II. — Connexes. — Comcidences. — Couples de courbes

La figure dont Tétude va nous occuper actuellement est donnée par une équation algébrique renfermant d'une façon homogène et les coordonnées d'un point mobile [x) et celles d'une droite mobile (u), c'est-à-*dire par une équation de la forme

(i) /(x,ii) = a-<=o,

dans laquelle les x,* entrent à la m^^"* dimension , et les Ug à la n»*"*. Nous appellerons cette figure connexe du m'^'"* ordre et de la /i'^'»« classe, ou plus brièvement connexe (m, n),

A une telle figure n'appartient pas une forme géométrique proprement dite, ety au contraire, on peut trouver, pour chaque ligne u du plan une infinité de points Xy et pour chaque point x une infinité de lignes u qui satisfont à l'équation du connexe. A toute droite u correspondent, en général, en vertu de (i), un nombre infini de points x qui forment une courbe Cm du m**"** ordre; à tout point X une infinité de droites u qui enveloppent une courbe Krt de la «**"• classe ( * ). Ainsi, pour m = i , w = i , par exemple, à èout point x répond un autre point y comme sommet du faisceau de rayons (courbe de première classe) formé par les lignes correspondantes u, et à toute droite u répond une droite m (courbe du premier ordre). Dans ce cas, en efiet, l'équation

donne seulement une représentation particulière de la coUinéation générale, car on trouve, pour les coordonnées du point j)^ qui répond à X,

et, pour les coordonnées de la droite v qui répond à li,

(Xi'/= P/, II, -h Pi^Ui H- P/,«3.

(') Des équatîoDs entre une série de coordonnées-points et une série de coordonnéeslignes ont été brièvement mentionnées dans PlCckkr, jinalytisch^Geometrische Rntwicklungen, t. Il, Essen, i83i, p. 2a5.

35j TOMI m. — CHANTRE II.

Comme ici le point et la droite se présentent toujours ensemble, il est avantageux, pour la conception plus simple de ces relations, de ne considérer ni le point en lui-même ni la droite comme élément fondamental du plan; nous désignerons, au contraire, par élément {^x,u)y toute combinaison d'un point x du plan ax^ec une droite u de ce même plan. On obtient donc Fensemble des éléments (x, u) en combinant chacun des points en nombre doublement infini x avec chacune des droites en nombre doublement infini u. L'ensemble des éléments forme, d'après cela, un système quadruplement infini [remplit une multiplicité) de quatre dimensions; et ce système repose sur le plan. L'équation d'un connexe s'en détache comme étant le système triplement infini des éléments qui satisfont à cette même équation. On peut aussi exprimer ce qui précède sous la forme suivante: Les points qui forment ai^ec une droite donnée les éléments d'un connexe (m, /i) sont situés sur une courbe Cm du m'^'"' ordre; les droites qui forment avec un point donné les éléments du connexe em^eloppent une courbe K;, de la /i'*'»« classe. Toutes les courbes K,j qui prennent ainsi naissance forment un système doublement infini dont les paramètres sont les rapports des x/; de même les courbes C» forment un système de courbes doublement infini qui a les rapports des Ui pour paramètres.

Dans des cas particuliers seulement, il peut arriver que tout point du plan forme avec une droite déterminée, ou que toute droite forme avec un point déterminé du plan un élément du connexe. Ainsi, par exemple, dans le connexe

le point X| = o, Xi = o forme avec chacune des droites u un élément. Des points ou des droites de cette espèce seront appelés points fondamentaux ou droites fondamentales. Dans des connexes particuliers, il peut y en avoir en nombre quelconque; leur nombre peut même être infiniment grand. Cette dernière circonstance se présente, par exemple, dans des connexes irréductibles lorsque l'équation f=: o ne renferme pas les x, ou ne renferme pas les u. Si elle ne renferme pas les u, on a sous les yeux réquation d'une courbe en coordonnées-points ; elle doit être considérée comme un connexe en ce sens que tout point de la courbe peut

LB8 C0!INCXB8. 3.'>:)

former avec toute droite quelconque du plan un élément du connexe, et que d'autres points (non situés sur la courbe) ne peuvent se réunir avec aucune droite pour composler des éléments de connexe. Le fait dualistiquement correspondant se présente lorsque y= o ne renferme pas les x, et représente, par suite, i équation d'une courbe en coordonnées-lignes. Un autre exemple de cette espèce nous est offert par le connexe réductible

Ici tout point de 9 = o forme avec toute droite quelconque un élément du connexe; au contraire, chacun des autres points du plan ne forme un élément de connexe qu'avec les tangentes de ^ = o.

L'ensemble des éléments qui existent dans un plan forme, ainsi qu'il a déjà été énoncé, une multiplicité de quatre dimensions. On a donc à distinguer quatre degrés de figures géométriques suivant qu'une, deux, trois ou quatre équations sont données entre les coordonnées x, u de l'élément, et chacune d'elles doit être homogène aussi bien par rapport aux x que par rapport aux u pour être susceptible d'une interprétation géométrique (c'est-à-dire pour représenter en lui-même un connexe). Quatre équations déterminent déjà un nombre fini d'éléments; on n'a donc plus alors une figure continue, mais un groupe d'éléments distincts entre eux. 11 nous reste à considérer les trois autres degrés.

Le premier degré est donné par le connexe individuel lui-même.

L* ensemble des éléments en nombre doublement infini qui sont communs à deux connexes sera appelé une coïncidence. Pour le cas où cet ensemble commun aux deux connexes est réductible, chacune de ses parties irréductibles sera séparément qualifiée coïncidence, de même que l'on comprend sous le nom de courbe gauche toute partie irréductible de l'intersection de deux surfaces algébriques. D'après cela, la coïncidence est donnée analytiquementy ou bien par deux équations entre les x et les u, ou bien par des équations en nombre supérieur à deux, mais admettant un système doublement injini de solutions communes. Dans le champ d'une coïncidence, à chaque droite répond, en général, un nombre fini (a) de points pouvant former avec elle un élément; de même, à chaque point répond un nombre fini (v) de droites. On peut alors appeler /x l'ordre, v la classe de la coïncidence, et désigner

Clebscu. — Géométrie, \\\. S>.3

354 tOUK III. — CHAPITRE II.

cette dernière elle-même par coïncidence (jix, v). On trouve les droites qui répondent à un point en cherchant les tangentes communes de toutes les courbes K qui correspondent au point dans les connexes particuliers qui déterminent la coïncidence. On trouve de même les points qui répondent à une droite en cherchant dans tous les connexes sus-énoncés les courbes C qui lui correspondent et en déterminant les points d^intersection communs à ces dernières. Ainsi, en particulier, deux connexes (w, n) et[irljn') étant donnés, la coïncidence [en général irréductible) qui leur est commune est de l'ordre (jl = mn/ et de la classe v = nn\

La coïncidence se confond, d'après cela, avec la notion la plus générale de Taffinité dualistique (en général, d'ailleurs, non linéaire), c'est-à-dire de l'affinité dans laquelle, deux systèmes plans E, E' étant superposés, à tout point de £ répond un certain nombre de droites de E', à toute droite de E' un certain nombre de points de E. L'inverse n'est cependant pas vrai en général; aux points d'une droite de E répondent, au contraire, sur E' les tangentes d'une courbe, et réciproquement à un point de E', c'est-à-dire aux droites du faisceau de rayons qui passe par ce point, répondent des points de E qui décrivent une courbe. Ainsi, par exemple, deux

connexes (i, i)

a f. «a z=: o et a'j; ii^t --^ o

donnent une affinité, en vertu de laquelle à tout point x répond la ligne joignant les deux points qui correspondent k x eX qui ont pour coordonnées «x*/ et aj.0L\. Si l'on désigne par vi les coordonnées de cette ligne de jonction, l'affinité en question est représentée par les équations

l'affinité est donc quadratique; en d'autres termes, les points x de E qui correspondent aux lignes v de E' passant par un point fixe j" sont situés sur une conique. Dans le cas seulement où certaines conditions entre les deux connexes (i, i) sont réalisées, il pourra arriver que de leur coïncidence commune dérive la transformation linéaire réciproque au sens usuel; cette dernière se trouve ici produite de la façon la plus générale par un choix convenable des connexes.

