III. — La transformation en courbes normales. Modules

Nous revenons maintenant au cas de /•= 2, qui présente une importance particulière pour la transformation à détermination

(') Pour les courbes spéciales du genre p, il peut d'ailleurs exister d'aiitros systèmes spéciaux que ceux indiques au Tableau; le fuit, par exemple, se produit dans le cas des courbes byperelHptiques.

Gi TOMB III. — CHAPITHB I.

unique de la courbe primitive. En fait, nous pouvons, d'après nos développements précédents (p. Sn), et en ayant égard aux valeurs minima de R qui répondent à /• ■= 2 et qui ont été indiquées dans le Tableau, énoncer immédiatement la proposition suivante :

La courbe de l* ordre le moins élevé [courbe normale) en laquelle une courbe générale du genre p peut être transformée unidéterminativement est de l'ordre p — tt 4- 2 si le nombre p est de Informe 3tt, 37r-f- 1, Sir-f-a, ou, ce qui revient au même, de V ordre 27r-f-2, 27r4-3, 27r-i-4 respectivement, et, comme le genre de cette courbe normale doit de même être égal à p, elle possède ^{p — TT -4- I ) (/; — TT ) — p ou respectivement 2 tt ( 7: — i ) , 2 71^, 2 7:2-1-2 71-1-1 points doubles ( ' ).

(') Ces courbes normales ont été indiquées pur Brill et NOtiieh, loc.cic. Déjà, dan& la note de la page 4^* nous avons fuit observer, à propos d'un exemple, que les courbes normales de 1\ie3Ia?(N, Théorie dcr Abelschen Functioneiif § 13, diffèrent esseriliellemeiit de celles-là. Dans Riemanm il s'agit, en effet, étant donnée une équatioti F(x,^)=:o du m'*"* degré par rapport à x et du //'*"• par rapport à ^?, d'abaiss-vT autant que possible par transformation unidéterminative les nombres m et n séparément, ou, on d'autres termes, de trouver deux fonctions algébriques différentes l'une

'if 'i' de l'autre, - et -,) qui deviennent nulles ou infinies en aussi peu de points que po^

siblc. On est donc conduit à cliercber deux faisceaux de courbes

{ol) 9,-+-;.;^ = o et 5>'-+-;/r=o,

qui coupent /= G en un nombre aussi réduit que possible de points mobiles ou qin', autrement dit, déterminent sur f=-o deux systèmes j°^||' relativement auxquels R a la valeur minima indiquée dans le Tableau, c'est-à-dire R =./; — tt H- i pour p = '?-j ou p — 2 :; -t- I . Les courbes de transformation dont on doit faire usage, savoir

(/3) «.'r-^f'-^- ^tXy-r- «,X;f'= O»

coupent encore /= o en 2p — 2:r H- a points mobiles. Aux groupes composés chacun de Q=/;-t-;r — 3 points de base des faisceaux (a) correspond un point multiple d'ordre p-r-is — 3 sur la nouvelle courbe. ISous obtenons donc (d'accord avec Riemann) :

Pour /; = 2 7r, des courbes d'ordre /) h- 2 à deux points multiples d'ordre Z[t: — i) et7r(7r — -0 points doubles;

Pour /i =. 2 TT -H I des courbes d'ordre /^ -h 3 à deux points multiples d'ordre 3 w — j et :r* points doubles.

Sont exceptés les cas de ^ =r i et /; = 2. Poury^ = 2;r -4- 1, on a t = i; la transfoi^mation peut donc être réalisée d'un nombre infini de manières différentes. Par une transformation quadratique dont les points fondamentaux sont respectivement situés aux deux points multiples et en l'un des points doubles (ou par des considérations sur les courbes de l'espace) ces courbes normales peuvent aisément être transformées en courbes d'ordre pou p ~\-\ (pour /> > 4 ). ( ^'oir Brill, Math, Annalen, t. H, p. 471-

LA GAOMÉTBIB sur ONB COCBDE ALCÉBRIOCE. 63

Corrélativement aux trois cas cités, on a pour le choix du système de courbes de transformation, eu égard aux valeurs de t lorsque /*= 2, ou bien aucun paramètre, ou bien un seul ou bien deux à sa disposition. Les valeurs de Q et ^ qui correspondent à la valeur R = ;;-|-7r — 2 permettent donc d'énoncer encore le théorème précédent, sous la forme suivante :

Pour p=iitf Stt-i-i ou 37r-+-2, on peut, relatwement à un groupe spécial de p-hi: — 4 ^" respectwement de 4 ^ — 4 > 4îî — 3, 4^^ — "^ points par lesquels passe un nombre doublement infini de courbes adjointes d'ordre n — Z et dont tt — i , tt, tt 4- i respectivfement peus^ent être pris à volonté, trouver encore j[p — ïr-f-i)(/^ — tt) — p ou respectiv^ement 277(7: — 1), 27:^, 27r^-i- 2 7rH- I couples de points qui avec les pH-Tr — 4 points cités forment un groupe spécial rfe27r(7r-|-i) — 4> 27r(7r4-2) — 3, air(7r-+-3) — I points par lesquels on peut encore faire passer lin nombre simplement infini de courbes de la même espèce.

On obtient ainsi, pour les valeurs les moins élevées de p calculées exactement, les courbes normales suivantes : une comparaison avec le Tableau donné plus haut (p. 3^) pour les courbes du [p H- i)'*™* ordre montre comment, en fait, pour ^> 6, on obtient les courbes d'un ordre moins élevé. On trouve

Pour p = 3, Tz ~~ I des courbes du 4* ordre à o points doubles,

5' ordre à 2

p 5, TT I

6* ordre à 5

p - 6, TT 2

6* ordre à 4

/^::^7, Trma

7* ordre à 8

p 8, TT — 2

8* ordre à 1 3

8* ordre à 1 2

Dans ces courbes manquent, par exemple, les courbes du cinquième ordre, où ^=5 et y:; = 6. Ces dernières et, en général, les courbes du genre p dont l'ordre est inférieur à p — tt -h 2 s'obtiennent, au contraire, par transformation de courbes du [p — TT -h 2 )**°*^* ordre sur lesquelles, en vertu de relations particulières entre les constantes qui les déterminent, existent des systèmes spéciaux g^^ ayant un nombre de points mobiles moindre

que cela n'est possible sur une courbe générale appartenant au genre dont il s'agit.

La transformation d'une courbe C„f{x) = o de genre p en la courbe normale correspondante au moyen de courbes adjointes C,i 3 peut, du reste, être rendue impossible par des valeurs particulières des constantes que nous avons déjà mentionnées (p. 32) et que Ton désigne habituellement sous le nom de modules {*). Si, en effet, deux points surfont entre eux une relation telle que (comme il arrive par exemple dans les courbes du cinquième ordre ayant un point triple) toutes les adjointes C/i.s qui passeni par un point quelconque passent par cela même par un ou plusieurs points associés au premier, l'inversion unidéterminative des formules de transformation pyi= ^i{^) devient impossible, mémr sous le bénéflce dej\x) = o, de telle sorte que les variables jc ne peuvent plus s'exprimer en fonctions des vaHables j" rationnellement, mais seulement à l'aide de radicaux (ou en général de quantités irrationnelles), et la correspondance cesse alors d'être unidéterminative. On se convaincra du reste aisément que, dans l'emploi des courbes adjointes Cn^t comme courbes de transformation, il ne peut se présenter d'irrationnalités plus élevées que les radicaux du second degré. Si, en effet, à tout point A donné d'une manière quelconque sury'il pouvait correspondre y poinl> tels que toutes les adjointes C,,., menées par A passassent également par ces y points, on aurait déjà, puisqu'une courbe de cette espèce possède p — i éléments délerminateurs, en prenant p — i points à volonté, fixé [j-{-i){p — i) points d'intersection de la courbe, tandis que celle-ci ne rencontre f qu'en ip — a points mobiles. Donc y est au plus égal à i.

Par conséquent, dans le système de points d'intersection d'uni' courbe G« av^ec une adjointe G„3,i7/ij' a qu'un seul point au plu«* qui puisse être déterminé par un autî^e point du même système ( * ). Or, comme il existe un nombre simplement infini de points sur la courbe, une courbe de cette nature spéciale est caractérisée par la circonstance qu'elle possède un système g^^K A son égard reste vraie la proposition que p — i points d'intersection d'une courbe

(') Nous reviendrons incessuninient sur lour nombic. (') Voir IJRiii, et I\uiiii:r, loc, cit.^ p. -i^C).

