CHAPITRE I

section d'une semblable courbe C„3 pour points de base de notre faisceau. Parmi les 4p — 2 courbes tangentes de ce dernier, p — i s'absorbent dans la courbe unique ayant un contact d'ordre p — i , et 3^ — I courbes C«3 ayant un contact simple restent encore comprises dans le faisceau; les tangentes de ces courbes et de la courbe de contact précédemment signalée, en un point de base du faisceau, représentent alors une forme binaire de l'ordre 3/?, telle que les ^p — 3 rapports anharmoniques en relation avec elle dépendent uniquement des coefficients de la courbe primitive (*). On peut donc considérer ces rapports anharmoniques comme des modules, étant admis avant tout qu'ils soient en général indépendants les uns des autres. Or, on prouve qu'il en est bien réellement ainsi (2), en montrant que réciproquemcjit, par les valeurs de ces 'dp — 3 paramètres, un nombre ßni de courbes ^p+\ est déterminé, attendu que Von considère comme identiques entre elles toutes les courbes qui dérivent les unes des autres par transformation à détermination unique, et cela de la manière suivante (^ ). Au lieu d'une courbe C« de genre p, nous pourrons prendre pour base de notre examen une courbe C^+i ayant

-p{p — 3) points doubles; on peut ensuite, sans nuire à la généralité, attribuer à cette courbe la propriété de posséder un point dans lequel elle a un contact d'ordre p — i avec une droite; car, pour déduire une courbe de cette espèce d'une courbe générale Cß, il suffit de choisir le réseau des courbes de transformation de telle sorte qu'il renferme une des courbes Cn-z ayant un contact

( ' ) Ce mode de détermination des modules a aussi été employé par Weierstrass. ( Voir Brill et Nöther, loc. cit.) Dans ce Mémoire sont également indiqués d'autres modes de détermination.

(') S'il devait en être autrement dans des cas particuliers, c'est que l'on aurait précisément assigné aux modules des valeurs spéciales, certaines relations invariantes étant alors satisfaites à l'égard de la forme binaire correspondante représentée par les 3/J tangentes en un point de base. Ces relations peuvent être données par des valeurs particulières des invariants absolus (c'est-à-dire par l'évanouissement d'invariants) ou aussi par l'évanouissement identique de covariants. Cette dernière circonstance indique encore généralement des relations entre les rapports anharmoniques, en sorte que l'on embrasse les deux cas si l'on considère seulement des rapports anharmoniques (c'est-à-dire des paramètres irrationnels); on renonce néanmoins par là d'abord à la représentation rationnelle des modules par les coetticienls de C„.

(') Voir Cayley, Proceedings of thé London Math. Societj, t. I.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉDRIQDE. 7I

d'ordre p — i. La droite tangente d'ordre p — i dont nous avons parlé coupera C^+i en un autre point P duquel on pourra encore mener Zp — i tangentes à cette courbe. Les rapports anharmoniques des Zp droites ainsi déterminées sont les paramètres que nous cherchons. Considérons actuellement, à l'inverse, ces paramètres comme donnés d'une façon complètement arbitraire ; alors on peut toujours trouver, ainsi qu'il suit, une courbe C^+i à laquelle ils appartiennent comme modules. Neus prendrons un point quelconque P et nous mènerons par ce point trois droites quelconques; on pourra alors tracer par P encore Zp — 3 autres droites qui, avec les trois premières, formeront les 3^ — 3 rapports anharmoniques donnés. Si maintenant nous imposons à une

courbe G^+t les conditions de passer par P, d'avoir -/7(/? — 3)

points doubles, de toucher les 3p droites précitées, le contact avec une d'entre elles étant d'ordre p — i, le nombre des constantes dont on peut encore disposer pour OpJ^^ est égal à

Soit F'=ro l'équation d'une courbe satisfaisant à ces conditions, et soient Xt = o, Xi= o les coordonnées du point P : nos conditions seront encore satisfaites par toute courbe F = o dérivée de F' par la transformation linéaire (*)

et cette courbe F = o renferme trois constantes arbitraires a<, «j, «3. Il en résulte que toutes les courbes qui satisfont aux conditions précédentes doivent pouvoir être déduites d'un nombre fini de courbes F'= o par transformation linéaire. Il est donc prouvé en premier lieu par là que les Zp — 3 rapports anharmoniques introduits plus haut comme modules sont indépendants les uns des autres, et en même temps aussi, que ces 3p — 3 modules déterminent réciproquement une classe de courbes du genre p, si, avec Riemann, nous rangeons dans une classe toutes les courbes

(') CeUe transformation est une coHinéalion perspective dont le centre (à savoir le point X, = o, x,^ o) est donné (t. I, p. 819 et suiv.).

