III

Or, en désignant par i les indices i, 2, 3, pary les indices I, II, 111, on a , eu égard au théorème d'Euler,

2±:*ii/,A:,.2dbYi.r,/3=:

IWj^i l'Vjiij l'Vjkj o

Ui kl

= -2Ty*,.

2*/// I // Une équation analogue a lieu pour le produit des deux autres dé-

/|63 TOME III. — CnAFITllB II.

terminants, et nous obtenons, en conséquence, la condition

qui doit exister, en vertu de $ = o, V = o, Ux= o.

Cette équation aux dérivées partielles intervient à la place de (6) ou (9) ; elle est, suivant une expression dont nous nous servirons, la condition nécessaire pour que les équations $ = o, ¥ = o soient en « situation d' involution » (pour qu'elles aient une intégrale Ml commune). L'équation (i i) est, d'ailleurs, aussi satisfaite pour les éléments principaux singuliers de ^ et ^ pour lesquels toutes les quantités 4>/, 4>y ou ¥/, ^y s'évanouissent (par exemple, si ¥ =y2) et également encore lorsque les grandeurs 4>/, 4>y deviennent proportionnelles les unes aux autres. En excluant ces cas seulement, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Le problème qui consiste à intégrer Inéquation ^ = 0 se con^ fond avec la question de trouver une fonction ¥ homogène en x, u de dimension nulle qui satisfasse à l'équation aux dérii^ées partielles (11) et renferme un paramètre a.

Les avantages que présente l'usage de coordonnées homogènes par rapport à la représentation précédente sont déjà évidents sur cet exemple. Premièrement, en effet, l'équation (11), contrairement à (6) et (9), est absolument symétrique, et elle renferme uniquement des dérivées partielles ('); de plus, les éléments à distance infinie n'ont plus besoin d'être considérés à part; il ne reste plus à avoir égard qu'aux cas exceptionnels déjà ainsi dénommés et dont l'existence tient à la nature de la question.

Le problème donné dans l'équation (7) acquiert un intérêt particulier et une utilité particulière pour les applications ultérieures lorsqu'on le traite en employant des coordonnées-points et des coordonnées-lignes homogènes. Gomme alors l'expression dy — pdjc doit être remplacée par u^x ou dux sous la condition Ux= o^ nous avons évidemment le problème suivant.

On demande d'indiquer les conditions auxquelles les fonctions

(* ) f^oir la noie de la page .'|58.

LES C0?I!IEXE8. '|G3

4>,, 4>a, 4>3, Fj, F2, F3 doivent satisfaire pour qnil existe une équation de la forme

de laquelle résulte, en vertu de iix= o, Téquation symétrique

(i3) Fi«/*i-l- F,«?*, -+- F^d^i = x^dui-h JC^duj^~h x^du^.

Dans le second membre de (12), nous pourrions ajouter un facteur p comme dans (7); toutefois, nous imaginerons que ce facteur est compris dans les 4>/, et nous admettrons qu'il ait toujours élé déterminé de telle sorte que toutes les fonctions $,• et F/ soient de dimension nulle en x et u.

Nous écrirons Péquation (12) sous la forme

d^où Ton tire immédiatement

On obtient ensuite, par dilTérentiation,

dit/i Zd ' àx,, dxk Zà ' àuh '~'

y dF/ à Y dFi

Zu ' àx^ dxk Zà ' àuk~ '

^Y ^ ^Y dF/

du h Zà ' ^'a ^«* Zié ' dtf/i "~

d'où, en développant

Y (à^i dF/ ^ dF^X Y /d*£ dF/ ^ d*/ dF^X

2j\d^ d-c;t djr^fr ôx^l "~ ' Zrf\dttA dx^ d^A- àuf,) ~^*

V' / d*/ dF/ ^ d*/ dF^\ y /d*^ dFj ^ d*^ dF^X

Zd\àuk dxj^ dj:k dukj '" ' ii\d£fAd£/4 àu^ du,J ~^*

464 TOHK Ul. — ClAriTItE II.

Ces quatre relations expriment que des six équations (i =^ i, a, 3)

résultent les six autres

ôj^k OUI, y

SI donc on porte ces valeurs de j^hj ^h dans les équations précédentes, il doit en résulter des identités, et de cette manière on trouve que Ton doit avoir aussi les relations suivantes :

où, d'une manière générale, le symbole (PQ) désigne l'expression dont révanouisscment donne, d'après (ii), la condition de la situation en involution pour les équations P=o, Q = o, où, par conséquent,

