XIV. — - Les courbes du genre /j

JNous nous proposons pour finir d'étudier encore en détail les courbes du nf^^*^ ordre du genre p = 'i. Nos recherches générales précédentes ont déjà fait ressortir que ces courbes appartiennent toujours à la classe des courbes hjperelliptiques [voir p. 72, note), c'est-à-dire que l'on peut toujours assigner un faisceau de courbes adjointes C;;3 qui les coupe en deux points mobiles seulement (déterminant ainsi sur C,, un système g\^'') ; d'où cette conséquence que toute courbe du genre p = 2 peut être ramenée à une courbe du quatrième ordre ayant un point double, et cela toujours sous

3^8 TOMB 111. ~- CBAPITIE I.

la forme (p. 76)

(i) J?î?t(^i»'«'>) — ^♦(•^i,-ri) = o.

Le fait qu^il existe réellement un semblable faisceau de courbes Gn-z est évident 5 car, puisque p — 1 = 1 et/?2 — 2 = 2, il y a juste un seul système simplement infini de deux points pouvant être déterminé par des adjointes C/i.j.

On pourra faire usage de ces faisceaux de courbes C„3 pour effectuer la représentation paramétrique de notre courbe C/i comme des faisceaux de courbes On-t dans les courbes du genre ^ = i. Ce procédé est d'ailleurs également applicable dans les courbes hyperellip tiques de genre plus élevé; nous allons, pour cette raison, effectuer immédiatement la représentation paramétrique pour des courbes hyperelliptiques quelconques. Une courbe de cette espèce a été définie par la circonstance quMl existe sur elle un .système g^j *; il y a donc, en toute hypothèse, un faisceau

de courbes G/,j déterminant g^^* par leurs intersections. En éliminant les Xi entre (i), (2) et entre F équation iix= o, et en négligeant les facteurs indépendants de X (^), on obtient le produit des équations des deux points d'intersection mobiles sous la forme

(3) lIw,X:UiU,,=zO,

les Wik étant des fonctions du n^^^° ordre en X dont le déterininanr est nul. On a donc aussi, comme dans le cas de p=i, pour les coordonnées des points d'intersection mobiles considérées comme fonctions de /, les expressions (p. 3 16)

les y,- étant encore des grandeurs arbitraires, et Q, /|, /a, U ^^^

(*) Il y a, en effet, encore ip — 4 points de base du faisceau (1) qui sont placéi en des points fixes simples de C^. Pour y s= a, étant admis que l'on fera usage d'un faisceau de courbes C,-,, des considérations analogues à celles du texte ont été données dans Clebsch et Gobdan, op, cit., p. 77. {f^oir, sur ce sujet, quelques corrections de Clebsch, Math, jénnalen, 1. 1, p. 170.) Pour les courbes hyperelliptiques quel* conques, consulter aussi la note de Cremona, citée p. 70. **

LA CÉOMÉTBIC SUR DXB GOURDE ALGÉDRIQCB. 339

fonctions rationnelles de X, de telle nature que l'on ait (5) ///*Q = -Wa.

Mais, dans le cas actuel, le degré de la fonction Q en X n'est pas le même que dans le cas de p =,i. Ce degré est, en effet, évidemment égal au nombre des courbes tangentes comprises dans le faisceau (a), c'est-à-dire (t. II, p. 171) égal à (*)

En vertu de (5), les quantités //sont alors du degré n — p — 1 on X, caries quantités W/a sont du degré 2/1. Si donc on pose

6) ^ Q=--(>. — ^i)(> — «î)...(> — ^yj/H-î)»

et ensuite

i .>'i = (>- — «i)(û8 — ^t)» rî=(>' — «i){«i — ''i)f

en faisant, pour abréger,

B) ^^ '!i:ZJll,'ll^llUh (r::=,,2....,2/>-,).

«j — /#, rt^3— «î

on peut représenter les fonctions Wiky h comme fonctions homogènes w^f^ d'ordre n et /)• d'ordre n — p — i en y^^ j^a, et l'on obtient ainsi, poiu' les a:, les expressions rationnelles par rapport aux j,

De (7) et (8) se déduisent d'ailleurs les relations

(*) On le vérifie encore directement par la recherche du déterminant fonctionnel ^^ /i Xiy Xt 4^^ détermine les points de contact sur /= 0.

33o TOUB m. — COAPITRK l.

de sorte qu'en vertu de (6)

(12) Q = /w'.rirt(ri— rî)(ri— ^'îri)!/! — ^•î^t)...(7i — A:*^-ij!\

Par conséquent, entre les quantités y elles-mêmes^ existe, en vertu rfe ( J7 ) , l'équation

I =(ri — 72)(ri— ^•J-ij2)..-(rt— ^ip-tjj).

