VIII. — Sur la théorie des équations différentielles

Nous avons vu comment la coïncidence principale d'un connexe algébrique est liée de la façon la plus étroite à une équation différentielle algébrique déterminée, et nous avons appelé l'attention sur ce fait que de la théorie des invariants des connexes doivent naître de nouveaux points de vue pour la théorie des équations difTércntielles; nous avons, en outre, effectué réellement dans quelques exemples l'intégration des équations différentielles considérées. Mais la méthode de considération de la théone des invariants, et, en particulier, l'homogénéité qu'elle exige dans les équations n'est pas seulement utile pour les équations différentielles purement algébriques; elle offre, au contraire, également des avantages essentiels pour le cas où les puissances des différentielles dx, dj apparaissent multipliées par des fonctions transcendantes, ou même aussi pour celui où ces différentielles entrent elles-mêmes d'une façon transcendante, c'est-à-dire pour l'équa-

LES co:(:«EXE8. 4^^

lion difierentielle du premier ordre entièrement générale

On peut, en effet, transformer toute fonction 4> de cette nature

en une fonction homogène d'ordre zéro en posant x = — ^ » j^ =^ — >

et alors tout d'abord le théorème d'Eulçr, si utile pour les fonctions homogènes, se présente sous la forme

ÔJCl O.T^ OX^

Dans ce qui suit, nous ne ferons que signaler brièvement quelques faits que l'application des points de vue projectifs permet immédiatement d'éclaircir et qui, en particulier, se présentent au premier plan dans les recherches contemporaines sur les équations différentielles; toutefois, nous nous bornerons à une introduction courte et nullement complète à ces théories, surtout parce que ces dernières sont encore en formation. Le but de ce qui va suivre est, en particulier, de faire res.sortir la connexion des nouveaux points de vue avec la théorie ordinaire, et pour cette raison nous commencerons par faire usage des coordonnées rectangulaires. Les sujets que nous avons à exposer peuvent être caractérisés de la façon suivante :

i"* Notion de l'intégrale d'une équation différentielle;

7.^ Notion des transformations générales de contact et établissement de ces transformations ;

3° Solutions singulières d'une équation différentielle.

Si, dans l'équation

(i) y(j-,j,/?) — o, où P = -£^^

on entend par x, y des coordonnées ponctuelles dans le plan, à tout point X, y sera associé, en général, par ces coordonnées une direction p ou un nombre fini de telles directions, et le problème de l'intégration revient à trouver des courbes

4^4 TOHE III. — CBAPITHE II.

(a étant un paramètre) qui soient touchées en chacun de leurs points par une direction correspondante p^ ou autrement dît de faire succéder les uns aux autres de manière à constituer des courbes les éléments d'arc issus des points individuels x, y»

Dorénavant nous appellerons x, y^ p les coordonnées de Télëment d'arc considéré, et nous ferons observer, comme idée fondamentale dans ce qui va suivre, que ces coordonnée^ seront toujours envisagées comme variables similaires. Les éléments d'arc qui satisfont à cp = o seront appelés les éléments principaux de V équation (au lieu d'être appelés éléments de la coïncidence principale) ^ et les courbes y=o, qui représentent les intégrales de 9 = 0, les courbes intégrales correspondantes. De l'ensemble de tous les éléments principaux du plan qui sont en nombre triplement infini (c'est-àdire des éléments du connexe identique 1^^=^ o) un nombre doublement infini est détaché par l'équalion <p = o, et ces éléments apparaissent décomposés par les courbes intégrales en un nombre simplement infini de groupes comprenant chacun un nombre simplement infini d'éléments principaux. Les éléments principaux en nombre infini qui se rattachent à une même courbe intégrale sont groupés d'une manière déterminée et remarquable. En tant, effectivement, qu'on peut considérer une tangente de la courbe comme ligne de jonction de deux points consécutifs de cette dernière, on peut dire de deux éléments principaux consécutifs

XyY,p et X -\- djCy y -+- rfr, p -r- dp

d'une courbe intégrale que la droite de l'un passe par le point de l'autre, ce qui trouve son expression analytique dans l'équation

(2) dy — pdxz^Oy

c'est-à-dire dans l'équation de définition de p. Gomme cette équation se présente très fréquemment dans la suite, nous attribuerons à la relation de deux éléments voisins qui y satisfont la dénomination de situation réunie des deux éléments.