L' ensemble des éléments [en nombre simplement infini) qui sont

LES COMMEXBS. 353

communs à trois connexes, ou encore une partie représentable rationnellement d'un tel ensemble , forme un couple de courbes. En vertu des équations de ces connexes, les u peuvent, en général, s'exprimer rationnellement par les x, comme les x le peuvent aussi par les ix, et, en éliminant les Xy on obtient une équation entre les u, de même que par élimination des u on obtient une équation entre les x.

On a donc en présence une courbe en coordonnées-points et une courbe en coordonnées-lignes, et les points de Tune sont rapportés unidéterminativemenl aux tangentes de l'autre. L'ordre et la classe de ces courbes, que nous désignerons respectivement sous le nom à^ ordre et de classe du couple de courbes, sont, en général, faciles à déterminer d'après le théorème connu sur le degré du résultant par rapport aux coefficients de l'équation donnée. Étant donnés trois connexes (/w, n), (m', 7i) et (m", «"), la classe du couple de courbes sera égale à

et l'ordre du couple de courbes égal à

( 3 ) m lin" -\ - m'u^n -r m"n n\

Il n'est pas sans intérêt de considérer la correspondance unidéterminative de deux courbes sous l'aspect suivant lequel elle se présente ici, car la forme non résolue des équations, telle qu'elle s'offre théoriquement dans l'étude actuelle, est précisément celle à laquelle on est immédiatement conduit dans la plupart des recherches où l'on a affaire à des relations unidéterminatives.

Nous nous proposons enfin de déterminer le nombre des éléments qui sont communs à quatre connexes. Soient //i, m', m", wi" les ordres respectifs de ces derniers, et 72, w', iJ\ n'" leurs classes. Nous considérerons d'abord le couple de courbes qui est déterminé parles trois connexes (/n, «), (m', /r'), (m", w"), et dont l'ordre |tx et la classe v sont respectivement donnés parles nombres (3) et (2). A tout point X de la courbe C*^ de ce couple répond, par l'intermédiaire du connexe (m'", n'")^ une courbe K,^w de la classe n!" ayant vn'" tangentes communes avec la courbe Kv du même couple, et à chacune de ces dernières répond, par l'intermédiaire des trois premiers connexes, un point j^ de G^; si, en particulier, ce point coïncide avec

x<f nous avons un élément commun aux quatre connexes. Les /i"'v points y de Cj^ qui correspondent au point x peuvent, en toule hj'pothèse, être traversés, conjointement avec d'autres points/ixe.ç de Cn, par une courbe ^[oc,y) = o, puisqu'ils dérivent du système complet des tangentes communes aux deux courbes par transformation unidéterminative; nous pouvons donc, pour la délermination du nombre des éléments communs, faire usage du principe de correspondance étendu [voir t. JI, p. i53, et t. III, p. aS). Or, évidemment, à tout point ^ de C^ correspondent réciproquement et de la manière décrite ci-dessus m"/x points x, et réqualion ^(j:,^) = o n'est pas, en général, satisfaite pour x =jKy car autrement chaque élément du couple de courbes appartiendrait aux quatre connexes. On trouve donc le nombre des éléments communs aux quatre connexes (m, /i), (m', w'), (///, n"), (w'", « ' j. pour une position quelconque de ces connexes les uns par rapport aux autres, égal à m'"/Jt -h/i'^'v, ou, si nous remplaçons |i, v par leurs valeurs tirées de (3), (2), à

^^' -h mm"n'n'" -h m ni" n" n -1- /72//i"'/i V,

résultat symétrique (comme cela doit être) par rapport à tous les nombres m, //.

Il résulte, en particulier, de là, pour le cas de

que quatre connexes du premier ordre et de la première classe ont six éléments communs. Les points de ces éléments sont nécessairement communs aux quatre courbes du troisième ordre qui se présentent dans les quatre couples de courbes formés avec trois quelconques des connexes donnés. Par conséquent, les équations des quatre connexes étant

(5) a^tu = o, b^u^=o^ c,tf^=o, djcUi=o,

on obtient, par élimination successive des u entre trois de ces équations, les quatre courbes du troisième ordre

LES CO:(7fEXE8. 357

Les points des six éléments communs aux connexes (5) sont les intersections communes de ces quatre courbes, et comme par ces six points ne passe qu'un nombre triplement infini de courbes du troisième ordre, on peut représenter d'une façon semblable chacune des courbes de cette espèce qui renferme les six points. Les six droites correspondantes sont de même les tangentes communes des quatre courbes de troisième classe

( bcd ] u^ Uy W4 = o , ( cda ) u^ « 4 w , =: o, ( tiab ] u^ «» «? = o»

Il est également aisé d'établir la correspondance qui détermine ici sur la courbe {(x{ùy)nxbxCx'= o les six points des éléments communs aux connexes (5). Les points et les droites du couple de courbes commun aux trois premiers connexes sont liés ici entre eux par les équations ( ' )

en supposant que l'on ait [oLi^y)aybyCy'=z o. Les trois coniques qui sont représentées par u^ =• o, «2= o> ^3=0 ont en commun, comme on sait, trois points situés sur la courbe icL^y)aybyCy-=- o; par ces trois points passent conséquemment aussi toutes les coniques du réseau (aPy)a^,3j=: o. A un point x de C3 est associé, par l'intermédiaire du quatrième connexe, le point dxUi=o\ aux trois tangentes que l'on peut mener de ce dernier à la courbe (abc)u^ii^u^r=z o correspondent donc, en vertu de (6), trois points de C3, lesquels sont traversés sur cette courbe par la conique [(z^:!,o)aybj.(fx-^ o. Nous avons donc une correspondance à trois points fixes, et les six points de coïncidence de celle-ci sont déterminés par la courbe [a^d)axbjc(lx= o qui passe, en outre, une fois par chacun des trois points fixes. Cela concorde avec l'indication précédente sur les quatre courbes du troisième ordre.

L'élude approfondie des propriétés d'un connexe a"'u"=o

(*) On Térifie facilement que cette relation entre deux courbes est la même que celle qui existe entre une courbe du troisième ordre C, et une courbe de la troisième classe K,, lorsque toutes deux sont engendrées simultanément par le même mécanisme de Grassmann (t. II, p.'a72\

358 TUME 111. — CHAPITRB II.

conduit acluellement à l'examen des invariants fonctionnels, c'est-à-dire des invariants, covariants, contrevariants et formes mixtes qui appartiennent à la forme fondamentale fl^""'» ^^ P^^^ toujours, d'après les explications précédentes (p. 345), remplacer les formes mixtes qui interviennent alors par ce qu'on appelle des formes normales, c'est-à-dire par des formes <p satisfaisant à l'équation différentielle \ -; — 7—= o. Tous ces invariants fonctionnels

pourront encore être représentés symboliquement, et l'on aura à distinguer des facteurs symboliques des types suivants (en posant

La variété des formations possibles devient ainsi considérable; toutefois, jusqu'à présent, on n'a effectué qu'un petit nombre de recherches générales. Mentionnons seulement ici un principe complètement analogue au principe de translation (t. I, p. 344) employé dans la théorie des courbes, en ce qu'il permet d'utiliser immédiatement pour les formations ternaires qui tiennent aux connexes certaines propositions relatives aux formes binaires à deux séries de variables.

