I -f- p ///j — /iii p

sans changer la valeur de g. L'équation (i()) est Téquation différentielle relative aux courbes de coïncidence principale d'un connexe (6, 6) dont l'intégration est ramené en vertu de(i3) à une quadrature, ainsi qu'on le reconnaît immédialement par analogie avec l'exemple précédent.

Nous pouvons encore écrire l'équation du connexe {(), 6) sous une forme un peu différente. En effet, sur la ligne iij = o se trouve déterminée pary= o une forme binaire du troisième ordre dont la forme hessienne est déterminée par la conique 0 = 0 et dont le covariant cubique l'est par la courbe

Q^^[(ibu]^[ eau ) cj. bj. ■— o

(t. II, p. 278 et suiv.). Or, entre la forme binaire primitive/, sa forme hessienne A, son invariant R et son covariant Q, existe l'identité (t. I, p. 277)

Entre les formes ternaires y, 0, F et Q existe donc aussi, en vertu de «0.== o, l'identité

(17) 03^.F/«=rz-2Q^

et par conséquent (16) donne aussi l'équation différentielle des courbes de coïncidence principale pour l'autre connexe

Nous pouvons donc finalement énoncer le théorème suivant :

Les coordonnées des points d'une courbe fondamental^ du troisième ordre étant représentées par des fonctions doublement périodiques ^i{i^) d'un paramètre i^, on obtient la représentation paramétrique des tangentes des courbes de coïncidence principale du connexe (18) en composant auec les coordonnées

Xi— ^i[v) et j/— ^i[oi> 4- c]

de deux points de la courbe fondamentale ajant pour arguments v et pv '\- c les coordonnées Ui= {xj)i de leur ligne de jonction; le connexe correspondant est alors caractérisé par lu valeur de

p \ ou de — (* •+- o)> c^ ^l^ leurs iny^erses et la constante

d'intégration est donnée par c.

Pour des valeurs générales du module, les courbes de coïncidence principale ne sont algébriques que si p est un nombre rationnel, et, ainsi que nous l'avons vu précédemment (t. Il, p. 882),

elles sont de la classe 2 [m- -h mn H- /i^) si p = — ? m et w étant

des nombres entiers. Elles sont donc, en particulier, de la sixième classe pour p = i , c est-à-dire pour le connexe Q = o (* ), et les courbes de coïncidence principale de ce dernier présentent, à l'égard des systèmes de couples de points de Steiner sur la courbe primitis^e f ■==: o, la relation exposée ci-dessus (t. Il, p. 38 1). Toutefois, pour p = iy on doit encore tenir compte, comme solution improprement dite, de la condition F = o, car le discriminant de l'équation (i4) est en premier lieu égal à

F(0'H-F/*) = — 2FQ^

Pour le connexe 0 = o, il vient en particulier p'-j- p -{-iz^o,

(*} Pour ce qui concerne le problème d'élimination qui fournit l'équation de ce système de courbes en coordonnées-points et en coordonnées-lignes, voir HarnacK) loc, cie», p. 326 et a33.

4l6 TOME 111. — CBAPITBB 11.

et p est en conséquence égal à une racine cubique imaginaire de l'unité ; les courbes de coïncidence principale sont donc, en général (c'est-à-dire abstraction faite de valeurs particulières du module ), transcendantes.

Sur toute tangente d'une courbe intégrale du connexe Q = o, le point de contact de cette tangente et ses trois points de rencontre avec y\= o sont situés harmoniquemcnt, et, de plus, le point de contact de la tangente d'une courbe de coïncidence principale de 0 = 0 est équianharmonique par rapport aux points en question de/ = o (t. I, p. 280). On peut, d'une manière tout à fait analogue, caractériser aussi les courbes intégrales d'un connexe quelconque du système (18) par une relation anharmonique. Si, en effet, siir le terrain binaire, un point ayant pour coordonnées Xi=:o, x2=o doit former avec les points-racines d'une forme cubique a^= ao^^jH- 3a<x5;c2-l- Saaxixj-f- «3/.^ le rapport anharmonique a, on a à établir la condition pour que la forme biquadra tique correspondante possède le rapport anharmonique a, c'est-à-dire qu'il faut former pour cette dernière forme les invariants i et y. On trouve, pour ces derniers (t. I, p. Syo),

' = -(«? — ^î^'oS J = -~q['^^1 +^J«j— 3aortifl,).

Mais les co variants A et Q de a' se changent en ces formes, à part des facteurs numériques, si Ton y fait xi = i, X2= o; donc, comme nous avons affaire à des relations invariantes, nous devons, d'une manière générale, poser

M désignant une grandeur indéterminée, et la condition cherchée devient (*)

Cette équation est enfin identique à l'équation (18), sous la condition de remplacer A par 0, d'entendre par Q le connexe corrcs-

(*) Cette même équation se déduit de la théorie de la représentation typique des formes binaires. {Foir Clëdsch, Théorie der binàren oigcbraischen Formeii, p. 35i).

LBS CO^IHBXES. 4*7

pondant kf=. o, de poser « = — p et d'introduire a au lieu de p. Par conséquent,

Les tangentes des six courbes de coïncidence principale du connexe (18), qui passent par un point quelconque a*, coupent en ce point la courbe /-=. o en trois points qui forment avec x le rapport anharmonique — p.

Par ce théorème se trouve caractérisée géométriquement la classe entière des connexes dont les courbes intégrales sont ainsi en connexion simple avec Tintégrale elliptique de première espèce d'une courbe du troisième ordre.