I.A UÉOIIÉTBIS SCB DXE COCRBB ALGÈBRIQQB. II
méine si les courbes 4>/ ont toutes à la fois, en un point multiple d'ordre p pour y, un point multiple d'ordre x, par exemple. Si Ton suppose d'abord -a = t., les seconds membres des équations (lo) s^annulent et il vient r/|x = o. Par la differentiation de ces équations, nous trouvons ensuite, en posant 4>/ = aj/?*,
c'est-à-dire qu'à chaque direction d'avancement dx surf correspond sur F un point y. Dans le cas de x = 3, il vient aussi, d'après (i i), rf^fx = o, et nous obtenons, en difTérentiant encore une fois,
.;ii)* r/ûPf* = *(^~i)(^~2)a;^>'-'a'^i, ....
On reconnaît ainsi, en concluant immédiatement de y, = 'k à X = A -f- I, que notre affirmation est exacte. Donc :
Si les courbes 4>/ == o ont toutes ensemble en un point de f^ multiple d'ordre p et à tangentes séparées, un point simple ou multiple, à ce dernier correspondent, sur F = o, p points séparés {(pu sont les points de rencontre avec F de la courbe fondamentale qui répond sur E^ au point multiple de f sur Ejp) (p. 5).
Nous appliquerons, ainsi qu*il suit, ce résultat au calcul du genre de F. Supposons que parmi les a/ points ï*p'^* de y il y en ait aj par lesquels les courbes 4> ne passent pas et a\ par lesquels ces courbes passent une ou plusieurs fois, en sorte que
Dans le même sens, les r points de rebroussement seront supposés se partager en deux groupes respectivement de z*' et ;•" points, ces derniers étant des points multiples des 4> (voir p. i3).
Supposons maintenant que la courbe F ait /3/ points multiples d'ordre i. Parmi eux figurent, d'après ce qui précède, «J points provenant des points multiples de f; les autres |3| — a) restants proviennent du rapprochement de points qui étaient séparés surf Mais, en général, il ne se produira à nouveau sur Y que des points doubles [ou cuspidaux) simples, en sorte que, si y désigne leur
la TOMB III. — CBAPITHB I.
nombre, on aura les relations suivantes :
(ïS) 7=:f3g—a;, 133= «5, ?k=<xi,
Si, en effet, p points séparés surydoivent se réunir pour former un point multiple d'ordre p sur F, et que m^.= o, v^ = o soient deux rayons menés par ce dernier, chaque rayon z/^-h X(;^= o ne peut plus rencontrer la courbe qu'en v — p points mobiles ; par conséquent, les courbes du faisceau
ne peuvent plus, elles aussi, rencontrer la courbe y = o qu'en v — p points mobiles. Donc, tandis qu'en général une courbe du réseau (4) est déterminée par deux points, il faudrait alors que sury= o on pût choisir p points tels que par eux passât un nombre infini de courbes du réseau. Il faudrait donc qu'il existât entre les courbes du réseau et la courbe y = o des relations particulières, car, dans un système doublement infini de courbes, ce qu'on peut demander au maximum, c'est, sur une série simplement infinie de points, d'en choisir deux tels que par eux passent un nombre infini de courbes du système [voir aussi t. II, p. i45). Nous supposerons donc d'abord que les équations (i3) existent pour notre transformation. Le genre deF = o est alors
(«4) „.-=i(v-.)(v-«)-iy«W(/-,)-,'-y.
Il noiis reste à déterminer dans cette foi^mide les nombres v et y. Pour simplifier les développements qui y conduisent, remarquons que nous pouvons toujours supposer les courbes $/ telles que la multiplicité de leurs points communs situés en un point multiple d'ordre i pour y = o soit la même pour toutes les courbes du réseau en tous (*) les points i^P^^' de J ■= o. L'exactitude de nos considérations ne serait pas, en effet, détruite par une transformation linéaire des j^; il ne s'agit donc pour notre objet que des points des courbes 4>/ qui sont également communs à toutes les
(*) Cette dernière convention ne fera qu'éviter dans ce qui suit l'écriture d'une double somme, tandis que la première est d'une importance capitale.
LA CÉOHÉTBIE 80A C2tB COUBBE ALGÉBRIQUE. l3
courbes du réseau (4). Si donc, par exemple, 4>3= o devait avoir, en un point r^^^'' de <!>, = o, <I>2= o un point multiple d'ordre p, p étant plus grand que r, il suffirait de compter ce point simplement comme point multiple d'ordre r. Si d'ailleurs les courbes 4>/= o passent p fois par un point i*p'" de f= o, p' fois par un autre, •..,p^*^ fois par le dernier (avec la condition |0<^jo'<[...<^p^*^), nous pouvons déterminer une courbe Y = o telle que les courbes 4>|y = o, 4>2Y= o, <I>jY=o aient en tout point de^, multiple d'ordre i, un point multiple d'ordre p^^K Or, si nous ajoutons le facteur en question dans les seconds membres des équations (2), le résultat de la transformation ne sera pas modifié, l'opération n'ayant d'influence que sur le facteur M. Mais nous pouvons toujours imaginer que le facteur V est déjà compris dans les 0/; noire proposition est ainsi démontrée exacte. Nous pouvons toujours admettre que les courbes ^i aient en chacun des a] points multiples d'ordre i de f un point multiple d'ordre ri et en chacun des /•" points cuspidaux defun point multiple d'ordre t et qu'elles aient en outre q intersections simples en a points simples de f. Alors le nombre des points d'intersection mobiles des ^i avec J\ c'est-à-dire l'ordre de F, est
f i5) v=: ns — 0- — ^'A^ii — 2 r/' ( * )-
Pour déterminer enfin le nombre y qui figure dans (i4)î nous avons à chercher une courbe qui découpe sur f tous les couples de points donnant lieu à des points doubles de F. Or une courbe de cette espèce nous est fournie, d'après ce qui précède, par M = o
(*) Pour /= fl J, .?", = i/^, *i = ^!?~* ^1» ^*"" " = m, s =: m — i , a,- = aj, «J = o, /= 0, r =. r^y ^"1= ' — '?» = '■> ' = I (cette dernière égalité parce que les courbes ♦ touchent la courbe y = o au point de rcbroussement), on déduit à nouveau do là la classe de la courbe primitive
y =m(in — 1) — 2a^/(< — i) — 3r.
D'uu autre côté, si l'on prend /= (a*c)"aJ-*^^~*<;J-* et encore ♦=aj»-*<i,, F = o donne (t. U, p. 83) l'équation de la steinérienno en coordonnées-lignes, et parla formule (i5) on trouve pour la classe de cette dernière, en observant que dans le cas actuel 9 = 2 ( parce que la hessicnue a, comme on sait, un point triple en chaque point de rebroussement de a^ = 0),
l4 TOME III. ^ CUAPITAE I.
(p. 6 et suiv.); on peut aussi le reconnaître ainsi qu'il suit. Nous demandons combien de fois il peut arriver, en général, que les
dérivéçs — r s'évanouissent simultanément. Or on a, d'après
(3) et (2),
'i Zj
f*'-^7-^= y -^i— ir-^y-'-iz-^
car de (2) résulte, par exemple, pour 1 = 1,
àfx dj\ dj\
Si donc nous posons — — ■ = Fi(4>), il vient
^D'après cela, les dérivées ^i{j) s'évanouissent toujours en même temps que les expressions F/(4>), à moins que toutes les quantités 4>/ (et par suite jix également) ne soient nulles ensemble. Dans ce dernier cas, les expressions F|(4>^ s'évanouissent dans (16) à l'ordre /^(v — i) pour un point multiple d'ordre />, et il en est de même de /ix""* ; si donc nous connaissons les points x de^pour lesquels les F|($) s'annulent, nous n'avons à en séparer que les points communs aux 4>/; les autres points restants déterminent des points x tels qu'ils se réunissent deux à deux en un point double de F.
En différentiant l'équation (3) suivant les quantités xi, on en tire les trois équations
Premièrement donc les F/(<I>) sont toujours nuls si les -^ s'annulent, à moins que le déterminant fonctionnel des 4>/, lequel sera désigné par (<1>4,<I>2» ^s)» ne s'évanouisse; mais alors x est un point multiple de y, et nous avons déjà considéré les cas de ce genre.
Secondement, les F/(4>) sont toujours nuls si M s'annule, en exceptant de nouveau les points x de f pour lesquels le détermi-
LA GÉOMÉTRIE 8CII U!<B COCRBB ALGÉOBIQCB. l5
nant fonctionnel (4>|, <I>2> ^a) s'évanouît encore, et, en fait, la courbe M = o passe bien par les points d'intersection de /*= o et de (4>i,4>2,4>3) = o (p. 4)- Mais M est de Tordre V5 — /z, (4>|, <I>2, 4>s) de Tordre 3^ — 3; le nombre des points d'intersection utilisables pour nous de M avec y serait donc à première vue égal à
;i8) n[vs — n-^ 3a.-I-3).
De ce nombre nous avons, d'après (i6), à retrancher les points situés aux points communs des courbes 4>|. Or, M a en tout point cun point multiple d'ordre v — i (p. 5) et en chacun des a] points jipi» j^y yjj point multiple d'ordre vri — i. Par conséquent, aux points communs des 4> et de y sont situées
P=:(v — i)<r-h 2a;/(vr,-—/) -^ ^r" [vt — -i]
intersections de M et de f. Mais aux mêmes points se trouvent
aussi
Q = 2.(7 -h 2aî/(3r/— i) + 2/^(3/ — l)
intersections de y et de (^i,^2>^8)» car en un point commun r'P**^des 0 la jacobienne a un point multiple d'ordre 3/7 — i (t. II, p. io4). Ces dernières sont déjà comprises parmi les 72 (35 — 3) points qui ont été considérés dans le nombre (i8). Nous avons donc à retrancher en tout de (i8) le nombre
P — Q={v-.3)<r-+-2a';/[(v— 3)r/— t-Mj-ha/^'lrv— 3/ — i).
Le nombre des points d'intersection de M et dey utilisables pour nous est donc finalement égal à (*)
n[vj~/? — 35-4-3) — (v — 3)((r-h2r"/) — 2:a-f[(v — 3)r/— /-f-l] + 2r''
(*) ObserTons que des relations tout à fait analogues à celles qui existent entre M, (♦it *v ♦•)» / ont également lieu entre F, (♦), (•„ ♦„/),/ ou F,(*), (*„ ♦., /) ou F,( «), (*j, ♦,,/),/, car des équations (17) résultent pour/= o les relations
Nous pourrions donc, au lieu de M, prendre aussi pour base de nos considérations une des courbes Fj(^), comme l'ont fait effectivement Clebsch etGordan ( /or. ctV.). On doit utiliser alors, au lieu des propositions sur le mode d'existence de ( A,,^,, ^,) en un point commun des ^1 celles relatives au mode d'existence d'un déterminant (^fi^kt/) (t* lU p< 98 etsuiv.}. Nous apprendrons plus tard à déterminer ces points Autrement, (^of'r la Section sur les généralisations des formules de correspondance.)
l6 TOME ni. — CHAPITRE I.
OU, en vertu de ( i5^. à
Pour chacun de ces points x, il y a évanouissement non seulement des fonctions F/(<I>), mais encore des fonctions F/(j') ; deux d'entre eux donnent donc naissance à un point double ou à un point de rebroussement de F, c'est-à-dire que nous avons
Si Ton porte ce résultat dans (i4)> il vient, en vertu de (12),
izz -; (,i - i)(« - 2) - -• 2«,-/(/ - i) - r,
OU enfin 7r=/>. c. q. f. d.
Le ihéorcmc sur la conservation du genre se trouve ainsi démontré pour les suppositions que nous avons faites. Nous avons admis qu'il n'y avait pas plus de deux points séparés dey se réunissant pour former un point multiple de F, mais qu'il y avait des points séparés de F auxquels correspondait un point multiple dey*.
Or on peut aisément faire disparaître cette restriction. Si nous admettons d'abord que sur F de nouveaux points multiples prennent naissance par suite de la transformation (2), nous commencerons par remplacer cette dernière par cette autre,
les fonctions Y/ étant du même ordre que les fonctions 4>/, mais, du reste, complètement arbitraires. On peut donc ici choisir les Y/ de telle sorte que la transformation soit de nature entièrement générale, et que, par suite, la courbe F' transformée de^n'acquière à nouveau que des points doubles simples. Actuellement, si l'on prend e infiniment petit, F' sera voisine de F, et il y a une partie des nouveaux points doubles délayant, les uns par rapport aux autres, une situation telle que pour e = o ils se réunissent par groupes, de manière à former de nouveaux points doubles de F. Mais, comme notre théorème a lieu pour F' et que le genre de F concorde avec le genre de P, la proposition a lieu également pour
hk CÉOM^BIB SUB VVM COQRBB ALGAbBIOOB. 17
la transformation de F en ff et nous avons par là démontré le théorème suivant :
Si deux courbes qui possèdent des points multiples à tangentes non confondues et des points de rebroussement séparés ont entre elles une relation à détermination unique^ ces courbes appartiennent au même genre ( * ).
Une étude directe des cas où il n'est fait sur les points multiples dey= o et F = o aucune hypothèse de nature à simplifier présente quelques difficultés ; mais on peut se tirer de ces cas en définissant le genre comme nous Tavons fait plus haut, à Toccasion d'une application des transformations Cremona (^). Nous commencerons par changer comme alors, au moyen de transformations Cremona, les courbes y et F en des courbes C et G qui ne possèdent que des points multiples ordinaires et dont les genres p et TT concordent par définition avec les genres de^* et F, Si maintenant les courbes y* et F sont liées unidéterminativement Tune à l'autre, il en est de même de C et C; /?«/• conséquent, d'après ce ifui précède, p = it.
