XV""' X*»"*» X*3«-«' = C

^insi, au connexe f^= o et en même temps à tous les connexes J\=i o ou g/iz= o, c'est-à-dire à tous les connexes du système re~ présenté par (18) correspond un certain connexe

UiXj logXi-+- U,X, logx,-t- UjX, logx3 = o,

dont les courbes de coïncidence principale fournissent les courbes (19) sur lesquelles sont situés fous les points de l'une des séries précédentes.

.^2^ TOUC 111. — CUAPITRE II.

Les courbes (19) sont d'une nature tout aussi générale que les courbes (20) et réciproquement, mais les premières se prélenl mieux, ainsi que nous le verrons par la suite, àTétude des courbes de coïncidence principale, parce que des propriétés importantes résultent directement du mode de déduction de Téquation (19).

Les courbes (19) sont, en particulier, algébriques si les grandeurs log -^ sont entre elles comme des nombres entiers positifs ou

négatifs. Lorsqu'il n'en est pas ainsi, on peut se poser la question de savoir dans quelles circonstances certains points de la série sont situés sur une courbe algébrique. Par cette condition, on sera conduit, pour le connexe y= o, à une relation invariante que. nous expliquerons ici sur quelques exemples (*).

On ne peut pas, en général, demander que les points o, i, a soient situés sur une droite, car alors tous les points de la série provenant de o seraient situés sur cette même droite. En eOet, dans cette hypothèse, le déterminant ci-dessus désigné par K devrait s'annuler, et l'équation (11) avoir, en conséquence, deux racines égales, ce que nous avons exclu provisoirement.

Si, au contraire, les points o, i, 3 doivent être, en ligne droite, on aura l'équation

I X| xj I X, xj I Xj xj

Le premier membre est évidemment divisible par le déterminant K; le facteur restant est linéaire et symétrique en x,, -jl^^ X|, et, par suite, proportionnel à la somme Xj-H x-a-l- Xj. La condition pour que les points o, i , 3 soient en ligne droite est, par conséquent,

(21) /^Xj-hXj-t-Xj-TTO (•).

(*) Pour une étude générale du problème qui se présente ici, -voir Cleosoi et GORDAN, loc. eit, (*) Si Ton introduit la notion des connexes polaires (c'est-à-dire des connexes de

la forme a^~^a^yu!l'^ i'^=o), on peut aussi, à l'aide do cette relation inrarianle, donner une interprétation à des formations algébriques dont le sens géométrique nVst pas immédiatement fourni par la théorie des polaires des courbes 00 par le principe de translation (t. II, p. §6); toutefois cela est pratiquement de peu

LES CO!t:«CXB8. 4^^

Naturellement, le r**"«, le (r-f- 1)*^"* et le (rH- 3)'^"* point sont

aussi en ligne droite, r désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif. On trouve semblablement, si les points o, i, 4 doivent être en ligne droite, la relation invariante

*î ■+■ ''î ■** *> "^ *i^-»->- ^»^i-^ XjXj^- («**-+- 1\) '■=: o,

et ainsi de suite.

Si l'on demande que les points o, 1,2, 3, 4i 5 soient situés sur une conique, tous les points de la série qui a zéro pour point de départ seront également sur la même conique, c'est-à-dire que, dans ce cas, les courbes (19) se composeront d'un système de coniques, et la condition pour qu'il en soit ainsi est

X'i=X-2=:l, /jiirr — 1, d'où X|Xj — X- r= o,

ou /•,= /-3=I, /'i= — 2, » XjXj — xj =r o,

» /-j^rXi^ri, ^,nz — 2, » X3X| — x| iii: O.

