LES CO:(!(B&CS

d' intersection for ment m-^ec le point de contact une série qui, pour des positions quelconques de la tangente à la même courbe, est toujours projectile à la même série. — Il en résulte comme corollaire, eu égard a ce que les trois côtés du triangle de base doivent toujours être considérés comme courbes du système, la proposition suivante : Le rapport anharmonique du point de contact d'une tangente d'une courbe (20) et de ses trois points de rencontre avec les côtés du triangle de base est constant. On pourrait aussi réciproquement faire usage de la propriété énoncée ici pour définir le système.

Par un procédé analogue on obtient aisément les théorèmes suivants, dont l'énoncé suffira pour montrer la fécondité de la méthode mentionnée plus haut et applicable dans un grand nombre de circonstances ( ' ) :

Que l'on coupe une courbe du système par une ligne droite et quel' on construise les tangentes en n quelconques des points de rencontre, parmi les autres intersections de ces n tangentes, n sont toujours en ligne droite.

Les courbes du système ne peui^ent se couper qu'aux sommets du triangle de base.

Elles ne possèdent en aucun de leurs points, si ce n'est aux trois points fondamentaux, de singularités du genre de celles qu'on rencontre dans les courbes algébriques.

Toute courbe covariante par rapport à elles est une courbe du tnéme système (car elle doit se changer en elle-même par les mêmes transformations).

Si Von applique les transformations de notre système fermé à une courbe quelconque, assujettie uniquement à ne pas appartenir à un système de courbes (20) ayant le mérne triangle de base, la courbe enveloppe de la série de courbes ainsi engendrée se compose uniquement de courbes du système donné.

Nous allons indiquer brièvement dans ce qui suit les cas d'exception qui se présentent par suite de ce que deux ou trois

(') yoir, pour plus de détails, Klein et Lie, loc. cit.

racines de réquation du troisième degré (ii) deviennent égales entre elles (*).

I. Soit Kj = X3 ; deux des côtés du triangle de base se confondent tandis que le troisième (Xi = o) en reste distinct. En toute h^^pothèse on peut avoir, pour la coUinéation, la form^ canonique

pT, =-z aXi 4- pXj -h 7X3.

Mais si Ton met Téquation cubique en question sous la forme

on reconnaît qu'on doit avoir y = X2. Actuellement, si l'on substitue

oc a

Y| à Y, et X,-H- Xj à X„

Xj — X,

les équations (25) se transforment en

pYi — xjXi, pY,=:xjX„ pY,= pX,-hx,Xs,

et te connexe y = o apparaît sous la forme canonique

/=x,XilIi-f-x,(X,U,4-X3U3)4-pX,U3.

Deux sommets du triangle de base sont ici réunis au point U3 = o; le point U| = o est, d'autre part, le point de rencontre des côtés du triangle infiniment voisin l'un de l'autre.

En répétant X fois la transformation, on obtient, à la place de (18)*, les équations

(27) pY,= x^,Xj, pY,= x^,X„ pY3=rx^,X,H->px^r*X„

(') Foir Clebech et Gordar, loc. cit,, ainsi que la discussion géométrique de ces cas dans HiRST, Mémoires cités, p. 36o. Ces cas particuliers peuvent aussi être abordés, d'après la méthode appliquée par Wbierstrass, aux formes bilinéaires renfermant un nombre quelconque de variables : Monatsbertchte der Berliner ytcademie, i858 et 1868.

et, en éliminant X, on trouve, à la place de (19), Téquation

PourYj=X2 = i, X| = a:, Xa=j^, on obtient donc en particulier la lo gar i t/i mique j = AlogBx^ A, B désignant des constantes.

On trouve, d'autre part, Téquation des courbes de coïncidence principale de f=, o sous la forme

(..-x,)? + plog^=C.

II. Dans le cas où Ton a, en outre, p = o, les équations (26)

donnent

YjX,— YjX, — o;

nous avons une transformation perspective y cas déjà traité par nous d'une manière approfondie (t. I, p. StiS). On peut caractériser algébriquement cette transformation par la circonstance que les formes f et ^ sont identiquement nulles. Toutes les courbes (a8) se composent de droites passant parle centre de coUinéation.

III. Si les trois racines de l'équation du troisième degré sont toutes égales entre elles, on ne peut plus prendre, pour la coUinéation correspondante, qu'une seule équation sous la forme

(^8) pY, = xX,;

les deux autres se présentent d'abord ainsi

^ ( pY,= «X,-+-(^-t-x)X,H-i:Xa,

^^^' I pY, = «XiH-l3X, h-(y^-x)X3.

Actuellement, pour que l'équation du troisième degré en z

admette trois fois la racine z = x, il faut que l'on ait (3d) 6 -h 7 = 0, ^7 — cp=:o.

Ces équations sont satisfaites identiquement si l'on pose et les équations (29) se transforment par là en

pYg:!^ aX| -h XX3-— v(vX, -h/xX,).

Ol' on en déduit

g(vY,-4- iaY,) = (rtv-*-a^)XiH-x(vX,H-/xX,).

Si donc on substitue encore Y^ à vYaH- y.Y^ et X2 à vXj-h uX^, on obtient une équalion de la forme

(3i) pY,^«X,-f-xX„

qui peut toujours être déduite des équations (29). On peut donc admettre que Tune des équations (29) ait déjà la forme (3i),c*està-dire que b =• c = o. Les équations (3o) donnent alors y c= o, tandis que (3 reste quelconque. La troisième équation (29) devient, en conséquence,

(32) pY,=raXi4-,6X,-i-xX3.

Si l'on change encore Yj et X3 en leur substituant respectivement

Ys Y,, X3 X2, le terme en X3 disparaît dans (32), et il

reste

(33) pY3==:l3X,H~xX„

où Ton peut encore, sans détruire la généralité, poser j5 = a.

