s[ns — '^»iti) = m H- « -f- s[ns — l.aiti

d'où l'on déduit l'ordre de la courbe M = o (p. 4) :

(4) m = ni^s^ — i] — slaiti=vs — n,

v = ns — Sa/f/ désignant le nombre des intersections mobiles d'une courbe ^ axec f= o. Faisons d'ailleurs observer que, si x chemine sur C„, les t/( tangentes (mobiles avec x), qui peuvent être menées en un point fixe S/t aux courbes C^ passant par x et A ou par X et B, forment également une correspondance

[t/c[ns— laiti), tj,[ns — 'Laiti]].

Or les coïncidences de cette dernière correspondent :

1° Aux a/c tangentes de la courbe G^ en S^;

2° Aux t/i tangentes à la courbe C^ qui passe en même temps par A et B, chacune comptant ns — 'Laiti fois comme rayon de coïncidence ;

3** Aux ock tangentes de M := o en S^, ce nombre a^ étant précisément encore à déterminer.

Nous avons donc

2 ?/, [ns — l ai ti) = v.k + «A- -^tk[n — 2a,/,- ) ,

ce qui donne la multiplicité du point S^ pour la courbe M = o

( 5 ) «A = tu ( ns — ^Oiti) — au = V ti, — au.

En combinant (5) avec (4), on obtient encore la formule symétriquement construite

(6) ^ s[au+uk)=tu[n + m] {'].

Pour trouver enfin le nombre des couples de points x, y, nous aurions encore besoin de faire usage des propriétés de la jaco-

(') Les résultats exprimés dans les équations (4), (5), (6), sont ceux qui ont été, par occasion, énoncés par Cayley pour le cas de ^ = 3, sous la dénomination de Théorème de Geiser et Cotterill {Math. Annalen, t. VIII, p. 36o.)

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 8l

bienne (i];it|^a4'3) = o (p. lo), c'est-à-dire du lieu des points où se touchent deux (et par conséquent une infinité) des courbes du réseau, où, par suite, se touchent deux courbes des faisceaux passant par A et B. Remarquons, au surphis, que l'ordre de ce lieu peut aussi être établi de la manière suivante. En dehors des points V et B, nous prendrons deux droites auxiliaires quelconques F et G. Par A et par un point mobile P de F, faisons passer une courbe Cj et menons-en également une autre par B et P^puis construisons les tangentes en P à ces deux courbes. Nous cherchons le nombre des points P pour lesquels ces deux tangentes coïncident. Or si autour d'un point Q, arbitrairement choisi sur F, on fait tourner une droite quelconque, et que, pour une des positions de celle-ci, on cherche celles des courbes G^ du faisceau passant par A, pour lesquelles elle est tangente, il y en aura 2 (.v — i), et le lieu des points de contact, pour toutes les positions de la droite menée par Q, est une courbe de l'ordre i[s — i)h-i = is — i qui a un point simple en Q (*). Gette courbe coupe la droite G en ■ts — I points ; on a donc entre les points d'intersection de G avec les couples de tangentes construites aux points P une correspondance (25 — 1, 2 5 — i). Or parmi les ^s — 2 coïncidences de cette dernière se trouvent encore, en outre des points d'intersection de G avec {'^i'^-i^z) = o, les points d'intersection de la courbe C^, qui passe à la fois par A et B, ainsi que le point de rencontre des deux droites G et F. Il reste conséquemment, pour l'ordre de lajacobienne, le nombre

On peut parvenir à des considérations tout à fait analogues si, au lieu de partir des faisceaux appartenant à un même réseau qui passent par A et B, on prend pour base deux faisceaux quelconques

(le l'ordre s et de l'ordre s' respectivement; seulement, on ne doit alors apporter aucune réduction aux résultats obtenus à raison

(') Cela résulte aussi d'un théorème général donné par Zeuthen dans son Méinoin 'iir les systèmes de Courbes, cité t. II, p. 127 (n" 29 de ce Mémoire}.