LÀ GiOMÉTBIl flOK UW COOBBB ALGÉBBIQVB. 65

adjointe C^i^t sont déterminés par les p — i restants, mais un point individuel quelconque faisant partie des premiers dépend déjà d'un point entièrement déterminé, faisant partie des seconds et réciproquement. On peut donc prendre p — 2 points arbitrairement; par ces points et par les p — 2 points correspondants passe un faisceau d'adjointes Cn-t qui déterminent survie système g)^^ dont il a été parlé. Un groupe individuel Gi* * ( = G}^'*' ) de ce système forme alors, suivant le théorème de Riemann et Roch, le système des points de base des courbes adjointes C/i 8 qui sont en nombre p — 2 fois infini et déterminent sur f le système résiduel g^p-^^ ^==^(f^ tandis que par deux points quelconques de f il ne passe plus qu'un nombre p — 3 fois infini de courbes de cette espèce. Un exemple des faits dont nous parlons nous est offert par les courbes du /i**"* ordre à point multiple d'ordre n — 2 (lesquelles sont conséquemment du genre n — 2); en effet, ici toute adjointe Cn.s se décompose en n — 3 droites passant par le point multiple. Une ligne mobile et 71 — 4 droites fixes de ce faisceau de rayons représentent donc ensemble une famille simplement infinie de courbes Cn^z qui ne coupent f qu'en deux points mobiles. Les courbes dont il est question ici sont ordinairement appelées hjper elliptiques ( * ).

Mais on a aussi réciproquement cette proposition que toute courbe C/i de genre p sur laquelle existe un système spécial g-^*' peut être transformée unidéterminatiuement en une courbe du {p -h 2)"™* degré à point multiple d' ordre p; nous pouvons donc qualifier d'hyperelliptique toute courbe possédant un système g\^^\ l^ transformation précitée s'effectue au moyen d'une famille doublement infinie de courbes adjointes C,i.« qui passent par n-h p — 4 points fixes de Cn et rencontrent par suite cette dernière en ^ H- 2 points mobiles. Pour produire sur la nouvelle courbe C^+a un point multiple d'ordre ^, il faut, parmi les n-i-p — 4 points fixes sur Cyj, en placer n — p aux points d'in-

(') Cette dénomination est fondée 6ur ce que, pour les courbes dont il s'agit, les intégrales hyperelliptiques {voir la 6* Section de ce Chapitre) ont une signification semblable à celle des intégrales elliptiques pour les courbes du genre /? == i. A la fin de cette Section, nous reyenons encore sur les courbes hyperelliptiques; consulter aussi la Section relative aux courbes du genre pz=. 2.

Clebsch. — Géométrie f 111. 5

66 TOHK III. — CHAPITRE I.

tersection d'une droite quolconque Ujj= o avecy=o et choisir les 2/? — 4 SLutres de telle, sorte que par eux passe, de la façon indiquée, un faisceau Ç|4-X72= o de courbes adjointes C«t déterminant le système gri*^

Si l'on emploie alors les formules de transformation

PXi = «X 7i . PX% == "x ?«i PJï — ^ »

où (p = o représente une courbe C/,2 quelconque passant par les n-k-p — 4 points précités, le faisceau y, -hXj^2 = o coupe la courbe résultante C;,^i seulement en deux points mobiles, en déterminant sur elle le système caractéristique g^^^\ autrement dit, le point ^1 = o, ^2 = o est de fait un point multiple d'ordre p de la courbe Cp^2«

La détermination du nombre des constantes caractéristiques ou modules d'une courbe peut actuellement «'effectuer en connexion avec notre détermination des courbes normales de Tordre le moins élevé (p. Sa). Nous supposerons d'abord que le genre p soit divisible par 3, que par suite p soit égal à Stt; alors la courbe normale correspondante est de l'ordre air-ha et a 27r(7r — i) points doubles, c'est-à-dire qu'elle dépend de

constantes. Mais on peut, par transformation linéaire, faire disparaître encore huit de ces dernières, en sorte qu'il n'en restera plus que

gTT — 3 = 3/7 — 3.

Une réduction plus considérable de ce nombre par le choix particulier des tt — i points arbitraires qui, dans la réduction de notre courbe C^ de genre 37r à la forme normale, servent comme points de base pour les courbes de transformation du (/i — 3)'*"** ordre, est impossible. Deux groupes différents G^-i de cette espèce donnent, en effet, lieu à deux familles d'adjointes C«8 qui déterminent sur C« un même système g'iii.i (parce qu'il n'existe qu'un nombre fini de systèmes g^ii+i, t étant égal à zéro), et sont par suite complètement équivalentes relativement à la courbe f= o. Si donc deux transformations de cette espèce sont données par les équations

pji= ?/(^)» pr/=+/(^)f

LÀ CÉ0U<TB1B Sl'B CMB COURBE ALGÉSBIOUE. 67

elles conduisent à une même courbe normale F(j^) = o. Par conséquent, en choisissant autrement les tt — i points de base surC^i, on obtient uniquement le changement d^une autre famille d'adjointes Crt.s en une famille de droites (et en une courbe fixe C2it»i adjointe à F = o), sans que d'ailleurs l'équation F = o elle-même varie.

L'examen des hypothèses /7=37r-f-i et/? = 3ïr-f-2sefait d'une manière tout à fait analogue. On a dans le premier cas t = i , et conséquemment la transformation en courbe normale peut avoir lieu d'une infmité de manières différentes, de telle sorte que, par le choix spécial des ir points arbitraires, on peut encore faire disparaître une constante de l'équation résultante F = o, Le nombre des constantes restantes est donc égal à

-(^ir-f- 3)(27rH-6) — 27r«--8 — I = 97r = 3/?— 3.

Pour compléter cette conclusion, il faut encore démontrer que deux courbes normales différentes F(j) = o, déduites d'une même courbe C», ne peuvent dériver l'une de l'autre par transformation linéaire, de telle sorte qu'on ait (comme précédemment) à diminuer de huit, par suite des transformations linéaires, le nombre des constantes. Car si deux courbes F = o, F'= o provenant Aef=. o par les substitutions respectives

étaient transformables linéairement l'une en l'autre, on pourrait poser

(Tffi^= a/1 ç>i H- a/,|>, + a/3yj.

Les courbes c^ • appartiendraient donc à la même famille doublement infinie que les courbes cp/, et par suite auraient en commun entre elles les mêmes points de/'= o; les deux transformations ne différeraient donc pas l'une de l'autre. On trouve enfin, d'une manière tout à fait semblable, que pour p = 3îr-f- a le nombre des constantes est égal à

(rr-f- 2)(27r-f-7)— (27r*-*-2ir-|-i) — 8— 2 = 97r-4-3 = 3/? — 3.

Le nombre des modules d'une courbe du genre p, ou autre^ ment dit le nombre des constantes caractéristiques de cette

68 TOME III. — CHAFITHE I.

courbe relativement aux transformations à détermination unique^ X est donc égal à ip — 3 (*).

Les modules jouent conséquemment, dans les transformations à détermination unique, le même rôle que les invariants absolus ; dans les collinéations (^). On peut, semblablement à ce qui a été

[ fait pour les seconds, considérer les premiers comme des fonctions

I de rapports anharmoniques, ou même qualifier précisément de

I modules certains rapports anharmoniques, si (comme il arrive le

I plus fréquemment) on n'attache aucune importance à la représen-

\ tation des modules comme fonctions rationnelles des coefficients

\ de f. On peut, en effet, env^isager comme modules tous les para- '

j mètres dépendant uniquement des coefficients de Inéquation f=^ o

qui, formés par un procédé algébrique rigoureusement défini, ne changent pas de valeur lorsqu'on les déduit, par le ménw procédé, des coefficients de la courbe transformée ou qui, dans le cas oà^ comme par exemple un rapport anharmonique, ils seraient des fonctions irrationnelles des coefficients, ne peuvent néanmoins se transformer qu!en un nombre fini de valeurs diffé^ rentes des premières. Suivant l'espèce de l'opération algébrique employée, on obtiendra comme modules différents systèmes de grandeurs ; pour représenter en particulier les modules comme des rapports anharmoniques, le plus simple est de chercher sur le terrain binaire un champ de valeurs lié à la courbe, et tel qu'il lui réponde unidéterminativement un semblable champ de valeurs par rapport à la courbe transformée. Ces deux champs de valeurs sont alors liés projectivement l'un à l'autre (^); les rapports anharmoniques formés avec les éléments correspondants sont donc égaux et fournissent les modules. Le plus avantageux est de partir ici de courbes adjointes du [n — 3yème ordre, car nous avons vu qu'aux systèmes d'intersections de ces courbes avecy= o correspondent sur la nouvelle courbe du v""* ordre des systèmes de

( ' ) Le nombre 3/7 — 3 a été donné pour la première fois par Rieman?!, îoc. cit., § 12. Les cas de /? r= o et /> = i forment exception. Le nombre en question est encore exact pour /^ = 2^ tandis qu'il ne l'est plus pour les courbes hyperelliptiques (p. 7a). En général, le nombre Yrai est inférieur à 3/» — 3 pour toute courbe sur laquelle existent d'autres systèmes spéciaux que ceux figurant au Tableau ci-dessus.

