XIII. — Les courbes du genre

Nous passons maintenant aux courbes du w»*™» ordre à - /i ( n — 3 )

points doubles, pour lesquelles /? = i. Nous examinerons d'abord (comme au cas de ^ = o) les questions purement algébriques non

( * ) 11 résulte eocore de là que x, Jl, fk' sont trois points en chiicun desquels une conique peut avoir un contact simple avec la courbe primitive, car les points tangentiels de x, A, fi" sont encore en ligne droite (t. II, p*. 266; vo/r aussi Stel^ilr, Journal de Crelle, t. 66, et l'Ouvrage de ScoaÔter : Steiner's Forselungen uber tjrnthetischc Géométrie, t. II).

LA GÉOHÉTRIK SUR CME COOSBE ALGÉBRIQQE. 3l3

assujetties aux règles générales qui ont été développées ci-dessus ( * ), savoir la transformation en une courbe normale et la déterminalion du nombre et du sens des modules. Nous y joindrons encore quelques remarques sur Tintroduction des fonctions et des intégrales elliptiques dans ce sujet; toutefois, dans ces observations, nous pourrons nous borner à un court résumé, parce qu'elles ne nous offrent que des applications de nos théories s^énérales et que nous avons déjà insisté sur les faits correspondants dans les courbes du troisième ordre.

Comme courbe normale on trouve ici la courbe générale du troisième ordre, et cela de la manière suivante (^). On considérera

les-7i(w — 3) points doubles^et cuspidaux conjointement avec

^n — 3 autres points fixes choisis arbitrairement sur la courbe

comme les -(/i4-2)(/ï — i) — al points de base d'un réseau du

[n — i)**^"** ordre. Les courbes de ce dernier rencontrent encore C„ en

points mobiles; si donc on les emploie comme courbes de transformation, on obtient de fait une courbe du troisième ordre. Une réduction subséquente de Tordre est impossible, parce qu'il n'existe aucune courbe du genre p = 1 qui soit d'un ordre inférieur au troisième.

Aux courbes du réseau qui passent par un point quelconque x de Cn répondent unidéterminativement dans la transformation les rayons du faisceau passant par le point correspondant j' de C3 ; donc, en particulier, aux quatre courbes tangentes du premier faisceau répondent les quatre tangentes du faisceau de rayons dont il vient d'être parlé, et de là résulte que le rapport anharmonique des quatre tangentes des quatre courbes en question en un des

(*) En effet, une courbe adjointe G^g est, en général, précisément déterminée par

-n{n — 3) points doubles; inaiâ elle ne rencontre plus / ailleurs, en sorte que les

recherches faites plus haut sur les courbes adjointes C„, deviennent illusoires.

(') Voir Clebsch, Ueber diejenigen Curven deren Coordmaten sich ah elliptische Functionen eines Parameters darstellen lassen {^Journal de C relie, t. 64, et Clebsch et GoBDAN, op. cit.^ p. 69).

3l4 TOME III. — CBAPITRB I.

points de base du faisceau [x par exemple) est égal au rapport anharmonique (indépendant de j^) des quatre tangentes menées de y kC^ [voir t. II, p. SaS, et t. III, p. 69). Ce rapport anharmonique donne donc le module unique de notre courbe elliptique; on reconnaît que cette dernière ne possède qu^un seul module parla circonstance que C3 a également, par rapport aux transformations linéaires, un invariant absolu unique (savoir précisément le rapport anharmonique précité). Or, comme le rapport anharmonique des quatre tangentes issues dej^ est indépendant de la position du pointj^ sur Cg, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Dans un faisceau de courbes adjointes du (/i — i)«Vme ordre, dont in — 3 points de base sont situés en des points simples de la courbe primitive C„ [d^ ordre n et de genre i),il existe, en général, quatre courbes touchant C,/ en un point qui ne coïncide avec aucun des 2/1 — 3 points de base, et le rapport anharmonique des quatre tangentes de ces courbes en l'un des points de base est indépendant de la situation de ces derniers sur C„. Le même rapport anharmonique donne en même temps le module de la courbe.