La relation établie par le connexe entre les points et les droites du plan peut, en effet, être envisagée encore d'une autre manière. Considérons un point quelconque qui peut être regardé comme l'intersection de deux droites v^ iv, et que nous désignerons, en conséquence, par (ç», w) ; soit de même (j', z) la droite joignant les points y et z. Leur réunion formera un élément choisi arbitrairement qui, en général, n'appartient pas au connexe. Cependant, par V intermédiaire du connexe [m^ n), les Frayons du faisceau {vy w) sont associés aux points de la droite [y, z); et cette dépendance respective est à mn déterminations, en ce sens qu'à tout point répondent n rayons (r„) et à tout rayon m points (G;„). Si l'on désigne, en effet, un point de la série par X|j -h*<jr, un rayon du faisceau par X| i'-t- X^ w, on trouve que, pour les points et rayons associés entre eux par le connexe a^ u" = o, a lieu l'équation

laquelle est de l'ordre m en z, : Xj, de Tordre « en X| : Xj. Si nous

LU CO.fNEXLS. 3J9

posons maintenant symboliquement

(7) ti^.= A,, Û.= A,, i^.mAi, M'a= 0.1,21

nous avons la forme doublement binaire

(8) y = Ay'Xl',

0=0 établissant la relation sus-énoncée. Si nous considérons un élément x, u appartenant au connexe donné, et dont le point x fait partie de la série [j, z), le rayon u fait partie du faisceau (t'j w), et si nous imposons la condition que le groupe F,, répondant à X (et renfermant u) possède une propriété invariante binaire, et que de même Gm possède cette même propriété ou une autre, il résulte de là une condition invariante pour le rayon [j, z) et le point (i', iv) ; et rélément (j-, rr), (1^, w) formé avec tous les deux appartient à un connexe co\^aviant. La condition imposée sera tout d'abord représentée par Tévanouissement d'un invariant de la forme binaire (f, qui doit encore conserver la propriété invariante, si l'une des séries de variables (x) est soumise à une transformation linéaire quelconque, et l'autre (^} à une transformation linéaire également quelconque, car le groupe r,, qui répond à tout point quelconcjue x = JCij -h "/.jZ, en vertu de (8), doit posséder la propriété invariante en question, et il en est de même aussi du groupe Gm qui répond à tout rayon quelconque u = X4I^-hX2w. Les invariants de la forme 9 qui entrent ici en considération sont donc du type

(9) I — icii; ab;. . .n;ji,'ui,;...;

les quantités c désignent ici des coefficients numériques, les quantités A, B des symboles équivalents de l'une des deux espèces, les quantités «A», ill> des symboles de l'autre espèce; mais ces deux classes de symboles ne peuvent jamais se présenter ensemble, et, pour cette raison, il ne peut entrer dans I de facteurs (A*l»). Or on a, en vertu de (7),

' AB -- Oy h. — byM-z : [abu\ en posant m/= (x^)i, et de même pour X| = - ,'w)/.

36o TOMB III. CIIAPITRB II.

Comnw è'j nation du connexe covariant cherché, on trouve <lonc, d'après (9),

I^2cn(a/>»«). . .n(ap.r). . .= 0 (M.

Celle classe de connexes covariants esl donc ramenée à l'élude de la forme doublemenl binaire précilée, de même que réqualion en coordonnées-lignes d'une courbe en coordonnées-points se ramène à l'étude du discriminant d'une forme binaire à une série de variables. De même qu'il a été question de connexes covariants, de même aussi on peut parler de coïncidences et de couples de courbes covariants. Ainsi on obtient, par rapport à un connexe donné f^a^u2=0f une coïncidence covarianle si, pour former des éléments, on joint chaque droite du plan non à tous les points de la courbe Cm correspondante, mais seulement à ses points d'inflexion et aux points de contact de ses tangentes doubles; la première coïncidence est alors, par exemple, déterminée dans le connexe/*= o par le connexe

On peut de même réunir chaque point du plan aux tangentes de rebroussement de la courbe correspondante K„ ou aux tangentes de ses points d'inflexion, de manière à former les éléments d'une coïncidence covarianle. Un couple de courbes covariant sera formé par les points doubles et cuspidaux qui se rencontrent dans le système des courbes C^ et par les droites correspondantes, ainsi que par les tangentes doubles et les tangentes d'inflexion qui figurent dans le système des courbes K« et par les points correspondants.

Il faudrait ensuite étudier aussi les systèmes de connexes, ainsi que les invariants fonctionnels simultanés de ces systèmes, ce qui donnerait naissance, relativement à ces derniers, à une sorte de théorie des caractéristiques (-). Nous avons surtout à fixer noire

(') Le connexe conjugué, considéré dans la section suivante, en fournit od exemple.

(') Les recherches de cette nature seraient analogues à celles effectuées par Hiin sur les systèmes d'affinités dualisliques (corrélations), c'est-à-dire sur les systémos de formes bilinéaires à deux séries de coordonnées-points, dans le sens de la théorie des caractéristiques. (Voir Proceedingt of the London Mfathemaiical Socùtj', t. V, p. 40, 1874; et Annali di Matem., série 2*, t. VI, p. a6o).

attention sur les connexes pourvus d'éléments singuliers différents de ceux d'un connexe quelconque du système, le nom à'élément singulier désignant un élément pour lequeiy= a"*u" s'annule à un degré plus élevé que le premier. Il est, d'ailleurs, à remarquer qu'il peut se rencontrer non seulement des éléments singuliers individuels, mais encore des ensembles simplement ou doublement infinis de ces derniers et comptant plusieurs fois, c'est-à-dire des couples singuliers de courbes et des coïncidences singulières (semblablement à ce qui se produit pour les surfaces courbes où il peut se présenter non seulement des points nodaux particuliers, mais aussi des courbes doubles et multiples). Les questions de cette nature n'ont pas encore été abordées.

III. — Le connexe conjugné. — Transformation unidéterminative

d'nn connexe.

On peut former, par rapport à y, suivant la méthode décrite, un connexe covariant particulièrement remarquable que nous appellerons connexe conjugué^ et qui peut être défini géométriquement ainsi qu'il suit.

Partons d'un élément quelconque j^, v du plan; ainsi qu'il a été expliqué plus haut, à tout point x àe v correspondent, en vertu de f=z G, n rayons passant par j^ et, à tout rayon u passant par y^ m points de t' (p. 358). Les n rayons sont les tangentes de ^ à la courbe K„ qui répond à x; les ni points sont les points de rencontre de p» avec la courbe C;,,, qui répond à i/. Actuellement, si la courbe K„, qui répond à x, passe par j^, deux des n rayons se confondent avec la tangente de K„ au pointj^, et c'est la seule manière dont un rayon double de cette espèce puisse prendre naissance, puisque K,, ne possède, en général, ni tangentes doubles, ni tangentes d'inflexion. Ce rayon forme avec x un élément du connexe donné y = o, et peut, en particulier, être désigné par u. De môme, si la courbe C^ qui correspond à u touche la droite v^ deux des m points d'intersection situés sur v se confondent. Ce point compté double forme avec u un élément de f=- o et sera, en particulier, désigné par x. Tout élément [y, v^) qui présente cette relation visà-vis d'un élément (x, u) de^est un élément d'un connexe covariant que nous appellerons conjugué de f. Un élément [y^ ^') de

3G3 TOMB III. — CnAPITRB II.

ce dernier est donc défini par cette circonstance que, par rapport au connexe donné, au point y répond une droite u comptant double^ et à la droite v répond également un point x comptant double. Nous pouvons encore exprimer la même chose de la manière suivante : si (jc, u) est un élément de J'= o, c'est-à-dire si X est situé sur la courbe G;,, répondant à Uy et que u touche la courbe K^ répondant à x; si, de plus, j^ est le point de contact de u avec cette courbe K„, et ^ la tangente de la première courbe C« en X, [y y v) est un élément du connexe conjugué. Et Ton obtient le connexe conjugué entier en faisant parcourir à Télément (x, u) tout le connexe donné. On obtient donc aussi l'équation F(j', v)=o du connexe conjugué en éliminant les grandeurs p, c, Xi, ui entre les équations

Nous exposerons plus tard comment on peut ramener cette élimination à un problème binaire en la rattachant aux méthodes symboliques données plus haut. Mentionnons ici, en premier lieu, que la relation qui existe entre les éléments du connexe donné et ceux du connexe conjugué est complètement analogue à la relation qui a lieu entre une courbe considérée comme figure ponctuelle et la même courbe considérée comme figure tangentielle. Conformément à cette idée, on a le théorème suivant :

Le connexe conjugué du connexe conjugué nest autre que le connexe primitif.

