CHAPITRE PREMIER

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE ET SA LIAISON AVEC LA THÉORIE DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

I. — - Les transformations nnidéterminatives d'une courbe algébrique.

Dans les transformations appelées transformations Cremona (t. II, p. 192), nous avons appris à connaître un moyen d'établir par une transformation non linéaire une relation entre deux plans telle que, sauf en certains points exceptionnels, à tout point de l'un de ces plans correspondît un point unique de l'autre, et réciproquement. D'autre part, nous avons reconnu, sur l'exemple de la relation entre la hessienne et la steinérienne d'une courbe quelconque, la possibilité de rapporter unidéterminativement deux courbes particulières l'une à l'autre sans que cette relation soit unidélerminative pour tout le plan. L'étude de ce genre de transformations d'une courbe algébrique particulière va d'abord nous occuper maintenant. Nous serons naturellement conduits à

Clbbsch. — Géométrie, III. I

faire des applications variées du résultat de nos recherches à des points déjà abordés précédemment, ainsi qu'à compléter souvent nos recherches antérieures relatives à la Géométrie sur une courbe. Nous insisterons spécialement sur les diverses démonstrations de la conservation du genre dans ces transformations uni- ■déterminatives.

Supposons qu'une transformation

où les fonctions (fi sont des fonctions homogènes du même ordre ^^y*fJ^O^^ change une courbe/(a:) = o en une autre F(j^) = o. Si le fait doit se produire par une transformation unidéterminative réversible, on doit pouvoir, en combinant les équations (i) avec F(y) = o, revenir à l'équation f= o, et, dans le cours du procédé éliminatoire nécessaire à cet objet, trouver que les j^ sont proportionnels à des fonctions entières et homogènes des jc, en sorte que

(2) ;*ri=*,(.r), pji=*,(x), pj3=*5(.r).

L'équation F = o est alors le résultat de l'élimination des grandeurs |ui, Xi, j:2j -^'3 entre ces équations (2) et entre l'équation f{x) = o, et, si inversement on effectue la substitution (2) dans F, F(^) devra, à un facteur près, se changer en/(a:), c'est-à-dire que l'on aura

V désignant l'ordre de F. Ce dernier nombre peut se déterminer très simplement. Aux points d'intersection d'une courbe du réseau

(4) Mj*, -h «,*,-+- «5*j=o

avec /= o qui ne sont pas communs à toutes les courbes du réseau correspondent, en effet, les points de rencontre de la droite

avec F(/) = o. Or, si le nombre des premiers (lequel dépend uniquement des éléments donnés) est égal à v, le nombre des derniers sera précisément le même, en vertu du caractère unidéterminatif de notre transformation : Le nombre des points d'inter-

LA GÉOMÉTRIE SUR C3fE COCRBS ALGÉBRIQUE. 3

section mobiles des courbes du réseau (4) a^ecf[x) = o dctcr^ mine donc l'ordre de la courbe F('>^) = o.

On peut imaginer que la transformation ainsi établie, et à détermination unique pour les points dey, est réalisée géométriquement d'une manière semblable à ce qui se passe pour les transformations Cremona. Nous nous figurerons d'abord le plan entier E^des points x comme transformé par le moyen des équations (2) en un plan E^ des points r« Alors, à chaque point de E^ correspond évidemment un point de E-^., et, réciproquement, à tout point de E^ que nous supposerons déterminé comme point de rencontre de deux lignes i^^= o, çVj= o correspondent sur E^ les s^ points d'intersection des deux courbes

<'i *! -4- fj *, + P3 *j =r: o et «'1 *i -h »'î *j + «'3 ♦a = o>

s désignant l'ordre des courbes <!>/= o. 11 peut arriver en particulier que toutes les courbes du réseau (4) aient quelques points communs; ces derniers absorberont une certaine quantité des s^ points d'intersection ci-dessus, et l'on doit (comme dans les transformations Cremona) ne faire correspondre que les autres intersections, c'est-à-dire les intersections mobiles des deux courbes 2^','0/:= o, 2%v/<I>/= o, au point de rencontre des droites 1^^^= o et w^= o. Si le nombre de ces intersections mobiles est égal à l'unité, on a une transformation Cremona. Actuellement les points communs des courbes 4> interviennent de nouveau, ce qui a à peine besoin de nouvelles explications, comme points fondamentaux pour la transformation [voir t. Il, p. 190), et à chaque point de cette espèce correspond sur E^ une courbe fondamentale du genre zéro; cette dernière est du ri*"»« ordre si le point fondamental de E;r auquel elle se rapporte est un point multiple d'ordre /• pour chacune des courbes 4>.