La relation invariante correspondante exige, par conséquent, l'évanouissement de l'expression

(X,X3— XJ)(X,X| — X^)(x,X,— xj)

= (î*îî*ï+ «3X1-+- XiXj)'— (x|-i-x,H- Xjj'xjXjXj,

d'où, en vertu de (9) et (lo), la conséquence suivante : Les courbes (19) se composent d' un faisceau de coniques de la forme

lorsque ( * )

Les courbes de coïncidence principale de f= o restent toutefois, en général, transcendantes dans ce cas. Si, au contraire, ces dernières doivent se composer de coniques, on doit a\^oir

(x, 4- Xj— 2X3) (x, -4- X,— 2X|)(x3-4- X,— 2Xj) rrr o,

d'atilité, et nous ne nous en occuperons pas davantage. On peut toujours, par exemple, trouyer ainsi la signification des invarianls simultanés de deux coniques (t. I, p. 368).

(*) Ce cas de In collinéation présente un .intérêt particulier pour la Géométrie non euclidienne, (hoirie Mémoire de Klei!(, cité t. I, p. 188. 3îath. Annalen, t. IV).

4^6 TOXK 111. — CHAPITRB H.

OU

( a3 ) a /' — 9//J + fj = o.

Parmi les courbes comprises dans (19), bous devons mentionner particulièrement la spirale logarithmique ; sa présence ne provient pas d'une propriété invariante du connexe, mais d'une situation particulière, au point de vue métrique, de deux sommets du triangle de base ; relativement à la Géométrie projective, elle peut donc être considérée comme type des courbes intégrales générales du connexe (1,1). Qu'on fasse, en effet, coïncider deux sommets du triangle de base avec les points circulaires imaginaires ( * ), qu'on introduise ensuite des coordonnées polaires au moyen de la substitution

Xi= r(cosy H- /sin^ï), X2 = r(cosy — isin^], X3=i,

et qu'on pose enfin Ar, = ^ -+- ly, A^2= — /> -H 'V' l'équation des courbes (19) devient

ou, 7 et p désignant de nouvelles constantes,

ce qui est, en effet, l'équation d'un système de spirales logarithmiques ayant pour paramètre la quantité y.

Actuellement nous serons conduits à des points de vue très féconds pour l'étude des systèmes de courbes (19) et (20) si, au lieu d'assigner au paramètre X dans le système de connexes (18) des valeurs entières, nous le considérons comme un paramètre variant d'une façon continue. Même alors, le connexe (18) représente une collinéation, bien que cette dernière ne soit pas toujours telle qu'elle puisse être engendrée en réitérant un nombre fini de fois la transformation f-=z o on g = 0. Pour le système des connexes (18) ou des transformations (i8)*, les deux théorèmes suivants continuent à être exacts :

DciLT transformât ions ijunlcontinos du s-) sthne donnent, em~

(*) Tous les angles sont alors conservés dans la transformation; on a une trans^ formation de similitude. Ku égard à cette circonstance, on obtient facilement, à l'aide des raisonnements développés plus loin, les nombreuses propriétés métriques de la spirale logarithmique. {Voir Holzhûller, Schlomifck's Zeitchri/t, t. XVI.)

LES Cl>NNi:\F.S. 4^7

plojées successivement, la même transformation nouv^elle indépendamment de l'ordre de succession.

Cette nouvelle transformation est elle-même une transformation du système.

Eu égard à la première propriété, les transformalions du système seront appelées permutables ; eu égard à la seconde, le système sera dit être un système fermé. Nous avons ainsi affaire à un sj^stème fermé de transformations linéaires permutables, en nombre simplement infini ( * ). Et ce sont les seules transformations de cette espèce qu41 y ait; en effet, leur recherche directe conduit à une équation différentielle (24) que nous établirons incessamment et dont rintégration donne uniquement les transformations (18)*.