Cette relation de réciprocité se démontre de la manière suivante. Si nous écrivons encore, dans F, ^— ? —— au lieu de i'/, r/, la fonc-

O.ff on,'

tion des x, u ainsi formée devra, en conséquence de Torigine de F, posséder le facteur/*, et Ton aura, par suite, Tidentité

M désignant une fonction homogène entière des Xy u. Soit main-

LU CORHEXIvI. 3(i3

tenant, pour abréger,

df df

en sorte que les quantités p, q ne diflèrent des quantités j^, v que par des facteurs indéterminés ; le connexe conjugué de F est donné par les équations

d¥ dM/

âpi Opi

et, pour la formation des dérivées de My, il suffit d'imaginer que tout soit exprimé par p^ q au lieu de Têtre para:, u. Puisquey == o, on peut, au lieu des premières équations (3), écrire aussi

ù' Zi =. M - — » T i*'i ^z M ■ — - • Oqi Opi

Or il résulte des équations

mf=l qi Xi, nf=l pi tti que

mdf-=z^ qidxi -f- 2 .r^ dqi^ ndf^^ ^pi dui -\- 2 f// dp^ .

Comme, d'autre part, d'après la définition des /?, q^

df^-. IqfdXi-h Ipidufy

il résulte de là

( w -f- /l — \)df zisz l,Xidqi-»r ^lidpi,

et, par conséquent,

, ,àf . . df

^ ' àqi ' ^ ' Ôpi

Donc, dans (3), les z^ w deviennent proportionnels aux x, », c'est-à-dire que l'on revient au connexe donné, ce qu'il fallait démontrer.

Nous allons maintenant déterminer l'ordre m' et la classe n' du connexe conjugué. A cette fin, nous devons répondre à la question de savoir combien de points une droite (•/j=o) du plan, en supposant u donné d'une manière quelconque, a de points

• 364 "^^^^ "I* '^ CBAriTAB II.

communs avec la courbe 0^/, qui correspond à ^' dans le connexe conjugué; la classe n' se détermine alors par le raisonnement dualistique correspondant. La question posée peut se formuler algébriquement de la façon suivante : Déterminer le nombre des systèmes de valeurs j^/ qui satisfont simultanément aux équations

(4) /(.r, ii) = o, p»v=^» ''^'''^di^i' 7x=^^

les quantités Vi étant données arbitrairement. Nous pouvons évidemment ici remplacer réquationy= o par Va:= o. Si, de plus, nous entendons par j)', z deux points sur le rayon i^, en sorte que

(5) .r/=xr/H->5/,

/if

nous avons, au lieu des trois équations pVi=^ -r— ? les deuxcondilions indépendantes de p

Finalement les équations cji= y—' en y adjoignant la relation yy=: o, nous donnent l'équation unique

, , d/ df df

Dans (6) et («j), nous avons trois équations qui, après la substitution (5), sont respectivement du degré m — i, m — i, m en X, 1 et, d'autre part, du degré /i, /i, n — i par rapport aux m/. L'élimination des m/ entre ces équations donne un résultat dont le degré en îc, X est Tordre du connexe conjugué, car elle détermine sur v^ en vertu de (5), les points x qui satisfont aux équations (6), (7), et par conséquent aussi à (4). V ordre du connexe conjugué sera donc égal à

(Q\ \ m' = //(/î — . ij(m — i) -^//(/i — i)(w — I)^./l'/w

( z=z n[nm -i- 9.[n — i)[m — i)],

et d'une manière analogue sa classe sera égale à

LES C0MNBXB8. 3()5

Ainsi nous avons, par exemple,

pour /72 = I , /l rrr I ; ni ==: I , /?' m: I ;

)) /W = 2, /lzr:2; AW'=I2, /l'=I2.

L'ordre et la classe du connexe conjugué sont donc plus élevés que pour le connexe originaire donné tant que celui-ci est d'une nature générale, exceplé dans le cas de m = /i = i. Cependant, si l'on forme encore le connexe conjugué du connexe conjugué, on doit obtenir de nouveau l'ordre et la classe originaires. Le connexe conjugué ne peut donc être dépourvu de certaines propriétés qui ont précisément cet effet, et, en cherchant ces propriétés, on arrive à la notion des singularités nécessaires [ou ordinaires) d'un connexe. Nous comprenons sous cette appellation les singularités qui se trouvent dans tout connexe ou dans son conjugué.

Si nous qualifions un connexe de général alors même qu'il possède des coefficients qui ne sont pas complètement arbitraires, mais dont néanmoins le caractère arbitraire n'est restreint que par la présence de cette espèce de singularités, la même chose se présentera pour le connexe conjugué. Les connexes doués de singularités de cette nature forment donc un système fermé auquel appartiennent également leurs conjugués. Cette notion s'est d'abord formée sur les courbes algébriques du plan ; chaque courbe en coordonnées-points se correspond à elle-même considérée comme figure tangentielle de la même manière que le connexe conjugué correspond au connexe originaire. Les singularités nécessaires sont ici celles qui se présentent dans les formules de EHiicker : points doubles et points de rebroussement d'une part, tangentes doubles et tangentes d'inflexion d'autre part. Si l'on part d'une courbe qui, pour des coefficients d'ailleurs quelconques, possède des points doubles et des points de rebroussement de situation arbitraire, le nombre des tangentes doubles ou des tangentes d'inflexion pourra être modifié, mais ces dernières ne se réuniront pas en singularités élevées. La courbe, considérée au point de vue de l'ordre, peut, d'après cela, renfermer des singularités nécessaires de toutes les espèces sans que la même courbe, considérée au point

366 TOHB m. — CBAPiTRB H.

de vue de la classe, renferme d'autres singularités que des singularités également nécessaires.

On peut caractériser de la même manière la notion des singularités nécessaires dans toutes les figures algébriques; mais dans les variétés de plus d'une dimension interviennent, en même temps que des points singuliers séparés, etc., des variétés entières de points singuliers, etc.

Ainsi, dans les surfaces algébriques de l'espace (variétés à deux dimensions), on a à considérer comme singularités nécessaires, eu même temps que des points doubles ou triples, des courbes doubles; ainsi encore, dans les connexes (variétés triplement étendues), on a à distinguer des figures doubles, triples et quadruples qui constituent les singularités nécessaires. Et, pour préciser, les figures doubles se produisent jusqu'à la seconde variété, c'est-à-dire jusqu'à la coïncidence, les figures triples jusqu'au couple de courbes, tandis que les éléments quadruples ne se présentent que séparément, comme singularités nécessaires. Un élément singulier doit être défini comme un élément auquel correspond non pas un élément unique, mais plusieurs éléments du connexe conjugué (de même qu''à un point double d'une courbe répondent deux tangentes de cette dernière). Il peut y avoir deux ou plusieurs de ces éléments; ceux-ci peuvent être tous différents ou égaux en tout ou en partie, et, corrélativement, les éléments singuliers se présentent sous des aspects divers. L'élude exacte de ces circonstances dans les connexes se simplifiera beaucoup lorsqu'on aura préalablement une idée sommaire des faits analogues dans les variétés de deux dimensions, c'est-à-dire dans les surfaces algébriques; pour cette raison, nous n'insisterons pas davantage sur le sujet (* ).

