CHAPITRE I

ment aux correspondances (3) ; nous ne compterons pas, d'ailleurs, un tel couple parmi ceux cherchés sij^ s'est rapproché de x luimême. Le nombre des couples dont il s'agit est donc égal au nombre des points de rencontre de/" avec d\1y (non situés aux points fixes des courbes 9, ^' ou aux points doubles de/) diminué du nombre des points oh une branche de la courbe Q qui répond à X touche une branche de la courbe Cy qui répond de même à x. Nous imaginerons que ces derniers points sont découpés sury= o par une courbe AJj= o, dont l'ordre est aisé à déterminer. Admettons d'abord qu'il ne se rencontre aucun point exceptionnel dans les correspondances et aucun point double de/"; on aura

(17) d\-L^.= X^y.^y-^rXf,

diy étant actuellement la courbe qui découpe sur f les points y des couples cherchés x-y. Or le nombre des points d'intersection de cette courbe avec /"nous est connu (t. II, p. i53); car il est égal à (9»''/), et, puisque l'ordre de OTLj est donné par (i3), on obtient en conséquence pour l'ordre de ,D&/ le nombre

Pour l'ordre de îH'j= o, nous avons donc le nombre

(19) /,-^.= n[rs'+ir']-y[r' + s')-y'[r + s)-r/[n~Z),

et il vient

( 20 ) [n'] = "f'y = «ß' + P«' — 2 VV'/A

jt^ étant égal à - (« — i)(// — 2).

Les expressions DlLj, Xy, ty^y et A sont des invariants fonction- (' ) On peut aisément aussi trouver ce nombre directement. Que l'on pose, en effet,

la courbe !Xry = o s'obtiendra par élimination des dx^ entre les équations

<^'x ß'~''ß'iu = 0. «X ^''' ^''ux = o. '\U = O' k^ étant égal à i. Du résultat, qui doit être indépendant des quantités A,, on peut séparer un facteur Äg' ; il reste alors, en fait, une expression de l'ordre (18). On peut donc aussi, à l'inverse, obtenir directement le nombre (çjj)').

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGEBRIQUE. Ql

nels simultanés des formes fondamentales y, cp(j:,j>^), (^'(x, 7), et l'équation (17) donne une relation qui existe entre elles ( ' ). Mais une telle relation ne peut être modifiée, de quelque façon que puissent varier les coefficients de ces formes fondamentales; elle doit, en particulier, persister si sur la courbe/ les variations dont nous parlons donnent naissance à des points doubles, cas que nous considérerons d'abord. ISous nous proposons d'ailleurs de déterminer précisément les intersections de t>{y=o axec f= o qui ne tombent pas aux points doubles.

Comme nous n'attribuons plus aux correspondances cf, 9' aucun point exceptionnel, deux courbes complètement déterminées Q, Cgi répondent au point double en question; et, parmi les intersections de celles-ci, y/ sont situées au point double lui-même, comme en un point quelconque def. La courbe 011^ ne passe donc pas par le point double, et il en est conséquemment de même, en vertu de (17), des courbes Xy et »Cj. Le nombre des couples cherchés est par suite encore égal à nky, c'est-à-dire à

(21) cf.S' -+■ 3c/.' — 2 yy'p — 2 77' <■/,

si y possède d points doubles et que p = - (^7i — i)(« — î) — d

désigne le genre de y. Si donc les courbes G^, Gy fie passent pas par les d points doubles de f, la 'valeur trouvée (t. il, p. i53) pour (cpcj*') doit être abaissée de idyy'.