(») roiri.l, p. 3ioet33a.

(") Foir t. Il, p. i4i, note.

LA GÉOMtfTRlB SOI UNB COCRBB ALGtBRIQCB. 69

points qui sont déterminés par des courbes adjointes du ( v — 3)**"* ordre. Maintenant, dans un faisceau d'adjointes C/1.3, dont p — 2 points de base sont situés sury=o d'une façon quelconque, il existe, d'après des formules données plus haut (t. II, p. 172), Zip — 2 courbes tangentes à la courbe/*, et dans les faisceaux correspondants de courbes Cv| il y a un nombre égal de courbes qui touchent la courbe /" ( * ).

Le système des ^p — 2 tangentes de ces courbes en un point de base du premier faisceau est donc projectif au système des 4p — 2 tangentes des courbes correspondantes dans le second faisceau, elles ^p — 5 invariants absolus des formes binaires corrélatives, c'est-à-dire les ^p — 5 rapports anharmoniques des deux systèmes de tangentes sont égaux entre eux. Mais ces rapports anharmoniques dépendent encore des coordonnées des /? — 2 points de base choisis arbitrairement sury=o; donc, par élimination de ces dernières quantités, on pourra former, d'après le compte précédent, ip — 3 fonctions de ces ^p — 5 rapports anharmoniques, indépendantes l'une de l'autre et ne dépendant plus que des coefficients de la courbe primitive; ces fonctions doivent donc être légitimement considérées comme modules (^). On vérifie aussi ces dernières propriétés par le fait qu'en choisissant d'une façon spéciale \es p — 2 points en question on obtient directement ip — 3 rapports anharmoniques indépendants entre eux, et cela de la manière suivante :

Dans la famille p — i fois infinie d'adjointes C,i 3, il existe, d'après ce qui a été dit t. II, p. 172,

courbes qui ont avec C« un contact d'ordre p — i (c'est-à-dire la rencontrent en p points consécutifs); ces courbes sont, par suite, données avec C„ et dépendent uniquement des coefficients de cette dernière. Actuellement, choisissons les autres p — 2 points d'inter-

C) La présence éventuelle de quelques points de rebroussement ne doit entratoer ici aucune réduction du nombre ^p ~ a. {^Voir les remarques faites p. 8.)

(*) Ce mode de détermination des modules a été donné par Riemànn, loc, cit.; la question abordée en dernier lieu dans le texte est traitée par les transcendantes dans ce pas&af^e.

70 TOME III. — CHAPITBB I.

seclion d'une semblable courbe C^^s pour points de base de notre faisceau. Parmi les ^p — a courbes tangentes de ce dernier, p — i s'absorbent dans la courbe unique ayant un contact d'ordre p — i, et 3^ — I courbes Cn 5 ayant un contact simple restent encore comprises dans le faisceau; les tangentes de ces courbes et delà courbe de contact précédemment signalée, en un point de base du faisceau, représentent alors une forme binaire de l'ordre 3pr telle que les Zp — 3 rapports anharmoniques en relation avec elle dépendent uniquement des coefficients de la courbe primitive ('). On peut donc considérer ces rapports anharmoniques comme des modules, étant admis avant tout qu'ils soient en général indépendants les uns des autres. Or, on prouve qu'il en est bien réellement ainsi (*), en montrant que réciproquement, par les valeurs de ces 'ip — 3 paramètres, un nombre Jîni de courbes C^+i est déterminé, attendu que Von considère comme identiques entre elles toutes les courbes qui dérivent les unes des autres par transformation à détermination unique, et cela de la manière suivante ('). Au lieu d'une courbe C;, de genre p, nous pourrons prendre pour base de notre examen une courbe C^+i ayant

-p{p — 3) points doubles; on peut ensuite, sans nuire à la gêné-

ralité, attribuer à cette courbe la propriété de posséder un point dans lequel elle a un contact d'ordre p — i avec une droite; car, pour déduire une courbe de cette espèce d'une courbe générale C/2, il suffit de choisir le réseau des courbes de transformation de telle sorte qu'il renferme une des courbes Ctn-% ayant un contact

( ' ) Ce mode de détermination des modules a aussi été employé par Weierstbass. ( Voir Brill et I^ôther, /oc. cit.) Dans ce Mémoire sont également indiqués d'autres modes de détermination.

(') S*i] devait en être autrement dans des cas particuliers, c'est que l'on aurait précisément assigné aux modules des Taleurs spéciales, certaines relations invariantes étant alors satisfaites à l'égard de la forme binaire correspondante représentée par les S/y tangentes en un point de base. Ces relations peuvent être données par des Taleurs particulières des invariants absolus (c'est-à-dire par l'évanouissement d'invariants) ou aussi par l'évanouissement identique de covariants. Cette dernière circonstance indique encore généralement des relations entre les rapports anharmoniques, en sorte que l'on embrasse les deux cas si l'on considère seulement des rapports anharmoniques (c'est-à-dire des paramètres irrationnels); on renonce néanmoins par là d'abord à la représentation rationnelle des modules par les coefllictenla de C,.

(•) Foir Catlet, Proceedings of the London Math, Society ^ t. I.

LA GÉ0H£TBIB sua U!IB cooiibb algébbiqub. 71

d'ordre p — i. La droite tangente d'ordre p — i dont nous avons parlé coupera C^+i en un autre point P duquel on pourra encore mener Zp — i tangentes à cette courbe. Les rapports anharmoniques des ip droites ainsi déterminées sont les paramètres que nous cherchons. Considérons actuellement, à l'inverse, ces paramètres comme donnés d'une façon complètement arbitraire ; alors on peut toujours trouver, ainsi qu'il suit, une courbe Cp^.i à laquelle ils appartiennent comme modules. Nous prendrons un point quelconque P et nous mènerons par ce point trois droites quelconques; on pourra alors tracer par P encore Zp — 3 autres droites qui, avec les trois premières, formeront les Zp — 3 rapports anharmoniques donnés. Si maintenant nous imposons à une

courbe C^+i les conditions de passer par P, d'avoir -p(/? — 3)

points doubles, de toucher les Zp droites précitées, le contact avec une d'entre elles étant d'ordre p — i , le nombre des constantes dont on peut encore disposer pour C^+i est égal à

Soit F'=o l'équation d'une courbe satisfaisant à ces conditions, et soient Xi = o, a:t=o les coordonnées du point P : nos conditions seront encore satisfaites par toute courbe F = o dérivée de F' par la transformation linéaire (*) ' *

cl cette courbe F == o renferme trois constantes arbitraires «j, «a? 0(3. Il en résulte que toutes les courbes qui satisfont aux conditions précédentes doivent pouvoir être déduites d'un nombre fini de courbes F'= o par transformation linéaire. Il est donc prouvé en premier lieu par là que les Zp — 3 rapports anharmoniques introduits plus haut comme modules sont indépendants les uns des autres, et en même temps aussi, que ces Zp — 3 modules déterminent réciproquement une classe de courbes du genre p y si, avec Riemann, nous rangeons dans une classe toutes les courbes

(*) Cette transformation est une collinéation perspectire dont le centre (à savoir le point âr, = o, x,= o) est donné (t. 1, p. 819 et suiv.).

qui peuvent être transformées unidéterminativement les unes dans les autres.