Le même raisonnement peut être poursuivi en sens inverse; on a, en conséquence, l'important théorème qui suit :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence des équations [\^) et (i3) sont données, sous le brné/ice de Mj=o,

(*) Foir les Mémoires de S. Lie, Abhandlungen der Gesellschaft der Wissensehafeem zu Christiania, 3 mai 1872 et 21 mai 18, 3, et Math, jinnalen, t. VIII, où la démonstration est déduite du problème de Pfafp. Pour la marche suivie an texte, 'voir A. Mayek, Gôttinger Nachrichten, avril 1874» ou Math, jinnalen, t. VIII, p. 3o4, et Lie, ibid, t. I\. Si l'on ajoute au second membre de (13) pour raison de généralité un facteur p, à la place de la dernière équation (i5) se présentera l'équation (F|^i) = ^, mais tout le reste demeure inaltéré. ( ^oi> Mateb, loc, cit.). Dans les formules de Maycr, il sufHt de prendre toujours z constant pour obtenir celles du texte.

LCS C0ii:<EXE8. 4^^

par les équations aux dérivées partielles {i5) dont le sens est mis en lumière par ( 1 6 ) .

Ces derniers développements, et en particulier les équations (i5), deviennent précisément d'une grande utilité lorsqu'il s'agit d'établir toutes les transformations appelées transformations de contact. On comprend sous cette désignation les transformations du plan qui changent des courbes qui se touchent en des courbes possédant la même propriété, et, par conséquent, des transformations vis-à-vis desquelles le contact est une propriété invariante [*). A cette classe appartiennent d'abord les collinéations du plan et, en général, les transformations ponctuelles proprement dites, c'est-à-dire les transformations de la forme

puis aussi toutes les transformations dualistiques. Déjà, dans ces» dernières, il peut arriver qu'une courbe (et pour préciser une droite) soit transformée en un point, et quelque chose d'analogue se présente dans le cas plus général où l'on prend pour base de la détermination de coordonnées, non le point, mais Vêlement principal, et où Ton définit conséquemmcnt comme courbe une variété simplement infinie d'éléments principaux dont deux éléments voisins sont en situation réunie. Cette conception conduit aux transformations les plus générales dans lesquelles le contact est une relation invariante. Nous pouvons, en effet, définir également une transformation de contact en disant : une transforjuation qui change des éléments voisins réunis en des éléments de même nature.

Nous ferons d'abord de nouveau usage de coordonnées non homogènes pour la représentation analvtique. D'après notre dernière définition, nous obtenons la transformation de contact la plus générale en remplaçant les coordonnées a.*, j^ p d'un élément principal par des fonctions des nouvelles coordonnées x', j', p

(') Elites ont ëié introduites par Lie (bien que considérées déjà occasionnellement |Mir PlÛuKkr et J.\coai). ^oir le Mémoire de Lie, Begr'ùndung eiiter Invar iantentheorie lier Ucruhrungstraitsformationen (Math, jinnalcn, t. VIII), où les rebjltats des diflcrcnts travaux antérieurs sont résumés.