Nous ferons maintenant varier les constantes des correspondances 9 et (p' de manière à produire sur/" des points exceptionnels. Toutefois nous ne considérerons que des cas particuliers nécessaires pour les applications ultérieures. Nous supposerons qu'un point simple x de y soit en même temps un point S et un point S', et qu'il soit caractérisé par les nombres t, t, t', t' de la manière convenue. Nous déformerons d'abord la correspondance o', de telle sorte que le point multiple d'ordre t' des courbes G^^ (et d'ordre z' des courbes G,-/) soit séparé de x, mais se trouve encore sur y, en y, par exemple. Alors cj)(x,x) s'évanouit au degré t -\- '

(') Le fait que, dans (17), il ne peut plus se présenter d'invariant simultané, proprement dit, comme coefficient de 3TL ou cX se reconnaît par des raisonnements semblables à ceux établis t. JI, p. i83.

de multiplicité, c'est-à-dire que la courbe ©, répondant à un point voisin de x, a en x un point multiple d'ordre t -+- z ', par conséquent, {t -h x)-/ intersections de cette dernière avec la courbe a/ qui répond à x tombent en x. De même [^-\-'i:')y intersections d'une courbe ^' répondant à un point voisin de j, avec la courbe cf qui répond à y se trouvent réunies en j. Si maintenant x coïncide avec j, il se trouvera en x

(?-hT)7'+(/' + r')7

points d'intersection des deux courbes tp, c^' qui répondent à x -h dx. Mais comme, pour chaque couple de deux courbes homologues cf, ^', yy' intersections sont situées en x, le nombre des intersections qui se présentent à nouveau, ou, en d'autres termes, le nombre qui exprime la multiplicité de S^y ^ o en un point commun VP^^ pour les cf et t'^P^^ pour les 9' est égal à

(22) [t+zY/ + [t' + ^')y-r/.

Ce résultat reste vrai si l'un des nombres t, t' est égal à zéro.

Dans (17), à la place de 0\i>y figure maintenant, si f'= o, d'après des développements précédents (p. 89), le produit DTtj( 9^)', de telle sorte que l'équation (17) doit être remplacée par

( 23 ) OÏL,. [i,Y= Xy. . fKy -h A/.

Si t et t' sont différents de zéro, nous obtenons

(24) DXby{f,Y[?sY-'=?^-y.^y+Af,

(fs= o, ^■^'s= o étant les deux courbes Cj, Q/ qui répondent à un point de /voisin de S. De même, s'il se présente plusieurs points S de cette espèce, figurera avec OK^, dans le premier membre de (17), un produit TIj, dont les facteurs individuels sont de la forme ((fg)"", .... Les points cherchés^ ne sont donc plus les seules intersections de la courbe d^y= o, mais cette courbe passe aussi par les points de rencontre de 11^=0 avec /"= o. Actuellement, les points d' évanouissement du quotient

... ^ &t\. DIL,

non situés aux points exceptionnels , nous donnent seuls les

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉDRIQUE. <)3

points j des couples cherchés x-y . Les points correspondants x sont les points d' évanouissement d'un quotient formé corrélativement :

Nous allons déterminer le nombre de ces points d'évanouissement pour le cas considéré dans (22).

Le quotient j^ s'évanouit en S, en vertu de (14)5 (22) et (23), à l'ordre de multiplicité

j ^'(« + v) + ^(«' + v')-77'-(^-+-^)7'-(''4-^')7+v/ ^ ^^ ( =t^+i'. -ry'-r'y (»),

Cl le nombre des intersections simples de Jt^^y = o avecf= o sera égal à

i «(f^r-/o) -'«'-''« ^-7'+ -'7 i =ccß'-{-pa — 77' (« — l)(« — 2),

en posant maintenant

K := nr — T — y, P = ff — i — 7, a' =: nr' — r' — 7', ß' = ns' — t' — y'.

Le Jiombre résultant n'est donc pas inßuence par le point fixe des correspondances .

On peut, au surplus, démontrer d'une manière tout à fait analogue que, pour les points doubles de f, par lesquels passent les courbes Q, Csh le nombre (ipcj.') apparaît sous la forme

(y/) = aß' H- Sa'— iyy'{l) -^ d'),

si l'on entend par p le genre de^et par d' le nombre des points doubles de/ qui ne sont pas des points exceptionnels des correspondances. Nous résumerons en un théorème le résultat obtenu, après de courtes explications, sur les deux autres cas mentionnés encore page 87.

