /» s a, p. 279.

TOMB lli. — CBiriTRB 1.

point double a^'^ b^'^ par lequel C/,.3 ne passe pas, et dans celte équation il faudra attribuer aux n{n — 3) grandeurs X les /i(/i — 3j valeurs a, 6, dontTindice est difiérent de 1; si donc on pose, pour abréger,

(x — b<'^) (x - /A«î). . .(x — *(-)) =iKx), un a Téquation

rci')i"-'z= î-i i-i-= =.

Le problème mentionné en dernier lieu nous donne, d'après ( 23), entre les v — i grandeurs X, les v équations

(^(0:- A.)(/,CO- >,)... (g^O^^.^,) __ !,«-„ . 0,v^

Entre les nombres /i^'^ il doit donc exister encore une relation, ainsi qu'il a été énoncé; pour trouver cette dernière, nous partirons d'abord du s)^stème d'équations plus général

cl nous chercherons la relation qui existe nécessairement entre les quantités v^'^ (*). Cette dernière s'obtient directement par éliraination des V — i fonctions symétriques des X/ enire les v équalions (3o) sous la forme

— rO)

aC^)""* -

i;(v) i,(^)''~\ û(vr"' — çrv) 6(vr-*

En ordonnant ce déterminant suivant les 1^^'' et en remplaçant ces dernières grandeurs par les valeurs données dans (3o), on

(') On pourrait naturellement les déduire aussi de l'étude générale de reilenuon du problème de Tin version, comme cela est indiqué plus haut et développé dansCuMca «t GoaoA!!, op. cit., p. a^o.

LA CÉOaiÉniB SCB OHE COURBB ALGÉBRIQUE.

obtient par rapport aux é* une équation ne renfermant que linéairement chacune de ces quantités.

Pour n = 4î c'est-à-dire v = 3, nous obtenons donc en particulier une équation de la forme ( ' )

dans laquelle les coeflicients A, B, G sont à déterminer. Or on a d'abord

=::[rt(0— /|(«)][a(l)a(»)][fl(«)— fl(8)],

et de même D'un autre côté, il résulte de l'équation (28) que

et par conséquent il vient (34) € = — A.

On trouve, d'autre part, pour B|, en faisant usage de (a8),

La valeur qui figure ici dans le second membre s'obtient aussi au signe près pourB23, c'est-à-dire pour

si l'on y exprime c^^^ et c^'^, d'après (28), par a et b. Il en résulte, puisque le fait analogue a lieu pour B2 et B3,

B,3= — Bi, Bji — — B„ Bi2= — B3;

( * ) Foir, pour l'étude géoérale du problème, Clbbscu, loc, cit.

Clbbsch. — Géométrie, III. '20

3u6 TOVC m. — CHAPITRE I.

et réqualion (32), en vertu de (34) et (35), se transforme en ;36) A(i - <?s) -t-V B,[c^^'^ — eS— '■] = o,

si Ton fait S = v^*'-f- v^^^-i- v^'^ Cette condition est nécessairement remplie si les équations (3o) doii^ent exister simultanément.

Supposons maintenant, comme dans (29), v^'^= /i^'^ry^^i; toutes les grandeurs e^ deviennent égales à iti 1, et réqualion(36) se transforme simplement en ©*=! ou

(•^7) /,(i)-|/,(«) + /^(8)=o (mod. 2).

Les quatre tangentes doubles de notre courbe C4 se déterminent donc au moyen des équations (29) pour n = 4i v = 3, si Ton pose respectivement

/t(^)=o, /i(*)iiro, //(»)=o; /i(')=o, ^(«^=r, //(»)= 1;

>%(»=I, //l«)r=l, /*(»>=:zO;

(ioninie dans le cas de /{ = 4 et /; = i , la distribution des tangentes doubles sur les différents systèmes de coniques de contact présente ici de rintérêl. Ces dernières se déterminent au nioven des trois équations

dans lesquelles X4 peut être choisi arbitrairement. // existe donc sept systèmes, composés chacun d'un nombre simplement infini de coniques qui touchent Cji en quatre points, et Ton a (comme toujours) cette proposition que les points de contact de deux coniques du même système sont situés sur une conique. Si nous désignons par {g^*\ g^^\ g^^-) le système déterminé par les trois nombres g, les sept systèmes dont il vient d'être parlé sont

car le s\stème (0,0,0) se compose de Tensemble des droites du plan comptées chacune deux fois. On reconnaît par là que chaque