Clesscu. — Géométrie f III. OO

telles que les expressions

dr' — p' dx' et riy — p dx s'évanouissent toujours ensemble. Si donc nous posons

(17) x'=rf[x,y,p), f = '^[x,y,p), p'=zx[x,r,p),

entre cp, ^, -^ doit avoir lieu Téquation (7), et de nos développements précédents résulte la proposition suivante :

Les équations {17) représentent une transformation de contact si la condition (6) oa (9) est remplie, c^est^à-dire si

relation où

df à^ dx dp

ôf d^ ^

dp dx

A côté de cette représentation la plus générale dans laquelle îl n\ a pas de distinction entre les cas où ce sont des points et ceux où ce sont des courbes qui correspondent aux points x, y^ s'en présentent de plus particulières.

Par exemple, si aux points x^y correspond un nombre doublement infini de courbes, celles-ci peuvent être supposées données par l'équation [œquaiio directrix de Plûcker)

(18) a[x,jr,x\y)z=Oy

en vertu de laquelle aux éléments principaux en nombre infini Xy y y p qui comprennent le point x, y répondent les éléments principaux en nombre infini j/, y'^ p' qui se réfèrent à la courbe û =r o. Aux points d'une cowrhe f[x y y) = o correspond alors un ensemble de courbes il = o, et l'enveloppe de ces dernières (qui peut aussi se composer de points séparés) est la courbe homologue de la courbe y = o ( * ). Un élément x, y y p qui comprend les deux points Xyy elx + (ix,y ■+- dy et qui satisfait, par suite, à la condition dy — pdx = o, a pour correspondant l'élément qui est

( *) Voir Plûcher, Analjrtisch geometrische Entwicklungen, t. II, Essen^ i83t, [x. 35i. Un exemple est fourni par le cas conaidéré, t. II, p. 8-H, où les courbes XI = o sont données par les premières polaires d'une courbe donnée.

'bes

do. , do.

':^ •*>. dr Or

* d'intersection des deux courbes, la ^ évidemment donnée par

. contact qui n'est pas une simple transpeut, par conséquent, être aussi représentée ^ de la forme

do. do.

do' ^ "~ <9a

Au contraire, les transformations de contact qui sont de simples transformations ponctuelles peuvent être représentées par les équations (i6)

on a alors

d.r àjr

Les définitions, analytiques données ici des transformations de contact peuvent s'énoncer immédiatement pour le cas des coordonnées homogènes si Ton se rappelle que la condition dy — pdx=o doit être remplacée par ujjc= o ou [du)j:= o, et qu'alors la con-

108 TOUK 111. — CUAlMTaK 11.

dition (7) se change en Téqualion (12) ou (i3). Nous avons ainsi d'abord ce ihéorcnie qui embrasse tous les cas :

Par les équations

dans lesquelles les fonctions F/, ^isont des fonctions homogènes de dimension nulle, se trouve représentée une transformation de contact si les conditions

[Yi\\.) = G, (F,*^.) = o, (*,.*^) =: o, (F,*,)= I.

sont satisfaites.

En effet, il vient alors, en vertu de i^^= o, Ux^=o^

2 «7 (ifi =z^Ui dxiy 2 r , (U\ = i .r / dui .

Les équations (ly) donnent, d'autre part, cette proposition : Toute transformation de contact qui n^est pas une transformation ponctuelle peut être représentée par des équations de la forme

(?.2) < du du

Si, enfin, il s'agit d'une transformation ponctuelle, on peut employer la représentation suivante. On partira de deux équations entre les .r, et \csji

ii:{.c,x) = o et a"(x,j)=:o,

et Ton déterminera un élément principal passant par x au nioven d'un paramètre X par les équations

L'élément principal correspondant qui passe par y est alors déterminé par

àj\ àji '

(*) foir Jacooi, Vorlesungen uber Djrnamih, p. 470, et Lie, Math. Annalett, t. VI II, p. aa3.

LES C0X:(EXB8.

ensemble

des

équations

plfi'

(TPi =

.da"

représente la transformation de contact.