Dans le système est en particulier comprise une transformation qui prend naissance lorsqu'on suppose X infiniment petit, égal ainsi à dl, transformation que nous désignerons sous Tappellation de transformation infiniment petite du système. Elle associe à chaque point X un point voisin Y = X -4- </X qui est déterminé, d'après (18)*, par les équations

(24) <rrfX,= X/.logx„

la quantité dl étant supposée comprise dans a. Pour cette transformation la direction qui correspond à X dans la coïncidence principale coïncide évidemment avec la tangente de la courbe (19) qui passe par X. Le connexe déduit de (18) pour X = rfX est donc celui dont les courbes de coïncidence principale sont données par les courbes (19); en effet, Féquation de ce dernier est encore ZU|X| logx/= o.

Il est évident qu'on peut engendrer toute transformation du système en répétant un nombre infini de fois cette transformation infiniment petite. Tous les points qui correspondent à un point X décrivent alors une courbe déterminée; cette courbe a, d'après son origine, la propriété que chacun de ses points se change par une trans-

(*3 yoir, pour ce qui suit, Klein et Lie, Sur une certaine famille de courbes et de surfaces {Comptes rendus de V Académie des Sciences, 6 et i3 juin 1870), et Ueber diejenigen ebenen Curven, welche durch ein geschlossenes System, von einfach unendlich lùrlt-n Dertaiischbaren linearen Transformationen in sich ùbergehen {Math. Ànnalen, t. IV).

\lS TOME III. — CHAPITRE II.

formation (24) en un autre de ses points (infiniment voisin). Donc, même lorsqu^on répète un nombre infini de fois la transformation infiniment petite, le point X reste toujours sur la même courbe, c'est-à-dire que celte dernière se transforme en elle-même par chaque transformation de notre système. Son équation s'obtient conséquemment en éliminant X entre les équations (18)*, c'est-àdire qu'elle est donnée par (19), ainsi qu'on le vérifie aussi par intég7*ation de l'équation différentielle (24)-

Toute courbe intégrale d'un connexe ( 1 , i)a donc la propriété de se changer en elle-inênie par un système fermé d'un nombre simplement infini de transformations linéaires permutables, et, pour préciser, par les transformations pYt=xJX| si le connexe est donné sous la forme SU/X/ logXi= o (* )•

De cette propriété peuvent se déduire avec facilité un grand nombre d'autres. Nous pouvons expliquer, sur un exemple, le mode de raisonnement simple qu'on emploie en cette circonstance. Imaginons qu'on donne plusieurs courbes appartenant à un même système (20), et qu'une tangente soit menée à Tune d'elles. Dan^ l'application des transformations linéaires correspondantes, les courbes elles-mêmes restent invariables, tandis que la tangente prend successivement la position de toute autre tangente de la même courbe. Le point où il y a contact avec l'une des courbes et les points d'intersection avec les autres deviennent respectivement le point de contact et les points de rencontre de la nouvelle tangente avec ces mêmes courbes; d'où ce théorème que les points

(*] D'après un théorème connu de Cinématique, ces courbes consistent en cercles si la transformation est équivalente à un mouvement du plan sur lui-même. En effet, deux sommets du triangle de base sont alors situés aux points circulaires et le troisième d'une façon quelconque dans le plan; ce dernier sommet reste donc fixe, et par conséquent le mouvement doit être remplacé par une rotation autour do lui. Otte rotation devient en particulier une translation si le centre de rotation est situe à distance infinie. Les nombreuses recherches relatives à la Géométrie cinématique sont ainsi liées aux recherches relatives aux transformations considérées au texte, et peuvent en conséquence être susceptibles d'une généralisation projective immédiate si l'on remplace constamment la collinéation spéciale du mouvement par une collinéation générale. [F'ot'r sur ce sujet Rcrmester, Kinematisch geometriscke Unter^ suckungen der Be^^^egung affiii'^veràndlicher uiid eollinear n*eràndlîcher S^> sterne (Scklômilch's Zeitschri/t, t. XIX et XX); voir aussi la note de la p. 826, t. l].Les courbes (19) sont appelées par Burmester Selbsthullcurven (courbes qui sont leurs propres enveloppes).