LA C£OHÉTRIB 8CB UNE COCRBC ALGÉBRIQUK. 307

groupe de trots de ces systèmes renferme deux couples de tangentes doubles, savoir :

(o, I ,i) les couples [(0,0,0), (o,î,i)] et[i,T,o), {1,0, f)], (1,0,1) » » [(0,0,0), (1.0,1)] » [(1,1,0), (0,1,1]], (1,1,0) » » [(0,0,0), (1,1,0;] . [(1,0,1), (0,1,1)].

Les quatre sj sternes restants ne renferment pas de tangentes doubles proprement dites. Parmi eux on doit encore signaler le système (1,1,1), parce qu'il renferme trois couples de tangentes improprement dites, savoir : les trois couples des tangentes que l'on peut mener des trois points doubles à C4. On s'en assure facilement si Ton considère que les tangentes issues du point double a^", i *^ par exemple, se déterminent au moyen des équations ■(À=2,3)

et qu'on doit avoir encore ici

//«)H-A^'î=o (mod. 2) ^*).

Ces résultats subissent des modifications lorsque quelques-uns des points doubles dégénèrent en poinLs de rebroussement; la marche à suivre alors est aisée à apercevoir d'après ce qui précède. S'il se présente un point de rebroussement, on a encore deux tangentes doubles, et il existe trois systèmes de coniques de contact dont l'un renferme l'ensemble des deux tangentes doubles. Au cas de deux rebroussement s, il v a encore une tangente double et un svstème de coniques de contact; mais les points de contact de ers dernières et ceux de la tangente double ne sont pas situés sur une même conique. Enfin, au cas de trois rebroussements , on a encore une tangente double, mais plus de système de coniques de contact. La courbe est devenue de troisième classe ; son étude détaillée est donc tout à fait analogue à celle de la courbe du troisième ordre à point double (t. Il, p. 336 et suiv.).

(*) Les six autres syslém.^s renrermeiit aussi dos couples de tan;;entos d(»ii1ilns imprnprtMiiviit dites groupées autrement, car t^ans cha(]ue système il doit se rencontrer six couples de coniqiics déc( imposables; ro/V la note de la pa(je 28Ô.

3o8 TOME III. — caAPITBS I.

L'établissement des équations relatives aux singularités de la courbe primitive s'effectue d'une manière particulièrement simple lorsque /? = 3, et nous nous arrêterons en conséquence un peu sur ce cas ( * ) ; nous compléterons ainsi nos recherches précédentes sur les courbes du troisième ordre à point double. Soient données à la place de (3), les équations

0 JJj =. rt.

(38) px^zzzai, ûx,= <7,»,

Nous avons d'abord à établir la forme ««{îxyn dont l'évanouissement exprime que les points x, X, fjL sont en ligne droile. Or nous avons, d'après ce qui précède,

a,l3),75,.(-a)().^)(px) =

ai «;» al' al n? «?

"jfc "j*. "il

Le déterminant qui figure ici au second membre ne varie pas si l'on permute a avec x, a' avec X, a" avec tx ; il doit donc renfermer, conjointement avec le facteur effectif (ifX)(X|[jt)(/ix), le facteur symbolique [aa!)[a! a!')[a" a). Le facteur restant doit être linéaire el symétrique aussi bien en x, X, ^ qu'en a, a', a" \ il a, par suite, la valeur

Si donc ^l désigne de nouveau le combinant introduit dans (i5), et duquel dépendent les trois points d'inflexion, on peut poser (^ i

(39) axPx7ii= C. A,A).A^,

C désignant un facteur numérique.