2" Nous admettrons, en second lieu, que le point de y ou y'

(') Ce nombre concorde avec celui qui a été obtenu d'une autre manière par Bhill ( Math. Aimalen, t. VI, p. 46).

valeurs respectwement en x=: y pour les deux correspondances prend naissance par contact. Ce cas présente de l'intérêt, en ce sens que, d'après les considérations précédentes sur la nature de semblables correspondances, nous pouvons préciser beaucoup plus que dans le cas précédent. On peut, en effet, admettre que les deux correspondances soient données sous la forme suivante (comparer, t. II, p. i85) :

^0=0 étant la courbe qui détermine sury= o les points de contact des courbes du ^'^™® ordre ayant un contact d'ordre y — i qui font partie du système

et les autres courbes 4>/= o, <i>'^ = o étant définies de la manière correspondante. Ici, l'ordre /' des courbes $, ainsi que leur multiplicité aux points communs des courbes «p et aux points doubles de f, est complètement donné par le mode d'existence des courbes g). En fait, la détermination de /• par s peut s'effectuer de la manière suivante (^). La courbe de coïncidence d'une correspondance c^(jf,j) ) = o est (t. II, p. 161) de l'ordre

Donc, en particulier pour 7 = 1, r = 5, la courbe de coïncidence de la correspondance

?o(-^)fi(j) — 'Pi(-^)?o(j) = o

est de l'ordre is -^ n — 3. Par suite, pour 7 = 2, dans la correspondance

*o(-^)-?o(r) + *i(-'^).?i(7) -i-*2(-^)-?2(j)=o (t. II, p. l65),

l'ordre /• des $ est égal à -is-i-n — 3, et l'ordre de la courbe de coïncidence égal en conséquence k?>[s -\- n — ■?)); on trouve ainsi

(') Foii aussi la nute de la p. i83, l. II.

LA GliOMliTRlE SUR UNE COURBE ALGÉDRIOCE. qS

fie même par là l'ordre de la courbe de coïncidence dans le cas de y = 3 égal à4-y-i — [i"- — 3), et ainsi de suite. E/?, général. L'ordre de la courbe de coïncidence sera égal à

(3o; (y4.,)[^, +l(„3)yj.

Or les courbes du /''^'"^ ordre $/ = o dans (29) sont des courbes de coïncidence d'une correspondance à point de •/ — i valeurs en a: = 7 ; d'où

Nous avons, du reste, vu (t. II, p. 164) qu'en tout point simple def, où sont situées a intersections fixes des courbes ©,, se trouvent ya intersections des courbes ^,, sans d'ailleurs qu'il y ait lieu de se préoccuper de savoir si les courbes (^ ont à cette place un ])oint commim multiple d'ordre g, ou si elles y ont un contact d'ordre g — i avec/", tandis que pour l'établissement du nombre v'" dans (i4) nous avons admis expressément la première circonstance. Mais le nombre (i4) est également exact pour la seconde. Supposons, en effet, que pour un point simple S/ de y (c'est-à-dire pour ai= i) on ait «,= i et que les (p' aient en ce point un point commun multiple d'ordre t'^ : il faut alors employer ime correspondance [^/(yH- a), (y'-f- a')] dont le nombre des coïncidences est égal à

Si maintenant les courbes 9 passent toutes ensemble par ti — i points de y voisins dé S/, il y a /-h a' intersections de deux courbes homologues (p, (j-' qui se confondent en chacun d'eux. Par conséquent, le nombre des intersections de pareils couples de courbes qui se trouvent réunies en S/ devient égal à

<•('/ + «) 4- (7'-+- a') -+- (?,.— i)(/— a') =t'i{y-hoi)-hii{y'-\-c^.'].

( ' ) Le nombre ß de la correspondance se trouve donc être déjà déterminé par œ et y. Ce même résultat peut être obtenu par l'application de la théorie des intégrales abéliennes de seconde espèce. (Foir Lindemann, Extrait d'une Lettre adressée à M. Herraite, Journal de Crelle, t. 84, p. 3io.)