Nous appliquerons maintenant à la notion ordinaire exposée ici de la courbe intégrale l'idée fondamentale de la Géométrie projeclive, savoir qu'on doit regarder comme assimilables entre eux tous les résultats qui dérivent les uns des autres par collinéation (projection) ou par transformation dualistique (principe de dua-

LBft CONNEXES. {55

lité). L'introduction des coUinéations n'exige pas, à proprement parler, une extension particulière, ou du moins pas une extension extraordinaire des notions formulées jusqu'ici. Nous devons, d'ailleurs, faire observer que, conformément au principe précité, on peut parler aussi bien d'éléments principaux à distance infinie que d'éléments à distance finie, ce que précisément l'emploi des coordonnées homogènes met parfaitement en lumière ; on peut aussi, comme cela va de soi, admettre par avance les éléments principaux imaginaires. On aperçoit du reste clairement comment, par la prolongation d'une courbe intégrale à travers l'infini (c'est-àdire à travers la droite de J 'infini), on est amené à apercevoir en particulier que la droite de l'infini, par exemple, peut se présenter elle-même comme courbe intégrale, etc. La conception ordinaire sera déjà bien davantage dépassée si l'on demande par analogie de considérer aussi de la même manière, dans les recherches sur les solutions singulières, les résultats à distance infinie. Une nouvelle idée est, d'ailleurs, introduite par la considération des transformations dualistiques. Par elles les éléments principaux qui se rattachent à une courbe donnent, en général, naissance aux éléments principaux d'une nouvelle courbe. Cette dernière dégénère toutefois en un point si la première consiste en une droite, et l'on est ainsi conduit à envisager aussi le point ou, si l'on veut, le faisceau de rayons comme forme possible d'une courbe intégrale. Cette conception s'accorde au fond avec l'équation (2), laquelle est caractéristique piour deux éléments principaux consécutifs d'une courbe intégrale; elle est également satisfaite si l'on pose dx :=: dy = Oy p restant arbitraire, ou autrement dit si un élément principal tourne autour d'un point fixe.

Un exemple relatif à cet objet nous est fourni par le système des courbes intégrales d'un connexe (i, i) qui peuvent, en général, être représentées sous la forme (p. 435)

x\ j:^«.r^« = const.

(avec ).4 ■+- XjH- ?'3= o). Ici les trois côtés du triangle de base forment une courbe du système ; de même aussi ses trois sommets doivent être envisagés comme courbes intégrales, car l'équation des courbes en coordonnées-lignes est absolument de la même forme. Il existe bien, d'ailleurs, des équations différentielles dont toutes

les courbes intégrales se composent de lignes droites (par exemple, celle de l'équation p = o), et de même aussi on concevra des équations dans lesquelles des points se présentent exclusivement comme courbes intégrales. Analjtiquement ce sont simplement les équations qui ne renferment pas p, c'est-à-dire les équations de la forme <^{x^jr) = o, ou simplement j? = o. Elles sont satisfaites par tous les éléments principaux dont les points sont situés sur une courbe fixe (p. 352 et suiv.), et les courbes intégrales qu'on en peut déduire sont précisément ces points eux-mêmes considérés comme faisceau de rayons et, en outre, la courbe formée par les points en question, laquelle doit être considérée comme solution singulière (* ).

Nous satisferons aux conditions de la Géométrie projective rappelées ici si (en négligeant d'abord les éléments à distance infinie), nous définissons une courbe intégrale de la manière suivante (^) :

Une série simplement infinie d'éléments principaux x, y, p sera appelée une courbe intégrale ou mieux [afin que l'exprès^ sion de courbe ne donne lieu à aucune confusion) une ^variété intégrale à une dimension ( une intégrale M| ), si, pour deux éléments principaux consécutifs x, j-^ p et x -h dxy y 4- djj p-hdp situés à distance finie f la condition (2), c'est-à-dire

djr — pdjr = o est satisfaite.

Le problème de l'intégration d'une équation ^[x^ y^p) =^0 peut alors, y compris le cas où p ne figure pas dans 9,. se formuler en disant que les éléments principaux en nombre doublement infini de l'équation cp = o doivent être rassemblés dans les intégrales M| en nombre simplement infini.