Nous mentionnerons, pour terminer, les modifications que cette détermination des modules subit dans les courbes hyperellip tiques (p. 65), c^est-à-dire dans les courbes qui possèdent un système spécial g[^\ Un faisceau d'adjointes C;,3 mené par ^ — 2 points de/ passe encore par p — 2 autres points fiices de cette même courbe, et dans ce faisceau il existe seulement 2(2 -h p — i) = 2/7-f-2 courbes tangentes. Or, comme tous les faisceaux constructibles de courbes G/i s sont ici équivalents, les 2/7 — i rapports anharmoniques des paramètres de ces courbes de contact sont indépendants du choix des points fixes, et ce sont les ap — i modules de la courbe hjper elliptique. Il suit également de là que si une courbe du genre p doit posséder un système spécial g^J* ' , cela équivaut à Zp — 3 — 2/>-Hi=;> — 2 conditions ( * ). Si Ton part, en particulier, de la forme normale précédemment indiquée pour une courbe hyperelliptique, c'est-à-dire d'une courbe d'ordre /? -f- 2 à point multiple d'ordre p, les adjointes C^^a sont données par les groupes de p — i droites qui passent par le point multiple ; les modules sont donc les ^p — i rapports anharmoniques [les invariants absolus) des 2^-1-2 tangentes que Von peut mener du point multiple à la courbe.

Il est au surplus facile de mettre l'équation d*une semblable courbe dp^\ sous une forme dans laquelle ces ^p — i modules figurent seuls explicitement comme constantes. Supposons, en efiet, que le point multiple soit situé au sommet x^ = o, 0:3 = o, l'équation de la courbe C^+2 aura alors la forme

les tf désignant des fonctions de leurs arguments et étant de l'ordre indiqué par leur indice inférieur. Pour les coordonnées des points de contact des tangentes issues du point multiple, cette équation doit, une valeur de x< iJCs étant donnée, fournir deux valeurs

(*) On reconnaît en même temps qu'une courbe de genre p z=2 est toujours hyperelliptique et peut conséquemment toujours être transformée en une courbe de quatrième ordre, à point double, ce qui sera plus tard démontré directement. {Fbir la Section relative aux courbes du genre p = 2.)

LA CÉOMÉTRn 81TB U!IB COCBIB ALGCBRIOCB. ^3

égales de X2lXz» Ces zp-h ^ tangentes sont donc données par Téquation

Or, par rotation du système de coordonnées autour du point multiple, on peut toujours obtenir que

et les grandeurs A^ * ^ , . . . , k^^P~*^ sont alors les modules de la courbe. Si Ton fait à présent la transformation

notre courbe se transforme en

4rîL?/'(rt,j^j)]'-+-x(ri,j^,) = 0,

courbe du (2pH-2)**"' ordre qui, diaprés les explications données t. II, p. 2i4, possède en j^'i = o, j'3= o un point multiple d'ordre ^p dont les tangentes coïncident par couples, en sorte qu'il existe seulement p tangentes séparées. L'équation de ces dernières est précisément donnée par y/>= o.

Dans notre dernière équation sont encore comprises, en dehors des ^p — I modules, les p constantes de la fonction (p^,; on peut également se débarrasser encore de ces constantes par une transformation à détermination unique. La courbe donnée dp^^ se transforme en effet évidemment en une autre courbe C^^,, si Ton emploie pour la transformation un réseau de courbes adjointes du ^Wint Qpjpg passant par 2/? — 2 points simples fixes de Op^^\ car, en fait, ces courbes coupent G^+a encore en

points mobiles. Si, en particulier, la courbe C^, qui prend naissance doit avoir encore un point multiple d'ordre p [et non

'zP[p — i) points doubles ordinaires], il faut que dans le réseau

soit compris un faisceau dont les courbes rencontrent C^+a en deux points mobiles seulement. Mais, comme il n'existe qu'u/i seul système g^** sur la courbe primitive, ce faisceau se composera

7^ TOMl III. — CB&PITBB I.

d'une courbe Jixe du (p — i)»*™» ordre $^4 = o possédant, au point multiple d'ordre p^ un point multiple d'ordre p — 2 et du faisceau de droites Xi-h ^Xz= o. La courbe $^»i = o coupe encore Cp^2 en

points simples; par 2/7 — p de ces derniers nous ferons passer une courbe ^p=o ayant un point multiple d'ordre p — i en x^ = 0, Xa = o; alors les courbes

forment un réseau de l'espèce demandée à p 4- 2 points mobiles. La courbe Cp^2 se transforme donc en une courbe C' ^ à point multiple d'ordre p en j-, = o, j^s = o au moyen de la transformation

Ici, aux 2^ 4- 2 tangentes de C^^.29 faisant partie du faisceau Xi-f- Xj:3= o, correspondent les 2/74-2 tangentes de C'^^j faisant partie du faisceau yi4- ^Js = o. Mais on peut, en particulier, disposer la courbe ^p i = o de telle manière que p des points de contact des tangentes de ce dernier faisceau reviennent en arrière au point p*^*® j^i = 0,^3= o, c'est-à-dire que les p tangentes aux branches respectives de la courbe en ce point deviennent à la fois des tangentes d'inflexion. Cette circonstance se produira évidemment si les p points d'intersection de G^+a avec $/,i = o qui ne sont pas situés simultanément sur la courbe ^p=ose confondent avec p des points de contact des tangentes du faisceau Xi + X Xa = o ; car ce sont précisément ces p points d'intersection de $/,! = o avec C;,^.2 qui se réunissent pour former le point multiple de C'^.,. Or, comme parmi les points d'intersection de ^P-i avec G^+a,

peuvent encore être pris arbitrairement, on peut, en toute hypothèse, faire coïncider p de ces points avec p des points de contact précités ; parmi les 2/7 — 2 points de base communs du réseau précédent, p — 2 peuvent encore être choisis arbitrairement. Ghacune des p tangentes du point multiple de la courbe G^, ainsi

LA géom£tbib sur vhb coorbb alcébriqce. 75

obtenue coupe déjà la courbe /?-f-2 fois en ce point; si donc Tensemble de ces tangentes est représenté par X/»(/*' JT^) = ^5 Téquation de la courbe devra, pour y^p= o, être indépendante de jTj, c'est-à-dire être de la forme

xï Xp (ri »rs ) — 'f p-Hj (rurs ) = «•

"^p^^^J^yJ^^ étant une fonction homogène du degré p -h ^ par rapport à jr^ et jr^. Les points d'intersection de j^a = o avec ^p^2 = o sont alors les points de contact des tangentes que l'on peut mener du point multiple à la courbe, abstraction faite des p -4- a tangentes de ce point même. Aux 2/? -h a points de contact des tangentes du faisceau x^ + Xxs = o, qui sont déterminés sur la courbe primitive par Téquation X(X|,X8) = o, correspondent donc, sur la courbe transformée, les p-h ^ points de i'p+^iy* yj'i) = o et les p points qui se trouvent infiniment voisins du point multiple j^i = o, j^s = o sur les différentes branches issues de ce point. Ces derniers points satisfont à Téquation ^^^(^,,^3) = o. Par conséquentyle produit Xp'^p-\-^ étant une fonction homogène du degré ajp -h a, on doit avoir, par notre transformation des j^/ en a:/,

p'''"^" Xp (ri »r8 ) • ^p+î (r 1 .rs ) = x,p+, ( jti , .r, ) . [ *p-i ( .r ) yp-^ ;

de plus, on peut faire

<^l/>^. (ri.rs ) = (ri -- >Ç-(''-*^r3 ) (71 - 'Ç-^''-'^ ra ) . . . (ri - >{^*''-'^

L'équation de la courbe dépend donc bien des 2p — i modules seulement, et nous avons ce théorème :

Toute courbe hjperelliptique peut être transformée en une courbe d'ordre p-h 2, à point multiple d* ordre p, de telle façon que les tangentes [-^p^z o) de ce dernier soient en même temps tangentes d'inflexion ( * ), «'i sorte qu'il n'en parte plus que p-^- 1 autres tangentes ((|/^^a=o). Les points de contact de ces der-

(*) Cette transformation a été effectuée d'une autre manière par Cremona, SuUe trasformazione délie curve iperelUptiche {^Rendiconti del reale Istituto Lomhardoy série II, toI. II, 29 aprile 1869).

76 TOMB III. — GBAPITRB I.

nières sont alors situés sur une droite (j^jmo), ainsi qu'on le reconnaît immédiatement ^ d'après l'équation de la courbe

IV. — Géliéralisation des formules de correspondance. — Détermination

de quelques systèmes spéciaux.

