CHAPITRE I

tersection d'une droite quelconque Ux== o asec f==- o et choisir les ip — 4 autres de telle sorte que par eux passe, de la façon indiquée, un faisceau ç, + X^2= o de courbes adjointes On-% déterminant le système g''^\

Si l'on emploie alors les formules de transformation

OÙ t|; = o représente une courbe C>n-2 quelconque passant par les n-+-p — 4 points précités, le faisceau ff -{-1^2 = o coupe la courbe résultante C^+a seulement en deux points mobiles, en déterminant sur elle le système caractéristique ^j^'; autrement dit, le point jy, = o, j^2 = o est de fait un point multiple d'ordre p de la courbe Cp^o-

La détermination du nombre des constantes caractéristiques ou modules d'une courbe peut actuellement s'effectuer en connexion avec notre détermination des courbes normales de l'ordre le moins élevé (p. 82). Nous supposerons d'abord que le genre p soit divisible par 3, que par suite p soit égal à Stt; alors la courbe normale correspondante est de l'ordre 271+2 et a 271(7: — i) points doubles, c'est-à-dire qu'elle dépend de

constantes. Mais on peut, par transformation linéaire, faire disparaître encore huit de ces dernières, en sorte qu'il n'en restera plus que

Une réduction plus considérable de ce nombre par le choix particulier des tt — i points arbitraires qui, dans la réduction de notre courbe C« de genre Stt à la forme normale, servent comme points de base pour les courbes de transformation du [n — sy^me ordre, est impossible. Deux groupes différents G^i de cette espèce donnent, en effet, lieu à deux familles d'adjointes G^.s qui déterminent sur G« un même système ^ji+s ( parce qu'il n'existe qu'un nombre fini de systèmes g-gi+2> '^ étant égal à zéro), et sont par suite complètement équivalentes relativement à la courbe /=o. Si donc deux transformations de cette espèce sont données par

Ï.K GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 67

elles conduisent à une même courbe normale F{j) = o. Par conséquent, en choisissant autrement les tt — i points de base surC,,, on obtient uniquement le changement d'une autre famille d'adjointes Grt s en une famille de droites (et en une courbe fixe G2Tr i adjointe à F = o), sans que d'ailleurs l'équation F = o elle-même varie.

L'examen des hypothèses p=3t: -h i et/;=37r-f-2 se fait d'une manière tout à fait analogue. On a dans le prçmier cas t = i , et conséquemment la transformation en courbe normale peut avoir lieu d'une infinité de manières dißerentes, de telle sorte que, par le choix spécial des tt points arbitraires, on peut encore faire disparaître une constante de l'équation résultante F = o. Le nombre des constantes restantes est donc égal à

- (îTT -^ 3) (27r -H 6) — 27r« - 8 — I = 97r =r 3p — 3.

Pour compléter cette conclusion, il faut encore démontrer que deux courbes normales difierentes F(j^) = o, déduites d'une même courbe G«, ne peuvent dériver l'une de l'autre par transformation linéaire, de telle sorte qu'on ait (comme précédemment) à diminuer de huit, par suite des transformations linéaires, le nombre des constantes. Gar si deux courbes F = o, F'= o provenant àef=^ o par les substitutions respectives

étaient transformables linéairement l'une en l'autre, on pourrait poser

Les courbes cf-- appartiendraient donc à la même famille doublement infinie que les courbes cpj, et par suite auraient en commun entre elles les mêmes points àe f=: o; les deux transformations ne différeraient donc pas l'une de l'autre. On trouve enfin, d'une manière tout à fait semblable, que pour ^ = 3:: -f- 2 le nombre des constantes est égal à

(Tr-f-2)(27r-{-7)— (27i-2-F27r+l)— 8— 2=97r-f-3 = 3/? — 3.

Le nombre des modules d' une courbe du genre p, ou autrement dit le nombre des constantes caractéristiques de cette

68 TOME ni. — CHAPITRE I.

courbe relativement aux transformations à détermination unique, est donc égal à 3p — 3 (').