Il en faut encore retrancher le nombre T pour retrouver pour la multiplicité de 3nL>-= o en S/ le résultat exprimé par (i4)'

Un fait analogue a lieu si les 9' ont simultanément en S,- un contact d'ordre t'^ — i avec la courbe primitive, et la question se résout de même pour un point double de /"(c'est-à-dire pour «/= 2). Il suffît, dans ce dernier cas, de remplacer a par at^-; le nombre y (a 4- 7 — i) donne alors encore le nombre des intersections fîxes des 0 situées en un point fixe comme celui dont nous parlons.

Les nombres t/, t^ qui ßgurent dans les foi'mules précédentes (12), (ï3), (16), (22), (27) sont donc, pour un point simple def,

(3i) ^i=ta, < = «:>';

pour un point double de f,

Actuellement, supposons d'abord y'~^y- Parmi les points d'intersection de deux courbes quelconques tangentes respectivement d'ordre y — i et/ — i au même point a: de y, y sont voisins de x; il faut donc (p. 86) prendre r= y dans les formules (i3) « (16).

La détermination des facteurs qui, dans le résultat de l'élimination des X entre (34) et entre f[x) = o, se présentent conjointement avec uïij et y^, s'effectue absolument comme dans le cas précédent, et n'a pas besoin d'être expliquée à nouveau.

On doit au contraire remarquer la manière spéciale dont se comporte ici la courbe 5C-j= o, très importante pour l'établissement de l'équation (17), et qui détermine sur^par ses intersections les points x pour lesquels un (y -i- i )''"'"' point d'intersection de deux courbes homologues Q, Cg' retombe sur j:^. Mais, comme nous

(') Toute correspondance à point de y valeurs en x=jy pouvant être réduite, à l'aide de/= o (voir p. Syetsuiv.), à une correspondance comme celle envisagée plus haut, les résultats énoncés dans les formu!es(3o), (3i), (Sa) s'appliquent encore au cas que nous avons traité en premier lieu. M. Krey suppose, dans ses recherches relatives à ce sujet {l\tathematische Annalen, t. XII, p. /176), que toutes les courbes C^, C^„ C^, C^, passent une seule fois au plus par les points exceptionnels qui sont des points doubles de/. Cependant on reconnaît par (82) que cette hypothèse ne peut jamais être admise que pour les cas de ;/ = 0 et y = i.

LA GÉOMÉTRIE SCR ONE COURBE ALGÉBRIQCE. 97

supposons /^ y, ce (7 -f- i)''-™" point d'intersection est nécessairement situé aussi sur la courbe f^ et le fait n'a lieu que dans deux cas : i" si une courbe G^ a un contact d'ordre y (cas où y 4- i points consécutifs sont communs), ce qui se produit aux points de coïncidence de la première correspondance ( 29) ; 2° si une courbe 9' a en X un point double, hypothèse où il j a y points communs consécutifs seulement, mais où l'un d'eux compte double comme point de rencontre de ip et o'. Les points de la première espèce, dont chacun doit être compté y' fois (' ), sont, d'après (3o), déterminés sury par les points de rencontre d'une courbe de coïncidence Ly= o de l'ordre (y + i) .v -h - (/z — 3)y h les points de la

seconde espèce, dont chacun compte y fois, par une courbe qui se détermine de la manière suivante (2) :

Du premier membre de la deuxième équation (29) doit, pour X = y, se séparer un facteur y, en sorte que l'on a

Pour les points d'intersection de ^' avec/i le premier membre de cette équation s'annule doublement, c'est-à-dire que la courbe ^', répondant à l'un de ces points d'intersection, y possède un point double. Par suite, les points mentionnés de la seconde espèce sont découpés par la courbe ^'= o, relativement à l'ordre de laquelle on déduit de (33) le nombre

(34) 4,'z=r'-4-,v'-« = (/-f-l)5'-fi/(7'-l)(/i-3) — «.