A une courbe quelconque /*= o du /i^^"« ordre sur E^: correspond sur Ejr une courbe dont l'équation s'obtient par l'élimination des Xi et de la quantité \k entre les équations (2) et entre f=3. o; mais de cette courbe se séparera i fois une courbe fondamentale d'ordre h ^îf= o passe i fois par un point fondamental d'ordre h sur E^. Si à l'inverse un point parcourt sur E^ une courbe F(j^) = o, à chaque point de cette courbe F correspondent (3 points sur Ex, j3 étant le nombre des points d'intersection mobiles de

4 TOXE 111. — OIVPITBB 1.

deux courbes du réseau (4). et cette réunion dejS points parcourt Ja courbe ;r = o, qui sur E^ répond à la courbe F. Mais, si F(j-) = o est précisément la courbe qui provient, suivant la manière indiquée, d'une courbe yi[x) = o, la courbe yj^x) = o qui répond à ¥(j) devra aussi réciproquement ramener kf\^jc) = o, c'est-à-dire que ^ devra renfermer un facteur y*; or ce fait a pour nous une importance particulière.

Le point^, homologue de x, a été déterminé comme sommetdu faisceau de rayons qui correspond sur E^ au faisceau de courbes 4> passant par x. On reconnaît donc immédiatement, d'après ce qui précède, que la transformation d'une courbe J\x) = o ne peut être une transformation à détermination unique que si toutes les courbes du réseau ( \ ) qui passent par un point quelconque de f ne se coupent plus ailleurs sur f {^ * ), excepté aux points que toutes les courbes du réseau ont en commun aL\ecf. Il est d'ailleurs évident que le déterminant fonctionnel des 4>| ne doit pas s'évanouir identiquement, car autrement les courbes ne formeraient pas, en général, un réseau (-). Donc, tandis qu'un point de base d'un faisceau provenant du réseau parcourt la courbe y, les autres points de base mobiles de ce faisceau décrivent une autre courbe, laquelle, comme on le voit immédiatement, est représentée par l'annulation de l'expression désignée dans (3) par M.

Il peut arriver en particulier que toutes les courbes du faisceau en question se touchent en x (cas où une de ces courbes a en a: un point double); alors, en vertu de propositions précédentes, X est situé sur la jacobienne du réseau (t. II, p. 102). En même temps aussi, un des autres points de base du faisceau qui sont placés sur M = o se rapproche infiniment de x, c'est-à-dire que la courbe M = o passe par toutes les intersections de f ^= o avec la jacobienne du réseau (4), théorème qui sera important pour nous plus tard. Nous établirons encore immédiatement ici quelques propositions utiles également pour ce qui suivra. Il résulte de (3)

(*] Cela arrive, par exemple, toujours si les trois courbes ^j= o sont des courbes adjointes d'ordre n — 3 pour une courbe hjperelliptique du »**"• ordre; on ne peut donc, pour cette dernière, faire usage de courbes de l'espèce en question pour une transformation unidêterminative. Voir les deux Sections sulTantes.

(*) Voir la première note de la page 97, t. II.

LA GÉOMÉTRIE BOH U^tB COCRBB ALGÉBRIQUE. 5

que M = o est de l'ordre vs — n, v désignant encore Tordre de F, s celui des fonctions 0|. De plus, le premier membre de (3) s'annule au degré vr de multiplicité pour un point commun 7-*^*^ des 4>/ et la même chose a nécessairement lieu pour le second membre. Si donc ce point est multiple d'ordre i de f^ on reconnaît que M = o a, en tout point multiple d'ordre i pour f et multiple d'ordre r pour chacune des courbes 4>|, un point multiple d'ordre vr — I.