Notre courbe C„ est donc, en fait, ramenée par la substitution (1 1 ♦ à la foime normale précédemment indiquée et caractérisée

Si Ton imagine qu'inversement Téquation (i3) soit donnée, H

que la courbe Cp^2 ainsi représentée soit transformée au ihoveii

des formules (10) en une courbe C«, f[x) = o, les trois courbes

du /i»^"*« ordre représentées par l'évanouissement des expressions

qui figurent au second membre de (10) devront avoir toutes leur>

intersections avec la courbe (i3) commune, excepté n, c'est à-dire

que, [3<, (3j, jSa étant des paramètres homogènes, les courbes du

réseau

ne pourront rencontrer la courbe d'ordre p + '->- donnée dans (i) qu'en n points mobiles. Le fait se vérifie comme au cas de /; = i- En eflct, dans le voisinage du point [ji = o, j',= o), on peut remplacer la courbq (i4) parle système de « — i droites

(Pv^')jirj(.>i — '^îri) • "b'i — ^p iJî) = ».

dont p sont indépendantes des |3| et en même temps tangentes de Cp^2 en son point multiple d'ordre p. Par suite, on ce dernier, toutes les courbes du réseau (i4) ont un point multiple d'ordre n — 1; donc

[n — i)p ~h p= np

intersections de chacune des courbes G« ci-dessus avec €^,4.2 s > trouvent réunies. On démontre, d'ailleurs, aisément (à peu prè> comme p. 3 19) que n autres points fixes du réseau en question

LA GÉOMÉTRIE SCR DXE COCRBK ALGiinRIQUK. HH I

sont donnés sur C^+2 pai* Téquation

Le nombre des points d^intersection mobiles de cette dernière courbe et des courbes du réseau est effectivement égal à

n (/? -^- 2) — np — «m /i.

A l'aide d^une substitution irrationnelle, on pourra encore abaisser les ordres des seconds membres des équations (10) de telle manière qu'il ne s'y rencontre plus de points racines communs. Mais nous n'entreprendrons pas ici cette recherche.

Nos explications précédentes sur le théorème d'Abel, s\ir le problème de Jacobi et sur l'extension du problème de l'inversion ( * ) conservent ici toute leur valeur, ainsi qu'il suffit de le rappeler en un mot. Faisons seulement observer que pour la forme normale {i3) des courbes hyperelliptiques toute courbe adjointe C„3 (ici Gp<) se décompose en ^ — i droites passant par le point multiple d'ordre p.

En finissant, nous voulons appeler l'attention sur./e problème de la trisection au cas de p = 1 qui a été traité en détail d'une manière purement algébrique, et qui a ainsi conduit à des questions intéressantes de la théorie des formes binaires. Soit

l'équation de la courbe primitive C4 ; y et^ sont ici respectivement drs fonctions homogènes l'une du deuxième, l'autre du quatrième ordre en x, j* Nous désignerons par s elt les deux intégrales normales de première espèce ; nous indiquerons les limites supérieures par l'addition d'indices supérieurs, et nous choisirons leur limite inférieure constante, en sorte que, o", t étant des grandeurs don-

(*) Pour ce qui concerne les intégrales tiyperelliptiques, voir ce qui a été dit p. x5i, ei, pour le théorème d'Abel, le Mémoire d'AoEL cité p. 200. Sur la solution du problème de l'inversion, consulter aussi les travaux cités p. i3G, de Weierstrass, Neuman?! et Phth; et. pour le cas particulier de /? = 3, le Mémoire de Roseshai.n cité p. i85. L'extension du problème de l'inversion a été traitée précédemment pour /? = 'i (p. a6S et suiv.); voir aussi le travail de Brill mentionné au même lieu.

nées, le problème d'inversion de Jacobi se présente dans les équations suivantes ,

Soit maintenant (^ une fonction homogène encore indéterminée du troisième ordre en x, ^ ; l'équation

( 1 8 ) zf — v=z o

représente une courbe du troisième ordre qui a de même en x = o, j)^ = o un point double dont les branches touchent les branches de la courbe (17). Donc six des douze points d'intersection des deux courbes tombent au point double ; on obtient les autres au moyen de l'équation du sixième degré

(il)) f.«— ,p.p=o, ou (>* — /= o (/=y.-f)

qui se déduit de (17) et (18). Mais nous nous proposons en particulier de chercher des fonctions ç», telles que les courbes correspondantes (18) aient un contact du second ordre avec C4 en deux points différents. Pour ces fonctions l'équation (19) doit avoir deux fois trois racines égales; on aura'donc identiquement

u désignant une forme quadratique ; ou, ce qui est la même chose, il faut que la forme donnée du sixième or^dre f{ = <ff^) puisse être réduite à la forme J*= v^ — "' (M* ^ chaque manière de représenter la fonction f sous cette forme correspond une des courbes de contact cherchées, ou plutôt deux, qui sont données par les équations

Zf — <• = o et sy-hr = o.