Faisons seulement remarquer encore qu il peut exister des connexes qui sont conjugués à eux-mêmes. Il existe, en effet, généralement pour y= o une coïncidence /*= o, <p = o qui appartient en même temps au connexe donné et au connexe conjugué. Il suffit

(*) M. Cyparissos Stephanos a étudié quelques propriétés du connexe conjugue [Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques, i* Série, t. IV, 1880). Dans un manuscrit laissé par Cledsch se trouvent quelques indications incomplètes sur la détermination des singularités nécessaires; Tauteur (M. Lindemann) espère pouvoir y revenir à une autre occasion.

en fait, à cause de (i), de poser

/{x,f) = o ou /[

du djt'

C'est là Téquation y = o qui, conjointement avec y= o, détermine la coïncidence en question. Mais il peut se faire que cf, pour des connexes particuliersy= o, renferme lui-même le facteury'; alors tout élément (/, ^) conjugué à un élément (or, u) de f=o est aussi un élément de jf= o, et ce connexe est conjugué à luimême (*).

Nous nous proposons maintenant d'exposer la formation du connexe conjugué à l'aide des procédés symboliques et de la suivre sur quelques exemples. D'après les développements ci-dessus (p. 359 et 362), nous avons d'abord, dans ce but, à établir directement la condition pour qu'une équation doublement binaire

(lo) ç = Ai"X{' = o

ait une racine, double >C| : Xj et en même temps une racine double ^1 1 ^'2 ; c'est-à-dire que nous avons à éliminer les grandeurs x et X entre les quatre équations

, , ârs> d'à d-j 09

' ' O'Ai d/i Ô/i Oti

lesquelles, à cause de la double homogénéité de ç, tiennent seulement la place de trois. L'équation du connexe conjugué à fE^a^u2=o s'obtient alors de la manière connue au moyen de la forme binaire trouvée, en remplaçant chaque facteur (AB) de cette dernière par (rtiu), chaque facteur (e^l.iJb) par (a(3.r). L'invariant de la forme binaire c-, dont l'évanouissement repré-

{*) Un exemple du fait nous est donné par le connexe linéo-linéairc

//, X, 4- //, .c. — #/, .r, = o, qui fait correspondre à un point .r un point y au moyen des équations

et représente par suite un cas particulier de la coUinéation perspective. La transformation inverse est alors identique à cette dernière, et comme elle est de même, en général, représentée par le connexe linéo-liné.iire conjugué (comme nous le verrons plus tard), le connexe conjugué est ici proportionnel au connexe originaire.

sente la condition précitée, sera dans ce qui suit désigné parR; son degré g, par rapport aux coefficients de cf, est aisé à déterminer d*aprcs ce qui précède. En effet, dans R figurent nig séries de symboles A, B^ . . . , et /ig^ séries de symboles al», ifl. ... qui

se réunissent respectivement en - ni g et - ng facteurs symboliques

des types (AB) et («A>\)1)). L'équation du connexe conjugué sera

donc du degré - ing par rapport aux a, et du degré - ng par rap-

port aux Xy c'est-à-dire que nous aurons, en vertu de (8) et (9),

g z=z 2[mn -h 2 [m — i)[/i — i)].

C'est là le degré de V iny^ariant de Informe doublement binaire [10)^ dont r é\^anouissement exprime quà une racine double de l'une des séries de variables peut correspondre une racine double de l'autre série.

Ces faits exigent quelques explications particulières lorsque l'un des nombres m, n est égal à 1 . Alors, en efl'et, pour l'une des séries, il ne peut être question d'une racine double proprement dite;^ mais, dans la formation de R, se présente la circonstance particulière que les coefficients do la forme binaire 9, relativement à la série qui entre linéairement, sont tous deux égalés à zéro. Si donc on a, par exemple,

les y^ ne dépendant plus que des x seuls, il vient

A la place de (i 1) se présentent, par suite, les équations

Pi=:o, Pi=o,

L'élimination de 7.|, Xo entre les deux dernières équations conduit à l'évanouissement du déterminant fonctionnel de P| et Pa, conséquence connue des deux premières équations. Donc, dans le cas oii l'un des nombres m, n est égal à l' unité , R.çe réduit au résultant de Vt et J?2<

LU CONHBMS. 369

Ainsi, par exemple, pour établir le connexe conjugué du connexe (ly i) axU«= o, on a à former le résultant des deux formes linéaires A«A>i et A^Xa» lequel est égal à

(AB)A,jUl,t=:i(AB)(Xife).

L^ équation du connexe conjugué devient donc

(la) [abti)[oiPx) =zo.

Considérons ensuite le connexe (s, i)

/=zalu^=blttp.

Nous avons ici à former le résultant des formes A^Jl>i, A^nl>2» lequel est, comme on sait, égal à ST — U^, U désignant Tinvariant simultané, S et T les invariants particuliers des deux formes. Pour établir ces derniers, nous ferons respectivement usage des symboles ABA>ifl> et CDgod; il vient alors

S=:r (AB)*A,ifei, T = (CD)*e,CDî, U = (AB)*c4„ift„= (CD)«G,(D,.

Nous avons, en conséquence,

ST — U«=ï=(AB)*(CD)«JWi(D,(ift,S)

r=il(AB;*(CD)«(ift»e)(4o(D),

Jm

et V équation du connexe conjugué de a^ii.= o devient

(i3) (abuY[cduY[pyx)[<x,9x)=o.

Nous allons enfin déterminer directement le connexe conjugué d'un connexe (2,2). Il faut ici déterminer d'abord la forme R pour une forme binaire dans laquelle figurent deux séries de variables et chacune à la seconde dimension. Soit

I^z=zklXi=z >ii.iix;4-a«i,,uX|X,H-a„,„xJ)>J -t- («tMl^^ÎH- 2<îl,,j,5C|X,-h «„,,5XÎ)>.»

Clbucr. •» Géométrie, III. ^4

TOMB III. — CBAriTM 11.

une forme de celte espèce. Les équations (11)

peuvent être, en général, remplacées par les suivantes :

p.xj>,~ -

mn âxjd^i

.o.x.îl,=

mn d^iô'^i

p étant un facteur indéterminé. Dans le cas actuel, ce système d^équations est donné par

{^it,\t — ?)'^'i\-^ Oit,ii^^i\ -^

^*i, tt*î^î

(«îl,J2-*-p)'Cî^l-J-«ll,llXl>j

ti.iiM

''iMI*!^^ -+-^ll,ll«î^l -+- «ll.ïlîtl^J + («tl,J| — Pz-^î'^J

Si nous désignons par il le déterminant de ce système linéaire relativement aux grandeurs x^Xj^ x^Xf, Xi^tv >^-2^s9 pai* A/Vt,/m 1^> déterminants mineurs de H, nous avons d^abord

^iî,ij~"

Par suite, les carrés et les produits des quatre grandeurs précédente-^ sont entre eux dans le même rapport que les quantités û/^t^ im, c'està-dire que, u désignant un facteur indéterminé, on a, par exemple,

p.Xj/| .Xj/2^=-^ ^12.12~- ^^21. 21»

p.X| Aj.'/.}/] =^ ^-12,21 '-^^ ^21,12"

Par conséquent, Texpression

^12, îl ^" ^21,12 ^^12,12 ^21,21

est nécessairement nulle, car elle n'est autre que la dérixée de 12 par rapport à />. On a donc en même temps

du

LB8 CO.'tnEXBS. $71

c'est-à-dire que ]e discriminant de Téquation (16) du quatrième degré en p doit s'annuler. La formation cherchéeK est conséquentment égale à ce discriminant lui-même :

/ et j désignant les deux invariants de la forme ft.