Au lieu des courbes d'ordre n — ;, nous aurions pu également employer, pour la transformation, un réseau d'adjointes du jième ordre rencontrant C;, en trois points mobiles, et un réseau de cette espèce peut être obtenu, pourvu que s soit supérieur à/i— 3. Il suffît, en effet, de prendre encore arbitrairement [71(5 — /î + 3)— 3] points fixes sur C„ ; alors, en effet, le nombre des points d'intersection mobiles est égal à

ns — // ( /i — 3 ) — n[s — /î -+- 3 ) -4-3 = 3.

Il résulte de là que le théorème énoncé en dernier lieu pour les courbes d'ordre n — i est également ^^rai pour les faisceaux de courbes adjointes du 5'^'»* ordre, dont n[s — 7I-I-3) — 2 points de base sont situés en des points simples de C,i, pourK^u que s soU supérieur à n — i [^)^ et il en est encore ainsi, en particulier, pour une courbe primitiv^e du troisième ordre. En effet, le nombre

(') Voir aussi Catley, Proceedings of the London mathematical Society, iG octobre i865.

LA CÉOHÉTKIB SUR U^IB COUftIlB ALGÉBRIOCB. 3l5

des courbes tangentes du faisceau dépend uniquement du nombre des points d'intersection mobiles et du genre de la courbe primitive (t. II, p. 171); il est donc, au fond, indépendant de s.

On peut représenter les coordonnées des points d'une courbe générale de genre i comme fonctions générales d'un paramètre, ainsi que nous l'avons fait pour les courbes du troisième ordre

(t. II, p. 388,41^6^^^1^*)'^^^^""^'"^^^^'*^^^"^^^'^^^^^'^'^'^'^'^' Cette représentation est donnée comme d'elle-même dès l'instant

qu'on connaît la transformation de la courbe C,{ en la courbe Cj et l'inversion de celle-ci; mais elle peut être aussi établie directement de la manière suivante (*). Considérons un faisceau y-|-À^|; = o de courbes adjointes du (n — iy*"« ordre passant toutes par a/i — 'i points quelconques de C„ et rencontrant par suite G« en deux points mobiles. L'équation de ces derniers en coordonnées-lignes Ui s'obtient, par élimination des j:„ entre les équations

11 se séparera du résultant un facteur du degré n[n — i) — 2 par rapport aux m/ et ne renfermant pas X; l'équation précilé3, représentée par l'annulation du facteur qui reste, sera donc de la forme

les fv/A étant des fonctions du /i'*"' degré en 1. Comme le second membre peut se décomposer en deux facteurs linéaires, le déterminant des Wik s'évanouit, c'est-à-dire que Ton a

cv„

«'it

"'îl

«'iS

«'îî

"SJ

Désignons les coordonnées des deux points d'intersection mobiles par Xi y X2, Xi et Hi, £2» $3 respectivement; soient, de plus, A> ^2i '3 les coordonnées de la ligne qui joint x et ^. On peut alors poser

(2) W,-,= -l,UQ.

(') Pour ce qui suit, ainsi que pour les applications données plus loin de )a théorie des fonctions elliptiques, consulter toujours Clebsch, loc. cit. {Journal de Crelle, t. 64).

3l6 TOME III. — CHAPITRE I.

en désignant par W/a les délerminants mineurs du déterminant \V; naturellement les grandeurs /|, /a, Q dépendent ici de ï, et nous allons déterminer incessamment la nature de celte dépendance. Pour les coordonnées x/, ^z elles-mêmes, on trouve, en vertu des considérations précédentes, les relations ( ' )

/ j^i ?i = «'il J-t Çi = «'îi — Iz V Q. ^j Si = «'31 -+- 'î V Q.

( 3 ) < .ri ï, = w'ii 4- /j \/Q, J:t Si = "'m ^i Si = "'31 — ^ VQ.