Sous forme transcendante le même problème est représenté par les équations

(*) Ce problème de transformation a d'abord été traité par Gatlkt {Quarterly Jour* nal, t. IX). On le trou?e résolu d'une manière complète et en connexion afee le problème de la trisection, dans Glebscb, Abhandlungen der K, GeselUehafi itr fVissenschaften zu Gôttingtn, t. XIV, 1869; 'voir aussi les notes de Baiosoii sur cei objet, Annali di Matemacica, série 3, t. VIL

LA CÉOMÉTftIE 8IIB UNE COOBDS ALGÉBRIQCE. 333

OÙ c et 7 désignent des constantes qui sont indépendantes des constantes de la fonction u. Mais Téquation (i8) est évidemment satisfaite aussi de la manière demandée par une courbe du troisième ordre improprement dite qui se compose d'une droite comptant trois fois menée par le point double. En admettant qu'une ligne de cette espèce coupe la courbe donnée en deux points auxquels correspondent les intégrales a^*^ a^^\ t^*^, t^^\ on a aussi alors

ou, enGn, P, Q désignant des systèmes de modules de périodicité liési entre eux,

ce sont là les équations du problème de la trisection spéciale (p. 232). Pour P = o, Q = o, on a de nouveau la solution improprement dite indiquée il y a un instant, et qui est en même temps indéterminée. Il reste encore 3* — i = 80 solutions proprement dites qui correspondent aux différentes manières d 'amener '*la fonction f à la forme v^ — u*.

Mais parmi ces quatre-vingts solutions deux sont toujours liées Tune à Tautre, de telle façon que, si Tune conduit à m, l'autre donne — v. Considérons, en effet, deux solutions pour lesquelles les périodes P, Q sont égales et de signe contraire, et désignons les intégrales qui répondent à l'une d'elles par les indices 1,2, celles qui répondent à l'autre par les indices 3, 4; on a, d'après (21),

5(1)4. ,(t)^ j(8)^ ,(4)4. ^(l), ^(t) 3[<y(l)4- ff(«)] == e,

rCD-h r(«^4- /(»)4- rf*)-+- Tf*) -h t(*)= 3[tO>+ t(«)] = 7.

Les points de contact des deux courbes de contact employées sont donc situés^ conjointement avec les points d'intersection d'une droite menée par le point double, sur une courbe du troisième ordre du système (18). Mais cette dernière est coupée en quatre points parla droite menée d'une manière quelconque parle point double; elle se compose donc de cette droite et d'une conique;

celle-ci doit enfin couper C4 en quatre points au point double, y avoir conséquemment elle-même un point double, c^est-à-dire se décomposer en deux droites. Donc les points de contact de Tune des courbes de contact sont situés conjointement avec ceux de Tautre sur deux droites passant par le point double, et cela dételle sorte que chacune des droites renferme un point de contact de chacune des deux courbes du troisième ordre, car, s*il en était autrement, il faudrait qu'il existât aussi des équations de la forme

Uéquation ^"^ — f= o doit donc fournir les mêmes racines pour les deux courbes, c'est-à-dire que les deux fonctions correspondantes {^ ne peuvent différer que par le signe (*). Deux solutions de cette espèce conduisent ainsi à la même transformation de /, et Ton a seulement quarante solutions différentes au fond. Ces dernières sont groupées, d'ailleurs, les unes par rapport aux autres d'une façon très remarquable, ainsi qu'il résulte, d'une part, de la théorie des formes binaires, d'autre part, de celle des équations de division pour le cas de /> = a ( ^ ). Ce n'est pas ici le lieu d'approfondir ces recherches. Nous nous contenterons d'appeler rattenlion sui: la connexion intime de ces questions purement algébriques et de celles qui proviennent des problèmes de l'inversion et de la division des intégrales abéliennes, connexion que nous avons plusieurs fois mise en lumière et expliquée au cas de p = i, en considérant les systèmes de points sur une courbe du troisième ordre [voir spécialement t. II, p. 4^7 et suiv.).

(*) Cela résulte au surplus de la manière complètement symétrique dont se comporte la courbe primitive vis-à-vis de la ligne s = o.

(') F'oir Camille Jordan, Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences. avril 1869.

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