Nous passons à quelques applications des méthodes mentionnées ici.
Dans l'étude des systèmes de points sur une courbe algébrique (t. II, p. i36 et suiv. ), nous avons vu qu'il est particulièrement important de considérer les groupes de points qui sont découpés par des courbes adjointes, c'est-à-dire par des courbes qui passent i — I fois par tout point i*P** de/*, et parmi ces courbes adjointes nous avons dû signaler celles d'ordre n — 3. Au moyen des développements actuels, cette importance remarquable des courbes adjointes peut encore se reconnaître d'une autre manière.
Soit 0(j^) = o une courbe C,* adjointe à F(^), et supposons
(*) Mais, à rinverse, deux courbes de même genre ne sont pas toujours transformables unidéterminativement Tune on l'autre, et, pour qu'il eu soit ainsi, il faut l'égalité de certains nombres (appelés modules) qui correspondent aux invarianta absolus des transformations linéaires, {f^oir sur ce sujet les deux Sections suivantes.)
(*) T. II, p. Q 17. Il est à remarquer que les recherches de M. Halphen, citées p. 216, ont été publiées avec plus de détails dans les Mémoires des Sat^ants étrangers, t. XXVI. (Foir aussi du même auteur : Sur le genre des courbes algébriques. Associa-^ tion française pour l'avancement des sciences. Congrès de Nantes, 1875).
Clebsgo. -> Géométrie, III. 2
x8 TOMB III. — CBA1»ITRB 1.
que 9'(x) = o soit une courbe qui découpe sur f[x) = o les groupes de points répondant aux points d'intersection de 0 et de F en vertu de la transformation (2), et qui ne rencontre plus la courbe /qu'aux points singuliers (les circonstances de ces rencontres restant à déterminer). Alors doit exister en tous les cas une équation de la forme
Ae(*) = B:^(.r)H-c/(x).
Or, par hypothèse, 0(j^) = o passe par tous les points doubles de F; par conséquent, 0(4>) =0 passe par tous les couples de points de f dont dérivent les points doubles en question de F. Donc 6 = 0 doit passer le même nombre de fois par ces points, car, par hypothèse, S = o ne les renferme point. Nous pouvons, par suite, substituer à B la fonction précédemment désignée par M, à la condition de déterminer en môme temps, d'une .manière convenable, le mode d'existence de A, & et C aux points singuliers de F. Mais la courbe M = o passe non seulement par les couples précités et par les points singuliers de^, mais encore par les points d'intersection de/* avec la jacobienne des courbes ^; conséquemmjent, A passera également par les mêmes points. Pour cette raison, nous poserons directement A == (4>i, <I>2i^3)- Alors la multiplicité du produit A0(4>) en tout point i*p*® dey(par lequel les courbes 4> passent 7V fois) est, d'après des propositions précédentes, égale à fx/v-hS/v — i; d'autre part, la multiplicité de B( = M) est égale à v/\ — 1; l'équation précédente sera donc toujours possible, en supposant que l'on puisse attribuer à la courbe S = o en tout point i***^® de f un point multiple d'ordre (jtx — V 4- 3)/'|-+- i — I. Il s'agit donc de montrer que cette possibilité existe toujours, c'est-à-dire que l'on peut toujours déterminer une courbe ^ d'ordre convenable, suivant la manière indiquée.
Les ordres de A, B, 0 et 4>| étant connus, l'ordre x de & est facile à déterminer; on trouve
(20) X =z3s — 3^ fis — v5-4-/i=:5(fA— v-|-3)-H/i — 3.
Nous supposerons, pour plus de simplicité, i' = /■'=/''''=: o, et nous désignerons la multiplicité de & en un point i*P^' dejT par y\^ en sorte que
LA GéOMâTaiB SUK QXB COVBBE ALCÉBBIQVB. I9
Le nombre des coefficients à déterminer dans ^ sera égal à 7x(jr + 3). La courbe â doit passer par les fjLV — 2y — Haii^i — i) points qui correspondent sur f aux intersections de 0 et de F non situées aux points singuliers de F. Le nombre total des conditions données pour les coefficients de ^ est donc, en tenant compte de ce que (pour /^^v — 3) p de ces derniers points se déterminent au moyen des autres, égal, en vertu de (19) et (i5), à
fzv — 27 — luil{i — i) — ;? H- ; 2j,- [xi H- l)
— av — (v — I ) (v — 2 ) -f- /? -f- i^filrt -H l)
— ^[„S — <r — 2«>/0 — (v — l) (v — 2) -h i2j/(ji -f- l) +^.
Nous noiLS proposons maintenant de montrer que ce nombre, lorsque p. augmente, croit toujours plus lentement que le nombre ^x[x '\'i). Si nous posons en effet /:x + 1 à la place de |tz, ce dernier, d'après (20), augmente de
et le premier, d'autre part, de
t =z i.2al/-/(r,- + 2j/ -H i) -h /îf — <r — Sa^r//.
Nous pouvons, en général, supposer les courbes 4> non décomposables, car, si <1>|,4>2, 4>3 se décomposaient individuellement en facteurs, il n'en serait néanmoins pas ainsi pour une courbe quelconque du réseau des ^(*); nous avons par suite, puisqu'il existe un nombre doublement infini de courbes 4> dans le réseau, les nouvelles relations
et l'on déduit de là, par combinaison, en observant que la différence positive des deux membres de la première inégalité est plus petite que celle des deux membres de la seconde,
Par conséquent, le premier et le troisième terme de z sont sépa-
(*) Si précédemment (p. i3) nous avons aUribué occasionnellement un facteur commun à toutes les fonctions ^, ce n'était que pour simplifier et à cause du but que nous nous proposions alors.
aO TOHB III. — CnAMTRK I.
rément plus grands que le premier et le troisième terme de t, c^està-dJre que les sommes -jSaJrJ et -jSaJ/v. Mais le second terme de z est également plus grand que la somme des autres termes de t (ou égal à cette somme), c'est-à-dire qu'on a, en vertu de (20) et (21),
jft (^ — V H- 3) -H 5(1 — 3)> (ix — V -h 3) Sajrf -f- /I5 — o- — 2a-r/.
Ici, en effet, le coefficient de fi — v -f- 3 dans le premier membre est, en vertu de (22), plus grand que dans le second membre ; le terme ns se présente de la même façon dans les deux, et pour les autres termes on a à faire de nouveau usage de l'équation (22). Notre affirmation précédente est donc démontrée.
Nous montrerons encore incessamment que les conditions établies pour ^ sont toujours réalisables si /x = v — 3, et qu'elles le sont conséquemment, en vertu de la proposition que nous venons de démontrer, pour /x > V — 3. c. q. f. d.
Les cas où fi est <^v — 3 se résolvent d'après cela très facilement; il suffit de prendre z et t négatifs. Nous pouvons donc finalement énoncer le théorème suivant :
Le système des points d'intersection avec F d'une courbe 0 du ^«^'»* ordre adjointe à F devient, dans la transformation unidéterminatis^e de F enf le système des points d'intersection d'une courbe ^ adjointe de f^ courbe de l'ordre ^(/x — v-|-3)-f-'i — 3, s désignant l'ordre des coiwbes de transformation ^i dans (2), V celui de ¥^ n celui de f. Mais, parmi les points d'intersection de la courbe & avec f il y en a un plus grand nombre tombant aux points multiples def qui ne se rencontrent pas dans F qu'il ne serait nécessaire pour une courbe quelconque adjointe àj\ et, pour préciser, le nombre des intersections defet de ^ non situées aux points singuliers est égal au nombre des intersections corres* pondantes de F et de 0. On a d'ailleurs la relation
oii la fonction M est définie par (3) et les fonctions 4>i sont définies par (2).
Nous avons encore maintenant à démontrer la dernière équation pour le cas de fx^zn — 3. Parmi les 2^ — 2 points d'Inter-
LA CCOHtTKlB *C* ONE COUBDB ALCÉBIIIOCE. ai
section de la courbe 6 avec F non situés aux points singuliers de F, ^ — I sont, comme on sait (t. II, p. i4o), déterminés par les autres [p désignant encore ici le genre de F ety). Il s'agit donc, puisque l'ordre a: de ^ est actuellement égal an — 3 et que Ton trouve ^/=i — i, de montrer que par les p — i points correspondants sur y on peut toujours faire passer une courbe du (/z — 3y*n»e ordre adjointe ày, c'est-à-dire que
in[n — 3) — i^a/i (/ — i) —p -f- 1> o.
Mais cette condition est toujours remplie, car le nombre qui figure dans le premier membre devient précisément égal à zéro. Pour ^= V — 3, nous avons donc en particulier l'important théorème qui suit :
Par suite d'une transformation à délerminaUon unique qui change une courbe d'ordre n en une courbe d'ordre v, le système des points d'intersection d'une courbe du [n — S)*^"** ordre adjointe à la première se transforme dans le système des points d'intersection d'une courbe du (v — 3)**™* ordre adjointe à la seconde. Les recherches que nous ferons plus tard sur les groupes de points qui sont découpés sur une courbe d'ordre npar des courbes adjointes d'ordre n — 3 conservent donc, sans modification, leur valeur dans une transformation unidéterminative quelconque de la courbe de départ.
D'après le compte que nous venons de faire, il y a toujours, pour une courbe adjointe C„.8, ^Y,oLii{i — i) conditions données par l'assujettissement à être une courbe adjointe. Il existe donc un nombre [■^n{n — 3) — ^^«/^(i — ^) = P — i]f ois infini de courbées adjointes C|,3, en supposant que les conditions en question soient indépendantes les unes des autres. Or c'est toujours le cas, car nous sommes arrivés précédemment au même résultat par voie générale, lorsque nous avons démontré (en suivant la marche de Brill et Nôther) que le nombre des courbes Ctn^% linéairement indépendantes les unes des autres ne peut non plus jamais être plus grand que ^ (t. II, p. i46)* Si nous supposons, d'un autre côté, que le nombre p des courbes du (n — 3)**"* ordre indépendantes les unes des autres ait déjà été déterminé de cette
aa TOME III. •— COAPITRB K
manière, on en pourrait déduire une nouvelle démonstration de la conservation du nombre /?(*), en admettant que Ton ait prouvé d'une autre manière Tidentilé ( aS) pour les courbes d'ordre n — 3 ; nous, au contraire, nous avons employé le théorème dont il s'agit à prouver précisément l'identité (aS).
Remarquons enfin que ces considérations restent encore complètement vraies si la courbe primitive possède des points singuliers de nature compliquée. Cela est évident quand on définit une courbe adjointe à une telle courbe primitive f par cette propriété qu'elle doit se changer, par une transformation Cremona, en une courbe adjointe ày, cette dernière étant déduite de/'parla même transformation Cremona, et n'ayant que des points multiples ordinaires (t. II, p. 2i5). Quant aux propriétés caractéristiques d'une courbe adjointe, on peut dire, pour abréger, qu'elle doit se comporter, dans les points multiples individuels qui se réunissent pour former une singularité élevée, comme devrait le faire une courbe adjointe si les points multiples avaient une situation séparée. D'autre part, les points de ramification qui interviennent restent sans influence sur le mode d'existence d'une courbe adjointe, ainsi qu'on le sait pour le point de rebroussement. Une telle courbe possédera donc en tout point/P^*^ de^un point (y — i)*^^'^; si un point i'p**' de la courbe primitive y est réuni au premier, il s'y trouvera encore un point (i — i^pi® de la courbe adjointe, etc. Dans un point de contact de la courbe avec elle-même (lequel équivaut à deux points doubles voisins), la tangente commune, des deux branches de la courbe primitive sera nécessairement, d'après cela, tangente de la courbe adjointe; de même en un point de rebroussement de seconde espèce (équivalent à un point double et un point de rebroussement) (^), et ainsi de suite.
Les courbes adjointes étant ainsi définies, on voit immédiatement que le théorème du reste et toutes les propositions qui s y
(*) C'est là-dessus que repose la démonstration donnée dans Clebsch et Gobda?: (/oc. cit,^ % i4, p. 5o et suiv.) du théorème de Riemann dont nous nous occupons; mais la preuve de l'identité (23) donnée dans ce passage n'est pas suflisante pour tous ies cas, parce qu'il n'a pas été tenu compte des relations qui peuvent exister entre les points doubles (seuls considérés à l'endroit dont nous parlons) ainsi qu'entre les points multiples.
(*) Voir Salmom, Hlgher plane curt^es, a* édition, art. 58.
LÀ GÉOMËTaiB SUR C!(E COVBBB ÀLGÊBR1Q0B« l3
rattachent relativement aux systèmes de points conservent toute leur portée, sans aucune restriction (t. II, p. i6i et suiv. ). Un fait analogue a également lieu pour les considérations suivantes, ce que nous nous dispenserons quelquefois de rappeler.