Clebsch. — Géométrie, III, 6

d'une courbe commune aux deux faisceaux. Donc, à la place de la courbe M = o, intervient une courbe de l'ordre

( ^["■''' — la/t'^) -{- s' [ns — laiti) — «

( =-- n[ O.SS' — i) — sZoit'^ — s' ^aiii,

formule où les nombres ti se rapportent aux points multiples communs du faisceau d'ordre s, et les nombres t'^ aux points multiples communs du faisceau d'ordre s'. Pour la multiplicité de cette courbe en un point î'^'" du premier faisceau, «''?''' du second et ßipie (jg y__ Q^ Qjj obtient, à la place de (5), le nombre

(9) K-=i'[ns — lait:^) + t [ns' — lait'^) — a

On trouve enfin que l'ordre du lieu des points où se touchent deux courbes des faisceaux est égal à

(10) [is i) + (^/- i) - . == 2(.v -)- .s') - 3 (»).

On pourrait enfin généraliser encore davantage ces résultats en remplaçant les deux faisceaux par deux systèmes de courbes, simplement infinis, des ordres s et s', ayant pour caractéristiques [x, y et |u', v' respectivement, et en considérant alors ces systèmes dans leur relation avec une courbe C« quelconque f=z 0(2). Mais, pour

(') Voir aussi Cremona, Einleitung in die Theorie der algebraischen Curven, p. 127. dans la traduction do Curtze; il est aussi montré, p. i3o du même Ouvrage, que les tangentes communes des courbes des deux faisceaux aux points oii ces courbes se touchent enveloppent en général une courbe de la classe 4^' — 3(i -\-s'). — On peut aussi utiliser deux faisceaux de l'espèce considérée ici pour une transformation à détermination unique; aux points doubles de la nouvelle courbe correspondent alors les couples de points par lesquels passe une courbe faisant partie de chacun des deux faisceaux {^itoir les notes des pages ^2 et 62).

(') On obtient du reste aisément, et en suivant une marche analogue, à la place do (8), le nombre

fj.fji's{ns' — 2a.t'^;-h fi/x's'Çns — Sa^r,) — ///a'w = ft/x' [n{2 ss' — i) — la^{s't^-^ st'^)],

à la place de (9) le nombre

///[^'(«j — Sß,.^,)-f- t{ns' — lait'^) —a],

enfin, à la place de (10), le nombre

/A'(/i-i-v)-f-/A(/-+-v')— .a/=/^v' + v/+ fifx'.

Des réductions sont encore à apporter ici si les deux systèmes ont une courbe commune (cas de s = s'), ou si (pour s'^s') une courbe C, du premier système se décompose en une courbe C,, du second et en une autre C^,,.

LA GÉOMÉTRIE SUR CNE (OCllBE ALCÉBRIOLE. 83

nous, le cas qui présente un intérêt extrême est celui où les deux systèmes de courbes sont liés à /'par des relations d'un caractère tout à fait spécial, car cette hypothèse se présente si deux correspondances quelconques sont données sous Informe (3), ainsi qu'il sera montré incessamment. Nous passons donc à l'examen des faits dont il s'agit, tout en étant forcés, pour de nombreuses particularités, de nous borner à de simples indications.