Commençons par admettre encore que^n'ait pas de point double, et qu'aucun point fixe commun de G, et G^^ ne soit situé sur^"; alors intervient, à la place de (17), l'équation

On trouve par là, comme dans le cas précédent, que l'ordre de [X\-

(') On le reconnaît immédiatement par ce qui a été dit t. II, p. i5i. (') Le cas de -/'= •/ est toujours excepté. Comparer l'exemple •/'=: 3, p. iH.') et i8ç) 'note), t. II, où T' devient la jacobienne des trois courbes jj'g, çj'i, j»',.

Clebsch. — Géométrie, III. 7

est égal, en vertu de (i3), (3o), (3o)* et (34), à Pj- vf - 7'(7 -»- 0 U + ^71« - 3) j

nlrs + sr

71'- +* ) — 7 i'--^-'«] — ni«

Le reste de la recherche s'effectue comme au cas précédent; il faut seulement remplacer toujours l'expression 5C- par le produit (^')ï(Ly)f'. La manière dont se comporte ce produit aux points exceptionnels de la courbe y ou des correspondances (29) est également facile à déterminer, parce que, d'après ce qui précède, on connaît la manière dont se comporte L^, et qu'il est aisé de tirer de (33) ce qui est relatif à 'F'. Les points cherchés j' se trouveront finalement au moyen des points d'évanouissement simples des quotients 4^^ de la forme (aS), et les points correspondants X par ceux des quotients 4^^ de la forme (26). A l'égard de ces quotients, le nombre (2'j) reste également exact; il suffit d'y exprimer, d'après (3i) et (32), les nombres z, x' par t, t' .

Il est d'ailleurs à observer que le cas où Q, Q/ ni C/-, Gr/ ne passent par un point double de^ne peut pas se présenter ici. Car bien qu'on ait en un tel point t = t'z= o, nous avons néanmoins, d'après (32),

Or, si nous admettons la survenance d'un point de cette espèce S, il' lui correspond deux courbes G, diff'érentes cf^=o, <^s>= O5 et deux courbes Gy difî'érentes (p^= o, (p'y= o, et à la place de (35), s'il ne se présente pas d'autres points exceptionnels, intervient l'équation

Or de cette identité nous ne pouvons ici rien conclure, car nous ne connaissons pas encore le mode d'existence de DTLy en S. Mais le nombre des points cherchés j>^ est égal au nombre des points x, qui forment un couple avec chacun d'eux. Nous pouvons donc, au lieu de OTlj, employer l'expression OXij:. La multiplicité de cette

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 99

dernière est, d'après ( i6), eu égard à (32),

r. = T;(v + .8)+T,(v' + ;3')2v = '-/W - 0(7 -t- ß) + ;7(7 - ')(7' + f^') - 27, ß étant égal kiis — 7, ß' à ns' — 7'. On a d'ailleurs, d'après (35), (37) DlI.,= (r)-r(L,)v'9C,4-A/ '

Mais nous ne savons pas non plus comment se comporte la courbe ^'=0 au point double S, de sorte que cette équation ne nous sert à rien. Pour résoudre la question, il nous faut recourir au résultat obtenu sous l'hypothèse étudiée en premier lieu (p. 91). Ce résultat doit en effet rester exact pour le cas actuel, comme nous l'avons fait voir au commencement de nos recherches (p. 87). Le nombre des couples cherches sera donc encore donné par (21).

Le cas de y = / mérite une mention spéciale. On aperçoit aisément qu'il faut prendre encore ici F =7, mais qu'il n'y a plus décomposition de la courbe 5G = o en courbes ['^')'^z=o et (Lf)^'== o et que tout demeure symétrique.

3" Enfin, quelques mots peuvent trouver place ici relativement au troisième cas cité plus haut (p. 87), cas dans lequel le point de y 'Valeurs de Cj)(x, j^) en x =y est produit par un point y'P^^ des courbes cj», tandis que le point de •/ valeurs de ^' {x^y^ en X =-j est au contraire produit par un contact d'ordre y' — i des courbes cf. On doit ici prendre r=y, indépendamment de la circonstance que / est plus grand ou plus petit que y. D'ailleurs, un autre point d'intersection des deux courbes ç, a/ qui appartiennent à x se réunit à x, en premier lieu s'il intervient en x une coïncidence de (f[x,y), en second lieu si la courbe ç' tangente en x a en X un point double. A la place de l'équation fondamentale (17) se présente alors la suivante :

aTL,.= M'ï(L,]T'.Dt^.-}-A/,

oij L^:= o désigne la courbe de coïncidence de (f[x,j-)= o, tandis que W est défini par l'équation (33). La détermination du mode d'existence des courbes qui se présentent ici aux points excep-

lionnels des correspondances se fait encore comme précédemment.

