CHAPITRE II

I. — Formes algébriques ternaires à plusieurs séries de variables.

Systèmes équivalents.

Dans DOS éludes antérieures, nous avons considéré le plus souvent comme figure fondamentale une courbe particulière envisagée, soit au point de vue tangentiel, soit au point de vue ponctuel : ou, pour parler le langage de l'Algèbre, nous avons pris comme Jbrme fondamentale une forme ternaire dont Tévanouissement représentait précisément la courbe dont il s'agit, et Tétude des invariants, des covariants et des formes mixtes de cette forme fondamentale s'est présentée à nous comme se confondant au fond avec l'étude des propriétés projectives de la susdite courbe et des figures qui en sont déduites. Cependant l'Algèbre doit se proposer la tâche d'étudier aussi les formes fondamentales qui comprennent plusieurs séries de variables, coordonnées-points x/,^/, . . . , ou coordonnéeslignes M/, s^i, . . . , ainsi que le cas s'est déjà présenté dans les polaires d'une courbe; problème qui, à cause de sa généralité, semblerait d'abord étranger à la Géométrie. Mais il y a ici un fait très important, c'est que l'élude de ces formations tout à fait générales peut toujours être ramenée à l'étude d'un système simultané déformes dont chacune renferme seulement une série de coor^ données-points, ou une série de coordonnées-lignes, ou bien une série de coordonnées-points et une série de coordonnées-lignes {^"voir aussi 1. 1, p. 335 ). Conjointement avec la courbe ( considérée comme figure ponctuelle ou tangentielle) se présente donc algébriquement au même titre la figure représentée par l'annulation

336 TOME m. — CHAPITRE II.

d'une forme mixte quelconque (* ), figure que l'on désigne sous le nom de connexe^ et dont l'étude attentive est également réclamée par la Géométrie, l'Algèbre et la Géométrie étant destinées à se faire avancer l'une l'autre par une action réciproque et constante. Toutefois, avant d'approfondir les connexes, il sera bon d'expliquer en quelques mots les théories algébriques indiquées et de les éclaircir par des exemples, sans que nous puissions, d'ailleurs^ viser à être complet.

Deux systèmes de formes algébriques seront appelés e^uiVa/e/i/5 lorsque tous les invariants fonctionnels de l'un sont compris parmi ceux de l'autre, et, réciproquement, lorsque, par conséquent, Tensemble des invariants fonctionnels que Ton peut former est identique pour les deux systèmes ; or la condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que toutes les formes de l'un des systèmes soient des covariants simultanés des formes de l'autre système, et réciproquement. On pourra donc, pour un système donné, trouver des systèmes équivalents de plusieurs manières très diverses ; toutefois on choisira de préférence pour l'étude certains systèmes plus particulièrement appropriés à l'objet qu'on a en vue. Un système de cette espèce, très important pour notre but, est celui qu'on appelle le système réduit équivalent des formes proposées, et qui est caractérisé par la circonstance que chacune des formes qui en font partie renferme une seule série de coordonnées de la même espèce, alors même que dans la forme primitive se trouveraient plusieurs séries de cette. sorte. Faisons observer immédiatement ici que toute forme déduite d'une forme donnée II parle

procédé invariant

dn an an

ÔXi <7Xj OJC^

c'est-à-dire par formation polaire, doit être considérée comme un covariant de la forme II, ainsi que nous l'avons toujours fait pour les polaires d'une courbe. Conséquemment, le système équivalent d'une forme à deux séries de variables (x/, j/), par exemple, qui est la polaire d'un certain ordre d'une forme à une seule série de coordonnées-points, se compose simplement de cette dernière forme

(*} Jusqu'ici, an contraire, nous n'avons considéré les formes mixtes qu'en tsnt que figurant parmi les invariants fonctionnels d'une forme à une série de variables.

elle-même. La question proposée ne commence donc à présenter de rintérét que pour les formes représentables symboliquement par le type ( * )

sans cependant provenir de la forme a!^ V^ par formation polaire. Le cas le plus simple est celui où m = n = i ; alors Téquation axhy-=- o représente la transformation dualistique la plus générale, car (pour ai]^= ciiï>k) à tout point j' répond une droite ayant pour coordonnées

Dans le cas seulement de aik=aftij cette transformation se confond avec la réciprocité polaire qui a pour base la conique SZa/AX/XA=o, c'est-à-dire ax^x=o; donc, dans ce seul cas, a^by est la polaire de la forme a^rix (^)«

