IV. — La comcidenca principale
Parmi les connexes, il en existe un qui a une importance particulière : c'est le connexe linéo-linéaire donné par l'évanouissemenl du covariant identique Uxy c'est-à-dire par l'équation
(1) i/^^a,Xi-}- a,j:, -h «,.r,= o;
nous rappellerons, par abréviation, le connexe identique. Dans ce connexe, à tout point répond Tensemble des droites qui y passent, et à toute droite l'ensemble des points situés sur elle, c'est-à-dire que Félément du connexe identique est, en général, toute combinaison du point et de la droite en situation réunie. La courbe K| qui correspond à un point est donc le point lui-même considéré comme sommet d'un faisceau de rayons; la courbe C| qui correspond à une droite est cette droite elle-même considérée comme base d'une série ponctuelle.
L'ensemble des éléments communs à un connexe donné arbitrairement y= o et au connexe identique 11^^=0 fournit une coïncidence covariante particulièrement importante pour l'étude du connexe y= o ; nous l'appellerons la coïncidence pria' cipale du connexe. Dans cette figure, à tout point répondent n rayons passant par ce point {^rajons de coïncidence) qui sonl les tangentes menées de ce même point à la courbe correspondante
'') foir NÔTHRS, Ma(h, jinnahn, t. II, p. 3o5; note.
LES GONNBKBS. 385
K^; à toute droite répondent m points situés sur elle {points de coïncidence)^ savoir ses points d'intersection avec la courbo correspondante Cm-
Ainsi, à tout connexe répond une coïncidence principale, mais, au contraire, il existe inversement une infînité de connexes auxquels répond une même coïncidence principale [m,n). Si, en effet, f= o est l'un d'eux, tous les connexes
(i) /-hMtfj,i=o,
M= o représentant un connexe quelconque (m — i, /i — i), comprennent évidemment la même coïncidence que /*. Toutes les recherches suivantes sur la coïncidence principale d'un connexe/" sont donc également vraies pour toutes les formes mixtes composées, comme dans (2), avec /et Uj-,
La coïncidence principale présente un intérêt tout particulier, tenant à ce qu'elle est en connexion étroite avec les cv/uations dijj'crentielles algébriques du premier ordre ( * ). Si, par tout point du plan, on trace les n directions des droites qui lui corresponden! dans la coïncidence principale, et qu'on les considère comme les éléments d'arc d'un système de courbes, on pourra composer ainsi une famille de courbes dont n passent par chaque point, et les tangentes desdites courbes en ce point sont les n rayons qui répondent à ce dernier dans la coïncidence principale. Pour la recherche des courbes qui prennent ainsi naissance, on aura à intégrer une équation différentielle qu'on trouvera de la manière suivante. Nous poserons de nouveau y = a^//". Soit u une droile passant par le point x et lui répondant dans la coïncidence principale, en sorte que J\x^u) ■=. o et Ux=^o. In point x -\- d,v voisin de x satisfait alors aux équations
\ t^fU^^ "i f^-^i + Ui^-Ti -f- iHfi-J'i = o,
I lijc^- Ui .r^ -h- Ui .rj -+- Wg .7-3 -— o,
<'n vertu desquelles on trouve les rapports des w/ éi^aux à ceux des
(') L'emploi du mot ordre, dans un sens différent de celui qui lui a été attribué jusqu'ici dans le texte, ne peut entraîner aucune confusion. Nous entendons, suivant l'usagi^» par équation diflérenticlle du premier ordre, une équation différentielle dans laquelle ne figurent que les premières difTércnticlles djr^ ou du,, celles-ci pouvant d'ailleurs entrer à une dimension quelconque.
Clrbsch. — Géométrie, III. ^5
38G TOm 111. — CHAPITRE If.
déterminanls formés avec les Xi et les dxi. Si donc on introduit ce& derniers dansy*ou dans/n-Mu^» on obtient Téquation différentielle
On peut corrélativement partir d'un rayon u et de ses n points de coïncidence. Si Ton mène par un de ceux-ci un rayon u -f- du voisin de Uy il se trouvera sur ce dernier un point x + dx qui lui correspond ; partant de ce nouveau point, on peut aller plus loin, et Ton obtient ainsi un système de courbes dont m touchent une droite quelconque. Pour leur détermination interviennent, à la place des équations (3), les équations
( 5 ) «^ m o, ( r/i/ )a ^ .r, rftt j -h .r j r/«, -4- .r, r/if , =z o,
et Ton trouve ainsi, parla, au lieu de (4)- Téquation différentielle
(iC système de courbes a, par conséquent, la propriété que la tangente d'une des courbes qui le composent en un de ses points esl donnée par un des rayons de coïncidence de ce point. Mais le svstème de courbes donné par l'équation différentielle (4) était caractérisé absolument par la même propriété ; les deux sj sternes sont donc identiques. L'équation (6) est Inéquation différentielle en coordonnées-lignes pour le même sjstème de courbes dont l'équation en coordonnées-points est obtenue par intégration de l'équation différentielle (4). Nous appellerons les courbes ainsi représentées courbes de coïncidence principale ou courbes intégrales du connexe f •= o.
Les équations différentielles algébriques (4) et (6) qui se prtsentent ici sont les plus générales de leur espèce si l'on attribue au connexey= o des coefficients généraux; car toute équation différentielle du premier ordre à coefficients algébriques peut être obtenue de cette manière. La connexion entre une équation différentielle donnée à deux variables et entre la coïncidence principale d'un connexe peut en effet évidemment se présenter de la façon suivante :
dr Soit donnée entre .r, j et p z=z -j- une équation algébrique
LB8 COXXEXES. .iS-
<p(^Xjy,p)= o. Mettons l'cquaiion 9 = 0 sous la forme
(7) f[j^yX\ —p,'^p — r]==o,
ce qui peut être réalisé d*une infinité de manières. Alors
(8) /f*£i,f?./ii,^»U:o
sera toujours Téquation d'un connexe dont les courbes intégrales sont données par Téquation f=z o. Que Ton pose en effet de nouveau w,== [xdx)i et ensuite Xs = 1 , dx^ =0, x^^=x^ x = j , Téquation (8) se change de nouveau en (7). Au lieu de (8), on pourrait, du reste, choisir aussi comme équation correspondante de connexe toute équation
conformément à la circonstance que Téquation (7) peut être formée d'une infinité de manières différentes.
De même que nous avons sous les yeux, dans (4) et (6), deux équations différentielles pour les mêmes courbes, de même on peut remplacer toute équation différentielle algébrique par une autre qui lui est équivalente, et simplifier ainsi souvent Tintégration (* ). On aura, à cette fin, à ramener d^abord Téquation différentielle à la forme (7), à établir le connexe correspondant (8), et à y poser ar/= {udu)i au lieu de a/= [xdx)i.