On déduit immédiatement de là les rapports des quantités x et ^. En introduisant les grandeurs arbitraires yi, 729 73 P^^ lesquelles nous multiplierons respectivement ces équations, que nous ajouterons ensuite, nous obtiendrons pour

les rapports des Xi sous la forme

i p-^i = «'il 7i -*- "'lîVt •+■ «'1373 -+- (71^3 — 73^1) v^Qf (4) l P-^i=«'ii7i-+-«'ii7i-+-^*'i373-»- (73^ — 7i^3)v^'

Si on laisse ici le signe de y/Q indéterminé, ces équations donnent les X aussi bien que les {, et il suffît d'assigner à la racine, dans un cas le signe positif, dans Tautre le signe négatif (^).

Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer le degré de la fonction Q par rapport au paramètre X. L'équation Q = o détermine évidemment celles des courbes du faisceau çp-f-Xij/=:o qui touchent la courbe primitive; d'un autre côté, nous savons quil

( ') Comparez les équations (9), t. 1, p. i3i; il faut y remplacer a par x, ^ par ^ />' = — /i par Q, Ç par /.

(') Les expressions (4) comportent une interprétation géométrique très simple. Si Ton considère, en effet, les quantités y^ comme les coordonnées d'une droite, les cucflicients de ^Q sont les coordonnées du point (variable), où la droite y choisie d'une manière arbitraire (mais fixe) est rcucoutrce par la ligne / (c'est-à-dire parla li(;ne qui joint les deux points mobiles). Les premières parties des seconds membres sont les coordounccs du pôle de y, relativement à ce couple do points lui-même, ou, en d'autres termes, les coordonnées du point qui forme, sur la ligne /, avec le point cité et avec le couple auquel appartient x, un système harmonique.

LA GtfOMÉTRIB 8VR UNE CODRBI ALGÉBRIOCB. 817

existe quatre courbes de cette espèce dans le faisceau. La fonction Q est donc du quatrième degré en X; les grandeurs // seront suivant (2) du degré n — 2 par rapport à cette même quantité (*). En conséquence, d'après les équations (2), la représentation paramétrique de la courbe du n'^"^^ ordre de genre i est rationnelle, à part la racine carrée d'une expression Q du quatrième ordre : cette dernière est multipliée par des fonctions rationnelles du (n — 2)""' ordre; les autres parties des expressions Xi sont des fonctions rationnelles d'ordre n; les grandeurs yi n'influencent pas les équations (4)9 ainsi qu'il ressort des équations (3).

Parles équations (4) se trouve au surplus donnée de nouveau comme d'elle-même la transformation d'une courbe Cn en une courbe C3, ce qui peut être mentionné brièvement. Si nous écrivons, en efiet, Q sous la forme

et que nous posions

(* ) Pour A = Jlj : ^,, nous pouvons par suiie écrire les équations (4) sous la forme

px,=a{'H-arVî?. p'.=«i"+«i'-Wî?. P'.=«:"+<«:''-'v'y?-

fl vient alors

et ainsi do suite.

On trouve par conséquent pour les coordonnées //^ de la tangente du point x

+ v^,i [«(*i')«r ' «l"-' + C« - a) yxH»»')»?-*»!"-' ]. et ainsi de suite.

Par là se trouve donnée la représentation paramétrique de la courbe C^ considérée comme figure tangentielle. Que ces dernières équations représentent effectivement une courbe de a/i'**"* classe, comme cela doit être, c'est ce qu'on reconnaît par une marche analogue à celle qui sera incessamment suivie au texte pour montrer que la courbe représentée par (4) est seulement du /i**™* ordre, les ordres des expressions qui figurent au second membre pouvant encore être réduits.