Pour le calcul effectif de R sous forme symbolique, observons ce qui suit. Dans û, le coefficient de p^ est égal à l'unité, et le terme en p' manque; on a donc

a — p* -+- 6Up» -h 4Vp ^- W, et par suite

(18) /-^2(w -+-3U*;, y.6(uw — ip— V»;.

Les expressions U, V, W sont des invariants de <p qui ont un caractère spécial, le même que celui appartenant à l'expression R, comme il a été mentionné (p. SSg). Elles sont, en effet, des invariants non seulement si Ton soumet les variables x, X à la même transformation linéaire, mais encore si Ton applique aux deux séries des transformations linéaires différentes. Et ce sont les seules de cette espèce, car, puisque le nombre des coefficients de 9 est égal à 9, il existe six invariants de cette forme, indépendants les uns des autres, relativement à une transformation linéaire commune aux séries x, i, et par suite il existe seulement trois forma^ t ions qui possèdent la propriété de l'invariance même par rapport à des transformations différentes des deux séries ( ^ ).

La manière la plus simple de démontrer que cette double propriété invariante appartient aux coefficients U, V, W de l'équation 12 = o consiste à prouver Tinvariabilité de Q> pour le cas où une seule des séries /., X est transformée linéairement, l'autre restant invariable (en supposant qu'on introduise en même temps à

(•) Dans le tome XI du Jahrbuch ùber die Fortschritte der Mathematik, p. 91, on trouve la remarque que de tels invariants el covariants ont été étudiés pour la première fois par M. Capëlli dans son Mémoire Sopra la corrispondenza (a, 2) ossia la forma /{x^, y*) ed i suoi invariant i e covarianti relativi a due tranformazioni linearî independenti délie 'variabili {^Journal de Battaglini, Naples, 1879). Cette remarque n*est pas correcte, car les recherches du texte (empruntées à un manuscrit laissé par Clcbscb et déjà cité p. 366) ont été publiées en 1876 dans l'éditldn allemande du présent Ouvrage.

37a TOME III. — CIAPITBB 11.

la place de p une grandeur p' convenablement choisie). Nous ferons usage de la transformation

(19) x, = ax'j-f-^x;, x,=:yx\H-oV„

et nous poserons les nouvelles équations

11 s*agit de montrer que ces équations reviennent aux équations (i5). Or on a

axj oy.i O'A^ CrXj axi f/Xj

les équations (20) donnent donc

^ •''»'*"- 4 diyâT, 4 5;^r/

4 ô^id'ki 4 ^^s^^i

Multipliant maintenant la première et la deuxième équation, puis la troisième et la quatrième une fois par a, P, une fois par y, i et ajoutant chaque fois, on obtient, en vertu de (19),

et ce sont là de nouveau les équations (i5) si Ton pose

Actuellement, comme p était une racine de Téquation £1 = o, p' satisfait à Téquation

r = OLS — {3y désignant le déterminant de la substitution. Des considérations tout à fait analogues se présentent si on laisse les % invariables et qu'on transforme linéairement Xi, X2 seulement. Les coeflicients U, V, W ne varient donc respectivement que des facteurs r^r'^, r'/-'^, r*/*'*, si r désigne le déterminant d'une transformation linéaire des x/, / celui d'une semblable transformation des 1|, c'est-à-dire qu'e/i fait U, V, W sont des invariants pour chacune des deux transformations. A cette catégorie appartiennent, par exemple, les trois invariants de la forme A^xî indépendants entre eux

(AB)«(.H.ill,)S (AB)(BC)(CA)(JL\ft,)(ift,G)(GA,), (AB)«(CD)*(xe)*('\ft,CE))*;

et comme, d'autre part, il n'existe que trois invariants de cette espèce indépendants, et que ceux mentionnés ici n'éprouvent d'autre modification par une transformation linéaire que la multiplication parles facteurs r^/^, r'/''', r*/*'*, il faut nécessairement que U se confonde avec le premier, V avec le deuxième, sauf un facteur numérique, tandis que W doit pouvoir se former avec le troisième et avec le carré du premier.

On peut aussi, en fait, calculer sans peine directement le coefîicient U de p^ dans û. On trouve

ou, si l'on permute simultanément A avec B, X avec ifl et qu'on forme la demi-somme de l'ancienne et de la nouvelle expression,

[il] V = — — [AB]^XyS^Y.

Pour le calcul de V, observons que le second des invariants précédents sous forme non symbolique est donné par

= (AB)(BC)(CA)(XiJb){Ulie)(CA,).

^11,11 ^11, iî ^11, M ^M,ll ^tt,H ^ÎÎ,M

et que V = V.c, c désignant un facteur numérique. Mais il vient

374 lOUn m. — GHAMTRE 11.

V'=6 si l'on prend aj^ti = ^j2,h= ^22,22^= Iî et qu'on fasse s'évanouir tous les autres coefïicients de ç. D'un autre côté, on obtient, par suite de cette dernière substitution,

d'où

et il en résulte

et

(22) Vz::- — (AB)(BC)(CA)(A.ill)(tft»C)(e.V,).

Le troisième coefficient W se déduit de 11 dans l'hypothèse p = o. Nous développerons le déterminant qui prend ainsi naissance, afin d'obtenir son expression symbolique, suivant les déterminants mineurs à deux dimensions sous la forme

011 l'on a toujours

Pik^=^ — pkit 9ik= — Qkt^

et où, par exemple,

/'it— «îî.ij — «ii,i2^i2,ij — — -(AB)*A.i*l„iftï| 111)1, /^i3==^iî,««ii,iî— «ii,««it.iî= --(AB)AiBiA>*iï5>iia»î,

(73*— ûîî.i2 — ^ii,iî«^2i,ii — — - (CD)»GiC,côi(Ôj,

Il vient alors, en premier lieu,

W — ^ (AB)'(CD)«[Xi.l,,ift„illi,etG,CDi(ô,-+- A.îUi)îG;(D;]

— (AB)(CD)G;a),(D,[AjBaC,D,4a,i.V,lft,j[— AiBiC,D,JLîia>i'Uλj

— AjBiCjDjatiAjiiî)*

— AiB,C,Di«Vi«l,ift,*],

Le troisième et le cinquième terme donnent pour somme

(AB)(CD)a.,..l,,ifi,îGÎ(DiaD,A,C,(BD),

LIS CONSfBXES. 3^5

el de même le quatrième et le sixième, après qu^on a permuté dans le premier A avec B et a-l. avec iil>, se réduisent à

— (AB)(CD).l,iJl.,ift,ÎGî(£)i(Ô,AiC,(BD);

les deux termes ainsi obtenus donnent, pris ensemble, Texpression

W'=: - (AB)(AC)(BD)(CD)..l,i^,Ul>î(î)i(ï),GÎ.

Or on a identiquement

(AC)(BD)r=:(AB)(CD)-h(BC)(AD), ' "

cl conséquemmcnt

W=-(AB)*(CD)M.i.l,,ia,ÎG;(©,C£),— w^

relation où

W"z^ (AB){CD)(BC)(AD).l,,.l,,in,ÎC;(î),(Dj (AD](BC)(CD)(AB).l,iA>,'«l,i'DÎ,,GîCD^

:.r -l-(AB)(CD)[[AD)(BC)-(BD)(AC)].l>i.l,,ift,iift,„aî(î)*

-^ — - (AB)»(CD)'.l.i<.l,,ift,iift,tC;(E)*,

Si nous substituons donc l'expression W dans W, il vient finalement

Vf =^ 7(AB)*(CD)«[.Vj,l,aft,j'Ul,,eie,(E)i(î),-*-.lJ'ift,î8î(î)î

Permutons ici simultanément A, ,.1, avec B, ift>, puis C, 3 avec D, CD, et opérons ensuite ces permutations ensemble. On obtient ainsi quatre expressions pour W, et W lui-même est égal à leur somme divisée par 4 •

W=^(AB]*(CD)*[(JWiift,ie,(î),-hA,ift„eiC£>i)*

4- ejGjCOjCôjixîiJi,; -h M'^^'^l) — ,.1,1 cl. Cl 85(1)1)* Ub)* + ia>î(Dî)

376 TOHE .III — - CBAnTRE II.

Mais on a identiquement

— 1[ (A,ift,)*(G(î))*4- (<.li\ft„e,(]0,4- A:,ifi»iG,®,)'

Si Ton porte ce résultat, ainsi que les transformations semblables des expressions correspondantes, dans l'expression de W, on obtient

W==-^{AB)«(CD)«[(.l,G)*(ia,Oô)»+(Jl(D)M'in.>G)*-(.l^

Parmi les trois termes qui se présentent ici, les deux premiers sodI égaux entre eux, le dernier est égal à — gU^; et l'on a ainsi enfin

(23) Wzzr i(AB)'(CD)«(XG)*{'ift,(D)« — 9U».