Dans nos recherches précédentes sur le théorème de Riemann et Roch, nous n'avons pas effectué réellement la détermination du nombre des solutions pour les problèmes qui s'o (Traient , et nous nous sommes, au contraire, contentés de démontrer la possibilité de les résoudre et de déduire de là les limites dans lesquelles elle existait. Nous nous proposons actuellement de réaliser, pour quelques cas particuliers, la détermination dont il s'agit, en nous rattachant aux formules de correspondance données plus haut.

Les développements généraux dont l'exposition préalable est nécessaire présentent d'ailleurs, indépendamment des applications qui viendront plus tard, un grand intérêt pour la théorie de Pélimination, et nous nous en occuperons, pour cette raison, avec d'assez grands détails. Il s'agit au fond, dans cette théorie, du problème suivant :

Soient données n équations

yi(x(»),ar^»), ....a-Cî) =0, y,(xC»), x(«), . . ., jtC^J) = o, ...,

fn[^^^\ ^^*^ • • •» ^('*^) = 0,

dans lesquelles les systèmes de variables

entrent chacun séparément d'une façon homogène, et supposons qvHune même équation fz= o soit simultanément satisfaite pour eux tous, en sorte que l'on ait

f[x(')) = o, /(xC*)) = o, ... /(x(«))=o.

On demande de déterminer le nombre des groupes de chacun n points x^*\ x^^\ . . . , o:^"^, situés séparément surf= o, qui satisfont en même temps aux n conditions y,-= o.

LA GÉOMÉTRIB 80R U!IE COCKBB ALGÉBRIQCB. 77

Pour le cas de w = 2, le nombre (9<3p'), établi t. II, p. i53, a déjà fourni la réponse à cette question. Un examen plus approfondi de cette formule, pour Thypothèse où les correspondances (f, f' possèdent des points exceptionnels, formera le point de départ de nos considérations. Nous aurons particulièrement l'occasion de reconnaître qu'en fait l'application du principe de correspondance de Cbasles est d'une très grande utilité pour le discernement des facteurs étrangers qui se présentent dans le résultat des éliminations algébriques. Nous pourrons ensuite passer, d'une manière simple, à la détermination des assemblages ternaires de points qui satisfont simultanément à trois cor^ respondances. On trouvera ainsi dans ce qui suit de nombreux compléments à nos précédentes recherches sur les correspondances.

Pour donner un exemple simple de la manière de traiter les problèmes qui s'offrent ici, nous nous attacherons d'abord à des résultats connus, pour les établir d'après une méthode nouvelle et susceptible de généralisation ultérieure. Déjà, dans la théorie des transformations à détermination unique, nous avons considéré une courbe, que nous avons désignée par M, et qui était rapportée, d'une manière complètement déterminée, à une courbe primitive donnée^ = o et à un réseau donné

(1) OiAi[^) -+-«t^'i('^) -+-«a+»(-ï^) = o

(p. 4)- Cette courbe avait été déGnie comme étant le lieu des autres points de base d'un faisceau choisi dans le réseau (i), lorsqu'un point de base de ce faisceau parcourt la courbey= o. Nous avons déterminé l'ordre de la courbe M = o, ainsi que la manière dont elle se comporte aux points fixes communs des courbes (i), et nous avons vu qu'elle passe par toutes les intersections de la jacobienne du réseau (i) avec y= o, et qu'elle détermine, en outre, par ses autres intersections avec f les couples de points x, y^ par lesquels passe une infinité simple de courbes du réseau, c'est-à-dire ceux dont les coordonnées satisfont (p. 34) au système d'équations

h[^) -^M ^3(-^) __^ +i(/) Ur) h[y]

78 TOHl 111. — CBAPITM I.

On peut, et c'est là en quoi ces précédentes recherches sont, a titre d^exemple très simple, importantes pour la suite, remplacer ce dernier système [en faisant abstraction de ^|(x) = o, ^^ (j^) = o] par les deux équations

lesquelles représentent, relativement à la courbe primitive y = o, deux correspondances (v — i, v — 1)1 (*) symétriques par rapport aux X et aux. y; à tout point x dej'= o répond, en vertu de chacune de ces deux correspondances, une courbe du réseau (i) passant par X, et les autres points d'intersection de ces deux courbes décrivent la courbe M = o si a: parcourt la courbe f^ o. On est aussi conduit à la même courbe M = o, en vertu de la symétrie dont il a été parlé, si l'on considère les courbes (2) qui répondent à des points y de f. Le nombre des couples de points Xy y qui satisfont aux équations (2) devra alors s'obtenir au moyen des formules de correspondance précédemment données par (y^') (t. II, p. i53), à la condition d'avoir égard aux modifications que cette dernière peut éprouver par suite de la présence des points fixes du réseau, et de faire subir une réduction au nombre ainsi obtenu, en tenant compte des solutions qui correspondent aux équations ^i(x) = o, ^\{y) = o.

Dans le même ordre d'idées, on est conduit à prendre, au lieu des équations (2), deux correspondances quelconques (a, |3)^, (a', p')y données sur y par les équations

(3) f(j^,rJ = o, y'(x,^j=o.

Si alors x se meut sur la courbe primitive fixe, les autres points d'intersection des deux courbes, répondant à or en vertu de (3), parcourront une courbe que nous désignerons dans ce qui suit par 3ît^= o, et l'on obtiendra une autre courbe 01ix= o comme lieu des points d'intersection des courbes qui répondent aux points y de f. Les deux courbes se confondront si les deux correspondances ( 3 ) sont symétriques en x et y^ comme dans le cas des équations (2). Nous nous proposons d'abord d'exposer les

(*} Sur cette notation, voir t. II, p. i^O» et t. III, p. 2.

LA GÉOMÉTSIB 8» 1I!I1 COUtBB ALGiBBIQCB. 79

propriétés de ces courbes 3IL^= o et .7lLx= o, car nous serons ainsi conduits à la détermination exacte des couples de points qui satisfont simultanément aux deux correspondances (3).

Pour éclairer la marche à suivre, qu'il nous soit permis de donner d'abord à la question posée une réponse pour le cas relativement simple des équations (2), c'est-à-dire d'étudier encore une fois la courbe M = o, en partant des points de vue qui dominent ici la question. Cette étude repose essentiellement sur les applications du principe de correspondance de Chasles (*).

Supposons que les courbes ^ du réseau (i) soient de l'ordre 5, et qu'elles aient, aux p points de base communs S|, S^t • • •) S^ respectivement, des points multiples de l'ordre t|, ^2, • • m ^? (tous à tangentes séparées). Admettons que la courbe y= o soit du ^wme ordpe et possède, en Si, S^, . . . , S^ respectivement, des points multiples d'ordre a^, as, ..., a^ (ces derniers nombres pouvant d'ailleurs être nuls). Les courbes Q du système, qui passent par un autre point arbitrairement choisi de C/,, se coupent encore en .V* — Yét] — I (*) points^ qui sont situés sur la courbe M = o. Actuellement, pour déterminer l'ordre m de cette dernière, on prendra dans le plan deux points fixes quelconques A et 6 ; on fera passer par A et x une courbe Q du réseau, puis une semblable courbe par B et x, et l'on fera mouvoir x sur C„. Alors les points d'intersection de ces deux courbes C, avec une droite fixe quelconque forment sur cette dernière une correspondance

[s[ns — 2 «/^i ) , s[n$ — Sû/r/ )] .

Les points de coïncidence de cette correspondance sont, pour partie, des points de la courbe Cm (M = o), pour partie, des points de Cy,, et enfin, pour partie, des points de celle des courbes C^ du réseau qui passe à la fois par les deux points fixes A et B ('). Chacun de ces derniers points de la droite absorbe ns — Sa/f/

(') L'auteur (M. Lindemann) doit la détermination suivante des propriétés de M = o et de la jacobienne du réseau (i) à une communication de M. Brill.

(*) Le signe sommatoire se rapporte à tous les p points fixes du réseau.

(') Ces points doivent être choisis dételle façon qu'ils ne soient pas points de base 4' an seul et même faisceau compris dans le réseau. Si A est un point d'intersection de ^j avec ^, et B un point d'intersection de ^, avec ^,, les deux courbes en question sont précisément données par (2), et la courbe mentionnée en dernier lieu est ^t'^ o.