L'importance fondamentale des transformations de contact pour la théorie des équations différentielles est déjà évidente d'après leur définition et ressortira encore davantage dans ce qui suit. En effet, de notre définition de l'intégrale M| d'une équation différentielle (p. 4^6), il résulte immédiatement que :

Les transformations de contact sont identiques aux transfor^ mations d'une équation différentielle [ou d'un connexe) dans lesquelles l'intégrale M| de l'équation donnée se transforme en Vintégrale M| de la nouvelle équation.

La chose a lieu en même temps pour toute équation différentielle quelconque, et par là se trouve établie une différence entre les transformations générales de contact et ces transformations que nous avons considérées précédemment et auxquelles était simplement imposée la condition restrictive de ramener l'intégrale M| d'i/Tze équation donnée à l'intégrale M, de l'équation transformée, et qui, par suite, sont à peu près, par rapport aux transformations générales de contact, ce que sont les transformations unidétcrminatives d'une courbe particulière par rapport aux transformations Cremona de tout le plan. Bien que nous ayons, dans des considérations précédentes, supposé le caractère unidéterminatif de la transformation, cette supposition est inutile pour les questions qui se présentent actuellement ; en effet, les développements donnés alors, et en vertu desquels la transformation (ai) doit satisfaire aux équations aux dérivées partielles suivantes :

pour présenter à l'égard d'une équation y(jr, a) =: o la relation

/|70 TdME 111. — CllAPITRI-: II.

précitée (p. 4^3), continuent à être vrais indépendamment de la circonstance dont il s'agit.

Si ces conditions doivent être remplies indépendamment de /= o, en vertu de Uj:= o, on en déduit de nouveau les équations (i4), dont sont dérivées les équations (i5). Il suffit, en effet, dans ce but, de remplacer f dans le second membre de la première

équation par \ j— m/» à part un facteur numérique, et dans la seconde équation par \ -r— xi. Si Ton annule alors individuellement

les coefficients des errandeurs -r — i -^» on. tire de nouveau de la

première équation les conditions (i4)> ^ P^^^ 1^ facteur K qui se présente dans le second membre, et de la seconde les équations correspondantes au point de vue dualistique

-— :=Kxju^ > ri-T— =o.

Mentionnons immédiatement ici l'important théorème qui suit :

Toute équation différentielle du premier ordre peut être changée par des transformations de contact en une équation différentielle quelconque du premier ordre ( * ) ; elle n'a donc point d* invariants "vis-à-vis de ces transformations.

Pour le prouver, il suffit de montrer que l'on peut ramener l'intégrale Mj de l'une des équations à celle de l'autre; et, pour apercevoir immédiatement que cela est possible, il suffit d'observer que tout système doublement infini de courbes peut être transformé en la do^ible infinité des points du plan et que, par suite, tout système simplement infini de courbes peut l'être dans les points d'une droite telle que Xi = o. La possibilité de transformer toute équation différentielle en une autre quelconque résulte, en effet, de la possibilité démontrée par là de mettre toute équation sous la forme canonique Xj = o. Avec la réduction de l'équation

(*) Le fait n'a plus lieu pour les équations d'ordre supérieur. (Tolr Lie, Gôttiuger JVachricheen, 1872).

LES CONSIEXES. i'Ji

difTérentielle à cette forme très simple, son intégration serait naturellement fournie aussi, car les courbesintégrales de l'équation Xi sont connues ; elles se composent, d'après ce qui précède, des points de la ligne x, = o considérés comme sommets de faisceaux de rayons. C'est là une manière très digne d'attention de formuler le problème d'intégration.