Donc analytiquement on demande, pour embrasser tous les cas, d'établir une équation supplémentaire renfermant un paramètre arbitraire a

(') Voir le dernier exemple à la iin de cette section.

(•) Voir Lie, Zur Théorie partieller Differentialf(leichungen erster Ordnung {Gôttinger Nachrichten, 1873, p. 473}. '

LB6 Cn;<!tEXE8. 4^7

et telle qu'en vertu de 9 = o et if* = o la condition (2) soit satisfaite indépendamment de la valeur du paramètre âr, que cela ait lieu pour tous les éléments principaux qui satisfont aux équations ç = o, i{/ = o, ou pour une partie seulement d'entre eux. En effet, pour une valeur donnée de a^ les éléments principaux communs aux deux équations forment un système simplement infini, et l'on obtient l'équation des courbes intégrales en coordonnées-points

dans le cas où il est possible de l'établir, en éliminant p entre ç = o et <{» = o. Mais on peut aussi considérer l'équation (4) ellemême comme une équation de la forme (3), puisque, conjointement avec l'équation implicitement supposée

elle remplace complètement la combinaison des équations 9 = 0, ^ = o. Si l'équation (i) ne renferme pas la quantité py une équation (4) est tout à fait insuffisante pour représenter l'intégrale M^ . On devra, au contraire, combiner avec l'équation (y = o une équation (3), en sorte que, dans ce cas, notre nouvel énoncé du problème de l'intégration devient par le fait nécessaire. Il est, d'ailleurs, évident en soi que les équations (3 ), qui deviennent actuellement applicables à la représentation des intégrales M| de q) = o, sont précisément des équations ne renfermant pas p, mais bien un paramètre a. Il ne s'agit plus alors que de représenter les points de la courbe cp = o; ce à quoi on arrive le plus simplement possible en coupant (p = o par un système simplement infini d'autres courbes. •

Les propriétés que doit posséder une fonction ^ pour déterminer de la manière décrite une intégrale M| de cp peuvent se représenter par une équation différentielle linéaire du premier ordre aux dérivées partielles. On doit, en effet, pouvoir alors trouver pour chaque élément principal commun de f et ^ un élément principal voisin qui soit en situation réunie avec le premier (p. 4^4) et appartienne aussi aux deux équations, ou, autrement dit, il faut

458 TOME III. — aiAPITRE II.

la coexistence des trois équations

dx df dp '•

pdx — dy -=10^

desquelles résulte

^ ' dx dp dx dp \dy dp à/ dp}

C'est là la condition pour que las éléments principaux communs t/e ç = o, i}^ == o [ou même seulement une partie séparable de ces éléments) forment une intégrale M« pour les deux équations (*). Il faut naturellement exclure le cas où deux des équations (5) se confondent Tune avec l'autre , c'est-à-dire où l'on a

ô^ âf ^ dv à'h â-'l* d^ dx ' df ' dp dx ' df ' dp

ce qui arrive, par exemple, pour ^ = 4' -4- const., ainsi que le cas où l'équation (6) est satisfaite par l'évanouissement des dérivées particulières de cp ou ^. Nous reviendrons ultérieurement

( * ) Foir, Jacodi, Vorseliuigen ûber Dynamik, herausgeçeben von Clebsch, Beriio, i866, p. 17a et 287 et suiv. L'équation (6) se transforme effectivement en l'équation de condition de Jacobi ai l'on introduit en outre le quotient /i : f au lieu de — p\ il faut alors traiter p^ q absolument comme des coordonnées-lignes On aura ensuite à éliminer les (Grandeurs dlr, djr^ dp^ dq entre les quatre équations

pdx-^qdy =0,

xdp-{- fdq=.o^

ce qui donne, eu égard à ce que ;>, ^ sont homogènes en /?, q^ l'équation de condition de Jacobi

d'^ dp c^^ d'p df dp 09 dp

djc dp dj- ôq dp dx dq djr

Voir aussi ci-desâons la même question traitée en coordonnées homogènes.

LU C0N5EXI8. 4*^9

sur ces cas exceptionnels quand nous ferons usage des coordonnées homogènes.