3l8 TOME III. — UJAPITRE I.

les quantités çv/a, /<• peuvent se représenter comme des fonctioDS çvjvt, // enj) I, j^2 du même degré par rapport à ces dernières grandeurs que les quantités Wik, U en X, et y Q devient, à une conslaDte près, égal à )Ujz* On trouve donc les Xi exprimés de la maDière suivante :

(6) p.r/= 7,«';., -h 7i"V,-f 7af^/, + '«(?^']//î.V3,

en faisant [y[)^'=zy2l'^ — 73^2» ^^^- ^^^ ^i ^^"^^ donc représenlés comme fonctions entières du n*^"'* ordre des jv, et entre ces dernières grandeurs existe, d'après (5), l'identité

(7) F(^)=j;/.-r,(j,^j,)(.n-XV.) = o, dans laquelle

ce qui est, en fait, V équation d'une courbe du troisième oi'dre dont le rapport anharnioni//ue [ou module) est ê^al à /.'. Les équations (6) donnent donc Tinvcrsion des formules pji=^i[x] par lesquelles la même transformation est établie, <1>| = o, ^t= o, ^, = o étant trois courbes adjointes à la courbe donnée C^ dans un réseau à trois points d'intersection mobiles. On peut, du reste, au moyen des équations (6), calculer réciproquement les j/ comme

fonction des x/, car on a ). = — 7 fonction rationnelle des x/; par

là j'i, j'j se trouvent immédiatement représenlés, ctjj n'entre dans les équations (6) que linéairement.

D'un autre côté, si Ton part de la courbe (-) et qu'il s'agisse de la transformer en une courbe C„ par les formules (6), les équations qui prennent naissance lorsqu'on égale à zéro les seconds membres des expressions (6) représenteront trois courbes du ^^ieme ordre, et les courbes du réseau déterminé par elles rencon- Ireront encore Cj en n points mobiles; en d'autres termes, // existe nécessairement sur Cs (7) 2/1 points fixes par lescpicls passent toutes les courbes du réseau d'ordre n qui prend ainsi naissance. On peut aussi déterminer aisément ces 2/1 points au moyen des formules ((>). Considérons la courbe rrprcsonice par une combinaison Jinéaire des seconds membres de (()), et for-

LA GÉOMÉTRIE 8» U^tE COl'EBE ALGÊBIIIOCE.

3lÇ)

nions en conséquence, au moyen des trois grandeurs arbitraires ^t, f 2, (Sj, Téqualion

llyi?k'^''ij^ -h //iji73 ( 7^' ?) = o.

Cette courbe renferme également les 2/1 points d'intersection constants dont il a été parlé. Mais, dans le voisinage dej 1 = o, ^2^0, (8) devient le faisceau de « — 1 droites

La courbe (8) u donc au point 71= 0, j',= o un point multiple d'ordre n — i dont une tangente (j', = o) touche la courbe (7). Par conséquent, en ce point tombent n intersections des deux courbes (7) et (8). De (8) résulte d'ailleurs

{227,i3,«.;.;t)«=m«jÎJÎ('/p/')'.

jI pouvant maintenant être éliminé à l'aide de (7). Mais alors il vient, d'après (2) et (5),

'n*:rlAVA = (iiA = -^'f'^k^

si l'on désigne par la notation W^^ les déterminants mineurs formés avec les quantités {\\j^. Le second membre de (9) devient par suite le déterminant

w;, AV.. w;, 7. s, w'„ w;, w;, 7. ,9.

.Si Si ?4 " O

L'équation (9) se décompose donc en deux autres, savoir

dont la seconde seule dépend des constantes spéciales |3 de la courbe (8); la première fournit en conséquence n rapports conitlants^i :j>2» et à chaque rapport de cette espèce correspond, en vertu de (8), une valeur dej-^y également indépendante des con-

330 TOm III. — CHAPITBE i.

stantes (3, de sorte qu'au mojen de Véquation

combinée avec (8) on troux^e les n autres points d'intersection constants. Car, pour ce qui concerne la valeur de >'3, on a nécessairement, si la valeur trouvée au moyen de (8) doit être réellement indépendante des jS/,

'"JiJi — Jt "p — p "p

ys^ — yî's yi^s — ys^

^3iyi-^""8«y»+^*^s»ya yi^i — yi'i

En égalant ces quotients deux à deux, on a les trois conditions

lesquelles se réduisent, en vertu de (ii), à la condition unique

Mais cette dernière relation, multipliée par n^^J^^j\fn^ se transforme, à cause de (lo), en

^^«'l^y/Wi/.^ W'. 7A= o; t k

et cette condition est en fait remplie, parce que le déterminant W des grandeurs w]j^ s'évanouit.