Comme vis-à-vis des transformations de contact les points et les \

courbes ne diffèrent pas essentiellement, dans le but d'obtenir une généralité complète, nous ne parlerons plus de coordonnées-points. Au contraire, nous désignerons actuellement, en fmissant, par Xi , X2, JCz les paramètres homogènes d'un système doublement infîni de courbes (M^) que nous appellerons système « spécial ». Une équation

eprésentera la courbe enveloppée par les courbes spéciales M| lont les paramètres Xt satisfont à l'équation ^ = o^ L'équation

r do

«1 Xj 4- «jXj 4- «3-^3 = O

représente, si les x/ sont considérés comme des paramètres, un nouveau système linéaire doublement infini de courbes Mi que nous appellerons système conjugué du système originaire. Si l'on attribue aux grandeurs j:/, uî des valeurs fixes telles que celte équation soit satisfaite, nous appellerons encore ces grandeurs les coordonnées d'un élément principal. Il ressort immédiatement de la signification par nous attribuée à une équation ^{x) = 0 que deux courbes des systèmes conjugués l'un à l'autre qui forment un élément principal se touchent respectivement; c'est ainsi que s'exprime géométriquement la condition réciproque dans les deux sens qui intervient à la place de la condition de la situation réunie du point et de la droite. En général, dans notre détermination actuelle de coordonnées, la spécialité de rôle que nous avons attribuée jusqu'ici au point et à la droite disparaît. La division des transformations de contact en transformations ponctuelles ou tangenlielles proprement dites et en transformations plus générales d'éléments perd également ici son principal caractère. Il doit naturellement subsister une semblable division dans les formules, mais cette division ne répond plus à des conditions géométriques ;

473 TOME 111. — CHAPITBB II.

la séparation n'est plus que relative et dépendante du système de coordonnées choisi ; elle n'est pas absolue.

A l'égard des éléments principaux ainsi définis, ont lieu tous les théorèmes précédents si l'on définit encore la situation réunie d'éléments voisins par la condition Udx"^ — (^/«)x=o. En particulier, une équation (p(j:, u) = o qui renferme d'une manière homogène les X et les u et qui est supposée liée avec Ux^= o sera appelée une équation différentielle. Intégrer cette dernière, ce sera établir une nouvelle équation

ij/(.r, tt, a) = o

renfermant un paramètre a, de telle façon qu'en vertu de 9 = 0, <J; = o, «x= O) on ait aussi

«r/x =0 ou ( //« )ar = o

(p. 460), et ainsi de suite. Toutefois nous ne nous proposons pas de parcourir ici cette systématisation générale.

Nous avons considéré plus haut des transformations linéaires infiniment petites (p. 4^7 )• O"^ peut de même établir des transformations de contact infiniment petites. Nous représenterons une transformation de celte espèce sous la forme

t désignant une grandeur infiniment petite, les f/ étant du degré zéro par rapport aux z*/, du premier par rapport aux x,-, et les tf, étant du premier degré par rapport aux /i/, du degré zéro par rapport aux x/. En opposition à nos hypothèses précédentes, nous faisons donc usage maintenant de fonctions de la première dimension (*). Les seconds membres des équations (aS) doivent satisfaire encore ici aux conditions (i3) si l'on pose

Fi = Xi 4- ty/, */ = «/ -f- «•!'/. Mais on trouve alors, en développant et négligeant les grandeurs

(') Une fonction de la première dimension par rapport aux x sera, en généra), do la forme SAjJ^j, les A,- étant des fonctions do dimension nulle en x et u. On Toit facilement que les équations (i3) subsistent aussi pour les fonctions de dimension non nulle.

LBS CO!f!(EXU. i\'jO

infinitésimales du second ordre,

dl/A àui Ô.rfg dUi du/: dui

les lettres Ar, i pouvant recevoir toutes les valeurs i, 2, 3 et, en particulier aussi, toutes deux une même valeur. Ces équations expriment qu'il existe une fonction H pour laquelle

^ oui ^ dxi

Les seconds membres de ces équations doivent être du même degré en x^ u que les seconds membres de (23); on a donc

d'où

USu.'-^\ = ^.