Nous pouvons établir et énoncer ce résultat sous une autre forme qui nous sera utile plus tard. Les équations (5) expriment, en effet, que l'expression pdx — dy s'évanouit en conséquence des équations d^ = o, rf^ = o, et cette circonstance se présente évidemment toujours si l'on peut déterminer une fonction xi^^J^ P)^ telle que l'on ait

(7) ^h — yA^^ [^f — p^^]?^

et réciproquement. Nous nous proposons donc maintenant d'établir la condition à laquelle les fonctions ^, <^, 5^ doivent satisfaire pour qu'une équation de celte espèce soit possible.

L'équation (7) se décompose immédiatement en les trois relations suivantes :

dff d^ Ôf d^ dv (?^J;

et, en éliminant jj et p, on retrouve l'équation (6). Nous obtenons cette dernière sous une autre forme en introduisant les dérivées totales; comme, en effet,

la seconde équation donne, eu égard à la première,

et par combinaison avec la troisième équation il en résulte ensuite

^^^ dlâp ^ âp dl~^'

équation qui se tire directement aussi de (6) en vertu de (8). Si donc 9 = 0, 4* = o dowent as^oir une intégrale M« commune, c'est-à-dire s' il doit exister une équation de la forme (7), il faut l'accomplissement de la condition (9), dans laquelle, contrairement à (6), interviennent les dérivées totales.

Or ces considérations gagnent immensément sous le rapport de

•Tj

460 TOMR HT. *- CHAPITRB II.

la symétrie et de la clarté de Texposîtion à l'introduction de coordonnées homogènes et, pour préciser, à l'emploi simultané de coordonnées-points et de coordonnées-lignes homogènes. Ces coordonnées s'introduisent dans le cas général absolument comme il a été expliqué plus haut (p. 386 et suiv.) pour le cas particulier des équations algébriques, en transformant l'équation différentielle en une équation entre les coordonnées-points et les coordonnéeslignes et en ajoutant alors les conditions Uj:=o, «^^^=0, en faisant, par conséquent, la substitution

xp — y •=. — .

Dans les fonctions homogènes de dimension nulle qui prennent ainsi naissance, les dénominateurs 0:3, 1/3 jouent tout d'abord un rôle remarquable; toutefois, on n'a nullement à considérer exclusivement des fonctions ayant ces dénominateurs, et il sera, au contraire, avantageux de les remplacer par les fonctions les plus générales d'ordre nul et de classe nulle. Si l'on a, en particulier, affaire à des équations différentielles algébriques, on ne partira pas nécessairement de fonctions dont le dénominateur est formé par des puissances de 1/3 et Xs, mais on choisira, au lieu de ces dernières, les quotients de deux fonctions algébriques, dans lesquels le numérateur et le dénominateur ont la même généralité, en sorte que si, par exemple, l'on fait 0 égal au quotient des connexes a^ul et n'^ii^, l'équation 4> = const. représente le système linéaire le plus général des connexes.

La condition (a) de la situation réunie de deux éléments voisins X, u ei X -\' dxj u -{-du est actuellement à remplacer parles deux équations

(10) 2 «/ dxi =0 et 2 j:/ dui t= o,

dont chacune est, en vertu de Mj= o, (« -h r/ii)j.+rfx^=^o, une conséquence de l'autre. En effet, la première équation (10) combinée avec Ux'=o exprime la même chose que l'équation (2), savoir que du point x part une direction d'avancement u qui est déterminée par le point x + dx. Un fait analogue existe à l'égard de la seconde équation (10).

Supposons maintenant qu'on ait sous les yeux une équa-

LES COJINEXEft.

lion

♦ (jr, u)=z O

homogène en x, u et de dimension nulle, et cherchons la condition pour qu'elle ait, avec une autre équation Y(x, u) = o, une intégrale M| commune, c'est-à-dire pour que les éléments principaux, qui satisfont aux équations $ ::-^ o, Y =:^ o, ï/x=^ o forment une courbe intégrale (courbe de coïncidence principale) de ♦ = o. Noiis avons alors, à la place de (5), les conditions

et par élimination de rfx/, rfa/, en désignant parles indices i, a, 3 la différentiation par rapport à j:< , X2, x^, par les indices I, U, III la différentiation par rapport à Ut, U2, u^, et en {ixant les valeurs absolues des x, u par les équations kx=i^ Ui= i (d'où Yéhidxi= o, Y.lidui=- o), on en tire l'équation de condition

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