Nous traiterons plus tard quelques exemples de la détermination des courbes intégrales ; nous considérerons seulement ici un cas particulièrement simple, savoir : le connexe qui est représenté par Tévanouissement du déterminant fonctionnel de deux formes o = «"*, t|/ = a" et de la forme iix
(9) (««/iX-^ar^==0.
Ce connexe donne Téquation différentielle
(*) Des considérations analogues pour l'espace (ou, en d'autres termes, la transformation d'une équation différentielle donnée en coordonnées-points en une équation diATércntielle en coordonnées de plans) se trouTcn^ dans PlCcker, Sjstem der Géométrie des Raumes, Dûsseldorf, i8^{6, p. 27.
Ses courbes de coïncidence principale sont donc
m log\[» — n logy m: log>.,
A désignant un paramètre, ou
(lo) ^|;'"— V^«=o.
Et par là est en m^me temps donnée Tintégratioa de l'équatian différentielle
du moins, cette intégration est fournie par la solution du problème purement algébrique qui consiste à établir l'équation des courbes (lo) en coordonnées-lignes. On voit sur (lo) que par tout point du plan passe effectivement une courbe du système, tandis que toulc droite est touchée par m H- /i — 2 courbes. En effet, Téquation de la courbe (10) en coordonnées-lignes serait d'abord du degré a(m/z — i) en X; mais, comme la courbe ^ est comprise m fois dans le système, et qu'ainsi toute droite quelconque a un contact d'ordre m — i en chacun de ses n points de rencontre, l'équation en coordonnées-lignes devra admettre pour chaque ligne la racine n[ni — i)*P**'X = o, et semblablement la racine m(/i — i)*p**X = x . Après suppression des facteurs correspondants, elle reste, par le fait, du degré
21 ( mn — I ) — [m — \)n — ( // — i ] w z= 7?2 4- /i — 2.
La circonstance que dans (10) se présentent des courbes intégrales algébriques a pour cause la nature spéciale de l'exemple choisi; en général, on obtiendra des courbes transcendantes, mais dont encore n passeront toujours par un point quelconque, et m toucheront une droite quelconque. Donc aux nombres /i, m appartient, dans ce système de courbes, une signification semblable à celle que nous avons attribuée plus haut dans la théorie des caractéristiques aux nombres ^z, [i! (ou /x, v), et effectivement différentes propositions relatives à ces nombres dans les systèmes de courbes algébriques peuvent être transportés immédiatement auv systèmes plus généraux de courbes transcendantes qui sont définis par une équation dijfférentielle
/*( .r, j, — - j =-- o, ou mieux a^[oi,xdxY - - o.
Menons, par exemple, par un point fixe toutes les droites possiblés; chacune d'elles sera touchée en m points par les courbes du système, etTéquation X^= o du lieu de ces points de contact s'obtient, par élimination de u entre les équations
tt^— o, //,— o, a'J^u^T-o,
et est, en conséquence, donnée par
X,^-<(a.rj;«..o.
Le raisonnement dualistique conduit de même à Téquation
[11] lJ,.^(r/wc)'"<--o,
et nous avons ces théorèmes [voir t. II, p. 128) :
Le lien (les points x qui, complétés par leurs lignes de jonction à un point fixe y ^ forment des éléments d 'une coïncidence principale, est une courbe de l'ordre m -\- n
et cette courbe a, en y y un point multiple d'ordre n.
L' enveloppe des rayons u qui, complétés par leurs points de rencontre av^cc un rayon fixe ç', forment des éléments d'une coïncidence principale, est une courbe de la classe m -\- n
et cette courbe a v pour tangente multiple d'ordre m.
L'ordre de la courbe X^.= o dépend donc, en réalité, des nombres m, n de la même façon que la courbe définie semblablemcnt dans les systèmes algébriques dépend des caractéristiques fjt, /x' d'un tel système, et la manière dont se comportent les deux courbes iiu point fixe^ est également la même ( * ).
Parmi les points du plan sont particulièrement à remarquer ceux
(') On a de même pour les systèmes de courbes transcendantes cette proposition qu'une courbe de l'ordre n' et de la classe k' est touchée par k'n + n'm courbes du système; 'voir Fouret, Sur les systèmes généraux de courbes planes {Bulletin de la Société mathématique de France, t. Il, p. 72 et oO). On aperçoit aussi combien les recherches ultérieures de Fourel sur les systèmes simultanés de courbes [ibid.^ t. Y, p. 19 et i3o; t. VII, p. 177, et Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, 23 mars, 187'^) sont en relation étroite avec la théorie des connexes.
SgO TOME III. — CUAPITRE II.
pour lesquels deux des n directions qui en sont issues se confondent, et, comme cette exigence est équivalente à une condition, il y aura un nombre infini de points de cette espèce, c'est-à-dire que les points dont il s^agit formeront une courbe. On obtient de même une autre courbe comme enveloppe des droites pour lesquelles deux points de coïncidence qui leur correspondent sont infiniment voisins Tun de l'autre. Si deux des n tangentes menées d'un point X à la courbe correspondante K„ doivent coïncider, il faut évidemment que le point x soit situé sur K/j ; si donc on représente en coordonnées-points X sous la forme F(j:, X) = o Téquation /(x, u) = o de cette dernière, F(j:, x)=. o est l'équation du lieu cherché. On obtient le lieu des points x qui sont situés sur leur courbe correspondante K„, et pour lesquels conséquemment deux des directions d' avancement homologues de la coïncidence principale se confondent, en représentant K,, en coordonnéespoints. On obtient corrélatii^ement l* enveloppe des droites qui touchent leur courbe correspondante C,« en représentant cette dernière en coordonnées-lignes u,
La première courbe n'existe naturellement que si m est supérieur à I, la seconde si n est supérieur à i ; les cas de ni = i et 71 = 1 demandent donc à être traités h part; nous y reviendrons plus tard.
Pour le connexe aj:u'i = o, on obtient, par exemple,
et le lieu des points en question est, en conséquence, donné par la courbe du quatrième ordre
F(.r, j:')^/i^Aj(a|3x)*. o.
Pour le connexe a^i/J, on trouve
et conséquemment la courbe du sixième ordre
Les courbes mentionnées ici se rattachent par des relations particulières et très importantes aux courbes intégrales du connexe
LES CONHEXES.
/*= o. Considérons les points situés de part et d'autre de la courbe F(x, x) = o. Pour un point de cette dernière elle-même, deux des branches correspondantes des courbes intégrales se confondent; donc, diaprés les lois connues de la continuité, ces branches sont nécessairement réelles pour les points placés d'un des côtés de la courbe F(x, x) = o, imaginaires pour les points situés de l'autre côté. Par suite, en tout point de F, deux branches réelles des courbes intégrales ont la même tangente sans se prolonger au delà de ce point, c'est-à-dire qu'il se produit un point cuspidal de la courbe intégrale {fig^ 4)« Si donc on fait, en outre, le raisonnement corrélatif au point de vue dualistique et qu'on prenne la réciproque de tous les deux, on peut énoncer les deux propositions suivantes :
ie lieu ( F = o ) des points qui sont situés sur les courbes K„ qui leur corres/M)ndent dans le connexe est en même temps le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales du con-
nexe ( * ) .