àufg \ ^ dui j ôufg djck l ^ ôui j ôxfg et, en intégrant et négligeant une constante inutile à considérer,

> Ui - — = H et (le même > xi - — = H ;

c'est-à-dire que H doit être une fonction de la première dimension par rapport aux Xt et aux ui. Si l'on pose encore, dans ( a3 ), x -f- dx à la place de r, u-h du à la place de ç^, et dt à la place de e, on obtient ce théorème ;

H étant une Jonction de la première dimension par rapport aux Xi et aux Ui, toute transformation de contact infiniment petite peut être représentée sous la forme ( * )

. ^ . fixi dH dui ^H

^ ^' dt ÔUi* dt "" âxi'

Au moyen de ces équations, à tout élément principal d'une éqiia-

(*) roir Lie, Gotiinger Nachrichutty 187'!, p. 337, et Math. Ânnaleiif l. VIII, p. 339.

lion <I> = o répond un élément principal voisin. Il peut arriver en particulier que ce dernier appartienne de même à l'équation ♦ = o, et alors cette équation est évidemment ramenée à elle-même par la transformation {2^), ainsi que nous l'avons déjà également vu plus haut pour les transformations linéaires. Parmi les équations $ = o de cette espèce figure, en premier lieu, l'équation H = o elle-même. En eflet, si, dans H, on pose x + dx à la place de X et u -h du à la place de u, H se transforme, eu égard à (24), en

H-f- > -j—dri-^ y -—</«,.= H.

^ OJCi ^j oui

Si l'on applique, au contraire, la transformation H, c'est-à-dire la transformation (24)» à une équation quelconque 4> = o, il vient

V— / V— /— d\ (— î?!i ^* <^H'\ ^àjTi Aaàui ' ^\àxi dui dui djci)'*

la fonction <I> se transforme donc en elle-même lorsque ($, H) =0, en vertu de 4> =0 (ou 4> identiquement nul), mais ne s'annule pas immédiatement en vertu de H = o.

Le problème de l'intégration de l' équation 4> =r o est, dans ce sens, identique au problème de la détermination d'une transjor^ mation infiniment petite qui ramène la fonction 4> à elle-même. Mais toute fonction H qui représente une équation différentielle en involution avec ^ ne représente pas réciproquement sans préparation une transformation infiniment petite. On reconnaît par cette proposition combien l'étude plus étendue de ces transformalions présente d'intérêt; toutefois nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet ( * ).

A ces explications sur la notion idéale des équations différentielles, nous ajouterons pour finir quelques remarques sur leurs

(') Ëii particulier, on obtient une nouvelle manière de conceTotr U proposition appelée Théorème de Poisson et de Jacobi. {Voir Jacobi, VorUsUngen ûber Djnamik, p. a68). On arrive ensuite à interpréter {géométriquement la théorie du facteur d'iagrabilité. Sur ce dcruier point de vue, nH>ir un Mémoire de Lie, jibhandlungen der Gesellschaft der Wisseinchaften zu Chrhtiatiia, 18741 p. a^' etsuiv.

LES CONXF.XES. 47''

solutions singulières . On a coutume d'introduire ces dernières de la manière suivante (*). L'équation

dans laquelle a est un paramètre, représentant une infinité de courbes, on considérera le lieu des points d'intersection des courbes consécutives, lieu dont l'équation s'obtient en éliminant of entre

(ï5) /=o et -^=o.

Ce lieu, s'il n'existe pas de relations particulières entre les constantes de la fonction f^ est V enveloppe des courbes f= o, et il se présente comme solution singulière de l'équation différentielle dont les courbes intégrales sont précisément données par f=^ o. Or il peut arriver que la courbe ainsi trouvée ne soit pas une courbe proprement dite, mais soit absorbée en tout ou en partie par le lieu des points doubles des courbesy= o ou d'autres points singuliers mobiles, ou qu'il n'y ait pas de courbe du tout, comme, par exemple, si/= ^ -f- OL^t c'est-à-dire si/ = o représente un faisceau de courbes. D'ailleurs on peut, dans ce dernier cas, en conséquence de notre définition générale des courbes intégrales (p. 4^7), considérer comme figure enveloppe les points de base d'un faisceau de courbes envisagés chacun comme sommet d'un faisceau de rayons et, dans ce sens, parler encore d'une solution singulière. Si, au contraire, les points d'intersection de y = o, ^[> = o, par exemple, se réunissent par couples, toutes les courbes intégrales se touchent aux points dont il s'agit, et il existe un nombre fini d'éléments principaux spéciaux, mais aucune solution singulière formée par eux.

