II. L'équation différentielle

a l'intégrale générale

et, par suite ^ la solution singulière (3i) 4^'*^* — J*^ {inx — j*)[iia.r -\-j*] =0.

De (3o) nous déduisons le connexe

a*i/Ja:,x, — x* tt3«i= o.

La forme F lire donc son origine de

si l'on pose u = ^ ; on a donc

F = 4ttî«J — «•«1 = 0,

et l'on trouve de même

F'^ ^a^jc\j^l — tj z= o.

Les deux, dernières équations représentent en fait la nicme courbe (3i).

IIL Les courbes intégrales de l'équation différentielle

(*] ScHLÔMiLCO, Compendium der hàheren Analysis, 3* éd., t. I, p. 609.

\6o lUMfc m. ^ CUAPITIIK II.

l'ornienl un système de courbes du troisième ordre à rebit)ussements

Les rebroussements occupent la ligne 0:3=0. Nous obtenons le

connexe

«J JT, — «Ja*3= o.

La courbe F, c'est-à-dire le lieu des points pour lesquels deux valeurs de Ui l U2 se confondent, se compose de X8=o, le lieu des rebroussements, et de .r2=:o, tangente d'inflexion fixe ; le point de rencontre des deux lignes est le point d'inflexion commun; il ne représente pas de solution singulière, parce qu'il lui correspond une seule direction spéciale d'avancement.