Au moyen de (28), (3i), (33), on trouve donc l'équation du connexe sous la forme canonique

(33)* /e-x(UiX,h-U,X,+ U3X3)-h«(XiU, + X,U,) = o.

Pour les courbes de coïncidence principale, on a ici simplement, en vertu de Ux= o, l'équ^lion différentielle

X, (XjrfXi— Xj^/Xs) 4- Xj;Xi^X,— Xj^/Xj) =0, d'où résullc par intégration, la conslante d'intégration étant dé-

LES C0!IIIKXE8. 4'^'^

signée par C,

ex; + XΗ 2X1X3=0.

Les courbes intégrales Jbrment un faisceau de coniques qui ont toutes entre elles au même point un contact du troisième ordre (comp. t. \y p. 175), et le point de contact est le point U8==o, dans lequel sont réunis les sommets du triangle; la tangente commune en ce point est à compter trois fois comme côté du triangle.

On obtient un pareil système de coniques pour les courbes qui sont transformées en elles-mêmes par la coUinéation (33)*. En effet, on trouve, en répétant À fois la transformation, les formules

pY, = x^X„ py,= x^Xj-f./ix^-»X„

pY3=x^X3 4-flic^-'X2-t- ->(X — i)«'z^-2X„

ou, en divisant dans les deux membres par x^"^,

|dY, = ît-Xi, pYj= y-'Xj -h XûxXj, pY3=:x*X3-f- ^flxX,-+- -\[\ — l)n«Xi.

Mais ces équations représentent précisément les coordonnées des points Y d'une courbe de la nature dont il s'agit exprimées en fonction d'un paramètre x.

IV. Dans les équations (3i) et (33), une des constantes a, [6 peut encore être nulle. Supposons j3 = o ; nous avons la coUinéation

(34) oYi = xXi, pYî= xXj4- flXi, pY3=-/.X3.

Il en résulte Y^Xj — X, Yasa o; les deux systèmes de points Y et X sont donc perspectifs, le centre de coUinéation est situé au point Xi = o, X3 = o; l'axe de coUinéation (* ) passe par ce poipt. Les courbes considérées plus haut sont les droites du faisceau Xj -f- XX3 = o.

(*} Si cet aie est la droite de rinflni, on a le cas de la translation {voir la noie de la p. 4^8).

Clebscd. — Géométrie, \\\, 2 8

/m T03IE ni. — CHAPITRE II.

V. Si enfin, dans (3i), (33), a et p sont nuls simultanémenl, on a des systèmes de points identiques dont les points correspondants coïncident toujours.

VII. — Sur les connexes (//?, i) on (i, /?), particnlièrement dans le cas

de /7 = 2.

Quelques-unes de nos recherches générales sur les connexes {fn,n) demandent une étude spéciale si l'un des nombres /«, n devient égal à i. Déjà, à propos du connexe conjugué, nous avons eu occasion de faire cette remarque (p. 368); un élément [y^ i^) de ce dernier a été défini pour n = i par la circonstance que ç' est tangente commune de toutes les courbes Cm qui répondent aux lignes u passant par y^ et réciproquement pour /« = i , par le fait que y est un point commun à toutes les courbes K^, qui répondent aux points x de çf dans le connexe y= o. Pour le cas de m = 1 5 auquel nous nous bornons dans ce qui suit, se présente d'ailleurs cette particularité que les courbes désignées plus haut par F' = o, $' = o n'existent pas ; car, puisqu'une ligne quelconque u forme exclusivement avec un seul de ses points un élément de la coïncidence principale, il ne peut plus être question du fait que deux semblables points de u se confondent. Par contre, se présentent ici, en général, des lignes u qui forment avec chacun de leurs points un élément de coïncidence principale, circonstance qui, pour /i ]>• I , m ^ I , ne peut se présenter que dans des cas particuliers et à titre de singularité (comp. p. 352). Pour m = i, nous pouvons, en effet, poser

Aj, Aa, A3 étant des fonctions de la /z»*"« classe par rapport aux U/. Ici la ligne u est caractérisée de la manière indiquée, dès que l'équation f=^o est satisfaite pour Xi= (uu)i indépendamment des quantités P/, c'est-à-dire lorsque l'on a siuiulianément

Al»! — Ajtti=:o, At«j — Ajifjr^O, Ajii| — A|a,=:o.

Ces équations admettent, d'après des règles connues (t. II, p. 1 13),

LES COXMBXBS. 4^^

n^-^ /z + f solutions commuDes, et nous avons, par conséquent, ce théorème :

Dans un connexe {ii^i), il existe /z^-f- /i 4- i droites qui forment chacune av^ec tous ses points des éléments de coïncidence principale. Nous les appellerons rayons fondamentaux du connexe ou de sa coïncidence principale.

Evidemment aussi, Téqualion différentielle des courbes de coïncidence principale qui dérive de /= o pour x/= [udu)i est satisfaite par chacun de ces rayons fondamentaux indépendamment des différentielles dui. Les «^ -f- w -h i rajons fondamentaux d'un connexe (i, w) font donc partie du sjstème de courbes intégrales de la coïncidence principale (*).

Les rayons fondamentaux présentent, d'ailleurs, une connexion particulière avec les courbes F = o, 4> = o considérées plus haut et qui sont liées entre elles par une relation à détermination unique f p. 392). La détermination donnée précédemment des singularités de ces courbes subsiste encore pour m = i . Donc F est de l'ordre (n — i)(7iH- 2); le nombre des points doubles de F est égal à

le nombre des rebroussements égal à

3[/î — 21(2/1 -4- 1), et l'on trouve en conséquence, pour le genre de F, le nombre

- ninn — II).