L'ens^eloppe (F'=o) des lignes qui touchent les courbes C»
qui leur correspondent dans le connexe est en même temps le lieu des tangentes d'inflexion des courbes intégrales du connexe.
Les tangentes de rebroussement des courbes intégrales, qui appartiennent aux points de F = o, envelopperont, en général, une
Fig. 4.
autre courbe 4> = o, et de même les points d'inflexion de ces courbes décriront une nouvelle courbe 0'=o. C'est uniquement
(') Si ]*on part d'une équntion différentielle en coordonnées recta ngtiluiret f{^j )}»/') = o> on obtient évidemment la courbe F = o en formant le discriminant
de f par rapport à la variable p-= --•
en des points particuliers de F qu'il arrivera que la tangente de rebroussement correspondante soit en même temps tangente de F en ce point, comme cela a lieu, par exemple, pour le point A dans \dijig, 4 (*)• Dans le cas seulement où des conditions particulières existent entre les coefficients de réquationy= o, il pourra se faire que la tangente de tout point de F soit aussi tangente de la courbe correspondante K„. Alors F est touchée en chaque point par une courbe intégrale; la courbe F =i o donne, en ce cas, une intégrale singulière de Téquation différentielle /= o, ainsi que nous l'exposerons plus tard avec plus de détails ; cette circonstance ne se présentera d'ailleurs pas en général.
Des lois de formation indiquées plus haut pour F et pour F' peuvent aisément se déduire Tordre ou la classe de ces courbes. car une courbe de /z*^"*® classe est, en général, de Tordre /i(/i — i), et son équation en coordonnées-points est du degré a(w — i; par rapport aux coefficients de Téquation en coordonnées-lignes. On trouve, en conséquence, pour Tordre de F, le nombre [n — i)(2m-h /i), et pour la classe de F' le nombre (m — i)(2/ï-f- w). Les courbes F = o qui se présentent ici ne sont nullement les courbes les plus générales de Tordre {n — \)[7.m -f- n), et se distinguent, au contraire, par diverses singularités. Pour la détermination de ces dernières, nous examinerons avec plus de soin la relation entre les courbes F = o et 4> = o ; rappelons que
F = o représente le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales ;
<î> = o Tenveloppe des tangentes de rebroussement de ces mêmes courbes.
Les deux courbes sont, d'après leur définition, rapportées unidé terminât Iv^ement Tune à l'autre; à un point x de F correspond comme tangente de ^ précisément la tangente en x de la courbe
(') De la courbe inté{;ra1e tan(;ente en A se scparc ici en même temps une droilp. Cet exemple a d'abord été emprunté à la Ihéorie des surfaces du troisième ordre dont les courbes asymptotiques se comportent ainsi dans le voisinage de la courbe parabolique (i>o/r Klki:«, Nath, jéttnalenj t. VI). ?Jous revenons, dans la dernière Section, sur la connexion de la courbe F = o avec la solution singulière de l'équation diflerentiellc.
LB8 CONSIBXRS. SqB
K„ qui répond à or. Or une telle courbe K,, a, en général,
- n[n — ^){^^ — 9) points doubles; il pourra donc arriver en un
nombre fini de points du plan que le point x coïncide avec un point double de la courbe K„ correspondante, et alors il lui correspond deux tangentes diflTérentes de celte dernière et, par conséquent, deux tangentes difl'ércntes de 0. D'après les lois de la transformation unidéterniinative, ce fait ne peut se produire que si le point en question est un point double de F. Nous déterminerons, d'après cela, le nombre de ces points doubles à l'aide du principe de correspondance de Salmon et Zeulhen (t. II, p. 108 et 109), ainsi qu'il suit.
A tout point jc correspondent a = --n[n — a)(/i'"^ — 9) points r-
savoir : les points doubles de la courbe R;, qui répond à x. Pour trouver le nombre a' des points x qui, réciproquement, répondent à^', nous avons à chercher le nombre des courbes R„ qui ont un point double en un point donné j\ Tout rayon u passant par j' sera touché par une infinité de courbes K„; parmi elles figurent . ni' courbes qui touchent u en j , courbes qui correspondent aux mpoints X déterminés par les équations
Donc il existe encore, en outre,
courbes K,, qui sont tangentes à a et passent en même temps par y. A chacune de ces dernières on peut encore mener de jn — 'i tangentes u dont les points de contact ne sont pas situés sur m, et ainsi à tout rajon u répondent im'^[n — 3 ) (/i — 2 ) rayons v» et réciproquement. Si deux rayons correspondants coïncident, la courbe K„ considérée passe une seconde fois par^^, c'est-à-dire a en jr un point double. Or, comme deux coïncidences de cettcî espèce sont produites par la même courbe K,,, on a simplement
^ ce' = 2 /w* ( /î — 2 J ( /l — 3 ) .
Pour trouver le nombre a -4- a' H- [3 des coïncidences des points .r etj^ dans le plan, il nous faut maintenant obtenir encore Tordre
^94 TOUE 111. — CIIAPITBB 11.
|3 de la courbe parcourue par j' si x décrit une droite. Or, si Ton pose X = Ç -f- X>3, Téquation
représente un système de courbes K;, dont am[n — i) passent par un point quelconque, et m touchent une droite quelconque. Pour un tel système Tordre cherché est immédiatement donné par l'interversion dualislique d'un théorème établi par Zeuthen, d'après lequel les tangentes doubles des courbes d'un système de C„ enveloppent une courbe de la classe
s'il y a parmi elles /jl courbes qui passent par un point donné cl '2[n — i)/x qui touchent une droite donnée ( * ). Nous trouvons, en conséquence, pour l'ordre du lieu du point double j', la
valeur
6 = 2 ( /î — 2 ) [ 71 — 3 ) mti.
Le nombre des points doubles de F est donc finalement
On trouve semblablement que le nombre des points de rebroussement de F est égal au nombre des points x qui coïncident avec un point cuspidal y de la courbe correspondante K„. On a ici
ce dernier nombre s'obtenant par la considération d'une correspondance
entre les rayons d'un faisceau quelconque. On trouve enfin, d'après les recherches de Zeuthen dont nous venons de parler,
P = Zmn[n — 2],
Qlle nombre des points de rebroussement de F =■- o est conséquem-
(' ) Voir le Mémoire de Zeciuen, cité t. Il, p. 127 [n" 3i, p. 3/|0 de ce Mémoire).