La courbe M =: o présente également de l'importance pour la détermination des points multiples de F(j^) = o. En premier lieu, on aperçoit immédiatement, par ce qui a été dit à propos des transformations Cremona, que tout point multiple de^non situé en un point fondamental du plan E^ donne lieu à un point multiple de même sorte de F, et de plus que tout point i*p*® de y situé en un point fondamental de E^ et à branches ayant un cours séparé se trouve résolu en i points simples de F. Si le point fondamental en question sur Ejc est du i'*"* ordre, ces i points * simples de F sont les points de rencontre avec F de la courbe fondamentale correspondante du 7*^"« ordre. Cette courbe fondamentale rencontre encore ailleurs F en vr — i points répondant au point multiple d'ordre vr — i que M = o possède au susdit point fondamental du r**"* ordre, car sur E^^ l'image de la courbe F n'est pas donnée par^* seulement, mais par/" réuni à M. Nous trouverons au surplus incessamment toutes ces considérations établies par voie purement algébrique. Maintenant il peut aussi se produire sur F de nouveaux points doubles à chacun desquels répondent deux points séparés sur y, et, pour préciser, le fait arrivera si les courbes 4> qui passent par un point x de y (caractérisé par cette circonstance) se rencontrent ellesmêmes en un second point de y, c'est-à-dire si un second point de base du faisceau dont l'un des points de base a été supposé mobile sur /"est également situé sur y, ce qui se produit précisément aux points d'intersection dey avec le lieu des autres points de base, c'est-à-dire avec M. Parmi ces intersections figurent également, ainsi que nous venons de le montrer, les intersections de la jacobienne du réseau des 0 dans lesquelles deux points de base du réseau sont voisins l'un de l'autre, sans que tous deux soient exactement situés sur y; ces points ne donnent pas, par suite, lieu

TO»E III. — aiAMTIII-: I.

à des points doubles de F ('). Nous avons, en conséquence, ce théorème :

Les points d' intersection rfe M = o a\^ec f= o qui ne sont pas situés en des points communs des courbes du réseau {^) et qui ne tombent pas aux points d'intersection de la jacobienne de ce réseau avec J sont associés par couples de telle manière que les points de chaque couple se réunissent, lors de la transforma» tion (2), en un point double de la nouvelle courbe F = o.

Il ne nous reste plus qu^à déterminer les nombres relatifs aux divers systèmes de points d'intersection désignés ici pour avoir immédiatement tous les moyens auxiliaires nécessaires à une démonstration directe du théorème du genre, telle que nous la donnerons plus tard. Nous reprendrons encore alors algébriquement le théorème énoncé en dernier lieu.

On rencontre de même sur le plan Ej des points fondamentaux et sur Ex des courbes fondamentales si Ton part des équations (1) ; mais celles-ci ne sont pas en relation par elles-mêmes avec les figures fondamentales qui se présentent dans Téquation (2) et dont nous avons parlé récemment, mais seulement eu égard à la courbey= o, car c'est seulement en vertu de f= o que Ton peut obtenir au moyen des équations (2) les j' en fonction rationnelle des X, à moins que Ton n'ait affaire à une transformation Creniona. La déduction effective des équations (i) de (a), aiiisi que celle de V équation F = o def= o, peut être réalisée de la manière suivante. On éliminera d'abord X3 de chacune des équations (2) au moyen def= 05 on obtient ainsi trois équations de la forme (1 = 1, 2, 3)

(5) •^'z (.rj, A-„ pji, prj» f*J*8 ) = o.

Ensuite on éliminera X2 successivement entre i|/, = o, î|;8=o et ïp2= o, ^1*3 = o; cela donne deux équations de la forme

(*) Cela u'arriveruit que si la ligne joi(rnant les deux points de base voisins, c'est-àdire la tangente commune des courbes ^ qui s'y touchent, devait coïncider avec la tangente de/; 01 reconnaît aisément, par la suite des développements du texte, qu'il se produirait alors nur F un point de rebroussement.