Actuellement, l'introduction des fonctions elliptiques est immédiatement donnée par les équations (6). Au moyen de ces dernières, les points de la courbe (7) seront en effet représentés, d'après ce qui a été dit précédemment, par les équations (t. Il, p. 358)

p jj zz: sin' am a, p j, = sin am «, p/, = cos am a . A aro u.

Si donc on divise dans les deux membres de (6) par sin^amu, on obtient des formules de la forme

(12) (7ar/=Fl.»^(sin«am£^)4-FÎ''-«>(sin*amtf)^^î^^^

le degré des fonctions F/, par rapport à leur argument, étant in-

LA GÉOMénUB SUR CNE COCBBE ALGÉaRlQl'E. Zit

diqué par l'indice supérieur; ce degré peut d*ailleurs être encore abaissé, ainsi qu'il sera expliqué plus loin.

Dans les équations {i^), on peut (semblablement à ce qui a été fait t. II, p. 390) introduire la fonction H(u) à la place de sinamu, et Ton est ainsi immédiatement conduit de nouveau au théorème d'Abel. Chacune des expressions qui figurent dans le second membre de (12) s'annule en effet pour a/i valeurs de l'argument u. Si nous désignons ces valeurs respectivement par

ir «1»

*1» *î' •••! *rt» */l-»-l» •••» *|/1>

on a, d'après la proposition dont il a été déjà fait usage pour les courbes du troisième ordre (*), et en écrivant de nouveau a à la place de a&^'*[u) et désignant par C/ des constantes,

(i3) <r.r/=QH(« — a'/').HlM — a/')...H(a — a^';).

Mais la ligne Xi= o coupe C/i en n points seulement; donc, parmi les a/i valeurs racines de l'argument u qui se présentent dans les seconds membres, n sont sans usage pour nous, en tant qu'appartenant simultanément aux trois lignes X\ = 0, X2'= o, X3= o. Le fait se vérifie directement sur les équations (4)- Si l'on détermine en effet les rencontres d'une droite quelconque (3^=: o avec C«, cette détermination sera nécessairement réalisée par une équation du /!'*"• degré relativement au paramètre i. Si l'on porte d'ailleurs dans Px = o les valeurs des xi tirées de ( 4 ) , il vient

ce qui, en vertu de (5), est encore l'équation (8) ; or nous avons déjà démontré, à propos de cette dernière, qu'elle possède n racines complètement indépendantes des ^i, savoir les racines de l'équation (11). Nous pouvons donc poser

*rt+l *«+! *«+!» */t+J */»+l — *.«+î> •••1 «j/i — *j/i — ^i/iî

(') Cette proposition de Hermite est au fond, pour le cas de ^ = 1, identique au théorème général sur la représentabilité des fonctions algébriques par des quotients de fonctions 6. {f^oir Ribhanm, op, cit., § 27; Clebsch et Gobdar, op, eit,, p. 3^4 ; ROCH, Journal de Crelle, t. 66, p. 99; Wbbbb, ib., t. 70, p. 3 16).

Clbbsch. — Géométrie, III. 31

323 TOMB m. — CIIAPITIIE 1.

et SI nous faisons en sorte que le facteur

qui se présente dans chacune des trois équations (i3) s'absorbe dans le facteur de proportionnalité, il vient

(i4) (7jr,-=C/H(i/-«'/').H(«-a;'')...H(«-.a;;').