LKS COSINEXBS. Sq^
ment égal à
Pour déterminer la classe de 4>, nous partirons des formules qui donnent la relation unidéterminative des tangentes de 4> à Tégard des points de F. Si AjcA>i=o est symboliquement Téquation en coordonnées-points X de la courbe K„ qui répond à x, jui étant égal à 2/ri(/2 — i), v à n[n — i), les susdites formules de transformation sont évidemment
; 1 5) p w/ = AJ. X^~* aV/ = fi ( .r ) .
En premier lieu, les trois courbes Çx== o passent par tous les points doubles et cuspidaux de F = o, car précisément, si x est un point double de la courbe AjJ.nl,i=o, les trois grandeurs ^i{oc) s'annulent, et nous avons vu qu'alors F a un point double en x. Dans nos formules générales pour la transformation unidéterminative (p. 8), nous devons, en conséquence, poser
-h 3 ( /« — 2 ) ( //i* -h mn -f- /i ) .
Il nous reste maintenant à chercher le nombre o- des points simples de F par lesquels les trois courbes çfi= o passent simultanément. Parmi les courbes K/i en nombre doublement infini, il y en aura une infinité simple qui posséderont une tangente double, et les points correspondants X formeront une courbe P = o qui s'obtient par élimination des i// entre les équations
et est conséquemment de l'ordre 3/w(/i — i)**^. Il existera de plus sur P un nombre fini de points x par lesquels passe la tangente double de la courbe correspondante K;,. Ces points sont situés en même temps sur F = o, car, pour eux, deux des // rayons correspondants de la coïncidence principale se confondent avec la tangente double, et à leur égard ont lieu simultanément les trois équations
396 TOME 111. — CBAFITRE 11.
car la tangente double doit être considérée comme branche comptée deux fois de la courbe du v**-''"* ordre AtrA.Ï = o. Les courbes ^i passent donc toutes trois par les points ainsi caractérisés. Le nombre de ces points se détermine ainsi qu'il suit. L^ équation de la courbe enveloppée par les tangentes doubles s'obtient par élimination des Xi entre les équations (17) ; elle est donc de la classe 3m^(// — i). Nous avons, en conséquence, sur la courbe P = o entre les points x et entre les points de rencontre y delà tangente double correspondante une correspondance
Le nombre des points cherchés de P = o, et par suite aussi le nombre des points simples deF = o qui sont communs auxo,-^ est donc égal à
On doit enfin observer que les courbes o/= o touchent les tangentes de rebroussement de F = o aux points de rebrou ssement. Comme, en effet, d'après ce qui précède, la courbe F ^ A5.,i;^=o a elle-même un point double en un point double de la courbe K« qui répond à x, les grandeurs A|J.xy*A.i et AUr*A,..l,]^ sont proportionnelles entre elles, et, par conséquent, on peut aussi remplacer les équations (i5) par
(19) p'i//=Aî-«JliA/.
Si maintenant, pour un point de rebroussement x de F, les dxi sont déterminés par l'équation ^'^^= o, c'est-à-dire par
où les quantités s^i désignent les coordonnées de la tangente de rebroussement, la tangente de 4> qui répond à x est déterminée, d'après (i5), par
ou, d'après (19), par
p'«,=:A5rM,i-^[(u — i)Arf;rX,-i-vA^Xrf^]A,-.
Nous avons, en conséquence,
( p' a -h ov ) u,tj^ =z rj^ et p" Ui = «^^^ . P/ 1^ O.
De fait, ces dernières équations expriment que les courbes Q,( x) = o comprennent aussi le point x-f- ^jt, c'est-à-dire touchent la ligne Va:= o en x. Dans nos formules générales, pour la transformation unidéterminative (p. 8), nous avons donc à prendre le nombre a égal à la somme du nombre (18) et du nombre des points de rebroussement
Par suite enfin, la classe rfe 4>, eu égard à (16), est égale à
Par conséquent, comme la classe et le genre de la courbe 4> = o sont connus, on peut aisément calculer le nombre de ses tangentes doubles, car il ne se présentera pas, en général, de tangentes d'inflexion; nous ne développerons pas toutefois ici ce calcul.
Par interversion dualistique des résultats acquis, on obtient les propriétés des courbes
F'= o, lieu (enveloppe) des tangentes d'inflexion des courbes intégrales, 4>'=: o, lieu de leurs points d'inflexion.
La première courbe est de la classe [n — 1) ('^'î "i~ '")' ^^ nombre
(*) Ce nombre peut aussi se trouver de la manière suivante. Sur toute ligne u menée par y sont situés m points correspondants x de la coïncidence principale, savoir les points de rencontre de u avec la courbe X^-^ ^jc{oLXjry= 0; de chacun de ces m points partent n — i autres rayons (^ de la coïncidence principale; on obtient donc une tangente de ^ passant par^ si une ligfne u se confond avec une des m{/i — 1 ) lignes correspondantes f. Or les lignes v enveloppent une courbe qui s'obtient par élimination des x entre les équations
et est par conséquent de la classe (m + »)'. Mais de celte courbe se sépare le points comptant m fois, et elle a en outre un point multiple d'ordre n en^. On peut donc lui mener de / encore {m -+- «)* — m — //(« — i) =r. m'-+- 1 ma — m-hn tangentes, et ce nombre est par suite la classe de ^.
398 TOME III. — CHAPnaB II.
de ses tangentes doubles est égal à
- (m — 2)(/ii — 3)[(2ii -f- /ii)'-4-3/n],
et le nombre de ses tangentes d^inflexion égal à
3(/n — 2)(«'-|- nm H- m).
L'ordre de $' est enfin donné par le nombre
/i* -4- 2 nm — 71 -h m.
On peut en déduire les autres nombres pluckériens des deux courbes, puisque leur genre est le môme, et que 4>'= o n'aura pas, en général, de points de rebroussement.
Nous avons ici considéré en premier lieu les courbes F el 4> dans leur rapport avec Téquation différentielle de la coïncidence principale. Indépendamment de ce point de vue, F et 4> peuveni évidemment être envisagés comme covarîants ou contre variante du connexe y=o, ou aussi de la coïncidence principale de ce dernier. Mais, comme l'équation différentielle des courber intégrales est liée inséparablement à la coïncidence principale du connexe, on pourra parler aussi bien d'invariants fonctionnels de l'équation différentielle que d'invariants fonclionneU de la coïncidence principale, et les formes F, 4>, F', 0' nous en offriront les exemples les plus simples ( * ). Ainsi s'ouvre un nouveau point de vue pour l'étude des différentielles algébriques : on ne se bornera pas à essayer leur intégration, mais on consacrera une partie de son attention à l'étude de leurs invariants fonctionnels, c'est-à-dire à la question de savoir ce qui, dans la théorie des équations différentielles, dépend des transformations linéaires, el ce qui demeure indépendant de ces transformations.