•]2 TOME in. CHAPITRE I.

qui peuvent être transformées unidéterminativement les unes dans les autres.

Nous mentionnerons, pour terminer, les modifications que cette détermination des modules subit dans les courbes hyperelliptiques (p. 65), c'est-à-dire dans les courbes qui possèdent un système spécial ^2*'. Un faisceau d'adjointes Cn^s mené par p — 2 points de^* passe encore par p — 2 autres points fixes de cette même courbe, et dans ce faisceau il existe seulement 2(2-1-/7 — i) = 2/74-2 courbes tangentes. Or, comme tous les faisceaux constructibles de courbes C«3 sont ici équivalents, les 2/? — i rapports anharmoniques des paramètres de ces courbes de contact sont indépendants du choix des points fixes, et ce sont les Q.p — i modules de la courhe hyper elliptique. Il suit également de là que si U7ie courbe du genre p doit posséder un système spécial g^^\ cela équi^^aut à Zp — 3 — 2p -\- i:=p — 2 conditions [*). Si l'on part, en particulier, de la forme normale précédemment indiquée pour une courbe hyperelliptique, c'est-à-dire d'une courbe d'ordre /?-}- 2 à point multiple d'ordre p, les adjointes Cn^z sont données par les groupes de p — i droites qui passent par le point multiple ; les m.odules sont donc les :2p- — i rapports anharmoniques [les invariants absolus) des ip -\- 1 tangentes que l'on peut mener du point multiple à la courbe.

Il est au surplus facile de mettre l'équation d'une semblable courbe C^+s sous une forme dans laquelle ces 2/7 — i modules figurent seuls explicitement comme constantes. Supposons, en effet, que le point multiple soit situé au sommet x^ = o, X3= o, l'équation de la courbe C^+2 aura alors la forme

les (jp désignant des fonctions de leurs arguments et étant de l'ordre indiqué par leur indice inférieur. Pour les coordonnées des points de contact des tangentes issues du point multiple, cette équation doit, une valeur de Xi '. x^ étant donnée, fournir deux valeurs

(') On reconnaît en môme temps qu'une courbe de genre p = i est toujours hyperelliptique et peut conséqiiemment toujours être transformée en une courbe de quatrième ordre, à point double, ce qui sera plus tard démontré directement. {Foir la Section relative aux courbes du genre p = 2.)

LA GÉOMÉTRIE SDR UNE COCRBE ALGÉBRIQUE. -j3

égales deXz'.Xs. Ces 2)^+2 tangentes sont donc données par l'équation

Or, par rotation du système de coordonnées autour du point multiple, on peut toujours obtenir que

et les grandeurs 1\^^\ . . .,K''-P~^Kso7it alors les modules de la courbe. Si l'on fait à présent la transformation

PXl = ^l ?p^ PXi = ^'2 ?p-^ - ?/'+! » PXi = -^3 ?;>,

notre courbe se transforme en

courbe du (2^^7 + 2)'^™^ ordre qui, d'après les explications données t. II, p. 2i4, possède en j , = o, j'^a = o un point multiple d'ordre ^p dont les tangentes coïncident par couples, en sorte qu'il existe seulement p tangentes séparées. L'équation de ces dernières est précisément donnée par <^p= o.