Le résultat de ces remarques sur les courbes adjointes peut encore s'énoncer sous une forme différente et très importante pour les applications que nous pourrons avoir à en faire plus tard. Nous avons vu précédemment que Tinfluence d'un point singulier sur la classe de la courbe primitive est la même que l'influence des différents points multiples qui s'y trouvent réunis ; on doit seulement diminuer encore la classe d'une unité pour chaque point de ramification qui se présente. Actuellement, comme un point multiple d'ordre î entraîne sur la classe une réduction égale ki[i — i), et que d'ailleurs cette dernière elle-même est égale au nombre dçs points d'intersection de la courbe primitive avec une quelconque de ses premières polaires non situés aux points singuliers, nous pouvons énoncer notre détermination des courbes adjointes de la manière suivante :
Une courbe adjointe à f aura en tout point singulier P defle même nombre de points d'intersection avec f que la première polaire d'un point quelconque relativement à f^ si l'on retranche de ce nombre le nombre des points de ramification situés enV,
Nous nous proposons d'utiliser encore la théorie des transformations à détermination unique pour écarter une restriction qui a été faite dans la démonstration de l'extension du principe de correspondance (t. II, p. i63) (*). Nous nous sommes toujours figuré une correspondance sury= o comme déterminée par une équation ç(j:,j^) = o, laquelle a été supposée homogène du /•»«'"« ordre par rapport aux quantités x/ et du 5""** ordre par rapport aux quantités j^7. Dans les démonstrations, nous avons constamment admis que les courbes cp = o répondant à un point x on y n'avaient pas toutes les mêmes points fixes communs avecy= o.
(*) L'auteur (M. Lindemann) doit les considérations suivantes à une communication de M. Brill. Voir^ à ce sujet, le Mémoire de ce dernier sur la formule de corrcipondance (Math, JnnaUny t. VU, p. 616 et 8uiv,)f
34 TOUS lit. — CHAPITM I.
Actuellement, pour fixer aussi l'influence de ces points exceptionnels de la correspondance ç sur le nombre des coïncidences pro^ prement dites qui ne tombent point en ces points exceptionnels ou aux points singuliers de y, nous procéderons de la manière suivante :
Soit sur la courbe primitive f dépourvue de points doubles une correspondance (a,fj)^ sans points exceptionnels de l'espèce citée, correspondance donnée par une équation ç(a:,j^) = o; le nombre de ses coïncidences proprement dites sera
C = a4-|3-l-2 7/7 = /ir — 7 + /Î5 — 7-f-2 y/?,
r, Sj a, p, y ayant les significations précédentes. Imaginons maintenant que la courbe y subisse, en même temps que la correspondance cp, une transformation à détermination unique, telle que y= o se change en F = o, «^ = 0 en 4>=o. Dans cette circonstance, les nombres y, C, p sont conservés, ainsi qu'il résulte de la notion de la détermination unique. Les nr ou ns intersections mobiles qui répondent à un point quelconque de f^ et parmi lesquelles y sont situées en ce dernier point lui-même, ne formeront en général sur y, après la transformation, un système complet d'intersections que si on leur adjoint un certain nombre de points fixes de la nouvelle courbe F, points signalés précisément comme points exceptionnels de la correspondance $. En ces points exceptionnels tomberont alors un certain nombre (U) de coïncidences improprement dites ( de la détermination desquelles nous nous occuperons spécialement), tandis que G coïncidences proprement dites seront encore situées en dehors des points exceptionnels. L'ensemble des coïncidences proprement dites et improprement dites formera, comme précédemment, un système complet de points d'intersection ou, en d'autres termes, sera traversé par une courbe de coïncidence (t. II, p. i6i et suiv.); nous avons donc à éclaircîr la question du nombre U des intersections de cette dernière ai^ec F qui sont situées en des points exceptionnels de la correspond dance $•
Les coefficients de l'équation de cette courbe de coïncidence dépendent des coefficients des équations F = o et $ = o, et leur ordre est le même que s'il n'existait ni points exceptionnels de 4> ni points singuliers de F, car on peut faire disparaître ou naître
LA G£0MÉTBIE BCB VUS GOOMBB ALC£BB1QCB. ^5
ces derniers d^une manière quelconque par modification continue des coefficients de F et de $. Or, si r', / sont les ordres des courbes qui répondent respectivement en vertu de $ = o à un point^ ou x de F, l'ordre de la courbe de coïncidence est égal à i^-^sf-^y (v — 3). Actuellement, admettons que F ait rf'-H d" points doubles, que 0^ points d^intersection avec F des .courbes <I> = o répondant à un point ^ de F tombent en chacun des d! points doubles, que ces courbes passent encore en outre chacune <7 fois par e points fixes de F, et qu'enfin r', t soient les nombres correspondants pour les courbes $ = o qui répondent à un point x de F (*) ; nous avons, pour le nombre des intersections mobiles de F avec les courbes $, les valeurs
az=. nr — 7 = '-"^ — y — ^^ — d'v ^
P = ns — y =:ys' — y — ex — r/'r',
et Ton doit avoir la relation
XJ-f- [r'v -^y — e<r— d'à) H- {/v— y — er — rf'r')
-t-y[(v — i)(v~2)— 2rf- 2£/']=v[/-+-/-i-y(v— 3)].
De là résulte immédiatement la valeur de U,
U = e((r + T) -h<3?'((T'-|-T'-f-2y) + aycT .
Donc sont absorbées (ce qui concorde avec les indications données à une occasion précédente, t. II, p. 1 63 et suiv.) :
En chacun des e points simples, o* -I- t coïncidences improprement dites;
En chacun des d' points doubles, a' -H t' 4- 2 y coïncidences improprement dites;
En chacun des d'^ points doubles, a y coïncidences improprement dites.
En conséquence, si U désigne le nombre total des coïncidences improprement dites, dénombre total des coïncidences proprement dites d'une correspondance (a,p)f à points fixes quelconques, et que n soit Tordre de la courbe qui traverse ces coïncidences.
(') n est facile d'apercevoir comment les choses se passent si les courbes • se comportent différemment aux divers points doubles tP de F. Les nombres v et t ne sont an surplus pas ioujonrs indépendants les uns des autres. Foir t. II, p. i64>
S6 TOMB III. — CBAPITM I.
n l'ordre de la courbe primitive, p son genre, on a la relation
/iir — U = C( = «-4-^-1- 2/?7).
Le nombre total des coïncidences proprement dites se détermine donc précisément comme s'il n'existait pas de points exceptionnels pour la correspondance [^), Nous considérerons comme exemple la correspondance déterminée s\xtJ = « J = g par Tcquation a1'~^ay'==.o..\\ nous faut poser dans les formules précédentes
r'z=zn 1, y=I, 7=2, or'=i2, ^nzr/, (t=:t=:t'=«/'=C = o;
d'où
« = /i(/i — i) — 2 — id^ pz=zn — 2.
Pour le nombre des coïncidences proprement dites, c'est-à-dire pour le nombre des points d'inflexion, on obtient ainsi le résultat connu
C = 3 /2 ( /? — 2 ) — 6df
et en tout point double de y sont situées y-f- t'-4- 27 = 6 coïncidences improprement dites, ce qui concorde avec des propositions précédentes sur le mode d'existence de la hessienne (ici courbe de coïncidence, t. II, p. 28).
Par ces considérations se trouvent démontrés les théorèmes provisoirement donnés plus haut (t. II, p. itiS), et conséquemment aussi les nombreuses applications qui s'y rattachent, et en particulier les formules de contact des pages 171 et r88 [ibid,). L'influence des points fixes sur les correspondances à points de valeurs multiples [ibid.^p. 1^2) se déterminera enfin absolument de la même manière. On peut, d'ailleurs, étendre aux courbes à singularités quelconques ces réflexions et les précédentes relatives à la formule de correspondance, si l'on imagine que les singularités
(') La circonstance que la démonstration précédente s'applique uniquement à des correspondances pouvant étro déduites, p»r transfoimation unidéterminative, de correspondances sans points fixes, ne doit pas être prise en considération, car il s^agit seu« lemcut de déterminer rinfliience de chaque point fixe en particulier, et cette inllucnce ne dépend que du mode d'existence de la courbe primitive /= o, ainsi que des courbes de correspondance ^ = o dans le voisinage immédiat de ce point, mais non des autres propriétés de la courbe primitive, comme l'ordre, le genre, etc., non plus que de.scfl autres 4[>articu la ri lés par rapport à la correspondance.
LA GÉOMÉTRIB 8CR UNE COUEBB ALGÉBRIQUE. 37
dont il s'agit aient été résolues de la manière connue. Demandent seuls des éclaircissements spéciaux les cas dans lesquels des points de ramification se sont joints à des points multiples de la courbe primitive (t. II, p. 21 4), quelques-unes des coïncidences proprement dites pouvant tomber en ces derniers (*).
Nous donnerons, pour terminer, un aperçu des démonstrations du théorème de Riemann, sur la conservation du genre. Nous avons précédemment étudié les suivantes :
1® Démonstration de Zeuthen, où le théorème est conclu d'une relation plus générale (^) entre les nombres qui expriment les genres de deux courbes liées par une relation à détermination multiple (t. II, p. 168).
a° Démonstration à l'aide du nombre donné pour les courbes tangentes d'un faisceau ( p . 8 ) .
3° Démonstration algébrique directe (p. 9 et suiv.).
Dans cette dernière, nous avons tenu compte en détail de tous les points multiples àe f. Pour ces points, les démonstrations 1® et 2^, ainsi que celles qu'il nous reste à citer, ont besoin d'un plus ample développement (en ce qui concerne au moins les expositions usuelles), développement qui, du reste, ne se heurte pas à des difficultés de premier ordre.
Nous mentionnerons encore les démonstrations suivantes, qui font en partie usage d'autres méthodes et d'autres notions que celles employées par nous jusqu'ici pour traiter les questions algébriques.
4^ Démonstration originaire de Riemann ('). A une équation algébrique y (.r 1,^2, X3) = o ou en coordonnées rectangulaires F(x,j) = o répond, comme on le sait, ce qu'on appelle une sur^
(') Comparez ce qui a été dit t. H, p. 16G et 186 8ur l'influence des pointa de rebrousscment.
(') Cette relation, d'après le raisonnement dont elle a été déduite précédemment, n'aurait lieu qu'au cas où la relation mutuelle des deux courbes est établie par des systèmes d'intersections complets (t. II, p. i53, note); mnis il ressort de la démonstration donnée par Zeuthen qu'elle reste encore vraie pour les antres cas. Le premier cas entre seul en considération dans le texte.
(•) Théorie der Abetschtn Functionen, J 11 (Journal de C relie, t. 54).
a8 TOUS m. — cBAf itrb i.
face de Riemann, dont la connexité est par définition égale à ap-+-i, c'est-à-dire qui peut être décomposée par 2^7 sections transi^erses en une surface simplement connexe, p désignant le genre de F. Maintenant, si deux courbes F et P sont liées unîdéterminativement Tune à Tautre^ il en est de même des surfaces de Riemann correspondantes. La connexilé, d'après sa notion, est alors la même pour les deux surfaces, c'est-à-dire égale à 2/7 -f-i; de là résulte immédiatement l'égalité du genre. Faisons observer que la construction de la surface de Riemann, répondant à F en tant que y est considéré comme fonction de .r, dépend d'abord du système de coordonnées choisi. Il est donc plus conforme aux notions fondamentales de la Géométrie projective de considérer, comme l'a fait Klein, les variables X|, X2, Xs dans l'équation f= o comme des coordonnées-lignes, et de rattacher alors directement à la courbe réciproque f= o (sans égard à un système particulier de coordonnées) la construction d'une surface à plusieurs feuilles couvrant le plan, ainsi que nous l'avons décrit précédemment (t. II, p. 369). Cette surface fournit, pour les fonctions dont l'irrationnalité est donnée parF = o, les mêmes ressources que celle de Riemann ; on peut, en particulier, l'employer pour démontrer le théorème de la conservation du genre (*). Toutefois, un développement détaillé delà suite des idées relatives à ce sujet nous conduirait trop loin. Observons seulement que la relation respective des deux surfaces de l'espèce citée en dernier lieu n'est pas à détermination unique pour tous leurs points, si les courbes auxquelles elles correspondent sont rapportées unidélerminativement l'une à l'autre, mais que, au contraire, il se présente en général sur chaque surface des points fondamentaux, c'est-àdire des points auxquels correspond une courbe entière de l'autre surface. A la place du théorème sur l'égalité de la connexité de deux surfaces rapportées unidéterminalivement l'une à l'autre, on a donc à employer une relation qui existe entre les nombres de connexité des deux surfaces et entre les nombres des points fondamentaux qui se rencontrent de part et d'autre (^).
(*) Foir Kleir, Sitzungsberiehte der phjt, med, Societât zu Erlangen, il mai 1874. (*] Voir Klein, Betnerkungen ûberden Zusummenkang der Flàchen {Math, Annalen,
t. VU, p. 549).
LA GiOMÉTllB 8CK C!fB €O0BBB ALCBBBIQOB. 3g
5** Démonstration de Cremona [^), Cette derDÎère fait usage des représentations de la Géométrie de l'espace. Imaginons que les deux courbes considérées y et/*' soient situées sur les deux plans différents E et E' et que n^ d, r et v, d, p respectivement soient leurs nombres caractéristiques. Les lignes qui joignent les points correspondants formeront une surface réglée de Tordre /i -f- V. Cette surface sera coupée par le plan E', suivant la courbe^' et suivant une autre courbe de Tordre n composée des lignes joignant les n points d'intersection de E' et/" aux points correspondants def\ Le plan E' renferme d'après cela n lignes de la surface, et doit par suite toucher cette dernière en n points placés respectivement sur ces lignes. Abstraction faite de ces points de contact, la section E' de la surface possède
points doubles, et avec ce nombre on a Tordre de la courbe double de notre surface réglée, lequel est, par suite, égal au nombre correspondant obtenu par la considération du plan E, c'est-à-dire égal au nombre
et de là résulte p = it.