Mais, ces idées une fois acquises, on ira encore plus loin, et l'on fera intervenir les transformations unidéterminativcs générales, telles qu'elles ont été brièvement considérées plus haut (p. 3^6 el
(') Les expressions dont il s'agit ici sont diflerentes de celles que M. Halpb» a appelées invariants diflerentiels {^Sur les invariants différentiels. Thèse pour le doctorat; Paris, 1878). Ces derniers sont les premiers membres des équations dilTérenticUes qui se reproduisent sans altération quand on cflectue sur les rariables une substitution homographique quelconque.
LES CONNEXES. Sf^C)
suiv.)y à la place des Iransforinations linéaires. Or nous devons faire observer que toute transformation unidéterminative de la forme
(22) priz= <fi[.r, ujy <riv=z ^^[x, u),
qui change le connexe y^(x, u) = o en un connexe F (j', p») = o, ne change pas par là même la coïncidence principale du connexe y^en la coïncidence principale du connexe F, car, pour la coïncidence qui provient de la coïncidence principale de/", la condition p'^== o n^est pas nécessairement satisfaite en soi. La coïncidence principale de F lire au contraire son origine de la coïncidence détachée de J'= o parle connexe 2(pi4'/=o. Les éléments de la coïncidence principale qui sont formés dansy= o par les points et les tangentes d'une courbe ^^(x) = o deviennent donc, en général, les éléments d'un couple de courbes dans F = o. Si, cependant, la substitution (aa) est de telle nature qu'en vertu dey=o la condition m^=o soit transformée en la condition ç'^nz: o, la coïncidence principale de J^ se change en la coïncidence principale de F. Le couple do courbes provenant d'une courbe ^ = o a donc actuellement la propriété que toute tangente de l'une des courbes du couple passe par le point correspondant de l'autre courbe. Mais si ces deux dernières courbes doivent se confondre, c'est-à-dire si les points et les tangentes d'une courbe -^f^x) = o doivent se transformer en les points et les tangentes d'une courbe ^{j") = o (* ), les deux conditions ax= o et U(ix^= o se changeront respectivement, par suite de îiotre transformation y en i^y= o et ^'</^= o, en vertu de f-=. o. C'est donc dans ce cas seulement que d'une courbe intégrale du connexe f dérive une courbe intégrale du connexe F; cest, par suite, ce cas seulement de la transformation qui présente de l'importance pour l'équation différentielle en connexion a^ec la coïncidence principale def.
C'est seulement par rapport à ce cercle étroit de transformations algébriques relatif à l'équation différentielle considérée en ellemême que l'on peut parler du genre d'une équation différentielle, en tant que l'on applique nos considérations antérieures sur les
(*) CeUe dernière peut en particulier se composer d'un point et des rayons qui v passenl; elle n'est, il est vrni, plus reprcsentablc alors en coordonnées points. Dans ce cas, le point se présente donc comme une intégrale de l'équation difTérenticlIc.
coïncidences à la coïncidence principale de y( p. 382). Le genre est alors un nombre qui reste toujours invariable dans les transformations précitées.
Il va de soi qu'on peut établir aussi, pour la coïncidence principale, les diflTérentielles formées plus haut, en remplaçant le connexe 9 = 0 par le connexe identique Ujc= o. En posant, de plus, (^aoi)i= Ci et (6j3)/=: y/, on obtient simplement
6^ f .r f/.r ffjc^iu ^ .{tt du (( u ] r ^
(yJii-'^] (c/>)
Nous nous proposons maintenant d'établir les conditions au\quelles doivent satisfaire les fonctions 9/, ^i qui figurent dans [tî) si les courbes de coïncidence principales de /'doivent se transformer en celles de F. En premier lieu, les conditions i',.=^ o, v'^y=o donnent immédiatement les équations
i^/}/- - o et 2}/</c>,— o.
Toutes deux doivent avoir lieu comme conséquence des équations f= o, Ujc= o. La première conduit à l'identité à satisfaire
La seconde équation développée donne
Or, comme en même temps ont lieu les équations on peut poser
On déduit ensuite de f= o par diffcrcntiation
( ^6 ) i/;. . ffxi 4- 1/;,. du^ : o,
et de là résulte, en vertu de (aj), puisque ^u,f'uiz= o, une détermination de A seulement, tandis que x reste indéterminé. Mais, en conséquence de l'équation
LKS COStKKllES. fiOl
on peut aussi poser
( 27 ) dx^ = x' Xi -h a'/;..
Si Ton porte de même ces valeurs dans (26), il reste
Nous exclurons d'abord l'évanouissement du second facteur. Cette circonstance ne se présentant pas, on a A 4- X'= o, et l'équation (24) se change, à cause de (20) et (27), en
Par conséquent, si l'on a recours à (23), il devra encore exister une identité de la forme
î«oi ss*'(ëê-èê)=-/-'-
Les équations (aS) et (29) renferment toutes les conditions auxquelles les fonctions 9/, tp/ doivent satisfaire; on peut, par suite de leur existence, exprimer immédiatement deux de ces fonctions par les autres.
La forme de la dernière équation est dissymétrique par rapport aux o/ et aux <{//. Mais la circonstance que ces fonctions doivent être, en réalité, soumises à des conditions symétriques résulte du caractère dualistique démontré plus haut d'une manière générale pour les équations différentielles, et par le fait on déduit aisément des équations (aS) et (29) réunies la condition qui est symétrique à (29). Si l'on soumet, en elfet, Téquation (23) au procédé
Zd \àuk ôx,, dxk Ou kl '
on obtient, dans le premier membre, deux parties dont l'une est le premier membre de (29), tandis que l'autre en dérive par permutation de y et de tf* ; mais, dans le second membre, on obtient la forme K'y-h M^'i/^;, c'est-à-dire aussi l'expression symétrique à (29) semblablement représentée. c. q. f. d.
Les conditions, pour que, par la transformation (22), l'éf/ua-
Cledscu. — Gcometrie, 111. 20
4oa
tion différentielle des courbes intégrales de fz= o se change en l'équation différentielle des courbes intégrales rfe F = o ( * ) sont donc sous forme symétrique
dfi df dr, df
vy Y^ ^^
= KV4-»r«^.
11 ne nous reste plus qu^à étudier le cas exceptionnel oii déjà existe une équation
df df
^ dxi dui
•^3 fut
dont le premier membre entraîne à sa suite par son évanouissement l'existence de l'équation (28). Nous nous proposons de montrer que dans ce cas il n'y a pas d'équation différentielle proprement dite.
Soient d'abord $|. £2» i^t 'în "^'2^ >î3 des grandeurs quelconques; on voit que le produit
s'annule pour tous les éléments de la coïncidence, car, dans le déterminant qui résulte de la multiplication, quatre éléments qui forment un rectangle s'annulent dans notre cas. Il faut donc que l'un des facteurs du produit précédent soit nul, c'est-à-dire que l'on a, puisque les quantités 'i^ vj sont quelconques, ou bien
( 3 1 ) jTj/;, — x,/;. — o, 0:3/;, — x,/;, = o, j-j/;. — xji, nr o,
ou
( 32 ) «2/;, — «3/;, = o, wj/;, — wi/;, = o, 1/,/;, — «t/;, = o,
toujours dans la supposition def= o," «a:= o.