(') Foir RoscNow, loc, cit., ainsi que la note de la page 334» l* ^^• (' ) Le calcul du déterminant (11) n'a pas une marche aussi simple si n est supérieur & 3. II faut alors traiter ce déterminant à l'aide des développements en série qui ont Heu pour les furmcs binaires à plusieurs séries de variables [itoir Clbbscd, Théorie der binàrcn Forment p. i5 et suiv.); il ne peut alors entrer dans le développement de la forme «i'~*/3x~* '/J!"* que des puissances paires de (xA), (A^a), (/«x^, car cette forme ne varie pas si l'on permute entre elle deiis des grandeurs x, il, /a. En ayant égard à cette observation, on trouve, par exemple, pour h = 4,

p^q désignant des facteurs numériques, A^ étant défini par (i5) et D' étant égal à (/ifl')(a'«")(«»«)[(a'a")»flî-f- («"«)««;* -*-(««'/«;;»]. Il peut arriver en particulier que la forme D^ soit identiquement nulle; alors

LA GÉ03|£tRIB StR UNE CODRBE ALGÉDHIOCC SOQ

Conséquemment l'équation A, Axû.^=. o exprime que les points Xjl, fJL sont en ligne droite; AJ Ax= o donne les deux points de contact X des tangentes issues de X ou le point tangentiel du point X, e« A' = o donne les trois points d'inflexion.

Si, en particulier, îc est un point d'inflexion, c'est-à-dire une racine de A^ = o, la première polaire de x relativement à A se com-

l'éqaation plus simple A* aJ A^ exprime que x, ).^ ft sont en ligne droite, d'où Ton déduit aisément que les points de contact des quatre tangentes sont donnés par la forme hessienne de A, c'est-à-dire par l'équation

Has(aa')»a*a;* = o,

et les valeurs paramétriques relatives aux trois points doubles par l'équation

ys(AA')'(A'A')>(A''A-,»A*A;*A;;«=o.

Le sens géométrique de ce cas s'obtient par le raisonnement suivant : on peut toujours envisager trois formes binaires biquadraliques comme les secondes polaires d'une forme primitive du sixième ordre; car, eu égard à la représentation typique des formes d'ordre pair par des covariants quadratiques (imir le Mémoire de M. Li!iDEMA^!(, cité t. 1, p. 3o3), ce fait résulte de ce qu'un réseau de coniques est en général réseau de polaires d'une courbe du troisième ordre. Soit donc/=a* cette forme primitive; on peut poser

et il vient

I et / étant les formes ainsi désignées dans Gle^scd, loc. cit,^ p. 283 et suiv. Mais si l'on a / ^ 0 et 1^ o, on peut poser (ibid.f p. 4'|6)/=: x * + «', et il vient aussi alors

y'^= o; ce cas ne donne pas de courbe du quatrième ordre proprement dite. Si l'on a, au contraire, /= o, par suite de ce que i s'évanouit identiquement, alors les six points de base de /(comme il arrive pour le covariant T d'une forme binaire biquadratique) se décomposent en trois couples, dont deux quelconques sont situés harmoniquement l'un par rapport à l'autre {ibid.y p. 4)7 ), et l'on peut poser /=. x, x, (xj — x {);

mais on a alors -^j,'^ A = r x, x, ( x t — xî ) =^ f. Donc alors aussi / » de-

vient proportionnel à A, c'est-à-dire que les six points d'inflexion se trouvent réunis

par couples dans les points doubles. Sont, en conséquence, caructérisées par la con»

dition D^ = o les courbes C4 qui ont simultanément en chaque point double deux points

^inflexion [à moins qu'il n'y ait aucune courbe C^ proprement dite voit p. 269}].

Un exemple de ce cas nous est donné parla lemniscate ordinaire, courbe dans laquelle

deux points doubles sont situés aux points circulaires imaginaires.

3»0 TOMS III. — CHAPITRE 1.

pose du point X lui-même et du point y, quatrième harmonique de x, par rapport aux deux autres racines de A (vêtant alors un point racine du covariant Q de A). L'équation A, A\A^= o exprime donc alors que Xet ]u sont situés harmoniquement par rapport à x et v; or cette condition est remplie d'après ce qui vient d'être dit si î et [Â sont les deux autres points d'inflexion de A, et l'on obtient en conséquence cette proposition connue, que les trois points d' in- Jlexion sont en ligne droite,

La détermination du point double s*opère au moyen de l'équation (i4) ci-dessus, c'est-à-dire par élimination de X entre les deux

équations

A,AxA, = o, A,AxA,==o.

Les deux paramètres du point double sont donc les points de base de la forme hessienne xl de A, c'est-à-dire les racines de V équation

t,« = 2(aa')AiA;a,a:=(aa')*a,a; = o.

Il suit en même temps de là que l'évanouissement du déterminant de T, c'est-à-dire de l'invariant R= (tt')^ de A fournit la condition de la présence d'un point de rebroussetnent.