6® Démonstration de Bertini (*). Joignons les points x de fk un point Jixe a et les points correspondants y de F à un autre point fixe h. A toute ligne passant par a répondront n lignes passant par i, et le point de rencontre \ de deux lignes correspondantes décrira une nouvelle courbe X, qui est liée par une relation unidéterminative aussi bien à y* qu'à F. Notre construction donne
(') Voir Preliminari di una teoria geometrica délie superficie {Mémoires de Vjécu' demie de Bologne, ^* série, t. VI et Vil), p. 54 dans 1b traduction allemande de CcBTZBf Berlin, 1870.
(*) Voir Journal de BattagUni, t. VII, ainsi que Salhox, Higher plane curves, 3* édition, p. 3i4, et Zedthb!«, Math, Annalen, t. I, p. i5o, et t. III, toc, cit. Une marche de démonstration analogue, mais un peu différente quant à la forme et quant à l'ordre, setroure dans Yoss : Gôttinger Nachrichten, 1873. Les calculs y sont effecfaés à Faide du principe de correspondance de Chasles. La démonstration a été formulée algébriquement par Clbdsch; Doir, sur ce point, ^'Ôthbr, Math, Annalen, t. VIII, p. 497.
3o TOMB III. — CBAMTBB I.
pour les coordonnées de Ç les valeurs
ou, en supposant encore la relation entrée et F établie au moyen des équations fX7i = ^/(x),
triiez [xab)^i — [xa^)bi.
Prenons maintenant a et ^ pour sommets du triangle des coordonnées (et supposons qu'ils ne soient situés ni sur y ni sur F), c'est-à-dire posons a^ = o, a, = i , «3 = o, t < = o, b2= o, bz = i', il vient
Admettons que les courbes $ coupent la courbe y en v points mobiles, en sorte que v soit l'ordre de F. Les courbes de transformation de la transformation représentée par (I), c'est-à-dire les courbes du réseau
coupent la courbe y en v 4- » points mobiles, et par suite X est de l'ordre v 4- w. Mais les lignes du faisceau ^1 -h ^^3 = o coupent X seulement en n points mobiles, car les lignes du faisceau Xt-^^Xz= o leur correspondent (le facteur $ se séparant). La courbe X a donc au point a (c'est-à-dire au point Çi = o, $3= o) un point multiple d'ordre v. De ce dernier, on peut encore mener jc — 2 V tangentes à la courbe X ( * ), x désignant la classe de X. Si ensuite y^ est le genre de cette dernière courbe, nous avons, d'après les formules de Plucker,
Tel doit être également le nombre des lignes correspondantes du faisceau Xj-H Ax3 = o qui touchent y, c'est-à-dire le nombre
et de là résulte p = X* Nous pouvons de même considérer la
(*) Il faut compter avec ces dernières les lignes joignant a aux points de rebrousaement qui peuvent exister dans X (p. 8).
LA GÉOMÉTRIE SVK Om COmiBB ALGÉBRlQCB. a3i
relation entre les courbes F et X; nous obtiendrons par là le résultat tt = ;{, tt étant le genre de F, et conséquemment on en a fait y7 := TT. La simplicité de cete démonstration repose sur Tintroduction de la courbe auxiliaire^ X.
7° Démonstration de Brill et Nàther, Sur toute courbe C,, du genre p il existe un ensemble p — i fois infini de systèmes de points qui sont découpés par des courbes adjointes Cn^j, théorème que nous avons reconnu précédemment être une conséquence A\\n autre théorème sur les systèmes d'intersections de courbes adjointes d'ordre n — 3 (t. II, p. 147)- Nous utiliserons ici le premier et le second théorème. Prenons arbitrairement sur f un groupe Gie de ir points résiduel avec un autre groupe G^, tt désignant encore le genre de F. Si tt était >p^ il y aurait au moins un nombre tt — p infini d'autres groupes de ir points chacun qui seraient de même résiduels par rapport à G^, c'est-à-dire qui seraient corésiduels de Gic (t. II, p. i38). Cette réunion de groupes g^^'^"^ se transforme encore lors d'une transformation unidéterminative, d'après la notion de ce genre de transformation, en une réunion de groupes g^^~^^ sur F. Mais, pour cette dernière, la condition
est satisfaite, car nous avons q z=z p — tt, Q = tt. La réunion de groupes g^i""'*' placée sur F peut donc, d'après une proposition précédente, être découpée par des courbes adjointes C,,., (t. II, p. 143), et, en conséquence, chaque groupe qui en fait partie ne dépend que de tt — i éléments déterminateurs arbitraires, tandis que nous avons pris arbitrairement tt points du groupe correspondant sur y. Par conséquent, l'hypothèse T^^p implique contradiction ; on peut démontrer la même chose en suivant la même marche à l'égard de l'hypothèse 7r<[/7, et par conséquent il ne reste comme possible que la seule hypothèse ir = ^, ce qu'il fallait démontrer.
II. — Systèmes de points d'intersection de conrbes adjointes d'ordre /i — 3 aToc la courbe primitiTe. Sjrstémes ou familles spéciales.
Dans ce qui précède, nous nous sommes surtout occupé de la théorie de la transformation unidéterminative en elle-même ; ac-
3i Tom III. — aiAranB u
tuellement se présente naturellement la question de savoir quelles sont les propriétés d'une courbe qui persistent dans ce genre de transformation; c'est ainsi que précédemment nous avons étudié les propriétés d'une courbe qui ne sont pas détruites par collinéation. Dans ce qui suit, nous dévorons donc considérer comme, au fond, identiques entre elles toutes les courbes qui peuv^ent être changées les unes dans les autres par transformation à détermination unique. Mais quels sont, devons-nous nous demander d'abord, les marques distinctives de la possibilité d'une semblable transformation? Comme condition nécessaire, nous avons déjà reconnu l'égalité du genre des deux courbes en présence; mais cette condition n'est pas suffisante. De même, l'égalité de l'ordre des deux courbes était nécessaire pour pouvoir les transformer linéairement Tune dans l'autre, mais il fallait en o^tre que leurs invariants absolus fussent les mêmes (*). Ces invariants absolus étaient certaines constantes caractéristiques pour la courbe, et leur nombre était par suite égal au nombre des constantes figurant dans l'équation de cette dernière qui ne peuvent être détruites par transformation linéaire, c'est-à-dire égal k\n[n'\-'Z) — 8.
De même, actuellement, la possibilité de la transformation unidéterminative de deux courbes l'une en l'autre dépendra de certaines constantes absolues appelées modules^ ainsi que nous l'étudierons plus tard encore avec plus de soin (^), et le nombre de ces modules doit nécessairement être égal au nombre des constantes figurant dans l'équation de la courbe qu'on ne peut plus détruire par transformation à détermination unique. Pour déterminer ce nombre, le point de départ doit être avant tout d'abaisser autant que possible l'ordre de la courbe, et nous serons ainsi conduits au problème suivant : Indiquer la courbe de l'ordre le moins élevée (courbe normale) en laquelle une courbe de genre donné peut être changée par transformation à détermination unique» La solution générale de ce problème se rattache étroitement à des recherches générales relatives aux systèmes de points sur une
(*) Il était de plus nécessaire que pour chacune des deux courbes les mêmes cova* riants s'évanouissent identiquement si l'une d'elles était particularisée par l'évanouissement identique d'invariants fonctionnels. ' (') Voir la Section suivante.
LA GÉOMfilRIB 8CB C5B COCRBB ALGÉBBIQDB* 33
courbe qui possèdent des propriétés de nature à persister dans les transformations unidéterminatives, et il sera surtout question, en cette circonstance, des systèmes de points d'intersection de courbes adjointes Cfl 8, car un système de cette espèce devient le système de courbes (X-j adjointes à la courbe Cv si C/i se transforme en C,. Nous traiterons, dans Tordre suivant, les riches matières qui se pressent en réponse à ces questions :
1^ Nous étudierons la transformation de la courbe C/, au moyen d*un réseau de courbes adjointes Cn-zt comme courbes de transformation ;
7? Nous considérerons une série d'exemples concernant des systèmes de points d'un caractère spécial sur une courbe et leurs relations respectives ;
3" Nous traiterons en général la détermination sur C„ de groupes de points par lesquels passe une multiplicité plus éle\^ée de courbes adjointes C„8 que l'on ne devait s'y attendre diaprés le nombre de points d'un tel groupe [groupes spéciaux). Nous ferons alors connaître, en particulier, la proposition appelée théorème de Mie" mann et Rock. A cela se rattacheront dans les deux sections suivantes :
4^ La détermination des courbes normales et des modules ;
5® L'étude complète (au point de vue de la Géométrie du nombre) de quelques problèmes qui se présentent, par le moyen de recherches sur les correspondances.
Les propriétés remarquables, plusieurs fois signalées, des courbes adjointes C/1.3 donnent naturellement l'idée d'employer un système doublement infini de courbes de cette espèce à la place des courbes de transformation $. Nous placerons alors tous les points fixes du réseau sur la courbe ^ elle-même, en sorte que le réseau dépende uniquement de points de cette courbe. Or comme, parmi les points de rencontre d'une courbe adjointe C„j, p — 1 déterminent en général les p — i restants, il passera par/^ — 3 points quelconques Ae f nn nombre doublement infini de courbes adjointes C„»j. Nous avons donc à poser, dans les formules précédentes,
sz=zn — 3, r/=/— I, «/=«', «i = o, rznt"^ r' =r o, /=i, (T^=p — 3, Clebscu. — Géométrie, III. 3
i\ TOME 111. — OIAPITHC 1.
d'où l'on déduit, en vertu de (i 5) et de (19),
Il est donc en général possible de transformer une courbe f du genre p en une courbe d'ordre p + 1 à^p[p — 3) points doubles, et la chose s'effectue par une transformation du[n — 3 )**"*' ordre dans laquelle toutes les courbes 0 sont adjointes à f et passent en outre par p — 3 points a arbitrairement choisis surf[*).
Donc, ayant p — 3 points quelconques de f on pourra encore trouver y/7 (/7 — 3) couples de points tels, que par les premiers p — 3 points et par les points d'un couple (conséquerament par p — I points en tout) passe un nombre simplement infini de courbes adjointes Cn-z* Nous énoncerons ce résultat sous une forme un peu diflerente, qui a de l'importance pour ce qui suit. Le réseau de courbes considéré étant donné par
et J'y z formant les points d'un couple précité, on a
p?i{r) = ?i(^)> p?«(r) = ?j(2)» pf3(j) = 7j(2).
Le nombre {^(p — 3) donne donc aussi le nombre des couples de valeurs j^^, z qui satisfont simultanément aux trois équations
?i(r)?î(2) — ît(r)î'i(2) = o,
[si d'ailleurs y (j^) = o,y^(z) =: o], les solutions identiques j^ = z étant exclues par avance. Nous pouvons aussi représenter som-
(*) Cette transrormation a été iudiquée par Clebscu et Gordax, Théorie der AbeVtchen Ftinctionen; Leipzig, 1866, p. 65. Elle est évidemment impossible pour les cas de /» = o, I, a qui sont traités chacun en particulier à la fin de ce Chapitré. Dans les autres cas, il peut se présenter encore une exception lorsque, étant donnés p — 3 points quelconques, un certain nombre d'autres points des courbes C^.^ se trouYeni par là même déterminés, ainsi que cela se produit pour les courbes appelées hjpcr^ elliptiques (auxquelles appartiennent rijalemcut toutes les courbes où /i= 2). Nous Verrons ultérieurement que ce sont là les seuls cas d'exception. Sur les courbes hyper* elliptiques, Doir aussi la Un do la Section suivante.
LA GfOMÉTRIB 8CM. VME COQRDB ALGÉBRIQUE. 35
mairemenl les équalions précitées par l'évanouissement d'une matrice de déterminant, sous la forme
?i(x\ fiix) f»(7) fi[z) fi{z) f^(z)
et la présence d'une semblable matrice est caractéristique pour tous les problèmes traités dans ce qui suit.
Il existe, d'après cela, sur C„ un nombre p — 3 fois infini de groupes de points G^| de p — i points appartenant à cette espèce particulière, et la même chose a lieu pour toute courbe liée unidéterminativement à C/,; tout groupe de points de l'espèce en question se transforme toujours en un groupe de même. nature, sans pourtant être défini comme le système complet des intersections de C/i avec une autres courbe. Or à chacun de ces groupes Gp i répond une famille simplement infinie de groupes Tp^ découpés sur C/i, précisément au moyen du faisceau de C„8 passant par Gp i] et c'est une chose très digne de remarque que, récipro^ quement, par chacun fie ces groupes résiduels Vp\ on peut faire passer encore un faisceau de courbes adjointes C,i 3.
La démonstration de cette proposition s'obtient très simplement si l'on fait usage du théorème d'après lequel tout ensemble y^p^ possible sur C,| peut être découpé par un faisceau d'adjointes C,i 3 (t. II, p. 143)- Nous pouvons, en effet, compléter chacun des groupes Vp^\ en nombre simplement infini, de manière à en faire un groupe V p par un point yîxe A arbitrairement choisi sur C,i (assujetti seulement à ne pas tomber en un point du groupe de base Gp^x) ; l'ensemble de ces groupes Tp peut alors, d'après un théorème précédent, être découpé par un faisceau C^^s (* )• Mais toutes les courbes de ce dernier ont nécessairement en commun le point fixe A, et par conséquent nous avons trouvé un second faisceau de courbes Qn-z (différent du faisceau originaire qui avait pour groupe de base Gp i) et déterminant de même la famille y^!i sur
(*) Le fait que le théorème précédent a également lieu poar les familles g^^^ à points fixes résulte immédiatement de la démonstration donnée plus haut (t. Il, p. i44 et suiv.); seulement 00 ne doit plus placer précisément en un point fixe le point dési* gué alors par a.