Dans les équations (3), qui donnent naissance aux correspondances (a, ß)^, («', ß')^ sury= o (/"étant encore supposé de l'ordre n et du genre p), nous pouvons considérer les quantités j/, par exemple, comme des coordonnées ponctuelles variables, et les quantités x, comme trois paramètres entrant d'une façon homogène, etliés par la condition/(x) = o. Une équation o[x^j) = o nous représente alors un système de courbes qui dépend, de la manière la plus générale, d'un paramètre entrant d'une façon irrationnelle (t. II, p. ii4)- Dans les équations (3), nous avons donc deux systèmes de courbes qui sont liés avec leur paramètre par la même irrationnalité- Mais ces systèmes se trouvent dans des circonstances particulières à l'égard de la courbe /=o, en ce que, conformément à l'hypothèse faite, les fonctions (j)(x,j ), ^{x,j) doivent, en vertu dey=: o, s'évanouir respectivement au degré y et y' pour x =J, tandis que ce dernier fait n'a pas lieu en général pour un point quelconque du plan. Nous pouvons exprimer la même chose en disant que, parmi les courbes du système qui passent par un point quelconque x de la courbe f, il s'en trouve toujours figurer une [savoir celle qui répond à x, en vertu de (3)], dont y ou / intersections avec la courbe primitive sont situées en j; même; pour chacune des autres courbes passant par x, il existe un autre point de f= o, dans lequel se confondent y ou y' points d'intersection de cette courbe avec /"= o.

A l'égard du système des courbes du 5'^'"® ordre 9 = 0, nous admettrons maintenant que les points Si, So, . . ., S^,, ainsi que leurs nombres caractéristiques i,, ^25 •••5 t^ et «,, «2> •-•i «p aient le même sens que dans l'exemple précédent d'un faisceau ; pour les courbes du /''^■^« ordre (^'= o, nous désignerons d'une manière analogue les points qui présentent le même caractère par Sj, Sj, ..., Sj, et les nombres qui leur appartiennent par t\, fj, ..., /pi a'i, aj,..., a^. Quelques-uns des points S', ou même tous, peuvent se con-

fondre avec les points S. On a alors les relations

(îï) p = ns — 2a,ti—y, ß' = ns' — ^n'^t'^ — y' ,

car ß, par exemple, est le nombre des points où une courbe f{x,j) = o, répondant au paramètre x, rencontre C„, et qui ne sont pas situés en x même, mais sont tous mobiles avec .r ; et Haïti est le nombre des intersections fixes de la courbe Q((j;-=o) avec la courbe Cn{f=o). Faisons encore observer qu'il nous suffit d'avoir égard aux points S,, pour lesquels on a a/^i, c'est-à-dire qui sont situés sury= o; les autres points fixes des deux systèmes de courbes n'entrent point en considération dans ce qui suit.

Naturellement, nous aurions pu considérer les quantités ji comme des paramètres liés par la condition y"(j}'^) = o, et les quantités Xi comme des coordonnées ponctuelles. Dans cette circonstance, les équations (3) nous représentent deux systèmes de courbes d'ordre r et r' respectivement. En admettant que ces dernières possèdent les points exceptionnels fixes R^ R25 • • •> R» et Rj, R'a, . . ., R„ , et que, par rapport à eux, les nombres corrélatifs des nombres a,, f^, qui répondent aux points S/, soient a,-, T,, a^-, rj, nous avons également les équations

(12) K = nr — léO-iZi—y, a.' = nr' — 2a|.-)— 7'.

Pour déterminer maintenant L'ordre de la courbe 3TL^= o, qui, en vertu ô.ef=. o, est engendrée par les deux systèmes de courbes du s^^^^ et du /»<='"e ordre (p. 78), nous établirons, ainsi qu'il suit, une correspondance entre les points d'une droite quelconque, semblablement à ce que nous avons fait plus haut pour la courbe M=o (p. 79). Le nombre des courbes C^[(ç(x,j ) = o] qui passent par un point quelconque z du plan est égal au nombre des solutions communes de (^[x^ z) = o ei f[x) = o qui dépendent de z (c'est-à-dire qui ne tombent pas en des points exceptionnels fixes S/), et il est le même pour tous les points du plan, à la seule exception des points fixes communs du système des courbes C^. Or nous connaissons ce nombre pour le cas où z est situé sury= o, car alors il est égal, d'après (12), à y -\- a. ('). Chacune des y -\- y.

