TOME 111. — CBANTRB II

Si ces équations doivent représenter une collinéation proprement dite, il faut que leur déterminant A ne soit pas nul; le déterminant est donc en toute hypothèse un invariant du connexe (i, i). On peut, d'ailleurs, Texprimer par des invariants moins élevés, car si nous posons

et que nous ayons égard à ce que symboliquement

âfiai ^\<ft ^1^3 ^iPi b^Pt b,p^

on déduit de là, en permutant de toutes les manières les couples de symboles aa, i(3, cy, et prenant le sixième de la somme,

Or tous les autres invariants de f peuvent s'exprimer aussi par les trois invariants du degré moins élevé i, l'i , l'a qui figurent ici, car le connexe ne dépend que de deux constantes absolues, et ne peut, par suite, admettre que deux invariants absolus, c'est-à-dire trois invariants indépendants les uns des autres. En effet, f peut, en général, être amené à la forme canonique (comp. p. 4o^)

/= XiXiUi-h x,X,Ut-4- stjXjUj,

dans laquelle sont comprises deux constantes absolues seulement. Nous allons immédiatement former les trois invariants pour la forme canonique (5); on apercevra en même temps sur cette forme qu'ils sont, en général, indépendants les uns des autres. La méthode la plus simple est d'introduire préalablement les formes mixtes co variantes

, \ df df .

•^' = 2 Â?/ ^. ~ 2 3:^/ rf^ - ' ^ "•

on obtient en effet alors, pour les invariants en question, les lois

LES C0!(NEXE8.

de formation non symboliques

dxidiii

Mais, dans la forme canonique, il vient d*abord, diaprés (5) et (6),

(8) /i=xîXjU,+x;x,u,+xîX3U„ /,=x;XiU,-i-xjx,u,-hxîx,u„

et par suite, d'après (7),

(9) /=Xi-HXî-t-

«8» 'i = ît;-4-xî-+-xî, /,= xJ-i-xjH- xj.

Nous connaissons, d'après cela, trois fonctions symétriques des grandeurs X|, X29 ^s? et nous pouvons, en conséquence, établir une équation du troisième degré dont ces dernières sont les racines. On trouve, en effet,

(10) XjX, -h X,X,-h X,Xj =

9 X|Xj|X3

Pour la détermination de Xi , X|, X3, 0/1 a conséquemment l'équation

t'— Jsr.i -h - (/*— /i)x — Tî ('*— 3//1-I- 2/,) = o,

que nous avons précédemment (t. I, p. 325) trouvée sous la forme

ûll «

«îl

Après que Ton a déterminé jC|, X29 X), on peut aisément établir la transformation qui ramène le connexe y à la forme (5); il suffit, pour préciser, de calculer les produits des quantités X/, U,* au moyen des trois équations (5) et (8). Si l'on désigne le déterminant de ces trois équations par K, il vient

XjXiM^

TCISE III. — CHAPITRB 11.

avec

Les équations (12) déterminent les coefficients de substitution cherchés à l'aide des racines de (11), autant que cela est ici possible et nécessaire,' c'est-à-dire en ce sens que tous les coefficients de la njême fonction X/ ne se trouvent déterminés que sauf un facteur commun quelconque dont la valeur inverse se présente dans les coefficients de U,-.

Les éléments communs des trois connexes qui interviennent ici

y=:x o,yi = 0^ Ux= o forment, d'après nos explications générales, un couple de courbes du troisième ordre et de la troisième classe (p. 336) dont la courbe d'ordre et la courbe de classe sont respec-

. tivement données par les équations

Il résulte de là pour la forme canonique, si r désigne le déterminant de la substitution (12), lequel doit être ajouté ici à cause des iacteurs entre parenthèses (cc^x) ou [abu),

X|Xi ^^iX) X3X3 XjXi îtj Xj X-A3

et de môme

=:r.X,XjX3(x,— XjKxj— xi)(xi-- Xï),

^==''.UlU,U3(xj— X3)(X3-.X,)(X1— Xj).

Chacune des formes cubiques <p^ ^ se décompose donc en trois facteurs linéaires qui représentent respectivement les côtés et les sommets du triangle de base. La décomposition de ces formes en leurs facteurs (t. II, p. 35o) est, par suite, déjà donnée par la transformation (12).