Nous voulons, dans ce qui suit, nous borner à l'exemple que nous venons d'indiquer, c'est-à-dire au cas où deux séries de coordonnées-points se rencontrent dans une forme fondamentale (i). Nous pourrons expliquer suffisamment, à ce propos, le fond des recherches dont il s'agit (^). Nous disons, dans ce cas, que, pour m supérieur à n, le système des formes

(2) 9^=a^b%, ^,= aT'b%''[abu]. ..., <f,= [abuYa

est équivalent à la forme f=^o^l>" dans le sens indiqué. La forme f est donc alors remplacée par une série de formes qui offrent un caractère plus simple en ce qu'une seule parmi elles est du même degré total que f, mais ne renferme qu'une série de

(') Cette notation symbolique a déjà été employée occasionnellemeot, t. II, p. i54 et suir.

(') Nous ne reviendrons plus dans la suite sur les formes bilinéaires. Faisons seulement observer ici que celles-ci ont été étudiées sous les points de vue les plus divers. Pour la théorie algébrique, voir surtout les Mémoires de Kronecker, dans les Comptes rendus mensuels de VAcadémiede Berlin, année 187'!.

(') Le problème relatif aux formes renfermant un nombre quelconque de Tariables et un nombre quelconque de séries de variables a été traité en général par Clebsch, dans le Mémoire cité, t. I, p. 335, et qui forme la base des développements du texte. On trouve aussi un exposé sommaire de ce Mémoire dans les Math. Annalen, t. V» p. 427.

Glbbsch. — Géométrie, III. 22

338 TOMB m. •* CHAPITRE II.

coordonnées-points, tandis que les autres sont d'un degré total moins élevé; l'expression degré total désignant ]a somme des degrés par rapport aux x et par rapport aux u, c'est-à-dire ici les nombres respectifs

Nous avons maintenant à montrer que les fonctions 9/ sont des invariants fonctionnels de y, et qu'inversement/* est un covariant simultané des fonctions (f|. Mais le premier point est déjà évident par la loi symbolique de formation des cp/; rappelons au surplus que les cp/ dérivent de/* par l'application réitérée d'un procédé invariant (t. I, p. 335). En effet, on déduit simplement 90 de y* en posant X =y, et cfi, 92, ... dérivent semblablemçnt des fonctions suivantes :

mnff\ z= mna^-^ b^r^ (abu)

\dx^djr^ dx^ày^j^ \àx^dyx àxiôfi)"' Jll ^V.

(;n~-i)(/i-i)y;=(/i/-i)(/i-iX-*^rM«^")'

\dxiâjrt àx^djrj *' et ainsi de suite. On a, par conséquent,

Il nous reste maintenant uniquement à démontrer que y* est également un invariant fonctionnel des 91. C'est à quoi l'on parvient en représentant y comme une somme de formes dérivées des formes (fi par un procédé invariant. Posons, en effet, d'abord dans ces dernières,

ou, en d'autres termes, déduisons-en les formes

LB8 comaxis. 33g

Désignons ensuite par D le procédé polaire invariant

^ du dn du ,

^, dn'^ dn' du'

Alors toutes les formes D^^i sont évidemment des invariants fonctionnels des formes f/, et nous disons que laJormef= a^b^peut toujours se représenter suwant le type

les «1 désignant des facteurs purement numériques et à détermination unique.

Pour la détermination des coefficients a,*, on n'obtient^ en effet, par identification des deux membres de (4)» qne des équations linéaires et précisément en nombre voulu. Soit, par exemple,

d'où

et ensuite, pour abréger,

il vient

L'équation (4) se transforme donc en

/= (2ao-4- aj-i- a,)/-i- (l2ao-+- «i — 2««)/ -+- (6ao— ^a^H- a,)/',

et Ton a conséquemment, pour les a/, les équations

i2ao-l- «1 — 2a2ino, 6ao — 2«|-+- aj=io,

d'où, en résolvant,

34o TOME III. — CHAPITRE II.

en sorte que

Semblablement, dans le cas général, les termes du second membre sont des fonctions linéaires des /z -h i formes

d'où, en vertu de (4)»

les (3/ étant des combinaisons linéaires des a/ à Tégard desquelles doivent avoir lieu les équations