(') La méthode employée ici est d'une (jrande utilité pour les recherches de ce genre. M. Zeuthen s'en est beaucoup servi dans le Mémoire cité. Elle consiste, rela-

LA CKOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉnRlQUE. »5

courbes correspondantes G^ coupe y fois /en lui point déterminé, et, en ce dernier, une courbe déterminée Gj/ (celle qui lui répond en vertu de f/=o) a une intersection y"P'® avec/*. A un point quelconque z sur une droite fixe correspondent donc aussi 7 + a courbes Gy, et celles-ci coupent la droite en s![y-\-oi.) points z' correspondant au point z. Ainsi prend naissance une correspondance [-^'(y -4- a) 5 -^(7' H- ="')]• Les points de coïncidence de celle-ci sont les points de la droite fixe où se coupent deux coiwbes homologues Gj et Os> (c'est-à-dire deux courbes repondant, en vertu de (3), à un même point de /= o dans lequel elles ont avec cette courbe des contacts des ordres 7 — i et 7' — i respectivement)^ ce sont donc les points d'intersection de la droite fixe avec 01ij= o, et, en outre, ses« points de rencontre avec/". Par suite, l'ordre de la courbe 3ïLy = o est ßnaleineiit égal à

=. n ( 1!,' -\- sr') — s'^L v-iZi — .s'Lv.\-:\ — T /i,

r désignant un nombre qui reste à déterminer (' ).

Nous rechercherons ensuite comment se comporte la courbe OÎLj,= o aux points S/ et S|- (p. 80 et p. 83). Nous avons ici à distinguer les cas suivants :

a. Le point S est en même temps un point S'.

b. Le point S nest pas en même temps un point S'.

Dans le casa, nous déterminerons le nombre Vj au moyen d'une correspondance qui est établie entre les rayons du faisceau ayant pour sommet S/ par les deux systèmes (3), comme elle l'était dans l'exemple précédent par les deux faisceaux de courbes (p. 80).

livement au nombre des solutions, à déterminer le résultat général par des cas particuliers et facilement saisissables. Elle a été désignée récemment sous le nom de Principe de la situation spéciale, et employée sur une grande échelle par Schcbert, dans son Ouvrage intitulé : Kalkül der abzählenden Geometrie, Leipzig, 1879; voir aussi Göttinger Nachrichten, 1874, p. 37'i, et Math. Annalen, t. X.

(^') 11 sera montré incessamment que f est le nombre des points d'intersection situés en X =/ sur/= o de deux courbes homologues 53, ©', en sorte que le lieu des points d'intersection de semblables couples de courbes est donné par la courbe .')lLy= o, conjointement avec \f{x)'\^ =^ o.

Ce sera là une correspondance

Parmi les coïncidences, V ni se produisent par confusion avec )3S tangentes du point a/^'" que /possède en S/. Les coïncidences de cette correspondance se rapportent effectivement, en général, au lieu des points d'intersection des deux courbes homologues C^, Os' de nos deux systèmes simplement infinis ; mais ce lieu se compose de la courbe OIL^ et de la courbe/", cette dernière devant être comptée P fois si T intersectiojis mobiles de deux courbes homologues des correspondances (3) sont situées au point de f, qui donne précisément lieu à la dépendance respective des deux courbes (*). Par là est également rendu visible le sens du nombre r dans (i3). D'autre part, la correspondance obtenue en dernier lieu nous donne ce théorème :

En un point S/ [ou S-), qui est un point commun ti^P^^ des courbes Cç, un point commuji t'/P^^ des courbes Cs/ et un point fi-ipie ^e J^ la courbe .TÏLj possède un point singulier dont la multiplicité est donnée par le nombre

(l4) ^f = t'A7 + «) + ^-(7' + «') - ra,:

Pour le cas b, c'est-à-dire si l'un des nombres t, t' est égal à zéro, ce même résultat reste exact, mais il doit être démontré de nouveau. Il existe a' -\- y' courbes C/ déterminées qui passent par S et entre lesquelles figure, comptant y' fois, la courbe C/ qui répond au point S lui-même. Il y a donc aussi ol' -\-y' courbes C^ homologues de celles-ci (p. 85). Pour tout couple de pareilles courbes homologues [-)•, t points d'intersection sont situés au point S, tandis que cela n'a pas lieu pour un couple quelconque de courbes