Il résulte de là que la classe de F est égale à 3/1^, le nombre des points d'inflexion égal à i27i(/z< — i), celui des tangentes doubles

égal à "{gn* — 4o/i^-f- 35/i -f- 2).

(') n faut éTidemment attribuer à cet rayons fondamentaux le mémo rôle par rapport aux courbes intégrales que celui qui appartient aux ombilics d'une surface par rapport à ses lignes de courbure.

436 TOME 111. — CHAPITBB U.

La courbe 4> est, d^ autre part, de la classe 3n; son genre concorde avec celui de F ; le nombre de ses tangentes doubles se trouve donc égal à

-(3// — 0(^'' — ^) '^(7'' — ii)=/i*-i-/H-i,

car il n'y aura pas, en général, de tangentes d'inflexion.

Nous verrons que ces tangentes doubles sont précisément les rayons fondamentaux de notre connexe (i, 7i).

Dans le cas actuel, nous pouvons aisément établir directement l'équation de la courbe $ = o. Nous partirons, dans ce but, du réseau tangentiel de courbes de la (n -H i)»^"® classe (p. SSg)

Chacune des courbes qui en font partie touche les /z^ -f- n H- i rayons fondamentaux et en outre la ligne v à laquelle elle correspond, et le point de contact j^'" de m est le point qui répond à {f dans la coïncidence principale. De tout point de v on peut, en dehors de la droite «^ elle-même, mener encore n autres tangentes à la cou^b♦^ U»,== o, et ce sont là les n rayons de la coïncidence principale qui répondent au point considéré de v; mais, pour le point j' luimême, l'un de ces rayons coïncide avec la ligne ^. Maintenant, si r est une tangente de la courbe <P = o,y est un point de F = o, et un autre des n rayons de la coïncidence principale issus dey (c'està-dire des tangentes de Ut.= o) se confond avec la ligne y; en d'autres termes, v' devient tangente de rebroussement de la courbe U|,= o. La condition pour cela est que v touche en même temps la hessiennc de 11»,= o. Soit donc U^=i/"^*; l'équation de la courbe 0 = o est donnée par

si l'on fait ^4 = ç». Le premier membre de cette équation est du degré 3/î par rapport aux m/ et du troisième degré par rapport aux coefficients de/'. Si Ton essaye de former symboliquement un contrevariant de cette espèce, on n'a le choix qu'entre les trois formes

La première d'entre elles s'évanouit identiquement, parce qu'elle^

LES cosmsiBS.

change de signe par permutation de 6, /3 et c, y\ la même chose a lieu pour la dernière (qui, en outre, se décompose en deux facteurs séparés ) ; l' équation de la courbe 4> = o est donc

[i) * ^ [abu)c^u2-^ upd^— o.

Si u est un rayon fondamental du connexe, les grandeurs [bu)iu" s'évanouissent, et, par conséquent, 0 lui-même est nul. Mais les dérivées de 4> s'annulent aussi, car on a

Dans le second membre, le second et le troisième terme s'évanouissent à cause des facteurs [abu)u" ; le quatrième est égal à

il est donc encore nul. Enfin le premier terme est égal à

■si iVi= («jS)/; il s'annule donc aussi à cause des facteurs (cmçv)//^. Nous avons ainsi cette proposition :

Les 71- -f- 71 -h I rajons fondamentaux d'un connexe (i , «) sont les tangentes doubles de la courbe correspondante 4> = o, e^ cette dernière rCa, en général, pas d'autres tangentes singulières.

Les mêmes rayons fondamentaux sont aussi des tangentes doubles <le la courbe F = o, ainsi qu'il résulte de l'étude attentive des systèmes de courbes représentés par 11»,= o et

(3) X^.=Er.,(a.rj)":^o(^).

iVous insisterons d'abord sur le réseau tangentiel de courbes de la {n -f- i)»«"« classe Ut.= o. Une courbe de ce réseau est, en général,

(*) L'étade de ses systèmes a été donnée par Tauteur (M. Lindemann) dans Tédi- 4ion allemande du présent Ouvrage. Plus tard, M. Lacuerre s'est occupé de ces mômes courbes {Bulletin de la Société mathématique de France, t. VI, p. 129; 1878).

/(3S TOME 111. — CDAPITRE II.

déterminée par deux tan génies quelconques ii', w", les paramètres Ui pouvant alors se calculer au moyen des équations

(4) {au'v)u'J[' = o et {au%) a":' = o.

Une exception se présente toutefois lorsque le point de rencontre y de a' et u" est en même temps point de coïncidence pour ces deux lignes, c'est-à-dire lorsqu'ont lieu les équations

ayuj[' = o, ûr^w." = o, u^. = 0, «" = o,

car alors les deux équations (4) sont satisfaites aussi bien pour i/=zii! que pour ^'= u'', et, par suite, ne servent plus à la détermination de V. Il existe donc encore un système linéaire de courbes L,. qui toutes touchent les lignes a', u" et aussi les « — 2 autres rayon> auxquels répond le même point de coïncidence y. C'est ce que nous pouvons exprimer dans la proposition suivante ( * ) :

Les /i^ 4- /i -H I rajons fondamentaux du connexe ( i , n)Jof' ment, conjointement avec les n rayons de coïncidence qui repondent à un point quelconque dans la coïncidence principale y wt s)^stème de (w4- i)^ droites qui sont touchées par une infinité de courbes de la (/£-}- i)*^™* classe (U,,:= o).