LA GÉOMÉTRIE SOU ONK COURBE ALUÉBRIQrE. J

et rélimi nation de Xy entre ces dernières donne Téquation cherchée F (7^) =o, multipliée toutefois d'abord par un facteur superflu, car par une supputation directe on trouverait (t. II, p. 12 et suiv.) l'ordre v de F phis grand qu'il ne peut être d'après les indications suivantes. Actuellement, nous pouvons considérer les équations (6) comme des équations en x^ pour variable unique et dont le résultant F est nul, avant conséquemment une racine commune. Or on peut calculer rationnellement celte dernière de la manière connue ( * ) sous la forme

où fXi est une fonction des jv et de u. On peut trouver semblablemenl x^ et x^ >

f*f^î = eXt [yu r«t rs )i [f-z^^ — ^j (rn ri» r» ).

11 ne reste plus qu'à disposer ces équations, en ajoutant des facteurs convenables ou en chassant les facteurs étrangers, de telle manière que dans les premiers membres figure toujours, au lieu des quantités /x/, le même facteur de proportionnalité; les équations (1) se trouvent par là établies d'une manière complète.

Dans la théorie des transformations unidéterminatives, une importance toute particulière s'attache au théorème établi par Riemann et dont nous avons plusieurs fois parlé et fait usage, théorème relatif à la conservation du genre d'une courbe dans toutes les transformations unidéterminatiy^es de cette dernière (t. II, p. 86). Nous en avons déjà donné précédemment une démonstration en établissant, d'une manière générale, d'après la marche indiquée par Zeuthen, une relatjon entre les genres de deux courbes présentant entre elles une liaison à détermination multiple (t. II, p. 168). Mais nous avons alors supposé que les deux courbes avaient au plus des points doubles ou cuspidaux ordinaires, tandis que notre proposition est aussi applicable aux courbes à singularités quelconques. L'importance du théorème doit au surplus faire désirer une démonstration directe. D'autres démonstrations, en grand nombre, ont été données successivement;

(') Voir, par exemple, les Leçons d Algèbre supérieure de Salmoïi, page 64 de la traduction française par Bazix, ou page 84 de la a* édition originale.

toutefois, nous n'en rapporterons que deux, et nous nous bornerons à renvo^^er brièvement aux autres à la fin de cette Section. Pour plus de simplicité, nous supposerons encore, pour commencer, que la courbe y = o ait rf points doubles et /• points de rebroussement, mais pas d'autres singularités. Les courbes 0, = o, cl>2= o, 4>3= o seront supposées de l'ordre ^, et nous admettrons, pour raison de généralité, que toutes trois ont une série de points fixes en commun avec la courbe j=^ o. Désignons par a 4- t le nombre de ces points communs, a élant le nombre de ceux qui sont des points simples dey*=o, t le nombre de ceux qui sont des points doubles ou cuspidaux de /'= o. Le nombre des points d'intersection mobiles d'une courbe du réseau (4) avec f\ et par conséquent, d'après ce qui précède (p. iJ), l'ordre de F, est alors

V Z=. nS — (T — ^ T,

n désignant l'ordre de/= 6. Or, parmi les courbes du réseau (4) qui passent par un point quelconque x sont comprises ii[v-\-p — 1) courbes rencontrant y= o en deux points voisins, savoir les 2 (v H- /; — i) — r courbes tangentes (* ) et les ;• courbes du faisceau déterminé par le point x qui passent par les points de rebroussement. Mais à deux points voisins sur y correspondent évidemment deux points voisins sur F. Aux ^[v -h p — 1) courbes précitées du faisceau correspondent donc sur le plan E^- autant de droites du faisceau de rayons passant par j^, droites rencontrant F en deux points voisins si y répond au point x. D'autre part, le nombre de ces droites est donné par le nombre des tangentes menées dej^' à F et par le nombre des lignes joignant r aux points de rebroussement de F, c'est-à-dire qu'il est égal à 2(v 4- r — i), 7î désignant le genre de F. Mais de l'égalité des deux nombres résulte en fait

ce qu'il fallait démontrer [^).

(') f^oir t. Il, p. 94, 171 et 187. On peut aisément, d'après la note de la page 171, forraer une courbe qui truversc ces points de contact sur/*.