Mais il est également aisé d'attribuer un sens à la polaire t.Tîl de T^. L'équation T,n=o résulte, en effet, de l'élimination de fi entre les deux équations

a;Aj,= o, aîa^=o.

On obtient d'abord le résultat (AA') A? Al' = o. Or on a

(AA')A«Al«=i(AA')(A«A;«-A;A;^)

= i(4A')«(A.4!+A-.A:)(xX) =:(AA')»A«Al(-/X) = T«7^.(x>).

L'équation t,Tî^= o exprime donc que les points x, X ont un point tangentiel commun [*)^ c'est-à-dire qu'ils forment un couple de

(*) Là se retrouve le théorème sur Tinvolution formée par les lignes qui joigoeot HU point double deux points ayant leur point tangentiel commun, théorème que nous avons énoncé, t. II, p. 337, en le rattachant à la forme canonique de A (savoir, A = jl* -+-/*• ).

LA GtOaÉTMB SDR U.1B COVIIBB ALGÉBBIQl'E. 3l 1

pôles conjugués sur la courbe primitive si Ton considère cette dernière comme la hessienne d'une autre courbe du troisième ordre (ce qui n'est plus possible que d'une seule manière en cas de point double).

On doit encore remarquer particulièrement sur la courbe les points de contact X des trois tangentes issues des points d'inflexion '/,. On les trouve en éliminant x entre les équations

A»=0, A«A,*zz=o.

Mais on peut remplacer ces dernières par de plus simples. Comme, en effet, l'une des deux tangentes issues du point d'inflexion se confond avec la tangente d'inflexion, le point d'inflexion x forme avec le point de contact correspondant X lui-même un couple de pôles conjugués, en sorte que t,Tx= g, et l'élimination de x entre cette équation et A«Ax = o donne

Q = 7x'=(AT)A;n=o.

Les points de base du coi/ariant Q rfe A sont donc les points de contact des tangentes issues des points d'inflexion [*).

La signification des polaires de la forme Q s'obtient enfin de la manière suivante. Soient x, X, ft trois points d'une droite; traçons en pi une tangente qui rencontrera encore la courbe en [jfy point tangentiel de u ; de y! menons la seconde tangente dont le point de contact sera fx", en sorte que [â et [x" forment un couple de pôles conjugués. Alors on a les équations

A, Ax Aj^ z= o, T^T^. = o ;

et par élimination de [i il vient

A,Axv(At) = o.

Or on a

=: (AT}[3A*Tj,--i--iAx(Aji.T,— T^.A,)] = 3(At)A«Tj, 2(At)«A«.(xu").

(*) Observons que trois formes binaires du troisième ordre n'ont point d'autres combinants que les formes A, t, Q et R. {^oir Gordax, Math. Ânnalen, t. V, p. 117 et suiv.].

3l2 TOME III. — CHAnTRB 1.

Mais comme, d'après Téquation (lo), t. I, p. 272, le second composé de A avec t est identiquement nul, il vient y^y,^.= ( At)- A|Tj,., d'où, aussi par formation polaire,

L'équation qxq\q^»'= o exprime par conséquent que la ligne joignant y. et\ rencontre la courbe primitive en un troisième point qui forme avec [t!' un couple de pôles conjugué ( * ).

A l'aide des relations qui viennent d'être développées, on peut traiter le problème de la continuation du tracé des tangentes (t. IL p. 339) et d'autres questions de la même espèce; toutefois nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet. Faisons seulemeol observer encore que les propositions précédentes relatives aux points d'inlerseclion d'une droite avec une courbe du troisième ordre peuvent être appliquées immédiatement aux systèmes de trois points mobiles qui sont, sur une courbe C^ de genre ^ = o, les intersections d'un nombre doublement infini de courbes C/i 2 passant par

- 72 (/i — 3 ) points doubles et par n — 3 points simples fixes de C^.

En effet de trois de ces points (comme dans une courbe C3), lun est déterminé par les deux autres, et l'on peut conséquemment, en faisant usage d'un semblable réseau de courbes C/i 3, transformer unidéterminativement la courbe dont il s*agit en une courbe du troisième ordre à point double ; sur cette dernière les systèmes doublement infinis de trois points qui correspondent aux précédents seront déterminés par les lignes droites du plan.