36 TOMB III. — cnAPITRR I.
C„ (*). Par tout groupe Tp^ de cette dernière passent donc deux et, par conséquent, une infinité simple de courbes Cn j, ce qu'il fallait démontrer. Nous ferons d'ailleurs diversement usage, dans les exemples suivants, du théorème démontré ici.
Revenons aux transformations au moyen de courbes adjointes C„3, lesquelles ont une importance particulière en ce qu'elles permettent précisément d'établir les courbes normales de l'ordre le moins élevé possible. Le fait que l'on peut prendre s = n — *>, pour transformer y* en une courbe du degré le moindre possible, résulte immédiatement de nos précédentes recherches sur les systèmes de points d'intersection des ensembles ou familles linéaires de courbes. Si, en effet, t/ est la multiplicité d'un tel ensemble, Q le nombre des points d'intersection mobiles, s Tordre de la courbe sécante, on a, d'après ce qui a été dit (t. II, p. 142),
pour s = n — 3, Q??-^/' — '; pour s'^ n — 3, Q = 7 -•" Z'*
Q prend donc, en toute hypothèse, la plus petite valeur pour s = n — 3 ; le cas de s inférieur k n — 3 n'a pas besoin d'être traité d'une façon spéciale, car nous avons vu que toute famille de points pour laquelle Q est <^ 9 4-/? peut être découpée par des courbes adjointes C„j (t. II, p. i43). Notre proposition est par là démontrée, car il nous suffit de prendre dans notre cas q= a et Q = V, y étant alors précisément l'ordre de F.
En faisant le compte détaillé pour notre transformation, nous obtenons, si les courbes employées C„s passent par p — 3 points
(*) La proposition esl évidente pour une courbe Cg à deux points doubles (/y = 4). Ici Von A p — I =: 3. Or, par trois points G, et par les deux points doubles on ne peut plus faire passer un nombre infini de coniques que si les trois points sont sur une droite avec l'un des points doubles; chaque adjointe G, du faisceau se décompose alors en cette droite fixe et en une droite (mobile) passant par l'autre point double. Les rayons du faisceau mené par ce dernier déterminent donc sur G^ les groupes F,; par chacun de ces groupes passe alors naturellement un faisceau analogue de coniques se composant de la droite qui découpe le groupe F, et du faisceau de rayons qui passe par le premier point double. Toutefois, nous recommandons spécialement d'effectuer flgurativement sur cet exemple très simple la démonstration donnée t. II, p. i44« L'affirmation du texte se formule ici d'une manière générale dans la proposition suivante : Si une conique ptusant par trois points quelconques y^'^)^ jr^^), jri^i et par les deux points doubles de G, possède encore un paramètre arbitraire et coupe de plus C, aux points Jt('^ JcO, xl'>, une conique passant par x^^^f a?W, x^^) et par les points doubles possède aussi un paramètre arbitraire.
LA GÉOMÉTRIE SUH UNE COCRBB ALCÉBRIOCB. 87
choisis ai'bitrairement sur C«, les courbes suivantes du (/? -f- 1)""** ordre :
j9 = 3 .... courbes du 4' ordre à o points doubles,
/i = 4 * 5* ordre à ^ »
/? =r 5 » 6* ordre à 5 »
/? = 6 . . . . » 7" ordre à 9 »
y» = «j . . . . » 8* ordre ii 1 4 »
/> = 8 » 9" ordre à ao »
La courbe générale du cinquième ordre (^ = 6), par exemple, apparaît alors comme transformation d'une courbe spéciale du septième ordre, à neuf points doubles, possédant la propriété que sur elle on peut déterminer d'un nombre doublement infini de manières 5(= p — i) points par lesquels passe une infinité double de courbes C/t s, ce qui ne serait pas possible sur une courbe générale Ct où p = 6 (*). Les courbes en question C„j = C| forment alors une famille à cinq points d'intersection mobiles (d'où V = 5 dans ce qui précède), et l'ensemble correspondant g^*' sur C5 est découpé par les droites du plan qui sont complétées par une droite fixe quelconque, de manière à former une conique C2(== Cv.s). De même la courbe du cinquième ordre à un point double apparaît comme transformation d'une courbe spéciale du sixième ordre, à cinq points doubles, et ainsi de suite.
On voit par là comment la possibilité d'abaisser l'ordre d'une courbe au moyen d'une transformation à détermination unique dépend du point de savoir si sur la courbe en question il existe des groupes de points d'un caractère spécial ou s'il n'en existe pas. Il résulte immédiatement de cette réflexion que nos courbes du {p -f- i)"*"« ordre elles-mêmes ne sont pas nécessairement celles de Tordre le moins élevé qui puissent tirer leur origine d'une courbe générale du genre p\ car les ^ — 3 points de base du réseau d'adjointes C»n-z employé pour la transformation avaient été choisis sur Cfl, absolument arbitrairement. Actuellement se présente la question de savoir si l'on peut choisir des groupes non spéciaux de plus àe p — 3 points pour points de base d'un tel réseau, cas où les courbes On-i du réseau dont il s'agit couperaient la courbe en moins
(*) Car, d'après le Tableau donné ci-après, y = 6 est en général la valeur mioima de y (valeur désignée par R dans le Tableau) pour/» s, 6.
38 TOME III. — CnAPITKS I.
de p -r{-i points mobiles. Pour répondre à celle question, nous avons à résoudre le problème suivant : Trousser sur une courbe C^ de genre p les groupes de points par lesquels on peut faire passer une infinité double de courbes adjointes C/,8 telles, que le nombre des points d ^intersection mobiles soit le moindre possible.
L'étude de ce problème nous conduit naturellement à la continuation des recherches algébriques, précédemment interrompues, sur les systèmes des points d'intersection des courbes adjointes C/,s (t. II, p. 1^1 et suiv.). Mais, avant d'entrer dans les explications de nature plus générale que nous avons en vue, il sera bon de considérer en détail un exemple, et nous nous proposons de montrer qu'il est possible de ramener par une transformation unidéterminative une courbe du septième ordre à neuf points doubles, à laquelle conduisait, pour /? = 6, la transformation que nous venons d'étudier, en une courbe du sixième ordre à quatre points doubles.
Nous avons donc à montrer que sur une courbe C7 de genre /? = 6 il existe un ensemble 7?', c'est-à-dire un ensemble doublement infini de six points, déterminé par les intersections de courbes adjointes C4( = G/i 8) ou, ce qui est la même chose, que sur d on peut déterminer des groupes G4 de trois points chacun (en nombre fini ou infini) par lesquels passe une infinité double de courbes C4 (tandis que par4=J^ — ^ points choisis arbitrairement sur G7 on ne peut faire passer qu'une infinité simple des mêmes courbes). Cela conduit au problème consistant à déterminer trois Y^oiuls y^^\ j^^\ y^^^ j de telle sorte que les courbes Cn^z en nombre doublement infini qui passent par ces points contiennent toutes un quatrième point j^'*^ de C7. Or l'ensemble des adjointes C4 forme une famille linéaire à six paramètres homogènes
Nous pouvons donc formuler la condition imposée en disant que, parmi les quatre équations
a,yi(>(»)) -h a.î'iO^'J) -h ... -h «e^eU^'^j = O,
la dernière est une conséquence des trois premières, d'où il résulte que trois des six paramètres a/ restent encore arbitraires, (^ela
LA CÉOIIÉTBII BCB UNE COOBBB ALGÉBBIQCE.
s'exprime par le fait que tous les déterminants quaternaires formés des quantités ^i(j^^^) doivent s'annuler, c'est-à-dire que Ton aie système suivant d'équations figuré par l'évanouissement d'une matrice de déterminants
ra (r«" )
ft[ï^'^)
?»(jf")
nU('))
Mais ce système renferme seulement trois équations indépendantes les unes des autres, savoir celles qui tirent leur origine de Téquation unique
?.(jr<") ?.(rf") f.[j(") ?/(r(")
?/(rf")
pour 1=4» 5 et 6 (^). Ces trois équations renferment, en tenant compte des conditions
[y(x) = o étant l'équation de C7], encore quatre inconnues : Donc, parmi les quatre points j^^\ l'un, tel que j^^^, peut être choisi arbitrairement, et l'on pourra trousser alors par rapport à lui un nombre fini de groupes ternaires y^^\ j^^\ j^^"^ satis* faisant au sjstème d'équations obtenu (^).
Si maintenant l'on choisit pour courbes de transformation le réseau des courbes C4 qui passent par quatre points y^^\ ainsi définis, ces courbes détermineront sur C7 un ensemble yjf^; en d'autres termes, la courbe C7 est transformée unidéterfninatii^e" ment en une courbe Ce (^).
(') Foir, par exemple, la Théorie des déterminants de Baltzeb, ou les explications générales du texte, p. 54 et suiv.
{*) On verra plus tard que le nombre des solutions ne peut être nul; à la fin de ta IV* Section nous le trouverons égal à cinq.
(•) f^oir sur ce sujet Bbill, Math. Annalen, t. Il, p. 471.
4o TOME III. -- CRAPITKB I.
Comme parmi les quatre points j^'^ on peut en choisir un arbitrairement, il existe en tout un système simplement infini de tels groupes de quatre points chacun ; Tensemble de ces groupes peut être traversé sur C7 par un faisceau de courbes C4 qui passent encore par six points fixes de C7 (ainsi qu'il résulte déjà d'un théorème donné t. II, p. i43), et l'on verra que, pour six points de base de cette espèce, on peut choisir l'un quelconque des groupes du système */i\ dont les groupes sont tous résiduels par rapport à un groupe G4 de quatre points ^^'^ Cet exemple est 1res important pour les explications générales qui suivent et peut, pour cette raison, être traité d'une manière encore plus approfondie. On reconnaît, au surplus, l'affinité de notre dernière proposition avec la proposition ci-dessus, que tout système g'^i se compose de groupes de points par lesquels passe également encore une infinité simple de courbes Cn-z (p« 35) ; nous avons sous les yeux deux cas particuliers d'un théorème plus général.
Actuellement, admettons que quatre points j'^*^ j^^^j^'^ j^^*^ aient été déterminés de telle sorte, que par ces points passe une infinité double de courbes C^. Soient ensuite x^*^ x^^^, x^^\ x^*^, jj(5)^ j^(%) igg gjx autres points d'intersection d'une courbe C% de ce système doublement infini avec C7. Par les quatre points^ et par tout point quelconque du plan, conséquemment aussi en particulier par l'un des six points a:^'\ passe un nombre simplement infini de courbes Ci; autrement dit, ces points forment ensemble un groupe de p — 1 = 5 points par rapport auquel il existe un système résiduel ^^5^= g^^i* Mais alors aussi, par tout groupe de ce dernier système, passe encore une infinité de courbes C| ; il en est ainsi, en particulier (pour 1 = 6, par exemple), à l'égard des cinq points x^*^, x^^^, x^^\ x^*^, x^^K II en résulte que tous les déterminants à cinq colonnes qui se trouvent dans la matrice
y,(x(t)) y,(x(i)) y3(x(0) y,(x(«)) ç,(xO)j y,(^(l))
y,(x(«)) y,(x(«)) y.(x(«)) ^,(.r(«)) y,(.r(«;) f,{xi'^]
^,(x(»)) y,(u:(»)) y,(x(»)) 7,(x(»)) y,(.r(»)) ^,{,ri^))
s'évanouissent. En eflet, ces conditions sont nécessaires et suffi-
LA ClUlllÉTllB SCR USE COCRU ALGEBRIQUE. \l
sanles pour que les cinq équations
OÙ 1=1,3,3,4)3 admettent une infinité simple de solutions pour les paramètres a^» Mais comme pour x^^^ nous pouvions choisir chacun des six. points x, il en résulte l'existence des cinq autres équations dérivées de la précédente par permutation de chacun des points x^*^ ... x^*^ avec x^*\ ce que nous pouvons exprimer en disant que tous les déterminants mineurs à termes de cinq facteurs doiv^ent s* annuler dans le déterminant suivant :
f,(x(0) f,(x(')) ... „(.,(.)) f,(x(')) y,(xC«)) ... „(x(«))
On serait conduit exactement au même système d'équations, et c'est là l'important, par la condition de déterminer six points x^^ tels, que par ces points passe encore un système simplement infini de courbes adjointes C4. En effet, s'il doit en être ainsi, il faut nécessairement que, parmi les six équations
deux soient la conséquence des quatre autres, puisque déjà p — 2 = 4 points de C7 déterminent un faisceau d'adjointes C4. Mais Tinverse a également lieu : étant donné un groupe F» de l'espèce des points x^'^, tout résidu de celui-ci forme un groupe G* de points y^^ appartenant à la catégorie que nous venons de signaler. En effet, puisque par cinq points quelconques de Fa passe un nombre infini de courbes C4, les quatre points G4 forment aussi ensemble avec chacun des points de T% un groupe de cinq points par lequel passe une infinité de courbes C4 (suivant une proposition précédente, p. 35). Donc, par G4 passent six faisceaux différents de courbes C4, ce qui n'est possible que si par G4 on peut faire passer un ensemble doublement infini de courbes €4^
4^ TOME Ifl. — CHAPITRE I.