Il nous reste encore seulement à montrer que ces dernières équations donnent toujours un système de valeur déterminé des a/. Or Téquation identique (4) donnée pour/ doit être satisfaite identiquement si Ton pose

et cela indépendamment de X, c'est-à-dire que les coefficients des mêmes puissances de X doivent être égaux dans les deux membres. Mais, par cette substitution, ^i se transforme en

et généralement (p/ en

Si donc nous faisons, dans Péquation qui a cette origine, X = o, nous obtenons une équation dans laquelle Uq entre seul, et ce nombre se trouve complètement déterminé par là. Dans le coefficient de X au second membre, il n'entre, conjointement avec des termes provenant de D^^po» que des termes provenant de D''~~^(f/i; donc, dans ce coefficient, figurent seulement «o ^^ ^n ce qui détermine «i, et ainsi de suite. Enfin, dans le coefficient de Xv, av entre seul avec les nombres déjà connus maintenant ««i «,, .... av.i. On peut donc calculer successivement, en réalité,

LB8 CONHBXXS* 3)l

tous les Uiy et l'existence de V équation (4) ^^ troui^e ainsi dé^ montrée (*).

Effectuons ce calcul pour notre exemple, c'est-à-dire pour la forme a^by. En employant les abréviations

OÙ les indices marquent combien de facteurs symboliques a^, b^ sont à remplacer par des facteurs a^, bzi nous obtenons^ par la substitution ^ = a: + Xz,

f^al[h^^\b^Y =/oo-+-2/ojX +/o,À«.

/' = «« 6x(^;r-+- X«^) (*x-*- X^;,) =/ooH- (/o, 4-/,o)> -^/ii^\ f''=a^bl[a^-^\a^Y =/oo-+-2/io> -*-/îo>'.

Il vient ensuite, dans le premier membre de (4)? et dans le second membre, en vertu de (5),

D'-i/o = 20/00 -f- >(i6/oi "♦- 24/10) ■+- '^M^/ot -h 12/11 -h e/jo )>

ly^.zzz M3/oi- 3/10)-+- XM/oi-+- /ll-2/,o),

De là se déduisent les équations

1 = 20ao,

2/01= (l6aoH- 3a,)/oi-+- (a4«o— 3ai)/,o, /oî = (2ao4- «1 -H a,)/o,-i- (l2ao H- ai — 2a,)/ii -h (6ao — a«j + a,)/2o,

d'où, pour les a/,

I = 20*0, 2 = l6ao-f- 3ai, I = 2ao-i- «i-h aj,

qui servent de nouveau à trouver les valeurs (6).

On apercevra facilement, d'après ce qui vient d'être dît, comment il faudra procéder au cas où plusieurs séries de coordonnées-

(*) La détermination effective des nombres a se fait, en général» en partant des développements correspondants relatifs aux formes binaires, tels qu'ils ont été établis par GoBDA!«, Math, jinnalen, t. III, et Clebsch, Théorie der hinàren Pormen, § 8. Voir aussi Clebsch, îoc. cit,, et Gorda», Math, AnnoXen, t. V, p. loo.

3^3 TOME 411. — CHAnTRE II.

points ou bien de coordonnées-lignes se présentent en même temps dans la forme primitive/*. C'est ce que nous allons expliquer sur un seul exemple : Nous chercherons le système réduit équivalent de la forme

qui renferme deux séries de coordonnées-points et une série de coordonnées-lignes. Nous procéderons d'abord comme pour la forme (i), en n'ayant égard qu'aux x et auxj^; alors^ à la place des formes (s), si l'on écrit (^ au lieu de u comme dans l'endroit cité, se présentent les suivantes :

Parmi ces formes, la première appartient déjà au système réduit dey*. La dernière renferme deux séries de coordonnées-lignes (u et (')y et, par conséquent, est à traiter de la même manière que la forme (i), à part l'interversion dualistique. La forme (f^ est donc équivalente au système des formes suivantes :

si l'on désigne par Qjc le procédé invariant

un — ( ^'" — J1IL\ r ^^^ ' / d«n d^n \ / ^'n d^u \

\du^ôt'i duiôp^) * \duidvf dufÔPiJ' *' Or on a

Le système réduit équivalent de la forme cf 2 se compose donc des formations

Il nous reste maintenant à traiter encore la forme f 1 . Nous la considérerons d*abord comme dépendant seulement de u et Vy et nous lui appliquerons, par suite, le procédé Q^ défini par (9), en nous

LBS GO!l!IBXU. 343

coD tentant d'écrire, dans le second membre de (9), jv au lieu de Xi. Alors (fi devient d'abord équivalent à

(il) f^^^z=: [abu)axbxUÎ et -a^.yi= (fl^ft.— a,fc^)a^^^ir..

