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par la suppression d^une Jigne verticale, divisés par z — -z', seronl désignés respectivement par F, $, F', $', en sorte que ces fonctions seront respectivement
en 2, des ordres h — i , A- — i , // -h X — i , h -{- k — i et en a', des ordres h -^ k — i , // 4- X- — i , h — i , k — 1 .
De ( 24 ) résuUe alors
v/Âî : vN : ^v^if : <t v'n"' = F : ♦ : F' : 4>\
ou
^^ . ( F'»N' — ♦'*]Vr = a(z',z)=:u.
Ces deux équations sont pour le premier argument du degré « — 2, pour le second du degré un — 6, el ne diffèrent que par l'échange de z avec z\ Si donc on élimine z' entre elles, le résultat est divisible par Q.[z^ z) et, par conséquent, après séparation de ce faclour, l'expression restante est du degré
Mais l'équation ainsi obtenue possède encore un facteur sui'abondant, car les équations (^S) ne donnent par réciprocité les conditions des équations (9.4) que si F, 4>, F', ^ ne s'évanouisscni pas simultanément. Or cette dernière circonstance peut, en réalité, 6e présenter. En effet, parmi les équations
la troisième et la quatrième sont toujours une conséquence des deux premières. Car, puisqu'en vertu de l'origine de ces expressions on a toujours identiquement
on aura toujours, pour F = o, ^ = o, les trois équations
desquelles résulte toujours F'= o, 4>'= o en général (c'est-à-dire si l'on n'a pas, par exemple, simultanément y,' = o, cl», = ^ ^^ (/j?3 — fz9'2 = o)« f^r, d'après ce qui précède, les ordres de F el ^
LA GÉOMtfTlUB ftUK V^E COCRBB ALCâBaïQCE. 3 27
sont égaux à /i — i et A: — i en z, et k h-^k — i en z'. Le nombre des couples de racines z, ^ communs aux équations F=:o, 0 = o est donc égal à
Mais chacune des expressions (a5) s'évanouit au second ordre en -vertu de (26); si donc nous considérons ces équations comme les équations de deux courbes par rapp(**t aux coordonnées 3, z', les points du plan qui correspondent aux [n — 3)(/i — 4) couples de valeurs c, z' dont il a été parlé sont des points doubles des deux courbes, et par conséquent 4{^ — ^){^ — 4) intersections de ces courbes s\ trouvent réunies. De Téquation déduite de (sS) par élimination de z'y on pourra donc séparer un facteur du degré 4(n — 3 ) ( /i — 4) ; le reste est alors du degré
( /< — 3 ; ( 5 « — 16) — 4 // — 3 ) ( /i — ^ =zii(^n — 3 ) .
Ce fait est d'accord avec Texislence de -n(/z — 3) points doubles,
puisqu'à chaque point double correspondent deux arguments et par conséquent deux racines de Téquation en question. Cette dernière possède en même temps la propriété qu'une racine z' tirée de (25) est toujours une fonction rationnelle d'une racine déterminée 3, et que z est la même fonction rationnelle de-z'. On résout donc l'équation du n{n — 3y*™« degré dont il s'agit à l'aide d'une équation du degré -/i(/2 — 3)etde-/2(/i — 3) équations du second degré.