En présence des diverses hypothèses possibles, on doit se poser tout d'abord cette question : Qu^ arrive^t-il en général (^)? c'est-

(*) Pour ce qui concerne une exposition systématique de ces théories sous leur aspect usuel et, en particulier, dans leur développement historique, Doir Roole, ^ treatise on differential équations, a* éd., Cambridge and Dublin, i8G5, p. i63 et suiv., cl Supplementarx 'volume , p. 28 et suiv.

(*) Voir, pour ce qui suit, Darbocx, Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre {^Comptes rendus des séances de l'jécadèmie des Sciences, t. LXXI, et Bulletin des Sciences mathématiques, t. IV, 1873), ainsi que Cled$€H ( yfath, Ànnalen, l. VI. p. 211).

à-dire sî les coefficients de Féquation difierenlielle donnée ne satisfont à aucune relation particulière. En premier lieu, il est clair que pour tout point de la courbe intégrale singulière deux des directions d'avancement correspondantes (éléments principaux) se confondent. Or le lieu des points pour lesquels cette circonstance se présente est, en général, le lieu des rebroussemcnts des courbes intégrales, et n'est pas, à proprement parler, une courbe enveloppe, ainsi que nous l'avons déjà vu précédemment dans les équations différentielles algébriques (p. 391), et qu'on le démontre absolument de la mémo manière pour les autres équations. D'autre part, il va de soi que l'on déduit des équations (25) une courbe enveloppe proprement dite si les coefficients de f= o sont de nature générale ( * ). Nous pouvons exprimer ce fait dans la proposition suivante :

Les constantes, dans une équation différentielle du premier ordre, sont assujetties à satisfaire à des conditions particulières y si les courbes intégrales doivent avoir une courbe enveloppe proprement dite; dans le cas contraire, il existe entre les constantes de l'équation intégrale des relations telles qu'à la place de cette courbe se présente un lieu de points de rebroussement. La question de savoir lequel des deux cas se présente en général dépend de la question de savoir si Ton suppose que l'équation différentielle ou l'équation intégrale soit donnée comme générale (').

Il nous reste à indiquer les conditions moyennant lesquelles on obtient une courbe enveloppe proprement dite. Notre raisonnement précédent, qui nous a conduits au lieu de rebroussements

(*) II peut naturel Icmontsc présenter dans des cas particuliers des exceptions d'une autre espèce. Ainsi, par exemple, de la courbe déduite de (a5) se séparera le lieu des points doubles des courbcsy=o, ainsi qu'il a été observe, lorsqu'il se rencontrera un lieu de cette nature; il se pourrait aussi que la courbe fût absorbée tout entière par un lieu semblable, et alors il n'y a pins d'enveloppe. Un tel lieu de points doubles n'a d'ailleurs plus de rapport avec le lieu des rebroussemcnts, car pour an point du premier deux des rayons homologues de coïncidence ne se confondent nulle part.

(') Le fait qu'un lieu de rebroussement se présente lorsqu'il n'existe pas de couri>es enveloppes proprement dites a déjà été démontré par De Morgan : On some points ofthe calculus ( Transactions of the Cambridge Philosophical Society, Vol. IX, Part II).

Lk.6 CO.N.MAb». ^-'7

F = o ne devient inexact que si la direction d'avancement, qui appartient à un point de F = o et qui doit être comptée double, se confond avec la tangente de F en ce point, car alors une courbe intégrale peut s'approcher de ce point et s*en éloigner de nouveau sans franchir la courbe F et sans pourtant former un rebroussement précisément, parce qu'elle touche la courbe F au point dont il s'agit; la courbe $ = o enveloppée par les droites des éléments principaux comptant double (dont les points sont situés sur F = o) doit, par conséquent, se confondre avec F = o. Mais la condition du contact proprement dit est réciproque par rapport à elle-même; la même courbe F sera donc nécessairement aussi enveloppée par les droites qui sont, en général, les tangentes d'inflexion des courbes intégrales (tangentes de F'=<)), c'est-à-dire qui, complétées par un point comptant double, forment un élément principal comptant double de l'équation différentielle; et enfin le lieu $'= o de ces derniers points sera identique à F = o.