Cette dernière forme renferme encore deu& séries de coordonnéespoints et une série de coordonnées-lignes; son système réduit équivalent est donc encore à établir comme pour la forme (7). Par conséquent, si nous n'avons pas égard aux u, nous obtenons les formes

si 0|, désigne le procédé réciproque de Q^ri ou autrement dit, si Q!^ est défini par (9), à la condition d'écrire x au lieu de u, y au lieu de i^ et 1^ au lieu de x. On a donc

Les formes fn, fia se comportent alors par rapport à A^fi comme les formes (8) par rapport à (7). Mais la forme f 12 renferme encore deux séries de coordonnées-lignes ; elle est donc équivalente aux formes

(i3) if\i=^[abu)u^[a^b^-^a^bjc] et a^^.,,,

avec

(14} ^yf\2= i^yà^— bya^][a^b^ -+- a.^x)-

Or, cette forme renferme encore deux séries de coordonnéespoints ; elle est donc équivalente aux formes

Le système réduit équivalent de la forme (7) serait, par suite, donné d'abord par les neuf formes cpo, Çio? Çn? 9,2» Î*i2> ?7a> 9aor ?2M cp22 qui sont respectivement définies dans les équations (8), (11), (12), (i3), (i5), (10). Mais parmi ces formes il y en a encore deux de superflues, comme dérivant des autres par un pro-

cédé invariant. La raison en est que la forme cpt =^{abç)axbxu\ satisfait identiquement à Téquation différentielle (*)

^ ' ^ OJ^iOi'i ox^oof duTjdi',

comme on le vérifie aisément, et que le système réduit équwalent d'une forme de cette espèce comprend toujours, en général, un nombre déformations moindre que celui d* une forme ne satisfaisant pas à r équation différentielle (i6).

La démonstration générale de ce dernier énoncé est facile. Nous ne Teffectuerons toutefois que pour l'exemple actuel. Si nous posons, pour abréger,

f^=z [aùv)ascbjct'î = rluiv^, il vient

Donc la circonstance que fi satisfait à Féquation (i6) peut être exprimée par le fait que toutes les formations invariantes possédant le facteur symbolique /\, que Ton peut .déduire de (pi, s'évanouissent identiquement. Pour le système réduit équivalent de fiy nous aurions d'abord, dans ce mode de notation, les formes

?\t = ^{ ^'^^) '**'••> fit = ( "^ra — «/,r,) r,.

Mais, comme les termes qui renferment le facteur symbolique /*, doivent disparaître, il vient

\ djci du i dx^ âuf dr, du^ )

** ^ * 2 \dxidui âxjdui dx^dtt^j

Indépendamment de l'identité ^oi'i = o, on a, en outre.

(') Le fait que le procédé 9 est réellement inrariant se reconnaît immédiatement sur la représentation symbolique du résultat qui en est déduit. {Voir aussi t. Il* p. a85.)

LIS C0!(NBSC8. 345

Mais par là les formes cf^^, ç^a» ?n *^"^ caractérisées comme invariants fonctionnels des formes respectives f^o^ ^m et doivent, en conséquence, être omises dans le système équivalent à (f|. Ce dernier se compose donc des deux formes

[17) y,o=r«//îf/,, fn={Trx)rlu^.

On a de même, en général, cette proposition que le système réduit équwalent d'une forme 9 à deux séries de coordonnées similaires [cogrédientes) et à une série de coordonnées dissimilaires aux premières [contragrédientes) satisfaisant i l'équation (16), cest'à-dire à d<p= o, je forme en réduisant d' abord seulement par rapport aux deux séries similaires et en égalant entre elles ^ dans le système obtenu, les séries similaires [des variables contragrrdientes) qui se présentent. En effet, Çh se déduit directement de la forme -'iî^cpi si Ton fait x=y dans cette dernière.

Le système réduit équivf aient de la forme (7) f= a^b'yu'l se compose donc finalement des six formes

celles qui sont marquées d^un astérisque satisfaisant à l'équation différentielle (16).