Dans notre dernière équation sont encore comprises, en dehors des ^p — I modules, les p constantes de la fonction cc^; on peut également se débarrasser encore de ces constantes par une transformation à détermination unique. La courbe donnée 0^4.2 se transforme en effet évidemment en une autre courbe C„j.j, si l'on emploie pour la transformation un réseau de courbes adjointes du pleine Q^àve passaut par ip — 2 points simples fixes de 0^4.8 ; car, en fait, ces courbes coupent Gy,+2 encore en

p[p -\- 7.) — p{p — \] — ip -\- 1 = p + 0.

points mobiles. Si, en particulier, la courbe C^+a qui prend naissance doit avoir encore un point multiple d'ordre p [et non

-p{p — i) points doubles ordinaires], il faut que dans le réseau

soit compris un faisceau dont les courbes rencontrent C^+2 en deux points mobiles seulement. Mais, comme il n'existe qu'u« seul système ^g* sur la courbe primitive, ce faisceau se composera

d'une courbe j^xe du {p — i)''^'''«' ordre (^p^ = o possédant, au point multiple d'ordre /?, un point multiple d'ordre p — 2 et du faisceau de droites Xi-\- 1x3=. o. La courbe ^p i = o coupe encore Cp^2 en

points simples; par 2/; — p de ces derniers nous ferons passer une courbe $^=0 ayant un point multiple d'ordre p — i en Xt = o, ^^3 = 0; alors les courbes

forment un réseau de l'espèce demandée à /? -(- 2 points mobiles. La courbe Cp+2 se transforme donc en une courbe C 3 à point multiple d'ordre p enj^i = o, j'^3 = o au moyen de la transformation

Ici, aux 2/^-1-2 tangentes de 0^+2, faisant partie du faisceau Xi-\-'kx3= o, correspondent les ip-{-i tangentes de C 3 faisant partie du faisceau j^j-f- Xj 3 = o. Mais on peut, en particulier, disposer la courbe Op i = o de telle manière que p des points de contact des tangentes de ce dernier faisceau reviennent en arrière au point p^"^^" j^z= 0,^3= o, c'est-à-dire que les p tangentes aux branches respectives de la courbe en ce point deviennent à la fois des tangentes d'inßexion. Cette circonstance se produira évidemment si les p points d'intersection de G^+2 avec <î)yr,, = o qui ne sont pas situés simultanément sur la courbe $^=ose confondent avec p des points de contact des tangentes du faisceau x^-\- Xx3= o; car ce sont précisément ces p points d'intersection de ^p\ = o avec Cp+2 qui se réunissent pour former le point multiple de Cj,^j. Or, comme parmi les points d'intersection de *^i avec C;,+o,

peuvent encore être pris arbitrairement, on peut, en toute hypothèse, faire coïncider p de ces points avec p des points de contact précités; parmi les ip — 2 points de base communs du réseau précédent, p — 2 peuvent encore être choisis arbitrairement. Chacune des p tangentes du point multiple de la courbe C^+2 ainsi

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. yS

obtenue coupe déjà la courbe p -t- 2 fois en ce point; si donc l'ensemble de ces tangentes est représenté par Xpl^Tn JTs) = o, l'équation de la courbe devra, pour X/^^ o, être indépendante de J21 c'est-à-dire être de la forme

^p+i{jh,Jz) étant une fonction .homogène du degré p -h 1 par rapport à j^, et J3. Les points d'intersection âe j^a = o avec t|/^^2= o sont alors les points de contact des tangentes que l'on peut mener du point multiple à la courbe, abstraction faite des p -\- 2. tangentes de ce point même. Aux ap H- 2 points de contact des tangentes du faisceau x^-\-'kxz•= o, qui sont déterminés sur la courbe primitive par l'équation X(j:,,a:3) = o, correspondent donc, sur la courbe transformée, les yw + 2 points de 4'/»+s(jr« ij^) = o et les p points qui se trouvent infiniment voisins du point multiple j>^4 ^ 0,^^3=0 sur les différentes branches issues de ce point. Ces derniers points satisfont à l'équation X/> ( /) ,J^ ) =■ o. Par conséquent, le produit ^p • ^/)+2 étant une fonction homogène du degré ^p -\- 2, on doit avoir, par notre transformation des j^^- enxi,

de plus, on peut faire

L'équation de la courbe dépend donc bien des ap — i modules seulement, et nous avons ce théorème :

Toute courbe hjperelliptique peut être transformée en une courbe d'ordre p -h 2, à point multiple d'ordre p, de telle façon que les tangentes {Xp= o) de ce dernier soient en même temps tangentes d'inflexion {*), en sorte qu'il n'en parte plus que p -\- 1 autres tangentes {^p^^z=o). Les points de contact de ces der-

(') Cette transformation a été effectuée diine autre manière par Cremona, Suîle trasformazione délie ciirve iperelUptiche {Rendiconti del reale Istituto Lombardo, série II, vol. II, 29 aprile 1869).