La signification géométrique du connexe /i = o est immédiatement visible sur la forme canonique; il représente la collinéation

Les coN:fEx«8. 431

i/ue Von oh tient par une double application de la Collinéalion J=: o, ce que Ton vérifie sans peine directement. On obtient de même la coUinéation du connexe yi= o qui figure dans (6) et (8) par «ne triple application de la coUinéation f= o, et ainsi de suite. D^une manière générale, la coUinéation obtenue par Tapplication k-i-i fois répétée de la coUinéation y^= o est donnée par le connexe

(14) •/^'=2dJ, '^d^=Ld^c "d^T ""

Mais il est à remarquer que toutes les formesyji qui prennent ainsi naissance peuvent s'exprimer linéairement par les formes f^ f^ et Ux' En effet, toutes les coUinéations y>i= o se réfèrent au même triangle de base, mais, comme toutes les coUinéations répondant au même triangle de base ne forment qu'un système doublement infini; elles doivent nécessairement être représentables sous la forme

/-f- x/i -4- Xtt^=: o.

Pour confirmer ce résultat par le calcul, le mieux est d'avoir recours à une autre forme mixte

(i5) gz=[ahu)[(x^x),

laquelle, égalée à zéro, représente, comme nous le savons déjà, le connexe conjugué de f^^ o (p. 869) ; nous reviendrons, d'ailleurs, incessamment sur son interprétation géométrique. Cette forme g est également exprimable par f f^ et Uxy car nous avons directement

fl. a^ a^

b^ h^ b^ «« wp u^

(16) ^EE= («^tt) (a|3j:) =:

= (/= — /, ) u^ — lif-\- 2/,.

On a ensuite àf (),

^-ii.'i^ = ^''^'')^''^^i)''^^\^^^^^^^

et si l'on établit la même forme au moyen du second membre de

(i6), on obtient, poury*2) 6u égard à (4)» Tidentité

On trouve également, par répétition du même procédé, ^.(|8h. 2/,- 3//,)/= [i'-i^]A-^iA-^o.A.

i (/»-f- 2/,- 3f7, )/,= (/*-/,)/,- ai/; -^ 2/„

et ainsi de suite, ce qui permet de calculer chaque forme fh en fonction de toutes les formes précédentes.

A côté de la série de connexes yÀ= o se place une série de connexes g^>^= o qui se forment de g comme yi dey, en sorte que

^'^■^^ "" Zà dxi dui "^ Zààui ôxi '

Leur sens géométrique est de même facile à reconnaître. En premier lieu, le connexe g = o donne la transformation inverse de jz=z o, transformation qui, rapportée au même triangle de base, apparaît sous la forme ffY|= XiXjXf, .... En effet, dans le cas de la forme canonique, on tire de l'identité (i6), en vertu de (8), (9) et (10), la valeur de g'

et Ton déduit ensuite de là

-'^„ = {x,x,)/'-^iUiX,-*-(x,x,)"*»U.X,+ (x,x,)"^'U,X,.

Les connexes g/^= o représentent donc respectii^ement les transformations inif erses des transformations f h = o.

Au moyen d'un point x, nous obtenons, par toutes ces collinéations, une série de points séparés qui peut être prolongée indéfiniment dans les deux sens. En désignant le point x lui-même par le nombre o, nous pouvons distinguer les points delà série devant par les nombres i, 2, 3, ..., ceux de la série d'arrière par les nombres — i, — 2, — 3, . . . , en sorte qu'à chacun d'eux corres-

ponde l'équation écrite au-dessous :

( ...^j=0, ^ = 0, ttx=0> /=0, fi=0, ...,

et le point ^ a alors, sous la forme canonique, Téquation

{l8) x\UiXi-+-x\U,X,-4-x^3U,X,=:0.

Mais toute équation semblable est en même temps Téquation d^un système coUinéaire qui conduit immédiatement du point o au point A. Ainsi donc à la série de points (17) correspond la série (18) de systèmes collinéaires.

Il y a un intérêt particulier pour nous dans cette circonstance que tous les points de la série sont situés sur une courbe [en gé^ néral transcendante) que l'on obtient par élimination de p et X entre les équations

(18;* pYi=:x\X,, pYj=X^,Xj, pYj=:x^X8,

savoir :

Yi X Y X Y X

(•9) lo&:ir*'"8r+ •«g^-log-^+Iogrrî.log--l=o,

JVl Xj A| Xj A.3 X]

ou, si nous entendons par C un paramètre (constante d'intégration),

et que nous posions h^ = log — > A"2 = ^g — 5 ^3 = log — >

xî.xî«xî. = c,

avec A", + ^2-1- /r8= <>• Cette équation est de la même forme que celle des courbes de coïncidence principale def= o (p. 4^5)