H- TT

/? -t- TT /• — 2

fI-

(') On rcconiiail l'oxictiludc do celtu série (jêiicrulc de nombres en la portant dans l'équation (31); il vient ulois en fait, pour t = o, (/ -+- i)K = r(r-f-/^ — i); pour

T>> o, cette condition se t/ansformo en(r-hi)(T4-r)>r(r-Hi-i-r). Or cette dernière est satisfaite.

LA CBOMÉTRIS SUR OME COURBE ALGÉRRIQUE. 6l

Ainsi, par exemple, il existe, comme nous Tavons fait observer plusieurs fois (p. 36), sur une courbe du cinquième ordre à deux points doubles (p = 4,îr=2), deux systèmes différents g^^\ puisque r = Oj r=iy p — 7r-|-i = 3; et tous deux sont résiduels l'un par rapport à l'autre ; en effet, on a aussi ^ = tt — i = i , Q=^ + 7r — 3 = 3. Un autre exemple nous est offert par la courbe du sixième ordre à cinq points doubles (jy=5). Pour deux points Pj, P2 arbitrairement choisis, il existe ici un nombre fini de couples de points qui forment, ensemble avec les premiers, des groupes spéciaux G^*^, p étant égal à a?: -j- i pour ir = 2, p — TT-l- 1 = 4, T = I , d'où résulte /• -f- r =: 2 (ce qui répond au choix arbitraire de deux points). Et il existe pour P|, Pa précisément cinq groupes G4 * ; car si l'on transforme la courbe du sixième ordre au moyen des courbes adjointes Cs en nombre doublement infini qui peuvent être menées par P| , P2, on obtient une courbe Ce qui aura encore nécessairement cinq points doubles; les couples de points répondant à ces derniers sur Ca forment, comme on le sait, conjointement avec P|, P2, les points de base du faisceau de courbes adjointes C3 qui rencontrent Ce dans les systèmes résiduels g^*' = g'ij'(t. II, p. i45). On obtient en tout sur Ce un nombre infini de systèmes g^^^ de cette espèce, puisque t = i. L'un d'entre eux, par exemple, se compose des groupes déterminés par les intersections du faisceau de droites passant par un poipt double; le système résiduel de ce premier système est formé par les groupes G*^ qui sont déterminés par le faisceau des coniques passant par les quatre autres points doubles. Nous renvoyons enfin à l'exemple relatif au cas de p =z6 qui a été traité avec détails. A l'égard de ce dernier, les précédentes propositions sur les déterminants ont établi la preuve qui nous manquait encore de l'existence de systèmes g^ et y*^ sur une courbe du septième ordre, à neuf points doubles ( ^ ).