OU si les six faisceaux sont identiques entre eux. Mais ce dernier cas doit être exclu de prime abord ; car alors nous aurions 4 -t- 6 = 10 points sur C^ qui, conjointement avec les neuf points doubles, devraient former les points de base d^un faisceau de courbes C4, tandis que deux courbes C4 ne peuvent se couper qu^en seize points. II ne reste donc comme possible que la première hypothèse, ce qu'il fallait démontrerr Par conséquent^ si quatre points G 4 soîit situés de telle sorte sur Ct que par ces points passe un ensemble doublement infini de courbes adjointes C4, on peut par tout résidu Tb du groupe faire encore passer un système ( * ) simplement infini de courbes C4 de cette espèce, et réciproquement.
Tout groupe G4 de l'espèce en question formant ensemble avec les neuf points doubles treize points de base d'une famille doublement infinie de courbes C4, il existe au moins un ensemble doublement infini yj," de groupes Te. La totalité de ces groupes se trouve aussi représentée par là, car le système d'équation obtenu pour les six points x^'^ est, d'après une proposition de la théorie des déterminants que nous allons exposer incessamment, équiva-
(') On peut aussi employer les systèmes ^^i) pour la transformation de G, en la forme normale indiquée par Riema!I!i {loc. cit., § 13), c'est-à-dire en une courbe C, à deux points quadruplas et trois points doubles. Soient, en effet, ^ = o, x^^ ^ deux adjointes €« qui se coupent aux six points x^*^ de l'un des groupes T^ caractérisés dans le texte, et ^'=0, x' =^ o deux autres courbes C^ qui ont en commun les six points xC) d'un autre groupe T^ de la môme espèce; on se servira des formules de transformation
Une courbe quelconque du réseau »t^x'~^ *a^'x ~^ ^•XX'^^ "^ alors en commun avec G, quarante-huit points fixes (dont trente-six se trouvent aux neuf points doubles et six en chacun des groupes jr(0 et «O), et, par suite, coupe encore C, en huit points mobiles (dépendant des quantités a). Mais le faisceau /> -f- jl;i^ = o n'a plus que quatre points d'intersection mobiles; il en est de mémo du faisceau r/f'-^ ).x'=o; la courbe Gg qui prend naissance a donc, en chacun des deux points Jr^ s= o, j-, s o et j',^ o, ^,= o, un point quadruple, ce qu'il fallait démontrer, {f^oir, sur les formes normales de Riemann, Brill, Math, ^nnalen, t. I. p. 4oii ®^ t* ^h loc, cit.). L'établissement de ces formes exige, d'après Riemann, la recherche de deux fonctions algébriques devenant nulles ou infinies dans le moindre nombre de points possible, c'est-à-dire dos fonctions dont le numérateur et le dénominateur égalés à zéro représentent des courbes qui ont avec la courbe le plus grand nombre possible de ])o{nts communs. Les fonctions de cette nature sont précisément ici les quotients 'p '. x cl p' : y'.
LA GÉOMÉTRIE SIR U:fB CODABB ALGÉOBIQUe. 4^
lent seulement à quatre équations indépendantes les unes des autres, de telle sorte que Ton peut prendre encore deux des points x^'^ à volonté sur C7. On reconnaît ainsi (la réciproque de ce raisonnement étant vraie) que le nombre de tous les groupes possibles Te sur Ct est épuisé par les résidus en nombre doublement infini d*un nombre fini de groupes G4 de Tespèce précitée, et inversement que tous les groupes G4 sont résiduels d'un nombre fini de groupes V^ du système précédent yi*'.
La réciprocité complète exprimée en cette dernière circonstance entre les systèmes y^î^ et g^'J^ est, ainsi qu'on le verra incessamment, particulière aux courbes du genre 6 [qui peuvent toutes, en général, être transformées en une courbe du septième ordre, à neuf points doubles, et, par suite, en une courbe du sixième ordre, à quatre points doubles {voir p. Sp)]; on peut d'ailleurs effectuer la détermination des systèmes ^^, et g^p^ sur une courbe de genre p absolument comme nous l'avons fait poiur le cas de p=.6. Si nous nous demandons, en effet, comment/; — 3 points J^*\j^^\ . . ', j^P~^^ doivent être situés sur la courbe primitive G,, pour que toute courbe adjointe C/i 3, menée par ces points, passe encore par un autre point fixe de G/,, nous imaginerons que l'on adjoigne aux points j^^*^ •••> J^^~'^ deux points mobiles y^P~^\ j>^^~*^ et nous rechercherons la condition moyennant laquelle une courbe adjointe G^^s menée par ces p — i points passe encore par un certain point fixe^^/*^ de G,! pendant que les points jr(/»-2) Qi y{p-\) parcourent la courbe primitive. Getle condition en implique en réalité deux. Nous regarderons doncj'^^^, . . , , j^p~^^ comme seuls donnés arbitrairement, et nous nous demanderons comment j^P^*^ et j^P~^^ doivent être situés pour que toutes les courbes adjointes G„8 menées par ces points passent encore par un point commun j^pK Gomme ici les données comprennent quatre points de moins qu'il serait nécessaire pour la fixation d'une telle courbe G«3, on peut par les y» — 5 points donnés (*) faire passer cinq courbes Çj = o, cj2= o, . . ., <p5= o avec lesquelles une courbe adjointe quelconque G,f 3 passant parles points
(') Dans le cas de p = 6, nous pouvions encore choisir arbitrairement un des quatre points ^(').
TOUS III. — CnAMTKE I.
en question se compose linéairement; la courbe générale de cette famille a donc la forme
La condition imposée est que toute courbe de ce système qui passe parj^f^~*^ eij^P~^^ passe aussi par^^/'', que conséquemment des équations
résulte d'elle-même T équation
Pour cela, il est nécessaire et suffisant que les valeurs des fonctions <f£ se composent linéairement avec celles des deux premières, que par suite pour i = i , 2, . . ., 5 aient lieu les équations
y,.(j(P)) =: \fi{y(P-')) -h f*7,(j(/'-»)).
On a là cinq équations qui renferment X, f* et les coordonnées des trois points j^P~^\ y(p-^\ J^^\ et qui, en tenant compte de f{j^''~*^) = o, fij^P'^^) = 0, f{y^P^) = o, renferment également cinq inconnues. Ou peut, comme on sait, les remplacer en posant yi^^^= Xiy jl''~**= j7, j\''^= Zi, par la formule unique
?ib) f%[y) ?i[jr) ?k(x) uir)
fi{z) ^,(3) f^(z) f^[z) fn{z)
laquelle exprime que tous les déterminants mineurs ternaires des fonctions (fi formés avec la matrice comprise entre les lignes verticales doivent s'annuler séparément, et est équivalente à tr^ois équations indépendantes les unes des autres. 11 s'agit alors de répondre à la question de savoir combien de systèmes de valeurs ^9^) ^ satisfont simultanément à ce système d'équations et aux équations/(j:) = o, f{j ) = o, f{z) = o {*).
Désignons provisoirement le nombre de ces systèmes de valeurs
(*} Si l'on pose pour abréjjer f^{x)=za^, o^(/) = 6j, f^(z) = c^, tous les délermi-
LA GËOHÉTRIB SUR VUE COOBBB AUitBBIQCB.
par Z ( * ) ; il existera pour p — 5 points quelconques Z groupes ternaires de l'espèce précitée, et il y a en tout un nombre p — 5 fois infini de groupes Gp 2 par lesquels passe une infinité double de courbes C^^j {^). Ces groupes se répartissent d'une manière remarquable sur certains systèmes qui sont en nombre p — 6 fois infini et dont chacun renferme un nombre simplement infini de groupes, c'est-à-dire sur les co P~^ systèmes gpL^; chacun de ces groupes est résiduel par rapport à tous les groupes d'un sys* lème déterminé yjj*, de telle sorte que tous les groupes d'un système gpLt sont corésiduels entre eux. On arrive à ce résultat comme on est arrivé au résultat correspondant dans le cas de pz=z6j k l'aide du théorème donné (p. 35) sur les systèmes gJJLi. Si, en effet, Fp est un groupe résiduel d'un groupe G^t , que nous supposerons composé des points x^*\ o:^^^, ..., x^P\ il résulte en premier lieu du théorème dont il s'agit que, par chaque réunion de p — i de ces points j^/, on peut faire passer un nombre infini de courbes C„s, et, pour cette raison, tous les déterminants mineurs d'ordre^ — i doivent s'évanouir [voi/\ pour ^ = 6, p. 40 dans le déterminant suivant d'ordre p :
^,(x<P)) ^.(jrC")
nants de la matrice (3) s'annulent dans le cas (^voir la Mole I de la page $9) où ont liea les trois équations
à moins que Von n'ait en même temps
Pour trouver les solutions do système d'équations (3), il faut donc, des solutions communes des équations («) [en tenant toujours compte des conditions/(«) = o, f(j) = o, /(x) = o], retrancher les solutions communes des équations {fi), (') Zest égala p{p — i)[i(p -1) — 1]. {roir la fin de la IV Section.) (*) Ici et dans ce qui suit, il s'agit naturellement toujours de courbes adjointes»
Or, les équations qui résultent de là expriment précisément que par les p points x^'^ du groupe Tp on peut encore faire passer un système simplement infini de courbes C»3 ; on démontre aussi, à peu près comme précédemment, la réciproque de cette proposition. Le système d'équations mentionné en dernier lieu se montre équivalent à quatre conditions, c'est-à-dire que Ton peut prendre encore arbitrairement p — 4 points d^ un groupe Tp, Si alors flp,=:o, cpa=o, ^8 = 0, <p4=o sout quatre courbes du système triplement infini déterminé par les p — 4 points, nous avons pour la recherche d'un groupe T p à déterminer quatre autres points ^, 7j, ^, 6 tels, que tous les premiers déterminants mineurs formés avec le déterminant
fl(i3) ^t[ri) f,(îî) y4(i3)
?i(«) yî(^) ?s(«) ?*(ô)
s'évanouissent. Donc, tandis que d'une part la détermination des groupes r^ peut se faire directement par la recherche des solutions communes (c'est-à-dire par les systèmes de valeurs Ç, r;, Ç, 0) du système d'équations ainsi obtenu, on aperçoit, d'autre part, que le problème de la détermination des groupes Tp se trouve ramené à la détermination de groupes Gp 2 de l'espèce précédente, car tous les groupes Tp s'obtiennent comme résidus de tous les groupes Gp a.
Désignant actuellement par 2! le nombre des groupes quaternaires ^, T}, C Q deC/i qui satisfont au système d'équations obtenu en dernier lieu ( * ), nous pouvons résumer ces résultats dans ce qui suit. Si l'on part àe p — 5 points quelconques, il existe encore Z groupes ternaires différents qui, ensemble avec ces points, déterminent un groupe G^, par lequel passe une infinité double de courbes C,i 8 ; ces courbes C„8, en nombre doublement infini, déterminent par leurs intersections avec C/i une famille y^* de groupes Ty, (^), et par chaque ensemble F'*' passe une série sim-
(*) Nouitrouveron8pluBtardZ' = ^/ï(/> — 1)'(/> — a)— |/ï[(/ï— 1)(/> — a) — (/>-t-i)]. (') La courbe C„ peut, par suite, èlre transformée unidétcrmiMativeinent en une courbe C^, mais aucune réduction de l'ordre n'est possible ensuite.
LA GÉOMÉTRIE SCR U.'tE COURDB ALGÉBBigOK. 4?
plement infinie d^aulres courbes C^^s* Réciproquement, Tensemble de ces dernières détermine sur Cn une famille g^^^ de groupes Gp t dont Tun a été notre point de départ. Il existe donc en tout un nombre p — 6 fois infini de familles gfJJL, de cette catégorie, en sorte qu'il faut p — 5 points quelconques pour déterminer un groupe individuel GjJLt» Celles-ci se divisent en Z systèmes complètement séparés qui répondent aux racines de l'équation du Z^^.™*' degré dont dépend leur détermination ; et cela de telle sorte qu'aucune famille d'un système n'ait avec une famille d'un autre système un groupe Gp^2 complet commun, et que l'on ne puisse pas arriver par variation continue d'un groupe d'un système à un groupe des Z — i autres systèmes ( * ). Or, comme à toute famille gpLf répond une famille y^' de groupes résiduels^ il existe aussi un nombre p — 6 fois infini de familles différentes y^, ce qui concorde avec le compte direct fait précédemment, et ces dernières se partagent en Z' systèmes séparés. Ce nombre TJ coïncide en particulier avec le nombre Tj pour le cas de p = 6, qui se trouve par là caractérisé de la manière indiquée plus haut (p. 43). Si, en effet, p est égal à 6, il n'existe qu'un nombre ^im de familles g^lJL, et qu'un nombre fini de familles y^^; or le nombre de ces familles est nécessairement le môme, parce que d'une famille gpLt dérive toujours unidéterminativement une seule famille g^^, car, dans ce cas, ces familles ne renferment plus de points arbitraires. Au contraire, pour /; >> 6, une correspondance unidéterminative de cette espèce n'a plus lieu.