80 TOMI III. — CBAPITM 1.

coïncidences ; car c^est en ce nombre de points que la courbe précitée Ct coupe Cny et à chacun d'eux correspond encore la même courbe Q comme courbe de Tautre faisceau. On a donc la relation

d'où l'on déduit l'ordre de la courbe M = o (p. 4) •

(4) m = n[s^ — i) — slaiti=:vs — iï,

v = /zj — "Laiti désignant le nombre des intersections mobiles d'une courbe ^ avec f= o. Faisons d'ailleurs observer que, si x chemine sur C/,, les ^^ tangentes (mobiles avec x), qui peuvent être menées en un point fixe Sa aux courbes Cj passant par or et A ou par o: et B, forment également une correspondance

Or les coïncidences de cette dernière correspondent :

i^ Aux a/^ tangentes de la courbe C/i en S^;

2^ Aux tf^ tangentes à la courbe Q qui passe en même temps par A et B, chacune comptant ns — l,aiti fois comme rayon de coïncidence ; j

3^ Aux ait tangentes de M := o en Sa, ce nombre olm étant précisément encore à déterminer.

Nous avons donc

^tk{ns — laiti) = «A-h flit-+- /a('» — 2^///), ce qui donne la multiplicité du point Sa pour la courbe M = o

(5) QLk=tk[ns—^aiti) --ak=^tk—af,.

En combinant (5) avec (4), on obtient encore la formule symétriquement construite

(6) j(<J^-4-«;fc)=/;t('»-+-/w) («)•

Pour trouver enfin le nombre des couples de points Xy j^ nous aurions encore besoin de faire usage des propriétés de la jaco-

(') Les résultats exprimés dans les équations (4)» (5), (6), sont ceux qui ont été, par occasion, énoncés par Cayley pour le cas de j = 3, sous la dénomination de Tkéorème de Geiser et Cotterill {Math, jinnalen, t. VIII, p. 36o.)

LÀ géohAtkib Mm mit coobbb algébiioub. 8i

bienne (i{/|^3^,) = o (p. i5), c'est-à-dire du lieu des points où se touchent deux (et par conséquent une infinité) des courbes du réseauy où, par suite, se touchent deux courbes des faisceaux passant par A et B. Remarquons, au surplus, que Tordre de ce lieu peut aussi être établi de la manière suivante. En dehors des points A et B, nous prendrons deux droites auxiliaires quelconques F et G. Par A et par un point mobile P de F, faisons passer une courbe Qts et menons-en également une autre par B et P, puis construisons les tangentes en P à ces deux courbes. Nous cherchons le nombre des points P pour lesquels ces deux tangentes coïncident. Or si autour d^un point Q, arbitrairement choisi sur F, on fait tourner une droite quelconque, et que, pour une des positions de celle-ci, on cherche celles des courbes Ci du faisceau passant par A, pour lesquelles elle est tangente, il y en aura 2(5 — i), et le lieu des points de contact, pour toutes les positions de la droite menée par Q, est une courbe de Tordre 2(5 — 1)4-1 = 25 — i qui a un point simple en Q (*)• Cette courbe coupe la droite G en 25 — I points ; on a donc entre les points d'intersection de G avec leb couples de tangentes construites aux points P une correspondance (25 — I, 25 — i). Or parmi les 4^ — 2 coïncidences de cette dernière se trouvent encore, en outre des points d'intersection de G avec (vj^, ^2^3 ) = o, les points d'intersection de la courbe Q, qui passe à la fois par A et B, ainsi que le point de rencontre des deux droites G et F. Il reste conséquemment, pour l'ordre de lajacobienne, le nombre

On peut parvenir à des considérations tout à fait analogues si, au lieu de partir des faisceaux appartenant à un même réseau qui passent par A et B, on prend pour base deux faisceaux quelconques

de l'ordre s et de l'ordre / respectivement; seulement, on ne doit alors apporter aucune réduction aux résultats obtenus à raison

(*) Gela résulte aussi d'un théorème général donné par Zeuthen dans son Mémoire sur les sjrstèmes de Courbes, cité t. il, p. 127 (n* 29 de ce Mémoire).

Clusch. — Géométrie, III. 6

H-2 TOHE III. — CHAPITRE I.

d'une courbe commune aux deux faisceaux. Donc, à la place de la courbe M = o, intervient une courbe de Tordre

( s[ns' — lûit'i) -h s' [ns -^loiti) ^ n f oj {

( =r /f ( 2«' — I ) — 52 Oii'i — 5' 2a(ti,

formule où les nombres £,* se rapportent aux points multiples communs du faisceau d'ordre s, et les nombres t'^ aux points multiples communs du faisceau d'ordre /. Pour la multiplicité de cette courbe en un point i*P'® du premier faisceau, «'*p** du second el ^ipie jgy__ Q^ QQ obtient, à la place de (5), le nombre

On trouve enfin que Tordre du lieu des points où se touchent deux courbes des faisceaux est égal à

(10) (25— l) 4-(2/— l) — I = 2(5-hi') — 3 (*).

On pourrait enfin généraliser encore davantage ces résultats en remplaçant les deux faisceaux par deux systèmes de courbes, simplement infinis, des ordres s et sf^ ayant pour caractéristiques /ut, v et p', 1/ respectivement, et en considérant alors ces systèmes dans leur relation avec une courbe Cu quelconque fz=: o (^). Mais, pour

(*) yoir aussi Crbmona, Elnleitung in die Théorie der algehraischen Curven, p. 127. dans la traducUon de Curtze; il est aussi montré, p. i3odu même Ouvrage, que les tangentes communes des courbes des deux faisceaux aux points où ces courbes se touchent enTeloppenl en général une courbe de la classe ^ss' — a(f + j'). — Ou peut aussi utiliser deux faisceaux de l'espèce considérée ici pour une transformation à détermination unique; aux points doubles de la nouvelle courbe correspondent alors les couples de points par lesquels passe une courbe faisant partie de chacun des deux faisceaux (i^oir les notes des pages 4 3 et 62).

(*) On obtient du reste aisément, et en suivant une marche analogue, à la place de (8), le nombre

/ifi's{ns' — Sa,./J) -h fifi's'^ns — 2«ff,) — fi/n = fifi' [/i(a«'— i) — 2a,.(iVjH- jrj)], à la place de (9) le nombre

fili! [f («j — 2a^fi)-4- r(wi' — Sfl/fJ) — a], enfin, à la place de (10), le nombre

/*'(/» -hv)-*- ^(/a'-H v') — /*/«'= /av'h- vjui'-t- j»^'.

Des réductions sont encore à apporter ici si les deux systèmes ont une courbe commune (cas de f =1'), ou si (pour s^s') une courbe C^ du premier système se décompose en une courbe G^, du second et en une autre C^«,.

LA GÉOMÉTRIE Sl'R C!fB COUBDE ALGËBRIQl'E. 83

nous, le cas qui présente un intérêt extrême est celui où les deux systèmes de courbes sont liés à y par des relations d'un caractère tout à fait spécial, car cette hypothèse se présente si deux correspondances que/conijfues sont données sous la forme (3), ainsi qu'il sera montré incessamment. Nous passons donc à Texamen des faits dont il s'agit, tout en étant forcés, pour de nombreuses particularités, de nous borner à de simples indications.

Dans les équations (3), qui donnent naissance aux correspondances (oc, P)^, {«', (5')^ suTf=i o (pétant encore supposé de Tordre « et du genre p), nous pouvons considérer les quantités j/, par exemple, comme des coordonnées ponctuelles variables, et les quantités Xi comme trois paramètres entrant d'une façon homogène, et liés par la condition y(x) = o. Une équation <f{Xjj) = o nous représente alors un système de courbes qui dépend, de la manière la plus générale, d'un paramètre entrant d'une façon irrationnelle (t. II, p. ii4)* Dans les équations (3), nous avons donc deux systèmes de courbes qui sont liés avec leur paramètre par la même irrationnalité. Mais ces systèmes se trouvent dans des circonstances particulières à l'égard de la courbe y=:o, en ce que, conformément à l'hypothèse faite, les fonctions <f(x,y), ^{oc^j) doivent, en vertu dej^= o, s'évanouir respectivement au degré y et / pour X =j^, tandis que ce dernier fait n'a pas lieu en général pour un point quelconque du plan. Nous pouvons exprimer la même chose en disant que, parmi les courbes du système qui passent par un point quelconque x de la courbe fy il s'en trouve toujours figurer une [savoir celle qui répond à x, en vertu de (3)], dont 7 ou / intersections avec la courbe primitive sont situées enx même; pour chacune des autres courbes passant par x, il existe un autre point de f= o, dans lequel se confondent y o\i y points d'intersection de cette courbe avec /= o.