Les modules jouent conséquemment, dans les transformations à détermination unique, le même rôle que les invariants absolus dans les collinéations (2). On peut, semblablement à ce qui a été fait pour les seconds, considérer les premiers comme des fonctions de rapports anharmonique^s , ou même qualifier précisément de modules certains rapports anharmoniques, si (comme il arrive le plus fréquemment) on n'attache aucune importance à la représentation des modules comme fonctions rationnelles des coefficients de f. On peut, en ejjet, eni^isager comme modules tous les paramètres dépendant uniquement des coefficients de l'équatioîi j = o qui, formés par un procédé algébrique j'igoureusement défini, ne changent pas de 'valeur lorsqu'on les déduit, par le même procédé, des coefficients de la courbe transformée ou qui, dans le cas otV, comme par exemple un rappoj^t anharmonique, ils seraient des fonctions irrationnelles des coefficients, ne peuvent néanmoins se transformer qu'en un nombre fini de ^valeurs dißerentes des premières. Suivant l'espèce de l'opération algébrique employée, on obtiendra comme modules différents systèmes de grandeurs ; pour représenter en particulier les modules comme des rapports anharmoniques, le plus simple est de chercher sur le terrain binaire un champ de valeurs lié à la courbe, et tel qu'il lui réponde unidéterminativement un semblable champ de valeurs par rapport à la courbe transformée. Ces deux champs de valeurs sont alors liés projectivement l'un à l'autre (3); les rapports anharmoniques formés avec les éléments correspondants sont donc égaux et fournissent les modules. Le plus avantageux est de partir ici de courbes adjointes du [n — 3yème o^dre, car nous avons vu qu'aux systèmes d'intersections de ces courbes avec/^= o correspondent sur la nouvelle courbe du v'^"** ordre des systèmes de

( ' ) Le nombre ?>p — 3 a été donné pour la première fois par Riemans, loc. cit., § 12. Les cas de pz=o ei p = i forment exception. Le nombre en question est encore exact pour p= 2, tandis qu'il ne l'est plus pour les courbes hyperelliptiques (p. 72). En général, le nombre vrai est inférieur à Zp — 3 pour toute courbe sur laquelle existent d'autres systèmes spéciaux que ceux figurant au Tableau ci-dessus.

(2) Voir t. I, p. 3ioet 332.

(') Foir t. Il, p. i4i, note.

LA GÉOMÉTRIE SUR l'NE COURBE ALGEORIQUE.

points qui sont déterminés par des courbes adjointes du (v — S^ème ordre. Maintenant, dans un faisceau d'adjointes C/i 3, dont p — 2 points de base sont situés sury=o d'une façon quelconque, il existe, d'après des formules données plus haut (t. II, p, 172), ^p — 2 courbes tangentes à la courbe y*, et dans les faisceaux correspondants de courbes Gv 3 il y a un nombre égal de courbes qui touchent la courbe/" ( * ).

Le système des 4/' — 2 tangentes de ces Qourbes en un point de base du premier faisceau est donc projectlf au système des /\p — 2 tangentes des courbes correspondantes dans le second faisceau, et les 4/> — 5 invariants absolus des formes binaires corrélatives, c'est-à-dire les ^p — 5 rapports anharmoniques des deux systèmes de tangentes sont égaux entre eux. Mais ces rapports anharmoniques dépendent encore des coordonnées des p — 2 points de base choisis arbitrairement sur f=: o; donc, par élimination de ces dernières quantités, on pourra former, d'après le compte précédent, 3p — 3 fonctions de ces 4p — 5 rapports anharmoniques, indépendantes l'une de l'autre et ne dépendant plus que des coefficients de la courbe primitive ; ces fonctions doivent donc être légitimement considérées comme modules [-). On vérifie aussi ces dernières propriétés par le fait qu'en choisissant d'une façon spéciale les p — 2 points en question on obtient directement 3/^ — 3 rapports anharmoniques Indépendants entre eux, et cela de la manière suivante :

Dans la famille p — i fols infinie d'adjointes C,i^3i il existe, d'après ce qui a été dit t. II, p. 172,

p[ip 2 -4- (/7 — i) /^ - (/p — l)] = (/? — l)p[p + 1)

courbes qui ont avec G« un contact d'ordre p — i (c'est-à-dire la rencontrent en p points consécutifs); ces courbes sont, par suite, données avec C„ et dépendent uniquement des coefficients de cette dernière. Actuellement, choisissons les autres p — 2 points d'inter-

(') La présence éventuelle de quelques points de rebroussement ne doit entraîner ici aucune réduction du nombre [\p — 2. [Voir les remarques faites p. 8.)

(') Ce mode de détermination des modules a été donné par Riemann, loc. cit.; la question abordée en dernier lieu dans le texte est traitée par les transcendantes dans ce passiif^e.