Faisons remarquer, en terminant, f/uil ne peut exister de familles y^' et gp-tpour p == 5 et, en général, pour p <^6; car, dans ce cas, le nombre p — 6 des points que l'on peut prendre encore arbitrairement dans chaque groupe des deux familles deviendrait négatif, ce qui n'a aucun sens. On le vérifie du reste sans difficulté directement. En efiet, une courbe du genre p=:5 peut (si elle n'est pas hyperellîptique) être transformée (d'après ce qui a été
(*) Nous rencontrerons plus tard encore de tels systèmes de groupes de points sur G, complètement séparés, lorsque nous considérerons les courbes de contact. Noua en trouvons aussi des exemples dans les trois systèmes de couples de pôles sur une courbe de troisième ordre» et dans les systèmes de points où une conique peut avoir Bvec cette même courbe un contact d'ordre élevé.
4H TOME m. — CBAPITRB I.
dit t. II, p. 258 et 267) en une courbe du sixième ordre à cinq points doubles; mais, s'il existait sur cette courbe Cs un groupe G5 par lequel passerait une infinité double de courbes adjointes Cs( = C„8), il faudrait que toutes ces courbes eussent en commun, conjointement avec les cinq points de G5, les cinq points doubles de Ce, c'est-à-dire en tout dix points communs, ce qui est impossible.
Après avoir ainsi expliqué sur des exemples particuliers la notion des groupes spéciaux et démontré leur existence, nous passons à l'étude générale de ces groupes. Nous allons d^abord établir le théorème appelé tlieorème de Itiemann et Roch, qui se réfère aux relations respectives des groupes de cette nature (et que nous avons énoncé aux pages 35 et 4^ pour des cas particuliers); nous prouverons ensuite, d'une manière générale, l'existence de tels groupes par l'établissement des équations de condition qui les concernent.
Nous commencerons par revenir à nos recherches précédentes sur les systèmes de points d'intersection des courbes adjointes C«8, recherches interrompues au moment où nous énoncions cette importante proposition (t. II, p. i43), q\i* une famille linéaire g'^^ q fois infinie de groupes de Q points chacun peut toujours être découpée par une famille de courbes adjointes C^^j si la relation
(6) y^Q— /?-hi ouQ — 7^/?— i
est satisfaite (*).
(*) Une famille g^9\ pour laquelle 7 = Q — /?-m, est déterminée par les interaeetions de courbea €„, qui passent par R = 2/» — a — Q points fixes G|^. Si donc on a Q ^ /» — I , et que q soit d'aiUeurs un nombre positif, le groupe G,^ sera nécessairement d'un caractère tout particulier; alors ^, = o, p,= o étant deux courbes G«.,
menées par O^^ ^ est une fonction algébrique qui deviendra infinie pour Q points,
c'est-à-dire pour un nombre de points inférieur à p. Mais, d'après la proposition du texte, toute fonction algébrique de cette dernière esphce peut réciproquement être
représentée sous la forme ^* C'est ainsi présentée que la proposition se trouve dans
RiEMANN, loc, ait,, s 10. Mentionnons encore un exemple du théorème. Sept points quelconques étant pris sur une courbe C^, on en déterminera deux autres [et cela de trois manières différentes (p. 16 et suiv.)] de telle espèce que par les neuf passe
LA GÉOMÉTRIB 8UI UMB COniBB ALGÉBBIQCB. 49
Dans DOtre démonstration , nous sommes partis du fait que la proposition est exacte en toute hypothèse pour q = o, et nous avons montré alors qu'elle a encore lieu pour q = i Nous sommes venus à bout des autres cas en nous élevant d'un système g'jjz/^ à un système g^^\
Nous avons déjà fait remarquer qu'il s'agit avant tout pour nous de l'étude de ce que nous avons appelé les groupes spéciaux ('), c'est-à-dire des groupes assujettis à posséder les propriétés définies dans les exemples précédents (p. 33). D'une manière générale, nous comprendrons actuellement sous le nom de systèmes spéciaux g'f^^ un ensemble linéaire q fois infini de groupes chacun de Q points, pour lequel on a
c'est-à-dire un ensemble dont un groupe spécial déterminé GS* n'est fixé que si l'on prend plus de Q — p -\- i points arbitraires. Les systèmes spéciaux qui sont possibles sur ' une courbe C^ ne sont aucunement indépendants les uns des autres et peuvent au contraire se grouper deux à deux, suivant une loi remarquable, de telle façon que d'une famille donnée on peut toujours en déduire une autre, ainsi qu'il est arrivé dans les exemples précédents, et le fait a lieu en conséquence de la proposition suivante :
Si R points Gr ont sur une courbe J* non décomposable de genre p une situation particulière telle que les courbes adjointes du [n — 3)**™® ordre qui passent par ces points forment encore une famille q fois infinie ( q étant un nombre positif et supérieur à j) — 1 — R), cas oh leurs intersections déterminent l'ensemble de l^roupes yjj^' (Q étant égal à ip — 2 — R), le groupe G^ appar-
une infiniic simple dt' courbes C,. Les trois points d'intcrsoclion mobiles forment alors un système i,''*' ]>our lequel la condition (6) est satisfaite; ils peuvent donc être déterminés par les intersections d*un faisceau de droites (C^3= C, ). Ce dernier engendre alors inversement, avec le faisceau de courbes C,, la courbe C^, suivant le procédé de Cdables (t. Il, p. gS).
1*) Pour les recherches suivantes, voir Brill et Nôtiier, Math, Annalen, t. VII, p. a<So et suiv.
Clebscii. — Géométrie ^ 111. 4
5a TOME III. — CHAPITRE I.
tient à un système r fois infini pour lequel on a
et qui est conscquemment encore un sjstème spécial; en d'autres termes j par tout groupe Fj^' de l'ensemble yJJ' passe une familUf rfois infinie de courbes adjointes d'ordre n — 3 dont les intersections déterminent l'ensemble g^n' de groupes Gr'.
Pour le démontrer, nous pourrions encore, sous le bénéfice de quelques propositions empruntées à la théorie des déterminants, suivre la même voie que pour le cas de R = p — 2, / == i , Q = /^, {/ = 2 (p. 45 et suiv.); mais on arrive également très simplement au but en faisant usage du théorème ( * ) sur les systèmes spéciaux (t. II, p. 143, et t. III, p. 48), comme précédemment dans le cas de q = r= i, Q = R = /; — i (p. 35), et cela de la manière suivante :
Soit donné un sjstème spécial g'^' à Tégard duquel rinégalité
(7) se trouve satisfaite par définition, et soit
/- désignant un nombre entier positif, mais tel que l'on ait r<^p — I. Nous adjoindrons à tout groupe de l'ensemble g^^J* les mêmes r points fixes (choisis d'une manière quelconque). L'ensemble donné en produit alors un autre g^^\ où
et pour lequel conséquemment le nombre des paramètres arbitraires ne s'est pas accru, tandis que le nombre des points a subi une augmentation dans les groupes individuels de l'ensemble. Actuellement on a, en vertu de (8),
ou, en d'autres termes, la condition (6) est remplie à l'égard du
{*) Conjointement avec la démonstration suivante du texte, on trouve à l'endroit cité une démonstration obtenue par généralisation des considérations qui ont été présentées à la page 35. Nous reprendrons la marche suivie duns l'autre exemple lorsque nous arriverons à la Section consacrée à l'évanouissement des fonctions 0.
LA CÉOHÉTIUB 8CR Q7IE COCRBB ALGÉBBIQDB. 5l
système GjJ^^ Ce dernier système peut donc être traversé par un système d'adjointes C„3, et conséquemment par tout groupe GjJ.' du système passe une courbe adjointe. Mais comme, parmi les Q' points du groupe, r ont été choisis d'une manière complètement arbitraire, on doit pouvoir, par les Q' — r = Q points du «groupe en question G'J\ faire passer au moins une famille /• fois infinie d'adjointes C^^a ; en d'autres termes, toutes les courbes C/»8 d^ cette catégorie passant par le groupe Gj^' déterminent un système g*^^ pour lequel R est égal à 2p — 2 — Q et lO au moins éf^al à 7% c'est-à-dire qu'on a, d'après (8),
(9) & > (7 ^- /> — I — Q et conséquemment > R — p~{-i -r- q.
Mais p ne peut pas non plus être supérieur à r. Si nous posons en eflTet p=R — p -{- i -{- k, y. étant supérieur à q^ on sera conduit du système f^^ à un système g^ par des considérations absolument identiques à celles qui ont servi à déduire le système g^^ du système g^^ en sorte qu'on obtiendrait pour x Tinégalilé
;iO) y.>Q-^;f- H p,
analogue à la relation (9). Mais les deux systèmes g'f et ^!^ sont résiduels d'un groupe quelconque Gif, ainsi qu'on l'aperçoit immédiatement d'après notre construction des systèmes g^^ et gj^\ les deux systèmes doivent donc comprendre le même nombre de paramètres arbitraires (t. II, p. i4i )» et de là résulte ik. = q^ d'où aussi, en vertu de (10) et de (8), f, = r. Nous formulerons ce résultat dans le théorème suivant :
Si par un groupe Gj^' d'un système spécial g^^^ sur C„, systerne dans lequel q est donné par (8), c'est-à-dire oii l'on a ^ =rr Q — p^ i ^ r, on fait passer une courbe adjointe du [n — 3 y^"^*' ordre, celle-ci coupe encore Cn en 2p — 2 — Q = H points qui, de leur côté, si l'o/i mène par GJJ'* toutes les courbes possibles Cn-^ de l'espèce en question, forment un système spécial g-R^ de groupes Gr ' pour lequel r possède la valeur déduite de (%), r = K — p-M -f-<7.
Or, c'est là encore, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement, le théorème de Riemann et Roch, précédemment énoncé sous une
autre forme ( ^ ), ihéorème par le moyen duquel on obtient le groupement par couples des systèmes spéciaux dont nous avons parlé: car, pour deux systèmes gjj' et g^^^ associés de la manière prescrite, on en déduit les relations
(il) Q-f-R = a/? — 2, Q — R = !i^ — 2r.
Quelques exemples serviront à mieux éclaircir encore le sens du théorème.
A. Courbe du cinquième ordre à un seul point double, p = 5 . — Nous pouvons ici déterminer un système spécial g^^ par des coniques adjointes, dont chacune se décompose en deux droites, savoir une droite fixe passant par le point double et une droite mobile d'une façon quelconque. Comme on a Q = 5 et y = a, on trouve, en vertu de(ii), R=3,r = i, c'est-à-dire un système g^' : ce dernier prend naissance lorsque la courbe adjointe Ca se décompose en une droite fixe quelconque et en une droite mobile passant par le point double.
B. Courbe du sixième ordre à deux points doubles, p=S. — Nous pouvons déterminer un système spécial g^j^* = g^^ par une famille de courbes Cn«3, dont chacune se décompose en une droite fixe passant par l'un des points doubles et en une conique mobile passant par l'autre point double et, en outre, par trois points fixes de la courbe primitive. Pour le système associé ^a . on trouve R= 7, r = i; les sept points qui sont déterminés sur la courbe primitive par une conique quelconque du faisceau précité forment donc, ensemble avec les deux points doubles de Ce (la courbe primitive), un système de neuf points par lequel passe une infinité de courbes du troisième ordre (^). On obtient un système spécial g'^^ = gf si les courbes sécantes C^^s se composent d'une adjointe fixe C2 et d'une droite mobile.
(') Il a été établi d'une autre manière pour quelques cas particuliers, par I\|£Xan>, loc, cie.f et § 5, Journal fie Crelle^ t. 54, et Ueber das rersclnvindcn dcr Thetafunettonen{ibid.t t. GG); il n été presque immédiatement démontré d'une manière générale par Rocn, ibid.^ t. Gi, p. 37:^ (/Wr plus bas la Section XI, sur révanouisscment de» Ibnctions 8).
(') C'est donc là un nouvel exemple du cas traité t. Il, p. 35.
LA GÉOMÉTRIB 8C1I C!fB COURBE ALGÉBRIQCB. 53
Il vient pour le système associé R = 8, r= 3, et rensembie ^?' est traversé par l'ensemble des adjointes C2 (en y réunissant la droite fixe).
C. Courbe du cinquième ordre à deux points doubles, (^oirla note de la p. 36. )
D. Courbe du septième ordre à neuf points doubles, [Voir p. 38 et suiv.)
Nous nous proposons maintenant de présenter d'une manière f^énérale les explications qui, dans la courbe du septième ordre à neuf points doubles, nous ont conduits à certains systèmes de déterminants; en même temps, nous approfondirons un peu les propositions de la théorie des déterminants qui sont relatives à ces systèmes. Pour le moment, nous ne ferons aucune attention au nombre de systèmes spéciaux de groupes possibles (nombre exprimé par Z dans l'exemple). Il s'agit actuellement pour nous de fixer pour les nombres Q, R, y, r certaines limites en deçà desquelles la recherche des systèmes spéciaux puisse encore avoir lieu. Les raisonnements algébriques nécessaires à cet objet restent les mêmes si l'on remplace les courbes adjointes Cn^z P«^r des courbes adjointes d'un. ordre quelconque. Nous traiterons donc immédiatement le problème général qui suit :
Soit donnée une famille tfois infinie de courbes adjointes. On demande de déterminer, sur f=Oj R points ( Gr) tels, que par eux passe un nombre q fois infini de courbes de la famille donnée.