Actuellement, pour les mn arguments ««, «2, . . • , oimn des points d'intersection de notre courbe C» avec une courbe du m'*"* ordre, on a, d'après le théorème connu de Hermite (t. II, p. 890 et suiv.) et sans qu'il soit nécessaire d'entrer de nouveau dans les détails.

(l5) a, -f-a,H-. . .a,„^ZEw2r,

9- étant égal à — a^^^ — a\^^^ ... — a^^ ; or ce n'est là autre chose que le théorème d'Abel, car le paramètre u est précisément égal à V unique intégrale finie qui appartient à C^ (t. II, p. SSj),

JC^ dz

— pour z

=: smam//.

Nous n'insisterons pas une fois de plus sur les applications du théorème d'Abel pour la détermination des courbes de contact dans ce eas particulier de /> = t . Rappelons seulement qu'ici aussi il faut faire usage du problème de V inv^ersion étendu (p. 266), dès que l*on considère des courbes ne passant pçis par tous les points de la courbe primitive C„ (* ).

Comme pour les courbes du genre zéro (p. 294)» on peut ici se poser la question inverse de savoir si par des équations de la forme (4) ou (i4) se trouve toujours représentée une courbe du genre i, et comment, s'il en est ainsi, se déterminent les singularités de celle

(*) foiV pour les détails le Mémoire déjà cité de Clebsch. On y trouve, traité avec 8oiD| roxcmplc d'une courbe de quatrième ordre à deux points doubles, y compris en particulier la détermination de ses tangentes doubles. Ces courbes ont été étudiées au point de vue purement algébrique (dans un ordre d'idées d'ailleurs tout différent, par Casey, Chasles, Quetelrt, Cayley, Habt. (f'o/r sur ce point Salmox, Higher plane curies). On a surtout fait des recherches sur les propriétés métriques des courbes du quatrième ordre, dont deux points doubles se trouvent aux points circulaires. Quant à l'équation algébrique dont dépend la détermination des courbes de contact non adjointes et de l'ordre n — 3, voir C. Jobdan, Traité des Substitutions, p. 33i.

LÀ CÉOMtTRIB ftCR C!<B COUBBB ALGÉfiBIODE. 333

courbe (*). Que la première question doive recevoir, en général, une réponse aflirmative, c'est ce qui a à peine besoin d'explication (^); pour ce qui concerne la seconde, nous allons déterminer les points doubles au moyen de la représentation paramétrique de C„y ce qui au surplus résoudra complètement la première. On pourrait d'abord, en prenant pour point de départ les équations (6) combinées avec (7), procéder comme il a été enseigné dans la théorie générale des transformations unidéterminatives d'une courbe algébrique, c'est-à-dire au moyen de la courbe M = o (voir p. 5); toutefois, nous nous proposons d'effectuer cette détermination en faisant uniquement usage des variables binaires introduites dans les équations (4)-

Dans la recherche dont il s'agit, ces dernières équations ne peuvent d'ailleurs être employées telles qu'elles sont. Nous avons vu, en effet, que les expressions qui figurent dans leurs seconds membres s*évanouissent simultanément lorsque la condition ^Ytw\'j^yi'/ff== o est remplie, et la cause en est nécessairement que les expressions en question renferment toutes les trois le facteur yX2wj-;^y,yA, le carré de ce dernier se présentant comme facteur de l'équation (9), déduite de (8) par élévation au carré. Actuellement, pour mettre les seconds membres de (4), au moyen d'une substitution irrationnelle, sous une forme aussi simple que possible, le mieux est d'avoir recours à la représentation par fonctions elliptiques, c'est-à-dire aux équations (12) et (i4)' Introduisons dans ces dernières, à la place de u, un nouveau paramètre (')

fi6; «' = 1/ ï

et à la place des a les valeurs constantes

(') Des questions analogues se présentent à l'égard d'une autre représentation paramétrique d'une courbe de genre /i = i, laquelle est basée sur la représentation d'une fonction algébrique par des intégrales de deuxième espèce et a été étudiée par Hebmite {Journal de C relie, t. 82); i^oir aussi la note de la paje a32.