(*) On peut aussi demander que cette propriété appartienne à la transrormatioii(a}} par rapport à tout connexe /= o. Cela donne ce qu'on appelle les transformât ioMs ite contact, {Foir sur ce sujet la fin du présent Volume.)
Considérons actuellement Téquation
qui représente en fonction des variables y le produit des n droites issues de x dans la coïncidence principale, et qui donne naissance à Téquation différentielle si Ton remplace les yi par les dxi. Par la substitution «|= (xj^)/, qui satisfait identiquement à la condition Mar= o, les équations (3i) se transforment en
Ces équations doivent avoir lieu pour tous les systèmes de valeurs wT, j" relativement auxquels on a Xj= o. Si donc Xj est irréductible, elles sont impossibles, car les premiers membres des équations (33) sont d'un degré moins élevé que X^ et, par conséquent, ne sont pas divisibles par X^. Mais si X^ est réductible, égal, par exemple, à ^.;t. . . , ;|;, j(, . . . étant irréductibles, les équations (33) se transforment en
Pour des valeurs satisfaisant à l'équation Ç = o, cela donne
il faut donc, ou bien que l'un des facteurs x^* • • ^^'^ ^g**' ^ ^y ^" bien que toutes les expressions -^ s'évanouissent. On reconnaît ainsi que X^ doit avoir la forme
^ ne renfermant plus lesj. Si donc
M=ry[.r, (xj')J,
11 vient
pour la forme la plus générale du connexe en question.
Dans un semblable connexe (/«, 2 a), à tout point x correspond une courbe qui a, en ce point, un point multiple d'ordre a, à toute droite u une courbe qui est touchée par cette droite en p points, tandis que ses autres m — ip points de rencontre sont situés sur une courbe fixe ^, = o. La coïncidence principale du connexe se compose, en ce cas, de la courbe singu- Hère iV- = o, envisagée comme lieu de sommets de faisceaux, et de la coïncidence principale [comptée deux fois) du connexe 4^ = o.
Le cas dans lequel les équations (32) se présentent à la place de (3i) est simplement la contre-partie du précédent au point de vue dualistique.
On obtiendra les formules pour la transformation unidéterminative sous forme non homogène, si ^, r^ désignent les nouvelles variables, en posant, dans les formules précédentes, 7|==Hj3, r2=yjV3. On a alors
çf, ç,, 92 étant des fonctions doublement homogènes des séries x, ^ , 1, — />, I, xp — y (p. 387). La manière la plus simple d'obtenir les équations pour les vi consiste à former — et à substituer à
rcx])ression -r-^ qui y figure sa valeur déduite de — = o. L'équa-
€ltA, eue
tiony"= O se change par là en une équation entre f, y,, -^' Nous
avons donc sous les > eux la transformation la plus générale dans laquelle les nouvelles variables et leurs premières dérivées sont des fonctions des anciennes variables et de leurs premières dérivées.
V. — Exemples relatifs à la détermination de courbes de coïncidence
principale.
Dans ce qui suit nous nous proposons de donner quelques exemples dlntégration de Téquation difTérentlclle des courbes de coïncidence principale. Ces exemples présentent un intérêt parti-
LU C01f!fBXES. 4^^
culier, en ce qu'ils sont pour partie en connexion avec d'autres recherches précédentes (*).
I. Il a déjà été observé plus haut (p. 35 1) que le connexe linéo-linéaire, c'est-à-dire le connexe (i, i), fournit immédiatement la transformation collinéaire. Or, comme cette dernière peut généralement être prise (t. I, p. Ssô) sous la forme canonique
le connexe général a:rZ<«= o peut aussi être réduit à la forme canonique
x,«ja:, H- x,//,x,-+- Ît3tt3.r3= o.
Mais on tire de là l'équation différentielle (^) ou, après une transformation simple,
(Xj— Xj)— - -h (X3 — Xi)— - -f- (x, — Xj)-— —O.
X| .rj u^^
Par suite, l'équation des courbes de coïncidence principale du connexe linéo-linéaire est, en général, de la forme
Elles sont donc, en particulier, algébriques si les grandeurs x/sont entre elles dans le rapport de nombres entiers. Nous reviendrons encore sur ces courbes en étudiant le connexe (i, i).
IL Soient quatre coniques indépendantes les unes des autres, données par les équations
^') D'autres exemples concernant quelques cas particuUers de la coïncidence principale du connexe (i, 3] ou (a, i) ont été donnés réccramcnt par MM. D.\nooux et FouasT (^Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques y 2" série, t. Il, et Bulletin de la Société mathémathique de France, t. VII).
(') Cette équation difTérentielle n'est autre que l'équation dite de Jacodi; en oiïet, pour X, = x, x,=^, 4r,= i, elle devient
h[xdjr --ydx) — M r(>- -h N </.r = o,
dans laquelle L, M, N débi{rncnt des fonctions linéaires. [Voir Jacobi, Journal de Crelle, t. 34; Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, Paris, 1868, t. Il, p. 435; FocRBT, Comptes rendus des séances de l'Acoilémie des Sciences, 1 5 juin 187^ .)
Dans le système de courbes triplement infini
il existe un nombre doublement infini de courbes qui se décomposent en deux lignes droites, et, pour préciser, il y a pour chaque point du plan un couple de droites dont le point double se trouve en ce point lui-même, fait dont on s'assure aisément (et qui résulte au surplus des développements algébriques qui suivent). Tous ces couples de draites envelopperont un système de courbes (*) dont deux passent par un point quelconque; nous nous proposons d'établir d*abord leur équation différentielle et de l'intégrer ensuite.
Toute ligne u du plan complétée par une autre ligne i^ forme un couple de droites de notre système (i). L'équation de la ligne i^ se trouve par élimination des grandeurs x/ et i^i entre les équations
•-^i^/aH- -«ï^A-+- XjT/^tH- ^i^dik— UiVji,-h ViUk,
[à], étant égal à SSfl/;tx,\r)t, . . .) sous la forme
«Il
/^ll
du
«Sî
^tt
du
Oz%
Cî3
Wj
Kx
rtj,
bii
.rj
Cette équation représente un connexe (i, a); pour u constant, elle est l'équation de la droite i^ qui correspond à u; pour x constant, elle donne donc une conique comme enveloppe des lignes u dont les lignes correspondantes p' passent par x. En particulier, les deux tangentes menées de o: à cette conique, c'est-à-dire les deux lignes de la coïncidence principale qui répondent à Xj for-
(*) Ce système de courbes a de l'importance pour ce qu'on appelle la surface de Steiner; voiFf pour la suite, Clebscb, Ueber die Steiner'sche Ffàcke, {Journal de Çrelle, t, 67.)