Mais, dans la réduction qui repose sur l'introduction du système réduit, on peut faire encore un pas de plus. Il est, en effet, possible de ramener chacune des formes du système réduit à un certain nombre d'autres formes dont chacune satisfait à Téquation

dx* du Y dx^ du^ ôx^ ôu^

(' ) Le fait que toute forme mixte 8 peut être développée en une série de la forme

8 = [8;] -+- a, «, [8.] -H at.« * [8.] i- . . .,

les [8j] satisfaisant tous à l'équation diflerentielle en question, a été démontré d*abord par GoRDAN, Ueber Combinanten {Math, jénnalen, t. V, p. 102 et suiv.). Le déyeloppement en série est surtout utile lorsqu'il s'agit de séparer d'une expression donnée un facteur u^ ; elle donne pour cela une méthode çénéralc, car il suffît alors de calculer lek formes [8)^], [8x+|]

mi TOUS III. — - CHAPITRE II.

Il résulte de là que, dans la théorie des formes algébriques ternaires (en tant qu'il s'agit de l'établissement des systèmes complets), on peut se borner à la recherche de celles qui, dans chaque classe de variables, renferment une seule série et satisfont en outre à l'équation (i6). Nous appellerons un système de cette dernière espèce un système réduit proprement dit; tel est déjà, par exemple, le système donné pour la forme (i) par les formes o qui interviennent dans (a), ce dont on s'assure aisément. Les formes (i8), au contraire, ne forment pas un système réduit proprement dit.

Ici se présente la question de savoir dans quelle mesure les coefficients de la forme primitive f étant supposés indépendants entre eux, ceux du système réduit proprement dit sont aussi indépendants les uns des autres, abstraction faite naturellement des relations linéaires données par (i6); et de fait on démontre que ces coefficients sont bien indépendants les uns des autres. Par conséquent, dans les formes ternaires, la théorie d'une forme/ contenant un nombre quelconque de séries de coordonnées-points et de coordonnées-lignes peut être remplacée non seulement individuellement, mais encore généralement par celle d'un système simultané, à nombres classificateurs correspondants, formé, du reste, d'une manière arbitraire, système dont les formes renferment toutes au plus une seule série x et une seule série u, et satisfont aux équations (i6). On obtiendra, en particulier, un tel système pour chaque cas au moyen du système réduit proprement dit, en suivant la voie indiquée plus haut.

En résumant la marche précédente expliquée par le dernier exemple, on opère de la manière suivante la formation du système réduit proprement dit :

I** Si y renferme une série dr x et une série de u, on établit les formes

et l'on détermine les nombres a, /3, ... de telle sorte que les

LES coxmxBs. 347

formes

satisfassent toutes à Téquation (16). Les quantités oLj ^ sont ici déterminées complètement et sans ambiguïté ; ce que nous ne développerons pas ici ["voir Goedàn, loc, cit.). Les formes cp composent le système réduit proprement dit.

2" Si f renferme seulement deux séries similaires, telles que x ely, on peut poser symboliquement y= a^by. Les formes du système réduit proprement dit sont alors

3" Si y renferme plus de deux séries, il y en a parmi elles au moins deux similaires. Relativement à ces dernières, on remplace f par les mêmes formes que dans a®. On traite les formes ainsi obtenues de la même manière relativement à deux séries similaires qui s'y trouvent, et Ton arrive ainsi finalement à un système réduit proprement dit. Seulement de ce dernier disparaissent diverses formes, parce que les formes f mentionnées dans 2° ont déjà la propriété spéciale de satisfaire à Téquation (16) relativement aux séries x, u, La continuation des opérations à exécuter ici conduit donc au problème suivant par la solution duquel tout est terminé : Une forme f renferme trois séries Xy j, u, et satisfait à l'équation (16) relativement à x et u\ on demande d'indi^ çuer le système réduit proprement dit de f. Dans ce but, on formera d'abord encore le système réduit d'après le théorème exposé plus haut, et expliqué sur un exemple (p. 34^ et suiv.), et l'on procédera suivant ce qui a été dit dans i^ à l'égard des formes qui n'appartiennent pas au système réduit proprement dit.