nières sont alors situés sur une droite (j)^2=o)> ciinsi qu'on le reconnaît immédiatement , d'après l'équation de la courbe

IV. — Généralisation des formules de correspondance. — Détermination de quelques systèmes spéciaux.

Dans nos recherches précédentes sur le théorème de Riemann et Roch, nous n'avons pas eflfectué réellement la détermination du nombre des solutions pour les problèmes qui s'ofFraient, et nous nous sommes, au contraire, contentés de démontrer la possibilité de les résoudre et de déduire de là les limites dans lesquelles elle existait. Nous nous proposons actuellement de réaliser, pour quelques cas particuliers, la détermination dont il s'agit, en nous rattachant aux formules de correspondance données plus haut.

Les développements généraux dont l'exposition préalable est nécessaire présentent d'ailleurs, indépendamment des applications qui viendront plus tard, un grand intérêt pour la théorie de l'élimination, et nous nous en occuperons, pour cette raison, avec d'assez grands détails. Il s'agit au fond, dans cette théorie, du problème suivant :

Soient données n équations

yi(a;(i),a;^2), . . .,;r(«)) =0, ^»^(xCi), .rC^), . . . , .r("^ ) = o, ...,

dans lesquelles les systèmes de variables

entrent chacun séparément d' une façon homogène, et supposons qu'une même équation f= o soit simultanément satisfaite pour eux tous, en sorte que l'on ait

On demande de déterminer le nombre des groupes de chacun n points x^^\ x^^\ . . . , o:^"^, situés séparément sur f= o, qui satisfont en même temps aux n conditions Çj = o .

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COi;RBE ALCEBRIQtE. 'J-J

Pour le cas de « = 2, le nombre (9^^'), établi t. II, p. i53, a déjà fourni la réponse à cette question. Un examen plus approfondi de cette formule, pour l'hypothèse où les correspondances cj), çp' possèdent des points exceptionnels, formera le point de départ de nos considérations. Nous aurons particulièrement l'occasion de reconnaître qu'en fait l'application du principe de correspondance de Chasles est d'une très grande utilité pour le discernement des facteurs étrangers qui se présentent dans le résultat des éliminations algébriques. Nous pourrons ensuite passer, d'une manière simple, à la détermination des assemblages ternaires de points qui satisfont simultanément à trois correspondances. On trouvera ainsi dans ce qui suit de nombreux compléments à nos précédentes recherches sur les correspondances.

Pour donner un exemple simple de la manière de traiter les problèmes qui s'offrent ici, nous nous attacherons d'abord à des résultats connus, pour les établir d'après une méthode nouvelle et susceptible de généralisation ultérieure. Déjà, dans la théorie des transformations à détermination unique, nous avons considéré une courbe, que nous avons désignée par M, et qui était rapportée, d'une manière complètement déterminée, à une courbe primitive donnée/ = o et à un réseau donné

(p. 4)- Cette courbe avait été définie comme étant le lieu des autres points de base d'un faisceau choisi dans le réseau (i), lorsqu'un point de base de ce faisceau parcourt la courbey"= o. Nous avons déterminé l'ordre de la courbe M = o, ainsi que la manière dont elle se comporte aux points fixes communs des courbes (i), et nous avons vu qu'elle passe par toutes les intersections de la jacobienne du réseau (i) a\ecf=o, et qu'elle détermine, en outre, par ses autres intersections avec /", les couples de points x, y, par lesquels passe une infinité simple de courbes du réseau, c'est-à-dire ceux dont les coordonnées satisfont (p. 34) au système d'équations

(r) Uï) 4-3 (j)

On peut, et c'est là en quoi ces précédentes recherches sont, a titre d'exemple très simple, importantes pour la suite, remplacer ce dernier système [en faisant abstraction de ^i[x) = o, t|(j (^j^ = o] par les deux équations

lesquelles représentent, relativement à la courbe primitive /"= o, deux correspondances (v — i, v — i)i {*) symétriques par rapport aux X et aux y; à tout point x def= o répond, en vertu de chacune de ces deux correspondances, une courbe du réseau (i) passant par X, et les autres points d'intersection de ces deux courbes décrivent la courbe M = o si x parcourt la courbe f= o. On est aussi conduit à la même courbe M = o, en vertu de la symétrie dont il a été parlé, si l'on considère les courbes (2) qui répondent à des points j de /. Le nombre des couples de points x, y qui satisfont aux équations (2) devra alors s'obtenir au moyen des formules de correspondance précédemment données par («p«^') (t. II, p. i53), à la condition d'avoir égard aux modifications que cette dernière peut éprouver par suite de la présence des points fixes du réseau, et de faire subir une réduction au nombre ainsi obtenu, en tenant compte des solutions qui correspondent aux équations <];i(x) = o, ?|;i(j^) = o.