Si donc une solution singulière (une courbe enveloppe proprement dite) doit se produire, il faut que le lieu des points de rebroussement des courbes intégrales (F = o), ou une partie de ce lieu, se confonde avec le lieu des tangentes d'inflexion de cas courbes (F'= o), ou av^ec une partie de ce dernier. Avec l'enveloppe se confondent alors le lieu des points d'inflexion et l'enveloppe des tangentes d'inflexion, ou du moins des parties de cette courbe.

La formation des équations F = o, F'= o peut s'eflectuer de la manière décrite précédemment, car les règles qui v sont relatives sont applicables aussi bien aux courbes transcendantes qu'aux courbes algébriques. On peut alors reconnaître immédiatement sur ces équations s'il existe une solution singulière et indiquer cette dernière ; F doit précisément renfermer un facteur (/ni, repré sente en coordonnées-lignes, est précisément identique à un facteur de F'. Des facteurs linéaires de F et F', s'il s'en présente, exigent seuls des études spéciales, parce qu'ils ne sont représentables que dans un seul système de coordonnées. Dans ce qui précède, sont renfermés les principes d'après lesquels on tranchera de la manière la plus avantageuse ce genre de questions.

Nous observerons encore seulement que, dans des cas particuliers, les courbes intégrales peuvent être liées à la courbe F = o

d'une l'açon encore plus étroite. Si, par exemple, les courbes intégrales se composent des cercles de courbure d'une courbe plane, cette dernière est une enveloppe d'osculation; elle est en même temps touchée et traversée par les courbes intégrales. Ou encore, si les courbes intégrales appartiennent à un réseau

A-hBX^-+-CÀ^=:o,

la jacobienne du réseau est non le lieu des rebrou ssemenls des courbes intégrales, mais le lieu de leurs points de contact avec elles-mêmes, sans cependant être une courbe enveloppe (t. II, p. 97). Pour finir, nous éclaircirons ces explications par une série d* exemples (* ).

I. Soit donnée l'équation différentielle ( 26 ) xdf = j'flr log r,

ou, en coordonnées homogènes,

(^7) -i i +iog--? = o.

Ici, évidemment, le point oTi = o, a:2 = X3, c'est-à-dire x = o, -)=!, est commun à toutes les courbes intégrales (lesquelles sont représentées par j^' = e^' (*). Comme les 14/ entrent linéairement, il n'y a pas de lieu de rebroussemcnts. Pour obtenir l'enveloppe des tangentes d'inflexion F'= o, il faut représenter Téquation ponctuelle (27) en coordonnées-lignes v', c'est-à-dire éliminer p et v/ entre les équations

f //j JC^ Ux I I

et entre (27). Cela donne

De là prend naissance F' pour m = ^' ; on a donc (29) F' =7/5-*- If, = 0

(*) On trouve d'autres exemples dans DARBorx, loc. cit.

(') Sur l'intégrale particulière.;' = o de celte équation, vuir Booi.e, op. cit. {Su/f jtlementarj' vo/umCf p. i4 et 17).

LES C0X5EXBS. '171)

pour la courbe cherchée. Celle dernière se confond avec le point commun des courbes intégrales et donne une solution singulière. En effet, on ne peut pas déduire l'équation (29), par une valeur particulière de C, de l'équation des courbes intégrales en coordonnées-lignes

V = log(-I ^) CÎ^ 4-1 = 0;

cette équation s'obtient, au contraire, par élimination de C entre

d^ W=zo et -^ = o