(') On suppose ici, comme dans ce qui suit, que deux courbes çj(a-,j') = o, y'C*^»^) =0) répondant à un môme point x de/, ne se coupent plus en dehors du point X lui-môme en aucun point mobile avec x et situé snr f= o. Le cas où les deux systèmes de courbes ont une courbe mobile commune est d'ailleurs toujours exclu.

(') La courbe C^, homologue de la courbe C/ qui répond au point S lui-même, est, il est vrai, indéterminée; il faut la remplacer par la courbe C^ qui répond à un point voisin ; pour le couple de courbes qui a cette origine, T autres intersections se trouvent voisines de S, circonstance qui correspond au fait que /= o, compté T fois, fait aussi partie du lieu considéré.

LA GtOMÉTRIE SLR UNE COIRBE ALGEURIQUE. 87

homologues C:ç, Cs', de telle sorte que ces t points d'interseclion doivent, en toute hypothèse, être comptés parmi les points mobiles qui décrivent la courbe DXLy=^ o. Donc, tandis que pour un couple voisin ils ont encore sur uïly= o une situation séparée, ici, pour le couple considéré, ils se réunissent tous vers S. Mais, du nombre total t[<x'-i-y') d'intersections de tels couples de courbes qui se trouvent ainsi situées en S, il faut retrancher, comme dans le cas rt, le nombre F«/, si la courbe /=: o a un point a/?'^ en S.

D'une manière absolument analogue, on déduit de (i3) et (i4)i pour la courbe OTt^ = o (p. 78 et suiv.) les nombres

^ ' ' i =n{rs'-\- s)^) — /■' 1 Oiti — ri a\ t\ — F //,

(,6) vî;-' = r;.(v + p) + r,(/+P')-ra,.

Les autres recherches que nous nous proposons de rattacher à ces calculs (et en particulier la détermination du nombre F) prennent une tournure différente, suivant que le point de 7 ou 7' valeurs des correspondances (3) en x = }^ prend naissance ou non par contact avec la courbe primitive. i^Voir t. II, p. i48.) Nous distinguerons les trois cas fondamentaux suivants :

i" Le point en question est produit dans 9 et cj-' par un point

multiple des courbes Cj et Q/ en x '=J' •i" Il est produit dans cf et c^' par contact avec/". 3^ Il est produit dans o et <f' par des circonstances différentes.

Il est certain que si l'on n'attribuait d'importance qu'aux résultats numériques (c'est-à-dire au nombre des solutions des problèmes qui se présentent), il suffirait de traiter le second cas, puisque tous les autres peuvent se réduire à celui-là. Mais si l'on veut se rendre compte un peu à fond des circonstances algébriques qui s'offrent dans les problèmes d'élimination, il est très-utile de prêter d'abord quelque attention au premier cas. La réduction énoncée se fait de la manière suivante :

Soient/^, (/ deux nombres choisis de telle sorte que l'on ait

p-hr>n, (/H-,v>//, p^o, (j^o;

introduisons deux fonctions arbitraires '^{x) et y^{j) des ordres

p, q respectivement, soit de plus A une fonction arbitraire du degré r -+- p — n en x et du degré s -\- q enj] nous pouvons alors prendre pour base de nos considérations, au lieu de la correspondance ^[x,j) = o, la correspondance

?(^-Nj) •^(•^) •/.(/) + A./(J7) = o,

laquelle fait répondre à tout point x les mêmes points mobiles y, et à tout point j les mêmes points mobiles x que l'équation cf(j:,j') = o; les points fixes de la correspondance sont seuls en plus grand nombre, el le point de y valeurs en x =j prend naissance par contact, comme dans le cas n° 2.