A l'égard du système des courbes du 5**"* ordre y = o, nous admettrons maintenant que les points S^ , S2, . . ., S^, ainsi que leurs nombres caractéristiques £|, ^27 •••) ^9 ^t a^, a2f ..., a^ aient le même sens que dans l'exemple précédent d'un faisceau ; pour les courbes du y»«™« ordre c^= o, nous désignerons d'une manière analogue les points qui présentent le même caractère par S\, S',, . . ., S^-, et les nombres qui leur appartiennent par t\, ^1, • • • j t^- ; aj, âj, . . . , a,.. Quelques-uns des points S', ou même tous, peuvent se con-

8) TOME III. — CHAPITRK I.

fondre avec les points S. On a alors les relations

car P, par exemple, est le nombre des points où une courbr y(x,^) = o, répondant au paramètre x, rencontre C„, et qui ne sont pas situés en x même, mais sont tous mobiles avec a: ; et £a|7/ est le nombre des intersections fixes de la courbe 0,(9=: o) avec la courbe Cn{f=o). Faisons encore observer qu'il nous suflîl d'avoir égard aux points S/, pour lesquels on aa/>i, c'est-à-dire qui sont situés suTf= o; les autres points fixes des deux systèmes de courbes n'entrent point en considération dans ce qui suit*

Naturellement, nous aurions pu considérer les quantités ji comme des paramètres liés par la conditiony(j'^) = o, et les quantités Xi comme des coordonnées ponctuelles. Dans cette circonstance, les équations (3) nous représentent deux systèmes de courbes d'ordre r et /•' respectivement. En admettant que ces dernières possèdent les points exceptionnels fixes R|, R2, . . ., R« et R'i, R'„ . . ., R», et que, par rapport à eux, les nombres corrélatifs des nombres a/, //, qui répondent aux points S/, soient a/, t/, a^-, t), nous avons également les équations

(12) « = /!/■ — 2a,T/ — 7, a=nr^ — ^^'r't — 7'-

Pour déterminer maintenant l'ordre de ta courbe OlLy= o, qui. en vertu dey= o, est engendrée par les deux systèmes de courbes du 5**"* et du y**">« ordre (p. 78), nous établirons, ainsi qu'il suit, une correspondance entre les points d'une droite quelconque, seroblablement à ce que nous avons fait plus haut pour la courbe M = o (p. 79). Le nombre des courbes C,[(y(x,j) = o] qui passent par un point quelconque z du plan est égal au nombre des solutions communes de (f{x^ z) = o elJ'(x) = o qui dépendent de z (c'est-à-dire qui ne tombent pas en des points exceptionnels fixes S/), et il est le même pour tous les points du plan, à la seule exception des points fixes communs du système des courbes Q. Or nous connaissons ce nombre pour le cas où z est situé sutJ'= o, car alors il est égal, d'après (12), à7H-a(*). Chacune des y -H «

(') La méthode employée ici est d'une jurande utilité pour les recherches de ce g«nre. M. Zenthen s'en est beaucoup servi dans le Mémoire cité. Elle consiste, rela-

LA UÉnMKTRIE SCR UNK COURBE ALCÉRRIOCK. 85

courbes correspondantes C, coupe y fois /"en un point déterminé, et, en ce dernier, une courbe déterminée Cj/ (celle qui lui répond en vertu de r^'=o) a une intersection /*p^*^ avec y. A un point quelconque z sur une droite fixe correspondent donc aussi y-f-a courbes Cj/, et celles-ci coupent la droite en ^{y-\-0L) points z' correspondant au point z. Ainsi prend naissance une correspondance [5^(7 -h a), ^^{y'-f- a )]. Les points de coïncidence de celle-ci sont les points de la droite fi\e où se coupent deux courbes homologues C, et C,/ (c'est-à-dire deux courbes répondant, en vertu de (3), à un même point de /*= o dans lequel elles ont avec cette courbe des contacts des ordres y — i et y' — i respectivement)*, ce sont donc les points d'intersection de la droite fixe avec 311^= o, el, en outre, ses/i points de rencontre avec/". Par suite, l'ordre de In courbe 0\Ly = o est finalement égal à

r désignant un nombre qui reste à déterminer ( ^ ).

Nous rechercherons ensuite comment se comporte la courbe OILj=o aux points S, et S^- (p. 80 et p. 83). Nous avons ici à distinguer les cas suivants :

a. Le point S est en même temps un point S'.

b. Le point S nest pas en même temps un point S'.

Dans le cas^, nous déterminerons le nombre Vy au moyen d^me correspondance qui est établie entre les rayons du faisceau ayant pour sommet S/ par les deux systèmes (3), comme elle l'était dans l'exemple précédent par les deux faisceaux de courbes (p. 80).

tÎTement au nombre des solutions, à déterminer le résultat général par des cas particuliers et facilement saisissables. Elle a été désignée récemment sous le nom de Principe de la situation spéciale, et employée sur une grande échelle par Schubert, dans son Ourrage intitulé : Kalkul der ahzàklenden Géométrie, Leipzig, 1879; voir aussi Gàttinger Nachrichten, 1874» p. 37^? et Math. Annalen, t. X.

(') Il sera montré incessamment que f est le nombre des points d'intersection situés en x =x sur/'= o de deux courbes /lomo/oo^uejr j», f', en sorte que le lieu des points d'intersection de semblables, cou pies de courbes est donné par la courbe f7TC'^=o, conjointement avec [/"(jp)]^ = o.

86 TOMB lit. — CDAPITRE I.

Ce sera là une correspondance

Parmi les coïncidences, Fa/ se produisent par confusion avec Jss tangentes du point rt/^*® que y possède en S/. Les coïncidences de cette correspondance se rapportent effectivement, en général, au lieu des points d'intersection des deux courbes homologues Cj, Csf de nos deux systèmes simplement infinis; mais ce lieu se compose de la courbe SïLy et de la courbe /*, cette dernière devant être comptée F fois si F intersectioju mobiles de deux courbes homologues des correspondances (3) sont situées au point de f^ qui donne précisément lieu à la dépendance respective des deux courbes (*). Par là est également rendu visible le sens du nombre F dans (i3). D'autre part, la correspondance obtenue en dernier lieu nous donne ce théorème :

En un point S/ [ou S)), qui est un point commun tfP^^ des ourbes Cs, un point commun t'/P^^ des courbes Cgf et un point a}P^^ def, la courbe OR/^ possède un point singulier dont la multiplicité est donnée par le nombre

Pour le cas b, c'est-à-dire si l'un des nombres f, t' est égal à zéro, ce même résultat reste exact, mais il doit être démontré de nouveau. Il existe a'-f- 5/ courbes C/ déterminées qui passent par S et entre lesquelles figure, comptant / fois, la courbe C/ qui répond au point S lui-même. Il y a donc aussi a'-hy' courbes C, homologues de celles-ci (p. 85). Pour tout couple de pareilles courbes homologues (^), < points d'intersection sont situés au point S, tandis que cela n'a pas lieu pour un couple quelconque de courbes

(*) On suppose ici, comme dans ce qui suit, que deux courbes ^(x,jr)=.o, j*[x^jr) = 0, répondant h un même point x de/, ne se coupent plus en dehors du point X lui-même en aucun point mobile avec x et situé but/= o. Le cas où les deux systèmes de courbes ont une courbe mobile commune est d'ailleurs toujours exclu.

(') La courbe C^, homologue de la courbe C/ qui répond au points lui-même, est, il est vrai, indéterminée; il faut la remplacer par la courbe G, qui répond à un point ▼oisin ; pour le couple de courbes qui a cette origine, F autres intersections se trouvent voisines de S, circonstance qui correspond au fait que /= 0, compté T fois, fait aussi partie du lieu considéré.