On a à substituer dans i eij, d'après (18), les valeurs données dans les équations (ai), (22), (28) pour obtenir suivant (17) Tinvarlant chcfrché R. L'équation du connexe conjugué au connejcea'^ul^^o est donc donnée par

8(Wh-3U*)»— 2i6(UW — U»— V» «1=0,

avec

V= {abu)(bcu)(cait)'uPx)(Pyx)[yaL:r),

W=: ^[abuY(cduY(aya:y[p^x]^'-gVK

Le connexe conjugué a été rapporté unidéterminativement chôment pour élément par les équations ( 1 ) au connexe donnéy= o : ces équations donnent donc un cas particulier d'une transformation unidéterminatii^e générale du connexe /-=• o, transformation que Ton peut exprimer par les équations

(24) p^-=r^,(jr, ttj, fTVi=^i\x,u) (1 = 1,2,3),

les relations 91= o représentant trois connexes quelconques (/?, f),

LBS CONNEXES. 3')'}

les relations ^/= o trois connexes quelconques (/', ^). L'équation F(j', v) = o du nouveau connexe s'obtient alors par élimination de p, a, jf|-, Ui entre les équations (24) et entre ^(j:, m) = o. Au cas où les connexes de transformation o = o, ^ = o ne sont pas dans une situation spéciale par rapport ày= o, on détermine aisément l'ordre m' et la classe // de F = o. L'ordre m' est en effet évidemment égal au nombre des points j" qui, pour des valeurs choisies d'une façon quelconque des s^i, satisfont simultanément aux équations (24) et à y= o, y^=o, les quantités y/ étant des grandeurs quelconques ; c'est-à-dire qu'en vertu du caractère unidéterminatif de la transformation (24)^ il sera égal au nombre des éléments (x, u) communs aux quatre connexes

/(x, i/) = o, 271 y/— o, •'j'j'i — l'i^pi^o, «'j^pi — •'i-^3 = o;

et nous avons, en conséquence, d'après l'équation (4) (p. 356),

'25) m' =2 r*nq -h s^mp 4- irs[rnq -+- np]

et de même

(26) «' = p^ ns -h </* tfir -f- zpq ( /?w -f- /ir ) .

Des modifications doivent être apportées à ce qui précède lorsque les connexes de transformation f , t^ présentent quelque chose de spécial par rapport à J\ Supposons, par exemple, que les con^ nexes (fi= o aient en commun as^ec f un couple de courbes (d^e) et les connexes «{'/= o un couple de courbes ( J, e)\ Du couple de courbes qui est commun aux équations

et dont l'ordre et la classe sont déterminés par les équations (2) (p. 355), il faut encore retrancher le couple de courbes (î, c). Il reste un couple de l'ordre 2 7'5«-4-/rw- — $ et de la classe ^rsm-hnr^ — î. D'après les développements donnés (p. 356), l'ordre du connexe F(j^, i^) = o est donc actuellement

( î-j ) m' r=r ( 2/ir5 -h ms^ — $)p -\- [1 mrs -i- /î/-* — • ) </,

et sa classe

( 28 ) /l' m ( 2 npq H- mq^ — rf) r -h (2 mpq 4- np^ — e)s»

Au moyen de ces formules, on retrouve, en particulier, l'ordre

378 TOMC 111. -^ CHAPITRE II.

et la classe du connexe conjugué. Les connexes -r^ qui se présentent dans les équations (i) à la place des cp/ déterminent, en eflel,

un couple de courbes de Tordre im{n — i)^ et de la classe 3(/i — i)/w^, qui, d'après le théorème d'Euler, appartient aussi au connexe f= o. Pour les équations (i), il vient, en conséquence.

et de même

puis

Si Ton substitue ces valeurs dans ('^«7) et (28), on retrouve bien les nombres connus pour l'ordre et la classe du connexe conjugué. Dans les autres recherches sur les transformations unidéterminativcs des connexes, on devra surtout fixer son attention sur leurs singularités (ainsi qu'on le fait dans les transformations d'une courbe) et sur les relations qui existent entre les singularités du connexe donné et celles du connexe transformé. On devra aussi distinguer différentes espèces de transformations suivant que ces dernières changent unidcterminativemcnt un connexe en un autre, ou qu'elles sont unidéterminatives seulement pour les éléments d'une coïncidence, ou enfin seulement pour ceux d'un couple de courbes, de même que dans l'espace on a à considérer des transformations unidéterminatives d'une surface et d'une courbe particulière. Les recherches qui se rattachent à ce sujet ont la même marche que les théories semblables dans une variété quelconque de quatre dimensions. On pourra, en particulier, aussi bien pour les connexes que pour les coïncidences et les couples de courbes, établir un nombre, savoir : le genre de ces Jigures^ qui reste invariable dans toutes leurs transformations à détermination unique ('). Il est toutefois à remarquer que dniis les coïncidences, comme dans les surfaces algébriques. Use présente deux nombres constants de cette espèce, que dans les connexes, comme dans les variétés de trois dimensions, il s'en présente trois [^)^ et qu'au contraire, dans

(') Voir CbEBSCn, Comptes rendus de V Àctidémie des Sciences, t. LXVII, décembre 1868, et NÔTHEB, Math. Annulent t. Il, p. 393 et suiv. (') Voir MÔTiiERy Math, Anaalen, t. VI 11. p. 49-) et suiv.

LB8 COKXEXES.

le couple de courbes" (ou, en général, dans une variété algébrique à une seule dimension), il ne s'en présente qu'im, comme dans une courbe particulière. L'établissement eflectif de ces diOerents nombres (la détermination de la façon dont ils dépendent des singularités éventuelles du connexe, de la coïncidence ou du couple de courbes) et la démonstration de leur permanence dans les transformations unidéterminatives se feront de la même manière que pour les variétés algébriques générales dont il a été parlé. Nous n'insisterons néanmoins pas davantage sur ce sujet. Contentonsnous de mentîonnor comment, pour les connexes et les coïncidences, on aura à former les intégrales triples ou doubles avec l'étude desquelles on peut mettre en connexion les nombres cidessus. Les résultats correspondants pour des variétés quelconques [voir NoTHER, loc, cit.) se modifient en effet ici d'une façon particulière, parce que nous avons affaire non à un groupe de quatre, mais à deux groupes de deux variables chacun.

Soit [xy u) un élément du connexe y=o. Gomme ce dernier représente une figure à trois dimensions, on y trouve comme possibles trois directions d'avancement linéairement indépendantes que nous pouvons attribuer aux variables en passant de l'élément (j:, u) à un élément voisin (a; -h- dx, u -h du). En distinguant trois différentielles de cette espèce par les lettres d, d\ d" , on obtient les équations

^/jr/i'ti-^ 2/,//l// - O, ^/r. ^^ -i'/ -H 2//,, €i' Ui - O,

— • En y ajoutant les équations

nous avons cinq équations au moyen desquelles les rapports des f'r^t Jli peuvent être déterminés, et, pour préciser, seront proportionnels aux déterminants formés avec le système incomplet

clxi r/./-, (Lr^ dui du^ du^ !'

d'jc^

d^Xi

d'Ui

lit

TOUS ni. — CHAPITRE 11.