Cette circonstance dislingue essentiellement le réseau tangenliel Ui.= o d'un réseau tangentiel quelconque de courbes de [n ■+• i)»*'"»« classe. En effet, ce dernier serait déjà complètcmeni

déterminé par — n(n H- 5) tangentes fixes, tandis que nous en avon>

ici «^ -H 72 4- I . Les rayons fondamentaux ne sont donc pas indépendants les uns des autres; ils forment, au contraire, un système particulier de lignes, et ce système correspond dualistiquemeni aux systèmes brièvement mentionnés plus haut de R points par lesquels passe un nombre q fois infini de courbes d'un ensemble t fois infmi de courbes C^ sous la condition q 1> t — R (p. 124' Dans notre cas, nous devons remplacer n par n-f-i, et nou>

(') Les considérations qui suivent sont des généralisations des recherches entreprises par GoDT sur «le connexe (i, a). (Voir sa Thèse Ueàer den Connex erster Ordntut^ und zweiter Klasse, GolUn(;cn, 1873.)

LES CO:iXfiXES. fi^ij

avoDS

f= - (/H-l)(/i -}-4), q = 2, Rz=/<'4-/?-M.

Par conséquent, d'après les résultats obtenus alors, les coordonnées des 7*2-1- 72 -f- 1 rayons fondamentaux satisfont à un système d'équations équivalent à

relations indépendantes. Dans notre cas se présente, en outre ^ cette propriété que les n autres tangentes communes à deux courbes du système se coupent en un point. Cette seconde propriété estelle une conséquence de la première? Existe*t-il encore d'autres relations entre les /i^-j-n-i-i rayons fondamentaux? Ce sont là des questions qui exigeraient une étude plus approfondie.

Dans le réseau tangentiel 11^=0 seront comprises des courbes en nombre infini ayant une tangente double, puis un nombre fini de courbes ayant deux tangentes doubles ou une tangente d'inflexion. Toutes ces courbes particulières sont en relation étroite avec la courbe F == o. Les n^n-^-i) — 2 =: [n — i)(72 + 2) intersections simples de j^ avec U>» sont, en effet, caractérisées par la circonstance qu*en elles coïncident deux des n directions correspondantes de la coïncidence principale (deux des tangentes de V^); or cette propriété n'appartient qu'aux points de F=:o. Los [n — i)(/i-f- 2) points de rencontre de Ut,= o ai^ec v sont donc identiques aux [n — i)(7i-|-2) points de rencontre de i/ avec F (*). Si U„ doit avoir une tangente double, il faut que deux de? ces points de rencontre se confondent l'un avec l'autre au point de rencontre de v avec la tangente double, c'est-à-dire que v devient tangente de F, et réciproquement \J^ a toujours une tangente double si i^ est tangente de F; car autrement la droite v elle-même serait alors une tangente double de LV= o ; nous aurions donc sur

(*) De môme dans le connexe (m, n) la courbe U^ qui a v pour tangente muUi] le d'ordre m est rencontrée par c en

(//i -i- n — OC"' H- ") — m{m — 1) — im = (« — i)(/i -h 2m')

points simples qui sont en même temps les points d'intersection de F ayec f.

4^0 TOIfB 111. — CBAPITBE II.

i^ deux el, par conséquent, une infinité de points de coïncidence, c^est-à-dire que u serait un rayon fondamental de notre connexe. D'autre part, on reconnaît immédiatement sur Texpression l]^ qu'en fait tout rayon fondamental v est tangente double de sa propre courbe U^; or, par suite du raisonnement précédent, il sera aussi tangente double de F. Nous avons ainsi les théorèmes suivants :

Les droites v dont les courbes l]^ ont une tangente double enveloppent la courbe F = o. Le discriminant de la forme \j^ égale à zéro donne, par suite, V équation de la courbe F en coordonnéeslignes. Ce discriminant est, en fait, du degré 3/2^ par rapport aux Vi, [F^oir l.\l^ p. i4.)

Les /î- 4- /i -|- ï rayons fondamentaux sont des tangentes doubles de F ; aux deux points de contact ils sont également touchés par les courbes correspondantes U,,.

On déduit encore sans peine des derniers développements les propositions qui suivent :

Les tangentes doubles des courbes U,,= o em^eloppent la courbe $ = o donnée par (2) ; cette dernière (qui a de même, suivant ce qui précède, les rayons fondamentaux pour tangentes doubles) est donc liée unidéterminativement à F = o par ce théorème.

Aux - n[n — i)(3/2^ -4-3/1 — 11) tangentes doubles de F qui

ne sont pas des rayons fondamentaux du connexe correspondent, comme lignes p», des courbes U,, à deux tangentes doubles; ces dernières passent par les deux points de contact de vf avec F.

I^es 1 2«(« — I ) tangentes d'inflexion de F sont les lignes auxquelles repondent des courbes Ut, ayant une tangente d'inflexion.

Le système des courbes X^= o donné par (3) est d'une manière semblable en relation avec la courbe F=:o. Chacune des courbes qui en font partie a au point j^ un point multiple d'ordre /? dont les n tangentes sont les rayons de coïncidence qui répondent à j% et sont représentés par l'équation <ijr(aj:rj')"= o. Si donc

LB8 COXXBXES. :|4l

deux de ces n tangentes doivent se confondre, il faut nécessairement que y soit situé sur la courbe F. Pendant que j^ parcourt la courbe F, les tangentes correspondantes, comptées deux fois, enveloppent la courbe de 3/i*""* classe <I> = o. Par conséquent, si l'on joint j" aux (tî^ — i)(/i4- 2) points de rencontre de Xy=o avec F = o, les 3/1 tangentes de 0 qui passent pai? y figurent en toute hypothèse, comptées deux fois, parmi les lignes de jonction, et, comme sur chacune ne se trouve qu'un seul point de coïncidence, 6/1 des (/i^ — i)(/i-f- 2) intersections dont il a été parlé coïncident par couples; nous avons donc ce théorème :

Chacune des courbes X^= o touche la courbe F en 3n points et, par conséquent, la rencontre encore en n' -t- 2 «^ — 7/1 — a autres points. Ce dernier nombre donne en même temps la classe de la courbe enveloppée par les tî — 2 rayons simples de la coïncidence principale qui répondent à un point de F.