(*) Dans cette démonstration on regarde comme connue la proposition d'après laquelle, pour le nombre des courbes tan{;ente8du réseau, on ne doit prendre en considération que les intersections mobiles des ^^ avec f Nous ne démontrerons ce théo*

LA GÉOMÉTRIE SUR C!«B COCRBB ALCÉDRIQCB. 9

Nous donnerons ensuite une démonstration algébrique di^ recte [*) du théorème de Rîemann, en déterminant d'une façon précise le nombre des points multiples de la courbe F et en calculant ainsi le genre de cette dernière. Les moyens nécessaires pour réaliser cette démonstration ont été, au fond, déjà fournis parles considérations géométriques ci-dessus (p. ai et suiv.), mais nous en reprendrons encore une fois partiellement le développement.

En même temps, nous généraliserons les hypothèses faites sur la nature de la courbe/", laquelle pourra posséder a/ points multiples d'ordre i, tous, du reste, à langentes séparées; il pourra y avoir aussi r points de rebroussement. Le genre de^sera, par définition (t. II, p. i!i5 et suiv.), le nombre

Voyons d'abord comment les points singuliers def= o se comportent dans la transformation. En posanty= rtj, on a, indépendamment des z, pour un point de /multiple d'ordre p,

(8) a"^-f^' ai-' = o,

et les p directions d'avancement partant de .r sont déterminées par les équations

(9) fl«-P<7j^j.=: o, A-,f/,r, -f- X,«f.rj -h A^(ix^=o,

si A'i JTi -+- Âa^a-h /3X3= I désigne, suivant ce que nous connais-

rcroe que plus lard, à Taide de celui sur la conservation du genre, en prouvant que pour le nombre des coïncidences d'une correspondance il faut, d'une manière générale, avoir égard uniquement aux intersections mobiles. On s'assure facilement aussi de l'cxaclitudc de cette affirmation dans le cas présent, car O- II, p. i65) les points de contact des courbes ^ qui passent par x sont traversés par la courbe

les déterminants fonctionnels étant supposés écrits par rapport aux variables^-, ou bien, par exemple, si x est situé sur *, = o ot 0,= o, par (/^^O,) = o {voir t. II, p. 171, note). Celle courbe coupe en effet /eu 2(v-h/» — i) points k employer, ainsi qu'on le reconnaît d'après les propositions de la page loi, t. II.

(*) Cette démonstration se rattache à celle donnée par Clebsco et Gordax, Théorie der AbeUchen Functionen^ Leipzig, 1866, p. 54 et suiv.; c'est là que les transformations à détermination unique étudiées par Ricmann ont été pour la première fuis traitées géométriquement.

lO TOME III. — CBAriTAB I.

sons, ridentîté qui existe entre les valeurs absolues des :r/(t. II,

Actuellement, si Ton admet que les courbes 4>/ = o ne passent pas toutes par x, et que, par suite, yi n'est pas nul pour le point Xy au point x correspond sur F, en vertu de (2), un point complètement déterminé j', point qui est précisément multiple d'ordre p. Cette dernière conséquence résulte de ce que, en vertu des équations découlant de (2), savoir

(10) iL,cljri-\'yi.dii. = -^ dx^^ -^---^•,H- -r— rAr„

à tout système de valeurs des dxi répond un système de valeurs complètement déterminé des ^z, tant que fx n'est pas nul, et le fait a lieu indépendamment de la question de savoir si les valeurs des dxi qui se tirent de (9) sont différentes ou non les unes des autres, et dans le cas même où deux branches de^ tangentes en x se confondraient encore dans les dérivées d*ordre supérieur. Nous avons, en conséquence, ce théorème [voir t. II, p. 207 et suiv.) :

u4 un point singulier de f par lequel ne passent pas à la fois toutes les courbes employées pour la transformation correspond sur F un point singulier de même nature.

Admettons maintenant que x soit im point fondamental de la transformation, c'est-à-dire que toutes les courbes du réseau (4) passent par x; nous aurons simultanément

Alors, dans les premiers membres des équations (10), il ne reste plus que les expressions j/Jjtx, d^ étant différent de zéro, et, par conséquent, à chaque direction d'avancement dx sur y répond un point j- sur F. Donc, à un point multiple d'ordre p, à tangentes séparées sur y, correspondent p points différents sur F; si en particulier X est un point de rebroussement def deux points voisins lui correspondront sur F (*). Les choses se passent tout à fait de

(*) Voir aussi la note de la pa^e 6.