LS8 CO»!IBXBB. ^O"]
ment celui des couples de droites de notre système dont le sommet est situé au point x lui-même. L'équation qui dérive de notre connexe (2) par la substitution Ui= [xdx)i est, par conséquent, Téquation différentielle des courbes que nous cherchons.
Celle-ci, établie directement, apparaît sous une forme qui ne permet pas de reconnaître immédiatement son intégrale ; on l'obtient sous un aspect plus approprié au but par le raisonnement suivant. Il existe, comme cela est connu par des développements précédents (t. II, p. 107, et t. I, p. 368) un système tangentiel simplement infini de coniques ( * )
(3) ul-^lulzzzo,
qui sont toutes harmoniquement inscrites à toutes les coniques du système (i), de sorte qu'indépendamment de X ont lieu les équations
Si maintenant un couple de droites doit être harmoniquement circonscrit à toutes les coniques (3), c'est-à-dire appartenir au système triplement infini (1), cela signifie que les lignes u et i^ sont polaires conjuguées l'une à l'autre relativement à toutes les courbes (3), c'est-à-dire qu'on a les équations
Si l'on élimine entre elles et entre l'équation i^x= o les quantités j^/, on obtient le connexe (2) sous la forme plus simple d'un déterminant fonctionnel
Mais les courbes de coïncidence principale de ce connexe nous sont déjà connues par un exemple précédent (p. 387) ; ce sont précisément les coniques du système (3). Ces dernières forment donc le système de courbes cherché,
III. Nous passons à un exemple dont l'intérêt est accru par la circonstance qu'il se réfère à un connexey= o à l'égard duquel,
(') Sur les autres relations algébriques et {géométriques entre les systèmes (1) et (3), -voir aussi les Mémoires de Smith et Rosanes, cités t. II, p. ilfi.
408 TONB III. — CBAPITRR II.
par suite def=o et 11^=0, la condition ci-dessus mentionnée
- — -- = o est satisfaite. Soit donnée une conique ai==bz.^c%=o
et une droite <;;p= o la rencontrant en deux points séparés (* ). En vertu de considérations précédentes (t. I, p. gS), la conique
(5) (a -4- \Y[auvY ,1)1. — f\(i.[auv)ax>[huv)bx'=^ o
représente le lieu des points x dont la ligne de jonction au point de rencontre de u et {^ rencontre la conique a",.= o, de telle sorte que les points x et [uif) déterminent avec les points d'intersection de la conique le rapport anharmonique a. Si donc nous ajoutons la condition Ux= o, sur la ligne u se trouveront déterminés par (5) deux points formant avec o: et [uv) le rapport anharmonique a. La même chose a lieu si nous transformons encore Téquation (5) sous le bénéfice de la supposition i/j.r=o. Or on a identiquement
( buv ) a^ =: ( ««'' )bx — ( (tbv ) i/;c -I- ( abn ) v
JT»
et ensuite, d'après l'identité (IV) (t. I, p. 352), à cause de
Mar=0,
'>.[abu][avu)bxVjcZ=z [abu^v^^.
Par conséquent, l'équation (5) se transforme en
On reconnaît immédiatement que chaque courbe Ca et Kj de ce connexe (2, 9.) appartient au faisceau «^4- Xç^^== o, c'est-à-dire est tangente à la courbe rt^= o en ses points de rencontre avec Vxz=z o. Il existe donc, dans le connexe (6), un seul système simplement infini de courbes Go, et de même un seul système 5i/n^/eîncnt infini de courbes K2 identique au premier (t. I, p. i47)- A un ensemble simplement infini de points x doit donc correspondre la même courbe Ko et à tout ensemble simplement infini de droites u la même courbe Cj. Comme, d'ailleurs, chaque droite du plan est touclu'e par une seule conique du faisceau, tous les points auxquels correspond la même courbe
K,=H 7,[obu]^ — ).(^«p)'=: o,
(') A'o/V, pour ce qui suit, le Mémoire de Harnack, cité p. iV)5 et 21 5.
en vertu de (6), forment la conique (« — i)*ft^-haXi'^= o, de sorte que par là se trouve donnée une association par couples des coniques de notre faisceau. Mais, parmi le système des connexes (6), on doit surtout remarquer celui obtenu pour a v=r - i
(7) /=2(aPii)«^i-(«A/.)*pî==o.
On a, en effet, l'identité
laquelle exprime, en vertu de nos explications générales (p. 4^3 ),
j ^ 1 t- ' \^ àf df que, par suite ciej^o, Mj.= o, la condition > r— = o est
satisfaite, que, par conséquent, dans notre cas, tout point x est situé sur la courbe K2 correspondante, et que toute droite u touche la courbe C2 correspondante. Il suit en même temps de là que les courbes de coïncidence principale du connexe (7) comptées deux fois se composent de celles du connexe [avu)ax^=o^ c'est-à-dire (p. 387) précisément des courbes C2 ou K2 du connexe (7).
L'équation (6) peut aussi être déduite d'un certain système d^équations au moyen d'un procédé particulier d'élimination, et cette manière de l'obtenir conduit immédiatement à l'établissement de ses courbes intégrales par un raisonnement que nous exposerons incessamment avec quelques détails. Si l'on pose, en effet, dans (6), Xi=- (udu)i, on obtient l'équalion différentielle
(8) {a-'iy[aNt>]*[buduY-^2ct[nijuy{vuditY=:0,
ce qui n'est autre chose que le résultat de l'élimination de la quantité D entre les équations du second degré en D
( ^'D^.[abuY{cuvY-{'D.[abuY{vndu) -h [audtiY=o,
Mais la première des équations (9) s'obtient encore par éliminalion des Xi entre les trois équations
jy.a^lavu) -h [du)x=o, al.=:o, «^=0;
et nous pouvons, en conséquence, lui assigner facilement un sens.
En effet, la quantité D est définie par la première des équations que nous venons d'écrire comme étant la différentielle de troisième espèce de la courbe primitive a^= o, différentielle dont les infinis sont situés aux points de rencontre de Vx= o avec a^= o, car, en vertu de Ux= o et u^x-h {du)x==^ o, on a (p. iSp)
L'équation en question donne, diaprés cela, la valeur de la différentielle D aux points de rencontre de la courbe primitive ^=0 avec Ux= o, si l'on marche d'une ligne u à une ligne voisme u-^du. Par conséquent, (8) est la condition pour que D et
D soient en même temps racines de la première équation (9),
c'est-à-dire pour qu'entre les racines Dj et D^ de cette équation existe la relation
D,-t-aDi=:o,
ou, si Wij w% sont les valeurs de l'intégrale w=fD aux points de rencontre de u avec a^=o^ pour que l'on ait l'équation
(10) ^8+ KWi=: C,
OÙ c désigne une constante d'intégration.