Nous pouvons encore facilement indiquer une troisième courbe passant par les points de contact de X^= o et F = o, et telle que ces 3n points (qui ne forment pas un système d'intersections complet) soient déterminés comme points communs aux trois courbes. En effet, deux courbes Xj et X^ se coupent en [n-\- i)- points. Parmi ces points, un se trouve toujours sur la ligne r^, savoir : celui qui lui correspond dans la coïncidence principale. Si nous rapprochons maintenant indéfiniment z de y sur la ligne j 2, le point de rencontre placé sur yz reste fixe, et les n^^ 2n autres points se déplacent sur X^. Les lignes qui les joignent k y et k z deviennent alors infiniment voisines les unes des autres (tant que les points en question ne se rapprochent pas eux-mêmes indéfiniment de y), et deviennent, en conséquence, tangentes de 4>; par suite, 3/1 seulement de ces points d'intersection peuvent avoir une situation séparée; les (/i-j-i)- — 3/2 — i points restants doivent nécessairement se réunir en^. Les points de contact de F ai^ec X^ sont donc les intersections simples, non situées sur yz, des courbes X^.= o et Xj^.,a= o, s étant infiniment petit, c'est-à-dire des courbes X^- = o et

(5) ax[oi.rjrY-^[oLxz) =0.

On reconnaît, en effet, par les équations des deux courbes que

n^ — n de leurs intersections sont réunies les unes aux autres au point j^.

Si, en particulier, le point j^ est situé sur un rayon fondamental du connexe, il résulte de la définition de la courbe X^ que le rayon fondamental doit se séparer de cette courbe elle-même (comme en faisant partie). Aux points d'un rajon fondamental correspond ainsi une série de courbes du n'^'^^ ordre dont chacune touche la courbe Y enZn — 2 points. Au point de rencontre de deux rayons fondamentaux correspond, par suite, une courbe du [n — i)**"*^ ordre qui touche F en 3/2 — 4 points.

Nous nous proposons maintenant d'utiliser, en particulier, les développements précédents pour le cas de « = 2, c'est-à-dire pour le connexe (i, 2) ( * ). La courbe F = o est alors du quatrième ordre et n'apas de points singuliers; c'est la courbe générale du quatrième ordre, car le nombre des constantes dont dépend la coïncidence principale du connexe (i, 2) est égal à 14? c'est-à-dire au nombre des constantes d'une courbe générale du quatrième ordre. On reconnaît ainsi que la théorie du connexe (i»^) est étroitement liée à la théorie d'une courbe générale C4, et le cas de 72 = 2 acquiert ainsi un intérêt tout particulier. Il suiBt, en effet, de prendre constamment dans les théorèmes précédents 72 = 2 pour obtenir immédiatement une série de propositions relatives aux tangentes doubles d'une courbe du (/uatriènie ordre, ainsi que nous le verrons encore incessamment. Observons préalablement que, dans ce cas simple où m = i et /2= 2, on peut aisément établir d'une manière effective quelques-unes des courbes co variantes que nous avons mentionnées plus haut à titre d'exemples (p. 36o); en effet, si nous considérons j:<, Xj, ^3 comme des paramètres, nous avons uniquement affaire à un réseau tangentiel de coniques Ko; or nous nous sommes occupés déjà d'un réseau de cette espèce (t. II, p. 248). Nous pouvons donc énoncer immédiatement les théorèmes suivants :

Tous les points x dont les coniques correspondantes K2 se décomposent en un couple de points forment la courbe du troisième

(*) Foir, pour ce qui suit, Godt, hc. cit.

LIS COX!IEXES. 4P

ordre

(6) ' P = ii^6^C;,(a?7)«=o.

Les tangentes doubles de la courbe décomposable K2 em^eloppent la courbe de troisième classe

(7) l^[abc)[aPy)u^u^^u.= o, c^est'à'dire la jacobienne du réseau tangenliel a^ui = o.

Les couples de points de la courbe décomposable Ka forment, la courbe du troisième ordre

ll^[abc][oiPx)[Pyx)[yoL.r] — o, c'est-à-dire la courbe de Hermile relative au réseau tangentieL

Les relations des courbes I = o et H = o entre elles sont connues par la théorie des réseaux tangentiels de coniques. La courbe P = o est, en vertu des équations

£i;r''««i==o, flf^w,a2=o, rtj.tf,«j==o,

rapportée linéairement à la courbe I = c, toutes deux ont donc le même invariant absolu. A troif points de P = o qui sont situés sur une ligne droite u correspondent trois couples de points de H = o formant les sommets d'un quadrilatère complet; les côtés de ce dernier sont les tangentes communes du système de coniques ayui -h ^û«Wa = o, j^ et z étant deux points de u. Chacun de ces quatre côtés forme un élément de connexe avec tout point quelconque de m; en d'autres termes, si x est situé sur l'un des quatre côtés, X et u forment ensemble un élément du connexe conjugué (p. 434)' L'équation de ce dernier, savoir (p. 369)

représente donc le produit des tangentes communes à toutes les coniques qui, dans le connexe (i, 2), répondent aux points de u. Nous allons maintenant donner, dans ce qui suit, un résumé des propositions qui résultent de nos explications générales sur le connexe (i, 71); nous les laisserons dans l'ordre suivant lequel elles ont été obtenues ; pour quelques-unes seulement nous ajou-

4'|4 TOXB III. — GBAPITltB II.

terons quelques éclaircissements, en faisant usage de résultats connus tirés de la théorie des courbes du troisième ordre ou de la troisième classe :

// existe sept rayons qui forment avec tous leurs points les éléments de coïncidence principale d'un connexe (i, a) ; ce sont « les raj^ons fondamentaux » de ce dernier.