(*) Des exceptions pourraient se présenter par exemple dans le cas das courbes décomposftbles.

(') Semblablemout ce qui a été fait pour une courbe C,, t. II, p. 891.

ai.

334 TOME III. — CHAPITBB I.

en sorte qu'on puisse écrire les équations (i4) sous la forme

(,7) px,= QH(.-p'/').H{.-p'/')...H(.-,9„")

avec

pf/)4.(3io^... + p(/)=o, (/ = i,a,3).

Maintenant, en vertu de cette dernière relation, on peut, en prenant la proposition réciproque du théorème plusieurs fois cilé de Hermite, donner aux équations [ly), si n est pair, la forme

(.8) P^/=C,[F!ï)(p) + ^V(,f.)(,-AV).FpV)],

dans laquelle p est égal à sin^am^, et les indices supérieurs desFi indiquent Tordre de ces fonctions, et si n est impair, la forme (')

(19) px,= cIf!-'"") (i.)f^ + ^(.-^)(.-AV)-FS'^^.a)l.

ou si nous multiplions par y/fx dans les seconds membres

(.9)- px,= q[f!-'-') m -i- v/p.(,-^)(,/V).Fi.^)(f.l].

Les fonctions elliptiques ont été introduites dans les équations (4) au moyen de la substitution

•20) r • ^V=:sm'amtt.

D'un autre côté, la variable ^i qui se rencontre dans (18) et (19) a la signification suivante :

(21) vu = smam( u 1 = i — -i—]

^ ' '• \ nj I — Â'u'

)/ étant défini par (20], et e par

( 22 ) v/s = sin am — •

(*) La modification du théorème pour ce cas peut être déduite de ce qui précède, en prenant par exemple ^^' = o ; alors dans le premier membre doit se séparer un facteur \fi = sinamc, et il reste les expressions indiquées. Le résultat oblenu dsni (19)* concorde avec celui obtenu pour les courbes de troisième ordre, t. Il, p. 4*^y

car on a pour ces courbes - (/i -h i) = a, - (n — 3) = o.

LA GÉOHÉTRIB SUK UKS COIIBBI ALGÉBBIQUB. SsS

Nous avons, en conséquence, passé des équations (4) aux équations réduites (18) ef (19) au moyen d'une substitution irrationnelle (ai) qui a rendu possible la suppression des facteurs superflus. Imaginons enfin qu'au lieu de fx on ait introduit un nouveau

a -H jSz

paramètre r, tel que fx= 3-, et nous pourrons énoncer les ré-

sultats obtenus sous la forme suivante :

Les coordonnées d'un point d'une courbe d^ ordre a m et de genre i peuvent toujours se représenter sous la forme

p^,=//'«'(3)±yr-«'(z)^R(»)(3),

et celles d'un point d'une courbe d^ ordre am -h i sous la forme

Nous pouvons, pour une courbe d'ordre /i, réunir les deux représentations dans la formule unique

(a3) .ox,=//*'(z)v/M±fi*'(*)v/N,

en convenant de prendre /r ^ - /i, /i < - /i et h-^k = — a, et en

supposant en outre que M soit de l'ordre n — aA", N de Tordre n — 2 A- (en sorte que le produit MN soit toujours du quatrième ordre). En fait, les équations (a3) représentent toujours une courbe C/i, car, pour les points d'intersection avec une droite Px= o, on trouve l'équation du /»**■• degré en z

Les points doubles de la courbe (a3) se déterminent par la circonstance que l'on obtient, pour deux valeurs différentes z, z!, des valeurs des xi proportionnelles les unes aux autres. Alors ont lieu les équations suivantes

(24) y:VM-hri-v^=^(/;-v^-+-?w'^X

les accents se référant dans le second membre à l'argument z^ Les déterminants ternaires que l'on peut former avec le tableau