Actuellement, on peut, comme on sait, représenter les points de la courbe a^=:o comme fonctions rationnelles du second degré d'un paramètre */« = e'**, (v==/D désignant de nouveau l'intégrale logarithmique, c'est-à-dire que nous pouvons, pour un point .r de C2, poser
les (fi étant des fonctions simplement périodiques. Si maintenant entre les deux intégrales çv<, çvj appartenant à deux points .r, j de C2 existe la relation (10), il vient ffj^/= ?i(C — aw), et les coordonnées de la ligne joignant les deux points sont
Mais ces lignes de jonction enveloppent, en vertu du raisonnement par lequel nous avons déduit les équations (8) des équations (9). les courbes intégrales du connexe (6). I^s équations (11) donnent
LB8 CONJtEIES. 4ll
donc la représentation paramétrique des courbes intégrales du connexe (6); si Ton élimine entre elles les grandeurs çv, on obtient l'équation des courbes intégrales elles-mêmes. On reconnaît immédiatement que ces dernières sont algébriques (et alors du genre zéro) si a désigne un nombre rationnel, qu'elles sont, au contraire, transcendantes si a est iiTationnel. Pour toutes les valeurs de a, la courbe ponctuelle a^= o et la ligne double i^' = o donnent une intégrale particulière de Téquation ( 8 ) en coordonnéespoints; la courbe tangentielle [abuY = o et le couple de points («(>«)*== o, une intégrale particulière en coordonnées-lignes.
IV. On aperçoit immédiatement la connexion qui existe entre ces dernières explications et nos recherches antérieures relatives à la géométrie sur une courbe du troisième ordre (t. II, p. 877 et suiv.), car alors, comme dans le cas actuel, nous avons utilisé les relations entre les couples de points sur une courbe pour déterminer les figures-enveloppes des lignes joignant deux points correspondants (liés par une relation transcendante). Nous avons représenté, dans le cas que nous rappelons, les coordonnées u,- de la tangente comme fonctions elliptiques d^un paramètre, et pour la représentation correspondante sont intervenues dans III, d'une manière analogue, des fonctions simplement périodiques. Or, de même que maintenant une relation entre les valseurs paramétriques de deux points de la conique permet la détermination des courbes intégrales d^un certain connexe, de même nous pouvons aussi employer, dans lés courbes du troisième ordre, une relation correspondante pour rintégration de certaines équations différentielles algébriques. Il y a possibilité de le faire en établissant au préalable ^équation qui fournit les valeurs de la différentielle de première espèce
aux points de rencontre d'une ligne Ux= o avec la courbe primitive a^z= o, en supposant que les points x -\- dx soient situés sur une droite voisine u H- du, équation qui correspond alors exactement à la première des équations précédentes (9) (*).
(') J^oir, pour la suite, Harnack, Math. Jnnalen, t. IX, p. 3i et suir. et p. a 18 et
4ia TOME m. — CHAPITRE II.
Pour établir l'équation précitée, nous avons à éliminer les grandeurs Xi et dxi entre les équations suivantes [tfoir p. 194) :
Au moyen de ces dernières équations nous pouvons chasser de la première les dxi en posant c/= (rw)/, les /v étant complètement arbitraires; il vient alors, en vertu de Ux= o,
Nous pouvons ensuite remplacer la seconde et la troisième équation par une autre formée d'une manière analogue à la première, et dans laquelle seulement les grandeurs arbitraires Sf figurent au lieu de /v, car précisément les deux équations ne sont équivalentes ijne si a^= o et aj^/i,/^== o. Finalement donc, le problème revient à éliminer les Xi entre les deux équations
et entre Ux=^ o. Le résultat est, comme on sait, donné par l'équation [voir t. I, p. 3jo)
(l3) (pp'«)V(<7(r'tt)»-(/)<T//)*.(p'er'tt)*=:o.
Toutefois, au lieu de calculer directement, d'après (la), l'expression qui figure dans le premier membre, il est mieux de procéder de la manière suivante. Sur la ligne ii^ = o sont représentées par ses points de rencontre avec les courbes p^= o et o"^= o deux formes binaires quadratiques; le résultant de ces dernières doit s'annuler si l'équation (i3) a lieu, mais ce résultant se confond avec le discriminant du déterminant fonctionnel des deux formes (t. I, p. 270), et les deux points qui représentent ces dernières sont déterminées sur Ux par les intersections de la jacobienne [pau)px(Tx'=' o. Si donc le déterminant cité doit être nul, la conique [pou)px^x'=^^ devra être touchée par la ligne Mx=o, ou, en d'autres termes, l'équation (i3) est identique à l'équation en
Buiv. Dans le Mémoire déjà cité du même auteur {ibid., p. 407)1011 Toit, entre aiitrei choses, comment l'équation précédente dérive de celle que nous ayons à considérer maintenant si la courbe C, se décompose en une conique et en une droite.
LB8 CONNEXES. ^iZ
coordonnées -lignes de cette dernière conique rapportée aux coordonnées 1//. Or, dans notre cas, on a, d*après (la)? @ étant égal à
~ "x 7 ( fSf^i^ ) ( ^" )* H — ^jc[ ^^^ )(aufiu)D
Négligeant le facteur [rsii) qui renferme les grandeurs arbitraires /*, 5, nous avons à former, en vertu de Uj:^= o, Tcquation en coordonnées-lignes de la conique
et, eu égard aux équations (5) et (6) de la page 280, .t. II, celle-ci est donnée par
où 0',/^ sont ce que deviennent Q, fsi Ton pose X|= [udu)i et 011, par conséquent,
e'=: {abuY{audu)[ùuciu], /' =: [audu^ et
F:^ {abuy[ceuyncu](beu),
La circonstance que dans Téquation (i4) le coefficient de Ddoit s^annuler était à prévoir, d'après le théorème d'Abel; car ce coefficient est proportionnel à la somme des trois valeurs de D aux points d'intersection de «^. = o avec Ux= ^ {*)•
Actuellement nous serons ramenés de Téquation (i4) à notre point de départ par les réflexions suivantes : si Ton suppose entre les racines D|, D2, D3 de cette équation, en outre de l'équation du théorème d'Abel Di -f- D2 -h D3 = o, une seconde relation linéaire
/// j Dj -f- /w, D, 4- /713 Dj =11 o
(dans laquelle les quantités nii désignent des nombres quelconques rationnels ou irrationnels), ou bien encore, en ayant égard à
{^*) Voir lu note a de la p. igj.
4l4 TOME III. — CUAPITRE 11.
la première relation, la suivante
/ f \ '"i — '^^i (i5j Dt — /aDj^r o avec p =
en même temps que (1.4) sera satisfaite la condition
p'D^F4-3pD.e'-^-a/'=o; et Télimination de D entre ces deux équations donne
16 Ff^-h' — , — 0 3—0, <T étant égal à --. ^——^ -,
où l'on peut aussi substituer à p les valeurs
I t?I^ «Il I -f- p /W| — ///♦
— ou — j