La courbe F = o, c'est-à-dire le lieu des points x qui sont situés sur la courbe correspondante K2^ «;r"î = o, est la courbe générale du quatrième ordre, et elle est donnée par Téquation njcha:{of.^x)^=o.

La courbe $ = o, c'est-à-dire l'enveloppe des tangentes que Ton peut mener des points de F = o aux courbes correspondantes K2 est de la sixième classe, et elle est donnée par l'équation (abu) Cç^UaU^ u^ = o.

Les sept rayons fondamentaux sont des tangentes doubles de la courbe $; cette dernière n'a pas d'autres tangentes doubles.

Les rayons fondamentaux forment avec les deux rayons qui répondent à un point quelconque x dans la coïncidence principale, c'est-à-dire avec les tangentes menées de o: à la courbe K2^ajrM|=o, un système de neuf droites qui nç déterminent pas une courbe de troisième classe.

L'équation \Jt,^[auif)ul=:o représente le réseau tangentiel général de courbes de troisième classe à sept tangentes (rayons fondamentaux) communes.

L'invariant ternaire absolu d'une courbe U,,=: o est égal à Tinvariant binaire absolu des quatre points de rencontre de F avec v. Les invariants S,, et T^ de U,, sont donc proportionnels aux contre variants (ABf^)* et (ABç')2(BG^')î»(CAi/)2 deF== A],.

En particulier, Téquation de la courbe F en coordonnées-lignes

u est

Les sept rayons fondamentaux sont des tangentes doubles de

(*) La théorie du réseau tanjentiel de troisième classe, déterminé par sept tan- (jentes doubles d'une courbe du quatrième ordre €«, a été étudiée pour la première

LES COXRCXCS. 4f^

Aux vingt et une autres tangentes doubles de F correspondent des courbes U(.à deux tangentes doubles, c^est-à-dlre des courbes qui se décomposent en une conique et en un point. La conique ne peut toucher que cinq des sept rayons fondamentaux ; le point est conséquemment situé à Tinterscction des deux autres. Donc :

A chacune des vingt et une autres tangentes doubles de F correspond une intersection déterminée des sept rajons fondamentaux , de telle façon que la courbe U»» homologue à la tangente double se décompose et comprend: i^ l'intersection en question; 2? une conique tangente aux cinq rayons fondamentaux qui ne passent pas par cette intersection.

Les deux tangentes que l'on peut mener du point d'intersection à la conique sont les tangentes doubles de la courbe considérée LV ; elles passent, en conséquence, par les deux points de contact de la tangente double 1^ avec F ( * ).

Il existe vingt-quatre courbes U», à tangente d'inflexion, et répondant aux tangentes communes des deux courbes S(,= o et T„=îO.

L'équation X^^a^(aay)* représente un système de courbes du troisième ordre dont chacune a, au point j^, un point double; les tangentes de ce dernier sont les rayons qui forment avec j" des éléments de la coïncidence principale. Si S^, T^ sont les deux invariants de la courbe X^, la condition S^ — 6T?.= o est ici satisfaite identiquement pour j^. Comme, d'ailleurs, S^ et T^^ s'évanouissent en même temps si j^ est situé sur F = o, puisqu'alors la courbe Xj.= o a un point de rebroussement en jj les ins^ariants S^, T^ do X^ ne diffèrent respectivement du carré et du cube de la forme F = ciyb^^a^jY que par un facteur numérique.

fuis par Aronhold, Berliner Jlonauberichte, i864t p. 499> ^^i* ^^^ tangentes doubles de C4, voir ci-dessus, p. a44*

(') Comme ces lignes sont aussi des tangentes de ^ = o, on a, par réciprocité dualistique, la proposition suÎTante : Sept points quelconques étant donnés dans le pian ^ les quarantC'deux points oit la ligne qui joint deux d'entre eux coupe la conique déterminée par les cinq autres sont situés sur une courbe du sixième ordre qui a les sept points pour points doubles.

4f6 TUMB III. — CnÀPlTBB II.

Chacune des courbes X^ touche la cow^be F en six points, c'està-dire en tous les points oii elle la rencontre.

Par les six points de contact de X^ passe aussi la courbe a:c[a.xy)[axz) = o. Mais cette dernière est symétrique en y et 2 et de là résulte que ;

Les douze points de contact de deux courbes X^ et X, sont situés sur la courbe du troisième ordre

[9) ^^(«.rr)(«X3) — o (*).

Les courbes X^ qui répondent aux points y de l'un des sept rayons fondamentaux se décomposent en ce rayon lui-même et en un système de coniques en nombre simplement infini dont chacune touche la courbe du quatrième ordre F en quatre points.

La courbe X^ qui correspond au point d'intersection y de deux rayons fondamentaux se décompose en ces deux rayons et en Tune des vingt et une autres tangentes doubles de F. A tout point d'intersection y de deux des rayons Jondatnentaux ( qui forment sept tangentes doubles de F) se trouve associée une autre tangente double déterminée v de cette courbe , de telle sorte qu'on obtient par là la totalité des vingt-huit tangentes doubles de F. A la tangente double 9 répond alors le point y comme partie de la courbe 1]^ en question, suivant la manière indiquée ci-dessus (p. 445).

Chaque rayon fondamental est coupé par les six autres. Dans chaque série de coniques de contact qui répond à un rayon fon^ damental sont donc compris six couples de tangentes doubles; l'une des tangentes doubles de chaque couple est précisément l'un des six autres rayons fondamentaux.

Si j" et z sont situés tous deux sur le même rayon fondamental, toute courbe X^^x^ = o renfermera ce rayon, et il en sera conséquemment de même pour la courbe (9). Il résulte ainsi de là que les huit points de contact de deux coniques du même système sont toujours situés sur une conique (comp. p. a34)»

(') Cette courbe est le lieu des points x dont les couples homolocues de rayons de la coïncidence principale divisent harmoniquement la li^e qui joint deux pointa quelconques^ et z.