Si donc Ô est une fonction homogène entière' du degré m — 3 par rapport aux xt et du degré n — 3 par rapport aux a,-, l'expression

dl

d.Ty

rf'.rj

djCf

(Fx^

djr^

rj .

du Y

d'iiy

dTu^

eitif

cf' u^

du^

d'ii^

d" ih

représente un élément d*une intégrale triple qui est complètement indépendant des grandeurs a/, (3/. Si Ton détermine les constantes dans 0, de telle sorte que cette intégrale ne devienne infinie pour aucun élément du connexe /= o, le nombre des constantes de© qui restent arbitraires indique le genre p du connexe. Si donc le connexe donné ne possède aucune coïncidence double, etc., 0 n'a à satisfaire à aucune condition ; il vient alors

et c'est là l'un des nombres caractéristiques pour un connexe (*).

On peut, d'une double manière, donner à la différentielle d\ une forme plus simple. En effet, on peut choisir deux des trois directions d'avancement rf, d! ^ d" de telle sorte que les u/, puis les Xiy restent successivement constants. 11 vient alors, par exemple,

(ff «1 =Zffu^ :=:=. d' ttj =:r O,

rtf^-r, =z éT' Xj =: d" x^ -ziz o ;

et, si l'on annule successivement les |3/, puis les et/, on obtient les deux formes simples

e.{xKd'x).{itduff'u) __ e.(.rrfrrf'x](i/|5^w)

(') Lm autres nombres génériques seraient donnés par les nombres qui caractérisent d'une manière analogue une coïncidence à laquelle donne naissance sur/=o un connexe 0 = 0.

LB8 CO!l!(KXE«.

ZSl

Observons encore que Ton arrive aussi à la même expression pour dï si Ton part de ceci : considérer y* comme une fonction homogène de six variables cogrédientes X|, x^y x^y u^J Uiy 1/3. D'après les règles générales relatives aux fonctions de cette espèce { * ), il faut alors considérer une différentielle qui dérive de (39) si Ton remplace le déterminant du numérateur par le déterminant

dxx

d Xj

rf"a-,

d^Xi

JT,

//*^Xj

rf'^r,

dr^

df c^

d^JT^

dui

di u^

it^Ui

du^

du^

tf u^

d^tt^

dans lequel d, d\ d"^ d!" indiquent les différentes directions d'avancement. Mais si nous considérons que, en outre des équations

ont lieu encore les suivantes

2 ^if^^ =0, 2 ttifl. = o,

il est visible que le déterminant obtenu par élimination des Jl^, y^^ entre ces équations est nécessairement nul. On peut, pour cette raison, poser

tfxf= X dxi H- Id* Xi -r- tid^x^ -+- x^dpy d'"ui:=% dui -f- > r/' «/ H- ikdf Ui -h Ui é/a,

dpy da désignant des grandeurs infiniment petites quelconques. Si Ton porte ce résultat dans le déterminant à six dimensions, on obtient de nouveau, après une transformation aisée, le déterminant qui figure dans (29), à part un facteur qui dépend uniquement de dv et dp'^ mais ce dernier n'a plus aucune relation avec dl et y, et il est, par conséquent, absolument sans influence sur les considérations ultérieures. On aperçoit ainsi qu'il suffit d'étudier l'élément d'une intégrale triple, au lieu de celui d'une intégrale quadruple.

(') Foir N5tiiu, Math, Annalen^ t. II, 2otf. cit.

TUMR m. — CHAPITRB II.

Dans le même sens que nous avons parlé du genre d'un connexe, on peut aussi parler du genre d'une coïncidence. Si l'on se figure celle-ci comme Tintersection de deux connexes (m, /?) et {m',n)

f=o et 9^==o,

on a à considérer une intégrale double (*) dont les différentielles linéaires correspondent aux deux directions d'avancement qui restent encore possibles. Ces dernières étant représentées par'rf, rf', on a

^fxiàxi-\- lfl,.dui— o, lf^/tx,-{- Ifi^tTiti— o,

2 J^i/xj == o, 1 Uif,t. = o ; et

Chacun de ces systèmes d'équations peut être envisagé comme un système linéaire relativement aux dérivées des fonctions qui v figurent. Il suit alors de là, d'après des propositions connues, que les déterminants à deux dimensions, que l'on peut former avecles séries

y^i» y.ri> y.»j» y«i» y«j> y//j»

?.r,> f.,1 ?a,» y«,, ftitf ?#/,»

sont individuellement proportionnels aux déterminants à quatre dimensions de la matrice

d Xy

Xa

dx^ d'x.

Xn

du y

d Uy

da^

Si donc nous désignons par© une fonction entière renfermant les Xi d'une façon homogène à Tordre m -^ m' — 3, les «/ d'une façon

(') Voir la formation correspondante de l'intégrale simple pour rinterseclio» complète de deux surfaces dans Cleosch : Anwrndungen der yfbeVschen Function^n nuf Géométrie, § 11 et suit. {Journal de Crelle^ t. 63). Il peut, du reste, y avoir iussi des coïncidences qui ne sont pas représen tables comme intersections complètes de deux connexes.

homogène à Tordre /i -f- «' — 3, il vient

[I ilxi d! T-i Xi G Oj oii I 1 — __' ^"i ^'«/ o ^^ ^i ?i I J/=l^l.3

diflerenlîelle complètement indépendante des grandeurs rt/, a,-, i/, |3/. Le facteur du numérateur compris entre crochets a été mis là par abréviation pour un déterminant à six dimensions dont il est aisé d'apercevoir le mode de formation effectif. Si maintenant 0 est déterminé de telle sorte que Tintégrale double qui tire son origine de di reste finie pour toute portion limitée choisie à Tintérieur de la coïncidence, le nombre des coefficients arbitraires qui restent dans 0 et ne peuvent être détruits par Tcmploi de f= o, 9 = o, est égal au genre tt de la coïncidence ( * ). On a donc, en général,

Pour simplifier encore l'expression r/I, on ne peut plus ici choisir des directions d'avancement pour lesquelles tous les dxi ou tous les dui s'évanouissent; mais on peut faire nuls ou bien les a, a ou les i,|S, et l'on obtient alors, pour r/I, les deux représenralions

2 bji- , 2 ft <p;,, — 2 Oi f,,. . 2 ['ij;„

^ .{ il rhi (V // 1 . ( .rrt a ) - - ■ V 7'' V ' V ' V ~F~ '

^ ^iJxi • ^ «/ *x, — ^ «/ ?a, • ^ «/ 7 X.

Le genre d'un couple de courbes est enfin égal au nombre qui, suivant des théories connues, appartient comme genre à l'une des deux courbes du couple (liées unidélcrminativemciil l'une à Taulre),

(M Le second nombre générique de la coïncidence est égal au genre du couple do courbes déterminé dans la coîncidencc/'=: o, 9 = 0 par un connexe B = o qui doit satisfaire aux conditions indiquées dans le texte.

et il a une relation connue avec les intégrales abéliennes qui correspondent à ces courbes (p. 167 et suiv.).

Faisons encore observer, en finissant, que pour les dlflerentielles ici introduites d'intégrales triples et doubles on peut aussi trouver aisément des équations exactement analogues à Téquation différentielle du théorème d'Abel [*), Toutefois, une équation de cette espèce ne peut être immédiatement employée de la même façon que le théorème d*Âbel à des applications géométriques, parce que les propriétés des intégrales algébriques multiples à limites complexes n'ont pas encore été étudiées d'une manière approfondie.