Dans le même ordre d'idées, on est conduit à prendre, au lieu des équations (2), deux correspondances quelconques (a, ß)^, (a', ß')^. données sur^parles équations

.(.r,jj = o, <f'\x,y) = o.

Si alors x se meut sur la courbe primitive fixe, les autres points d'intersection des deux courbes, répondant à x en vertu de (3), parcourront une courbe que nous désignerons dans ce qui suit par 01lLy= o, et l'on obtiendra une autre courbe 3TLx= o comme lieu des points d'intersection des courbes qui répondent aux points y de f. Les deux courbes se confondront si les deux correspondances (3) sont symétriques en x el J-, comme dans le cas des équations (2). Nous nous proposons d'abord d'exposer les

(') Sur cette notation, voir t. II, p. 1^9, et t. III, p. 2.

LA CÉOMÉIHIE SUR USE COURBE ALGÉBRIQUE. 79

propriétés de ces courbes dXLy=- o et ^\lx== o, car nous serons ainsi conduits à la détermination exacte des couples de points qui satisfont simultanément aux deux correspondances (3).

Pour éclairer la marche à suivre, qu'il nous soit permis de donner d'abord à la question posée une réponse pour le cas relativement simple des équations (2), c'est-à-dire d'étudier encore ime fois la courbe M = o, en partant des points de vue qui dominent ici la question. Cette étude repose essentiellement sur les applications du principe de correspondance de Chasles (*).

Supposons que les courbes ^ du réseau (i) soient de l'ordre s, et qu'elles aient, aux p points de base communs S|, So, . . ., S^ respectivement, des points multiples de l'ordre t,, t.2, • • ., îj, (tous à tangentes séparées). Admettons que la courbe /"= o soit du ^lème Qr(ji.g Qi possède, en Si, So, . . . , Sp respectivement, des points multiples d'ordre «1, a,, . . . , «p (ces derniers nombres pouvant d'ailleurs être nuls). Les courbes Q du système, qui passent par un autre point arbitrairement choisi de G«, se coupent encore en .v2 — Si- — I (2) points j^ qui sont situés sur la courbe M = o. Actuellement, pour déterminer l'ordre m de cette dernière, on prendra dans le plan deux points fixes quelconques A et B ; on fera passer par A et x une courbe Q du réseau, puis une semblable courbe par B et x, et l'on fera mouvoir x sur C„. Alors les points d'intersection de ces deux courbes Q avec une droite fixe quelconque forment sur cette dernière une correspondance

[s[ns — ^aiti], s[ns — 2«/^,)].

Les points de coïncidence de cette correspondance sont, pour partie, des points de la courbe G^ (M = 0), pour partie, des points de G,,, et enfin, pour partie, des points de celle des courbes G^ du réseau qui passe à la fois par les deux points fixes A et B ('). Ghacun de ces derniers points de la droite absorbe ns — ^aiti

(') L'auteur (M. Lindemann) doit la détermination suivante des propriétés de M = o et de la jacobienne du réseau (i) à une communication de M. Brill.

(') Le signe sommatoire se rapporte à tous les p points fixes du réseau.

(') Ces points doivent être choisis de telle façon qu'ils ne soient pas points de base d'un seul et même faisceau compris dans le réseau. Si A est un point d'intersection de ^, avec ^, et B un point d'intersection de lp^ avec ^„ les deux courbes en question sont précisément données par (2), et la courbe mentiounce en dernier lieu est ^, = o.

coïncidences ; car c'est en ce nombre de points que la courbe précitée Cs coupe Cm et à chacun d'eux correspond encore la même courbe Q comme courbe de l'autre faisceau. On a donc la relation