La plupart des propositions énoncées ici se réfèrent exclusivement aux sept rayons fondamentaux et à la courbe du quatrième ordre; ils sont donc vrais d'une manière absolue, indépendamment de la circonstance que nous y avons été conduits par le connexe a^ul = o. On peut donc inversement partir d'une courbe du quatrième ordre ; on a alors des relations entre sept tangentes doubles quelconques (parmi lesquelles ne doit se trouver aucun groupe de quatre forrnant des coniques décomposables du même système de coniques de contact), et entre les vingt et une autres tangentes doubles de la courbe C4. Mais on peut aussi partir de sept droites quelconques du plan et construire par leur intermédiaire les vingt et une autres tangentes doubles de C* et leurs points de •contact. On déduira cette construction très simplement de notre connexe en prenant pour point de départ un autre connexe qui a la même coïncidence principale que le connexe donné et qui est d'une nature particulièrement simple. Cela est permis, puisque la <:ourbe F = o dépend uniquement de la coïncidence principale du -connexe (i, a).

Nous prendrons trois des sept rayons fondamentaux pour côtés du triangle de base. L'équation du connexe doit alors être satisiaite par chacun des trois systèmes de valeurs

^/,— o, ^3=0, j:i=:0; .73=0, it 1 = 0, x^z=zo; u^=^o, «,i=o, .i'3=:0.

Les termes possédant les facteurs oti u^, J^t^l^ J^^t^lj ^2^^, x^u'^, jc^ul manquent nécessairement; on peut ensuite, par l'adjonction du produit de u^ par une expression linéaire en Uty 112, U3, faire disparaître aussi les termes en Xii/^, X2UI, x^ul, La coïncidence principale d'un connexe général (1,2) peut donc toujours être représentée comme coïncidence principale d'un connexe de la forme

dont l'équation est rapportée à trois des sept rajons fondamen" taux; et il existe trente-cinq connexes de celte espèce, corrélativement aux trente-cinq manières dont on peut choisir trois rayons fondamentaux.

Le connexe (lo) est caractérisé par la circonstance que toutes ses courbes K2 touchent les côtés du triangle de coordonnées. La courbe I s= o se décompose donc en trois points qui sont les trois sommets du triangle, la courbe H = o en trois droites qui en sont les trois côtés [voir t. II, p. 2d5), et pour la courbe P = o, dont l'équation s'obtient par élimination des u entre les équations

on trouve

fj

^iaj,b^c^=LO.

Enfin l'équation de la courbe du quatrième ordre est donnée par l'équation en coordonnées-points de la conique (10); elle prend donc Informe simple

JL\

Si nous formons ensuite Xy-= o, en plaçant j^ au sommet «1=0 du triangle de coordonnée, il vient, en faisant 7-, égal à i,

Les lignes rt^= o, Ax= o, Cj= o qui figurent dans (10) son!, par suite, les tangentes doubles de F qui sont liées de la façon précédemment décrite aux sommets du triangle comme points d'intersections de rayons fondamentaux.

Les six formes linéaires qui se présentent dans le déterminant (11) désignent donc, égalées à zéro, des tangentes doubles de F = o. On le vérifie aussi sans peine directement sur l'équation (ii)- Si l'on pose, en effet, Cx= o, par exemple, dans cette dernière, on obtient l'équation

(flj.xi-.!^,jr,)«=o,

et le même résultat se produit pour X3=o. Les lignes rx=o, X3=o touchent donc F = o en ses points de rencontre avec ia

LES COMNEXEB. 4^9

conique a^^i — ix^a= o« Cette dernière passé par les points de rencontre de ôx= o avec bx= o et Xt= o, de bx=^ o avec a7| = o et de oTi = o avec X2^= o. On obtient ainsi le théorème suivant, dont nous aurons encore à faire usage incessamment et qui est indépendant de la forme d^équation de notre connexe.

Si ^1, ^2î ^3 ^ont trois tangentes doubles de F comprises parmi les sept indépendantes les unes des autres, et se coupent respectif vement aux points p^ , p^, pz ; si, de plus, c^i, (j^t ^z ^ont les p tangentes homologues des points pi et se coupent en tt,, tt,, tts, les points de contact de S\ et ^^ sont situés sur une coni(fue aussi bien avec les points pi et tti qu'avec les intersections de S2 et o-j, de s^ et (729 ^^^'} ^^ ^^s trois coniques qui prennent ainsi naissance passent par les quatre mêmes points, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement sur leurs équations

(la) x^bjc — x^Cjc=- o, XjC^— xjflj.:^ o, J7,a^— x,Z>^= o.

Actuellement, en cherchant d'abord pour sept droites données arbitrairement l'un des connexes spéciaux (i, 2) de la forme (10), nous pouvons résoudre, sans difficultés essentielles, le problème suivant :

Etant données sept droites quelconques comme rayons fonda^ mentaux d^un connexe général (i, 2), construire la coïncidence principale de ce dernier.

Nous emploierons trois, quelconques des sept rayons comme rayons fondamentaux d'un connexe de la forme (10). Soient ^'1, ^s, 5, ces trois rayons, et p^, p2, ps leurs points de rencontre 5 désignons par £|, ^2; ^sy ^4 l^s quatrc autres rayons, et parais, pi3, ... leurs points de rencontre respectifs. Comme toutes les coniques K2 du système appartenant au connexe doivent toucher les lignes 5/, plusieurs coniques de cette espèce se trouvent immédiatement déterminées parle choix des lignes dont il s'agit. En effet, aux points d'un rayon fondamental correspondent des coniques tangentes à ce rayon lui-même, et par conséquent aux points de rencontre de deux droites t coniques tangentes à ces deux droites et dont, par suite, cinq tangentes sont connues. On connaît ainsi de

Clëbscii. — Géométrie^ \\\. 21^

45o TOMB 111. —> CHAPITRB II.

prime abord les coniques qui répondent aux sommets dû quadrilatère complet des lignes ti.