Pour notre exemple, nous avons donc encore, dans le système (18), à ramener les formes 90» 7ioy Tid

aux formes du système réduit proprement dit. Commençons par la forme Çq. D'après ce qui précède, nous avons d'abord à

348 TOME 111. ^ CHAPITM il.

former

2^^0= «X ^« "a ( «Sta ^or -+- ^a«x)>

Une nouvelle application du procédé 3 donnerait d'fo^o. Nous avons d'ailleurs, dans les formes

('9) \ [?o]i = ^?o-^«'«x^?Oi

à déterminer les nombres a, ^, a' de telle sorte que Tod ait 5[qjo]o=o et cî[(5>o]i = o; la condition ^[^oja est déjà remplie. Or on a

et l'on a généralement, pour ^ = z'^'m", en tenant compte de ce que iux= 3,

Mais la somme qui figure dans le second membre est, d'après le théorème d'Euler, égale à

Il vient donc

{21) ^i'-'^'jc) ^ '^'m + ^('" -^ '^ -H 3)/4-'-^

Par suite, l'équation 5[cfo]o = o se transforme à cause de (20) en

o — <J>o(i -*- 7a) 4-«x<ï*fo(a + lop).

Cette condition doit être satisfaite indépendamment des u et desx et conséquemment aussi pour Uj:= o, et par suite on obtient

LIS G0!IRnB8. 3^9

(^^) [?o]o=?o— -"'^fo'^-^'^l^^fo'

Pour la délermination de [?o]u ^^ trouve semblablement, au moyen de (sti), la relation

d*où

Le système réduit proprement dit de la forme cpo se compose donc des trois formes (22)^ (^3) et d^fo*

On trouve de même, pour le système réduit proprement dit de (pio, les formations

[7io]o= 710 — g ««^?io + Tg "î^*?io. [?io]i = ^>io — g «x^*?io» où

Ici se présentent donc encore de nouveau les formes (f\2 et (sf^ que nous avons dû précédemment exclure du système réduit improprement dit. Le système réduit proprement dit de 911 se compose enfin des formes

Le système réduit proprement dit de la forme f=z à^b^ul est donc finalement donné par les onze formations suivantes :

(0 [?o]o == yo— -«x^?o-t- — M^^y'fo;

35o TOMB III. — CBAPITRB II.

(3) [?o]« =^*?o* avecyo=«i*îwJ;

(4) fio =:(abu]*uii

(5) «Pu ={abu)(aj.b^—bjca^)u^;

(6) r» =(/yx*«— ^x^«)*;

(7) [?io]g=?io— gM«^fio+-g«i^*?io;

(8) [?io]i=^?io — g«x^*î>io;

(9) [7io]i= «^'710, 710 étant égal à [abu)a^b^l;

(") [?ii]i = '^?iii 7ii étant égal à ( a;p ^.— tx««)<»x^x«.-

Chacune de ces formes est d*un degré total égal ou inférieur à celui de la forme/*, et chacune d'elles satisfait à l'équation aux dérivées partielles (16). Mais réciproquement, d'après l'observation faite plus haut sur le caractère arbitraire des coefficients de ces formes, la théorie d'un système simultané de onze formes mixtes dont les nombres d 'ordre et de classe coïncident avec ceux des onze formes inscrites ici, et satisfont toutes à l'équation (16), mais sont, d'ailleurs, indépendantes les unes des autres, se confond a%fec la théorie d' une forme f =:. ^i^/"? dont deux cent-seize coefficients sont indépendants les uns des autres.

Les développements actuels font suffisamment apercevoir dans quelle mesure l'Algèbre eidge une étude plus directe des formes mixtes et conséquemment aussi des êtres géométriques appelés connexes qui sont représentés par leur évanouissement (p. 336). Le but des explications suivantes est de faire connaître, dans quelques-unes de leurs relations et de leurs propriétés essentielles, ces dernières figures dont l'étude comprend pour ainsi dire en elle toute la géométrie analytique du plan (c'est-à-dire l'algèbre des formes ternaires); nous devons naturellement reculer devant une théorie plus complète. Faisons observer immédiatement que nous considérerons d'abord des connexes tout à fait généraux y^ a^i/"= o, sans avoir égard à la question de savoir s'ils peuvent être ramenés à des connexes normaux, c'est-à-dire à des connexes pour lesquels Téquation (16) est satisfaite. Nous ne

LES C0SINEXB8. 35 1

possédons pas le moyen d'obtenir une interprétation géométrique directement utilisable de Téquation précitée.