La courbe f= o sera supposée ne posséder que des points doubles ordinaires, et non des points de rebrou ssement ou des points multiples d'ordre élevé ; les nombres «/, a.i ne peuvent alors prendre que la valeur \ ou i.

i" Nous considérerons donc d'abord le cas où le point de plusieurs valeurs en x=j'', dans les deux correspondances, est produit par un point multiple des courbes qui répondent à x ou à y. Nous désignerons encore les premières par C^, C^^; les secondes par C^, C,-/. En tout point x de y sont dans ce cas situées yy' intersections des deux courbes C^, C^ répondant à x, si nous admettons que les y tangentes de la première en x soient distinctes des / tangentes de la seconde. D'après une observation précédente (p. 86), nous devons donc poser dans les formules {\Z)

Parmi les couples de points x-j qui satisfont en même temps aux deux correspondances (3), les points j^ seront manifestement déterminés sur y== o par les points d'intersection de 01Lj=:o [voir aussi p. »yS) et les points x correspondants par la courbe 01^^= o, car, pour chaque point semblable x, une autre intersection de deux courbes homologues Q, C^/ est située sur f. L'équation D]'i'y= O est donc le résultat de l'élimination des xj entre les équations (3) et entre y(x) = o, en supposant qu'on supprime préalablement dans ce résultat certains facteurs étrangers; car, considéré en lui-même, il serait de l'ordre n[rs'-\- sr') par rapport auxj}^. Parmi ces facteurs, la courbe y elle-même est comprise yy' fois, puisque r= yy' (p. 86). La détermination des autres facteurs exige l'étude spéciale de nombreux cas particuliers auxquels

LA GÉOMKTRIE SUR UNE CODRBE ALGÉBRIQUE. 89

il faut avoir égard, et dont l'examen complet nous entraînerait troji loin. On effectuera, au surplus, aisément cette détermination dans chaque hypothèse en s'attachant aux réflexions suivantes :

Les facteurs en question ne peuvent dépendre que des points exceptionnels des correspondances (3), car c'est là la condition de leur présence. L'exemple suivant pourra servir à expliquer comment les choses se passent dans le détail.

La courbe Csy répondant à un point simple Si de y, qui est un point commun «'?'* des courbes G^ et un point t'p'" des courbes C^, sans être en même temps un point S', est indéterminée. A S< appartient, au contraire, une courbe complètement déterminée C^^, dont l'équation sera désignée par©^=o, et conséquemment tout point de cette courbe q«^/=o peut être considéré comme point d'intersection de (f^ avec la courbe G^ répondant à cj)^; autrement dit, la courbe 9)^ est une partie du lieu des autres intersections (non situées sury) des deux courbes homologues ^, c^', et comme telle elle doit être comptée t/ fois, d'après l'équation ( i3) (a/ étant égal à i). Nous avons donc cette proposition que, dans le résultat de l'élimination des X/ entre les équations (3) et entre f{x) = o, se trouve compris le facteur (^^)^'. Les intersections de <p^= o avec 0]t,= o sont alors les points de rencontre de q5^= o avec la courbe Cs qui correspond à un point de/^infiniment voisin de S. On traitera de la même manière le cas où S est en même temps un point S', etc. Si, au contraire, S est un point double dej}, il existe deux points différents voisins de S, et, par conséquent aussi, deux courbes voisines différentes G^j ç^ doit donc être compté ar, fois, comme le demande l'équation (i3).

Il faudrait encore distinguer les cas où les points S ne sont pas en même temps des points R (p. 84), et réciproquement, etc. Nous laisserons toutefois là ces développements, et nous nous contenterons, dans ce qui suit, de jeter un coup d'œil sommaire sur l'application des résultats obtenus [*).

Si parmi les points d'intersection j de deux courbes G^, G^/ répondant à un même points il en est un situé sur /", ce dernier forme ensemble avec x un couple de points satisfaisant simultané-

(') Nous revenons plus tard sur un de ces cas (p. 99).