LA GÉOVÉTKIB 8CR CSB CODRIIB ALCÉBRIQCB. 87

homologues Q, Cy, de telle sorte que ces t points dUntersection doivent, en toute hypothèse, être comptés parmi les points mobiles qui décrivent la courbe 3Tty = o. Donc, tandis que pour un couple voisin ils ont encore sur 311.^= o une situation séparée, ici, pour le couple considéré, ils se réunissent tous vers S. Mais, du nombre total t(a'-f-y') d'intersections de tels couples de courbes qui se trouvent ainsi situées en S, il faut retrancher, comme dans le cas a, le nombre Fa/, si la courbe y = o a un point a/'P*' en S.

D'une manière absolument analogue, on déduit de (i3) et (i4)f pour la courbe 311;^:= o (p. 78 et suiv.) les nombres

, g. ( u,=:r'(7-hp)-f.r(/-4-^6')-r/i

Les autres recherches que nous nous proposons de rattacher à ces calculs (et en particulier la détermination du nombre F) prennent une tournure différente, suivant que le point de y ou 7' valeurs des correspondances (3) en x=^y prend naissance ou non par contact avec la courbe primitive. [Koir t. II, p, i48.) Nous distinguerons les trois cas fondamentaux suivants :

1° Le point en question est produit dans 9 et cp' par un point multiple des courbes C, et C,/ en x =y*

•2" Il est produit dans cp et <j^ par contact SLyecf.

3** Il est produit dans (p et y' par des circonstances différentes.

Il est certain que si l'on n'attribuait d'importance qu'aux, résultats numériques (c'est-à-dire au nombre des solutions des problèmes qui se présentent), il suffirait de traiter le second cas, puisque tous les autres peuvent se réduire à celui-là. Mais si l'on veut se rendre compte un peu à fond des circonstances algébriques qui s'offrent dans les problèmes d'élimination, il est très-utile de prêter d'abord quelque attention au premier cas. La réduction énoncée se fait de la manière suivante :

Soient /7, q deux nombres choisis de telle sorte que l'on ait

introduisons deux fonctions arbitraires ^(x) et xij) ^^^ ordres

p^ q respectivement, soit de plus A une fonction arbitraire du degré r-+-p — n en x et du degré 5 -+- y en j^ ; nous pouvons alors prendre pour base de nos considérations, au lieu de la correspondance ç(x,^) = o, la correspondance

7(*ir)-+(-^)-z(r)^-A./(x) = o,

laquelle fait répondre à tout point x les mémos points mobiles y, et à tout point j les mêmes points mobiles x que l'équation >(f(j:,j^) = o; les points fixes de la correspondance sont seuls en plus grand nombre, et le point de y valeurs en x=-y prend naissance par contact, comme dans le cas n^ 2.

La courbe f=. o sera supposée ne posséder que des points doubles ordinaires, et non des points de rebrou ssement ou des points multiples d'ordre élevé; les nombres a/, a/ ne peuvent alors prendre que la valeur i oa a.

1 ** Nous considérerons donc d'abord le cas où le point de plusieurs valeurs e/i x =j^, dans les deux correspondances, est produit par un point multiple des courbes qui répondent à x ou à y. Nous désignerons encore les premières par Q, Cj^; les secondes par C^, C^/. En tout point x de y sont dans ce cas situées y/ intersections des deux courbes C„ C^ répondant à x, si nous admettons que les y tangentes de la première en x soient distinctes des / tangentes de la seconde. D'après une observation précédente (p. 86), nous devons donc poser dans les formules {li) à (i6) T = yy.

Parmi les couples de points x-y qui satisfont en même temps aux deux correspondances (3), les points j^ seront manifestement déterminés sur y= o par les points d'intersection de JlLj=o [voir aussi p. ^8) et les points x correspondants par la courbe 31Lj= o, car, pour chaque point semblable x, une autre intersection de deux courbes homologues C,, C,/ est située sur f. L'équation 011^^= o est donc le résultat de l'élimination des Xi entre les équations (3) et entre y*(x) = o, en supposant qu'on supprime préalablement dans ce résultat certains facteurs étrangers; car, considéré en lui-même, il serait de l'ordre /i(/V-i- jr') par rapport aux^. Parmi ces facteurs, la courbe y elle-même est comprise 7/ fois, puisque r= y/ (p. 86). La détermination des autres facteurs exige l'étude spéciale de nombreux cas particuliers auxquels

LA GtiOMËTttl ftlTR UNE COOKBB ALGtoaiQCB. 89

Il faut avoir égard, et dont l'examen complet nous entraînerait trop loin. On effectuera, au surplus, aisément cette détermination dans chaque hypothèse en s^attachant aux réflexions suivantes :

Les facteurs en question ne peuvent dépendre que des points exceptionnels des correspondances (3), car c^est là la condition de leur présence. L'exemple suivant pourra servir à expliquer comment les choses se passent dans le détail.

La courbe Q, répondant à un point simple S/ de/*, qui est un point commun t*P** des courbes C, et un point t'p^* des courbes Cr, sans être en même temps un point S', est indéterminée. A S/ appartient, au contraire, une courbe complètement déterminée Cj^, dont Téquation sera désignée par 9^=0, et conséquemment tout point de cette courbe (f,/=o peut être considéré comme point d'intersection de cp^ avec la courbe Q répondant à cf^; autrement dit, la courbe f^ est une partie du lieu des autres intersections (non situées sury) des deux courbes homologues op, cj»', et comme telle elle doit être comptée t/ fois, d'après l'équation ( i3) («/ étant égal à i). Nous avons donc cette proposition que, dans le résultat de l'élimination des Xi entre les équations (3) et entre f{x) = o, se trouve compris le facteur (^i)*"*. Les intersections de 9^=0 avec 31Ly = G sont alors les points de rencontre de 9^= o avec la courbe C, qui correspond à un point de^ infiniment voisin de S. On traitera de la même manière le cas où S est en même temps un point S', etc. Si, au contraire, S est un point double dey}, il existe deux points (lifl*érents voisins de S, et, par conséquent aussi, deux courbes voisines différentes G, 5 9^ doit donc être compté 2T/ fois, comme h* demande l'équation (i3).

Il faudrait encore distinguer les cas où les points S ne sont pas en même temps des points R (p. 84), et réciproquement, etc. Nous laisserons toutefois là ces développements, et nous nous contenterons, dans ce qui suit, de jeter un coup d'œil sommaire sur l'application des résultats obtenus (^ ).

Si parmi les points d'intersection j- de deux courbes Q, C,^ répondant à un même point x il en est un situé sur y, ce dernier forme ensemble avec x un couple de points satisfaisant simultané-

) Nous reTenons plus tard sur un de ces cas (p. 99).

go TOXC III. — COAPITaB I.

ment aux correspondances (3) ; nous ne compterons pas, d'ailleurs, un tel couple parmi ceux cherchés si j^ s'est rapproché de x luimême. Le nombre des couples dont il s'agit est donc égal au nombre des points de rencontre de y* avec 0\Ly (non situés au\ points fixes des courbes ç, (f' ou aux points doubles dey) diminué du nombre des points où une bî^anche de la courbe Q qui répond à X touche une branche de la courbe C,/ qui répond de même à x. Nous imaginerons que ces derniers points sont découpés sut/= o par une courbe ^^^ = o, dont Tordre est aisé à déterminer. Admettons d'abord qu'il ne se rencontre aucun point exceptionnel dans les correspondances et aucun point double def; on aura

(17) ^^y= iX^j-DC^ -4- cA./

OCj étant actuellement la courbe qui découpe sur f les points y des couples cherchés x-y. Or le nombre des points d'intersection de cette courbe avec y nous est connu (t. II, p. i53); car il est égal à (çcp'), et, puisque Tordre de OTL^ est donné par (i3), ou obtient en conséquence pour Tordre de X^y le nombre

(>8) z,.= f.^-i(fy')=7'(^ + ')+v('-' + ^')-3y/ ;')• Pour Tordre de DC^-= o, nous avons donc le nombre

et il vient

p étant égal à - (// — \)[n — 2).

Les expressions Oli^., XC^, DC^ et A sont des invariants fonclion-

(' ) On peut aisément aussi trouver ce nombre directement. Que Ton pose, en effet, la courbe tCj = o s'obtiendra par élimination des dxi entre les équations

A^ étant égal à 1 . Du résultat, qui doit être indépendant des quantités A^, on peut séparer un facteur A]Jf ; il reste alors, en fait, une «pression de l'ordre (18). On peut donc aussi, à l'inTerse, obtenir directement le nombre (ff').