Mais on peut ensuite trouver aussi, pour tous les autres points des droites f/, les coniques qui s'y rapportent. Ainsi^ par exemple, le système de courbes R2 qui répond aux points de tt est projectif à la série de ses points de contact sur ti; et cette relation projective est fixée par la circonstance que l'on connaît les coniques K2 qui répondent aux trois points Pi2t Pi^^ Pt* et, par conséquent, aussi leurs points de contact ni2y ^13» t^m- On peut donc, pour tout point quelconque p de t^, construire le point de contact correspondant TT, et aussi, après avoir préalablement trouvé ce dernier, la conique répondant à p^ laquelle est alors déterminée, de la manière connue, par les quatre tangentes Jo ^21 ^zj ^1 e^ p^^ le point de contact 7t sur ^4. On peut encore, par une construction linéaire, mener du point p à cette conique l'autre tangente qui forme avec t^ le couple de rayons de la coïncidence principale qui répond à f 4 .

Il s'agit ensuite de construire les lignes ax= o, ij.= o, Cx= 0 importantes pour le connexe (10). Or tout point de s^ forme avec le point de rencontre p^ de S2 et s>i une conique qui répond comme courbe Kj à un point déterminé de ax= o. Les points de s^ et de ax= o se trouvent par là liés projectivement. Mais on connaît les quatre points de cette dernière ligne qui correspondent aux points de rencontre de Si avec les lignes f,, d'après les observations faites il y a un instant, car ces points de rencontre forment avec /?! des coniques des systèmes déjà connus qui correspondent aux points des droites ï/. Par là se trouve déterminée la droite ax=o et en même temps la coordination projective de ses points par rapport aux points de s^. Les choses se passent d'une manière analogue pour les lignes ix= o et Cx= o; on peut donc construire toutes les coniques décomposables et les points auxquels elles répondent comme courbes K^.

Les problèmes importants qui nous restent encore à traiter : Construire pour un rayon quelconque u la droite de connexe C|, et pour un point quelconque x la conique de connexe K^, se résolvent très simplement.

Trouver pour un rayon u la droite de connexe, cela signifie rféterminer la droite aux points x de laquelle répondent les coniques

Kj tangentes au rayon ii. Or, évidemment, de pareilles coniques K2 sont formées par les trois points de rencontre de J|, ^21 ^s pris respectivement avec les sommets opposés /?i, pa, /^i; les points correspondants x sont situés sur les droites a, £, c et, par suite, sont connus, d'après ce qui précède; mais eux-mêmes sont situés sur une droite qui est précisément la droite cherchée C^ répondant à X,

Pour trouver la conique Kj relative à un point Xj on mènera une droite t^ par x\ on connaît alors les coniques décomposables qui correspondent aux points de rencontre de la droite avec ax=^o, 6^=0, C:c=o, par conséquent aussi celle qui répond à x, car le système des courbes K2 qui répondent aux points j: de (^ est projectif à la série de ces points x.

En conséquence de cette construction, le connexe (10) doit être considéré comme complètement connu ; on connaît donc aussi sa coïncidence principale, c'est-à-dire la coïncidence principale d'un connexe quelconque qui a les sept droites données pour rayons fondamentaux ( * ).

A l'aide de la construction de cette coïncidence principale on résout ensuite aisément l'important problème qui suit (') :

Etant données sept tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre indépendantes les unes des autres, construire les vingt et une autres, ainsi que les points de contact de toutes ces vingt-huit tangentes doubles.

On emploiera les sept tangentes doubles données comme rayons fondamentaux d'une coïncidence principale (i? 2) qui peut être construite de la manière indiquée. Si de chaque point de rencontre de deux de ces sept rayons on mène le couple de tangentes à la conique déterminée par les cinq autres et qu'on cherche sur les

(*) On peut rattacher à ces considérations la solution de beaucoup d'autres problèmes. Ainsi, par exemple, pour trouver la neuvième tangente commune de deux courbes de troisième classe si huit autres sont données, on déterminera la coïncidence principale (i, 2) qui répond à sept de ces dernières, et dans cette coïncidence principale le point répondant à la huitième. On mènera de ce dernier point la seconde tangente à la courbe correspondante K,; ce sera la droite cherchée.

(') Voir .Vbonhold, loc. cit.

^p2 TOHE 111. — CBAPITRE II.

tangentes de chaque couple les points de coïncidence, la ligne qui joint les points de coïncidence d'un couple est précisément une tangente de la conique employée, mais elle est aussi une des vingt et une tangentes doubles cherchées, et les points de coïncidence sont ses points de contact (voir les théorèmes donnés p. 445).

Pour trouver ensuite les points de contact sur les trois tangentes doubles données qui sont employées dans la construction de la coïncidence principale (i, 2) comme rayons s^, 53, jj, il suffit, d'après un théorème précédent, de déterminer leurs points de rencontre avec les trois coniques (12), lesquels peuvent être construits aisément. Pour obtenir enfin les points de contact des quatre autres tangentes doubles f|, f^, fs, £4, on remarquera que ce sont ceux des points des quatre droites qui sont situés sur leur conique correspondante K2. Il suffit alors de construire les points qui se correspondent à eux-mêmes dans les séries projectives superposées déjà employées qui existent sur chacune des droites en question; ce qui se fait de la manière connue (t. I, p. 65). Le problème posé se trouve ainsi résolu.