Ce problème conduit de même naturellement à l'évanouissement d'une matrice, c'est-à-dire à l'évanouissement d'un certain nombre de déterminants qui ne sont pas indépendants les uns des autres. La famille t fois infinie de courbes étant donnée par Téquation
on a, relativement à elle, les R équations
(l3) Y(a:(»))=r:o, y(xC«))=o, ..., T(.r(R))=ro,
et simultanément,
Les équations (i3) doivent, parmi les rapports des paramètres or,-, en laisser encore q arbitraires; il y en a donc seulement t — ? qw» soient applicables à la détermination de ces rapports, ou, en d'autres termes, de t — y -h i quelconques des équations (i3), chacune sera une conséquence des t — </ restantes. Or de là résulte, circonstance répondant à (5), cette condition que tous les déterminants de Tordre t — ^ -f- 1 du Tableau
•^.(xO) ^,(.rO>) •;,,(.r(')) ^.(.r(»))
•|,,(.r(«)) -^.(xf»))
doivent nécessairement s'annuler ('); qu'il en est ainsi, par exemple, de tous les déterminants de la forme
(,5) Da^-
où l'on doit mettre successivement
pour i toutes les valeurs, .. / — 7-+1, ' — 7-+-?,, pour /i toutes les valeurs. .. / — <7-i-i, r — q -h z.
A/fl/V il est aussi précisément nécessaire et siiffîsant pour que toutes les équations en question soient satisfaites, que tous les déterminants Y^ik s' évanouissent indii^iduellement (2), en suppo-
( ' ) Pour ^=. t — ^ -I- 1 ^ ce problème a été formulé do la même manière par CLEnscn et GoRDAx, Théorie der AbeVschen Functionen (p. 211 et suiv.).
(*) Voir Kroxecker dans la Théorie des déterminants de Baltzer, page 4^ de la 3* édition. C*cst à de semblables questions que se réfèrent les recherches de Robert, publiées dans le Journal de Crellc, t. G7, p. 26G.
LA ctoNinii «m gm covaM ausCmique.
saut que le déterminant du [t — ^y*'" ordre
+,{*('-«)) ^.(xC--/))
ne soit pas lui-même nul. Or, nous pouvons toujours supposer qu'il en est ainsi, puisque nous n'avons imposé aucune condition au système des courbes (12). Pour démontrer notre proposition, nous développerons Dij^ suivant les éléments de la dernière ligne horizontale, sous la forme
^ik= +1 lx(*0 . B,, -h ^, (x(*î) . B,,
OÙ la loi de formation des quantités B;^,- comme déterminants mineurs de D/A est facile à apercevoir. Posons maintenant
(.6) Q,. —f •(.!:(*■)) -^ = -^[^.{x(*))B„- + ... + V,;-''^*')B»-,.,-]; il viendra
si i ou A" prend l'une des valeurs i jusqu'à t — ç, D/* s'évanouissant alors; et si l'on attribue à l'indice i toutes les valeurs, depuis ] jusqu'à f-f-i, à l'indice k toutes les valeurs, depuis I jusqu'à R, les quantités C/a, en vertu de la manière dont elles sont composées avec les quantités ^ et B (*), forment un système d'éléments tel, que tous les déterminants de l'ordre / — q -h i que l'on peut en déduire sont nuls. Si l'on suppose donc que les déterminants
*^t 7-M,/-ç-+-t» ^t—q-hl.i-q-k-19 »
/-♦ t./— g-f-li
r-hliR
sont tous nuls, comme nous l'avons fait précédemment, tous les éléments Cm se confondent, en vertu de (16), avec les fonctions
(') Cette conséquence résulte da théorème sur la multiplication des détermioanls. (Voir Journal de Crelie, t. 67, p. 38.)
56 TOVB III. — CHÂPITEB I.
^/(j:^*^); c'est-à-dire qu'ils forment de nouveau le Tableau (i4)- Donc, tous les déterminants de Tordre t — y -+- i des quantités ^ sont également nuls, ce qu'il fallait démontrer.
Par conséquent, dans le système (i4) sont uniquement comprises (^-4-i)(R — ^-+-9) équations indépendantes les unes des autres; savoir, par exemple, celles qui sont données par l'évanouissement des déterminants D,-;^ réunis dans (17)* Les solutions communes de ces dernières donnent donc aussi celles du système (i4)î car tout système de valeurs qui entraîne l'évanouissement des déterminants (17) satisfait aussi aux autres conditions qui résultent de (i4)î il faut néanmoins en retrancher tous les systèmes de valeurs pour lesquels s'évanouissent des déterminants de la forme D ( * ). Or dans les(^-f-i)(R — ^-4-y) équations figurent R inconnues, savoir les coordonnées des points x^'\ lesquelles sont en outre liées aux équationsy(xf'^) = o. Parmi ces R points, on peut donc en prendre arbitrairemeni sur y
nombre qui ne peut devenir négatif en aucune hypothèse. Pof conséquent, pour que l'on puisse trouver sur f des groupes de R points par lesquels passe une famille q fois infinie de courbes tirée d' une famille linéaire donnée tfois infinie ^ il faut La réalisation de la condition
On impose au nombre (18) une condition plus restrictive encore, si Ton demande que les groupes Gr forment un système de multiplicité déterminée, traversé par des courbes d'ordre déterminé. L'établissement de cette seconde condition présente un intérêt particulier si les fonctions ^ sont de l'ordre n — 3 el que les groupes G^i eux-mêmes forment encore un système spécial g^Jf"', c'est-à-dire sont traversables par une famille r fois infinie d'ad-
(*) Voir à ce sujet les exemples donnés dans la 4* Section de ce Chapilre, ainsi que la note de la page 44* ^^ exemples montrent éjalemcnt que le nombre des solutions restcuites n'est pas nul en général.
(') Sur la question de savoir dans quelle mesure ces considérations restmt exactes <à l'égard des courbes non adjointes, 'uoir ci-dessous la Section relative aux système!» de points d'intersection.
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jointes C„^^y les nombres r, R, y, Q étant liés alors entre eux par le théorème de Riemann et Roch. Revenons, par exemple, au cas précédemment mentionné (p. 43 et 4^) où nous avions
rt OÙ, en concordance avec (i8), p — 5 points pouvaient être choisis encore à volonté sur y, pour trouver un groupe Gr = Gp^2 par lequel passerait une infinité double de courbes C^^a. Si, de plus, ici le groupe G^ doit appartenir à un système simplement infini (r étant égal à i ) g pif, nous avons encore la seconde condilion p — 5^1, et le nombre p — 6 est le nombre (désigné plus loin par t) des points qui peuvent être choisis arbitrairement si Ton veut trouver un système g'pLj.
On vient de la même manière à bout de notre problème général concernant les courbes C„3, c'est-à-dire la détermination des systèmes spéciaux g^^'. Nous supposerons dans cette circonstance que t est égal à ^ — i, c'est-à-dire que les courbes de la famille 112) ne satisfont à aucune condition autre que celles d'être du [n — 3)ième Q^dpc ct d'être adjointes k f. Les déterminants (i5) ou (i-) deviennent dans ce cas des déterminants d'ordre p — q, et parmi les R points qui figurent dans les équations résultant de (i4) on peut encore en prendre d'après (i8)
R— («7-4-i)(R-+-<7— />-hi)
arbitrairement. Mais, pour que nous arrivions à un système g*{^, il faut non seulement que ce nombre ne devienne pas négatif, mais encore quilne descende pas au-dessous de r. Or comme, en vertu de (i i), on a R — p -hi = r — y, à la place de [ig) se présentera pour les groupes spéciaux Gr' la relation
et de là résulte, en tenant compte de (11),
OU encore, si l'on élimine R de (20) au moyen de (m),
(22) /'5;(r-4-i)(/7-hi).
Les différences des premiers et des seconds membres de ces
58 TOME ni. — CHàPITBB i.
inégalités
donnent le nombre des points d'un groupe G^ qui restent encore arbitraires après que /• points de ce groupe ont été fixés à volonté et qui doivent être eux-mêmes fixés de telle manière que l*on obtienne un Tïovahve fini de systèmes g^f^ séparés de tous les oo* systèmes /• fois infinis g^^^ satisfaisant aux conditions données. Or le nombre t peut devenir aussi petit que l'on voudra; s'il est égal à zéro, il n'existe qu'un nombre fini de systèmes gfi^ sur Ci,, comme dans l'exemple considéré pour p = 6. Sh au contraire^ il est négatifs le problème cesse d'être résoluble (p. 47)-
A tout système gf[^ de groupes corésiduels Gr correspond, d'après le théorème de Riemann et de Roch, un système pareil g*^^ ou réciproquement; et cela de telle sorte, que tout groupe de Tun des systèmes est résiduel de tout groupe de l'autre système; le^ nombres Q, q se déduisent ici de R, r au moyen des équations (i i}. Les systèmes en nombre t fois infini g^^^ ont celte propriété qu'aucun d'eux n'a en commun avec un autre un groupe complet G^', parce que, suivant le théorème du reste, un groupe délcrmîno complètement et sans ambiguïté le système auquel il appartient. La même chose a lieu à l'égard des systèmes g'^'^ dont il existenaturellement aussi un nombre r fois infini.
Le cas de r = o est particulièrement intéressant pour la suite. Lorsqu'il se présente, on trouve au moyen des équations (i3) ou (i/{) ou au moyen de l'évanouissement des déterminants D,^, pour /• points donnés un nombre^wi Z de gtoupes de R — /' = /-(r/ -h 1 j points dont chacun forme, ensemble avec les r points, un groupe Gr\ et qui donnent naissance par le mouvement des r points à Z systèmes diflerents gf[^ ( * ). Ces systèmes n'ont entre eux rien de commun et ne peuvent même pas être transformés les uns dans les autres (d'une façon continue) par des variations infiniment petites. Il existe du reste un nombre égal de systèmes de groupes Gj^* sur f= o qui sont associés sans ambiguïté aux premiers comme rési-
(^) En d'autres termes, la détenuinatioa do ces systèmes dépend d'une équation du Z**"** degré. On n'a pu jusqu'ici Taire connaître le nombre Z; pour le cas de R = r — ç + 1, saTaleur a été donnée sans démonstration par Brill et NOtheb, lœ. cit.
LA GÉOXÉTRIE ftOft CXI COORBB ALGÉBRIQUE. 5Çf
dus, et inversement, [f^oir l'exemple précédent, p. 4^ et suiv.) La recherche des systèmes g'^^ conduit, par conséquent, à une équalion du même degré que celles des systèmes g^^^ ; h nombre des 5oluttons est le même pour les deux problèmes, et les solutions des deux équations se déduisent les unes des autres, d'une manière parfaitement déterminée, bien que les problèmes apparaissent comme complètement différents au point de vue algébrique.
Si, au contraire, t est différent de zéro, il n'y aura plus correspondance analogue de deux problèmes déterminés, [f^oir Texemple cité.) S'il existe, en effet, un nombre fini de groupes se composant chacun de R — /• — t = r (y 4- i ) points qui avec r-f- T points forment un groupe Gr\ ceux-ci conduisent, d'après le théorème de Riemann et Roch, à des groupes GJ^' qui peuvent bien avoir q, mais non ^ -+- t points communs, car par q points se trouve déterminé un nombre fini de groupes Gj* de cette espèce. Si l'on prend d'après cela y 4- t points arbitrairement et qu'on cherche les groupes GjJ' qui leur correspondent, c'est-à-dire les groupes de Q — q points chacun qui les complètent, le chiffre do ceux-ci est fini, mais d'ailleurs différent du premier nombre. Mais il existe relativement à /• points donnés, ainsi que la remarque en a déjà été faite, un nombre t fois infini de solutions pour la détermination des groupes Gl['', auxquelles répondent unidéterminativemcnt pour q points donnés d'une manière quelconque un nombre r fois infini de solutions servant à déterminer des groupes G"^'.
Au commencement de nos recherches sur les groupes spéciaux, nous nous étions demandé quels étaient les systèmes doubUnnent infinis dans lesquels le nombre R des points mobiles était aussi petit que possible (p. 3^ et suiv.). Notre condition ('21) nous permet maintenant d'indiquer immédiatement pour le cas de /■ = 2 la plus petite valeur que puisse prendre R. En effet, d'après la relation dont il s'agit, on doit avoir
Si donc ^=:3Tr, t. désignant un nombre entier positif, nous avons comme valeur minima de R dans le cas de r = 2
et cette valeur satisfait encore, pour/; = 3;: -+• i et /; = 3;: -4- 2, à la
TOMB III. — CHAPITEB I.
condition posée. Mais les relations (20), (ai) ou (22) permettent d'indiquer en général la valeur minima du nombre R de points, pour lequel r, étant donnée peut exister un groupe spécial G^. surf=: o; on obtient ainsi en même temps, d'après (i 1), la valeur maxima relative au nombre Q des points formant les groupes résiduels. Les nombres ainsi obtenus ont été, pour les cas de r = i, 2, 3, réunis dans le Tableau suivant, qu'il sera aisé de prolonger d'une façon quelconque; l' avant-demi ère colonne dé ce Tableau conlienl le nombre t défini par (23) et relatif au nombre des paramètres linéaires dans les systèmes correspondants g^^^ et g'^\ nombre qui ne peut jamais devenir négatif. En se basant sur cette observation, on trouve, d'après (22) et (23), les plus petites valeurs de p pour lesquelles le système spécial correspondant est possible; ces valeurs sont indiquées dans la dernière colonne. Des nombres entiers devant apparaître pour R, etc., il faut faire attention à la nature du nombre p. Soit 7: un nombre entier positif, on trouve
VALEUR de J).
Stt -h I StT -t- 2
4Tr-h3
(r-i- 1)77 avec
Valeui mimma de R.
/? — ÎT-H I
/? — TT -t-2