Nous résumerons enfin dans la proposition suivante les résultats obtenus, dans la mesure au moins où nous devons plus tard en faire usage.

Lorsque deux correspondances (a, ß)^ et (a', ß')-^/, pouvant posséder des points exceptionnels (ßxes) quelconques, sont données par deux équations g>(a:, ;^) := o, cj('(x, j^) = o, le nombre des couples x-j qui satisfont à toutes les deux et sont formés chacun par deux points séparés est égal à

(38) [n' ) = «^' + «'^ - 'iT/[p + D).

s'il existe D points doubles de f par lesquels ne passent pas toutes ensemble les courbes ip, (p' répondant à x [^). Les points j sont ici les points racines simples, non situés en des points excep-

tionnels^ du quotient -^7= — ^» TI désignant le produit connu

déterminé par les points exceptionnels et qui se présente dans (23), (24) comme facteur de OHy. La multiplicité de ^j, pour un point exceptionnel d'ordre t ou ^ des courbes répondant à x en vertu <fe cp = o ou 9'= o, si ce point est un point simple def^ est donnée par le nombre (27), lequel devient, en vertu de (3i), ta. -+- 1! CL — 77'(f H- ï'); [quelques-uns des nombres t, r, t!^ x' pouvant être individuellement nuls). De même les points correspondants X sont les points racines simples, non situés aux points exceptionnels, d'un quotient j^x-

(') Il faudrait distinguer au premier abord trois cas différents, savoir :

x" s <ir et ^' < r', r et r' étant donnés en toute hypothèse par (3o)*; c'est à ce cas que nous nous sommes bornés dans les remarques précédentes, en parlant des équations (29). Les courbes qui répondent & j passent toujours par les points doubles de /. {Voir p. 98 et la note de la p. 96.)

1° s<Cr et s' > r' ; r s'exprime par s, d'après (3o)*, mais s' est déterminé par /•', en vertu d'une relation analogue.

3° i > r et i' > r.

Néanmoins, il n'est pas nécessaire d'étudier plus à fond les deux derniers cas, car on peut les ramener au premier en se servant de la loi de réciprocité qui existe entre les courbes jj, tp' et *, *' figurant dans (29). {Foir t. II, p. 176 et suiv.)

Of MATHEMATICS

"^^eSvoncCTO

LA GEOMETRIE SUR UNE COURBE ALGEBRIQUE

Toutefois, au cas où chacune des correspondances 9 et (/ reste invariable par permutation de a: avec y^ le nombre des couples

de points est égal à -(99') , les courbes ^x=: o et S^y^ o coïncidant alors l'une avec V autre (* ).

Une circonstance où il y a ainsi symétrie se rencontre dans l'exemple d'où nous sommes partis, et dans lequel la courbe OTlj^OTLx=o doit être remplacée par la courbe M = o (p. 77 et suiv.). Ici, nous obtenons une équation de la forme

dans laquelle la jacobienne du réseau considéré a pris la place de la courbe <X^= o, et H est une expression dépendant des points

fixes des courbes du réseau. Du nombre -(99') il faut ici retran-

cher encore le nombre -v(v — i) des couples de points x-y,

situés sur ip, = o, qui satisfont aussi aux deux correspondances (2) (v désignant le nombre des points d'intersection mobiles des courbes du réseau avec/"). Le nombre des couples de points cherchés est donc, en tenant compte de a = ß = a'=ß'=v — i,

( =- (v - l)(v- -2) --(«-!)(«- 2) +rf",

si toutes les courbes tp passent par dl' points doubles de /*, et ce nombre concorde en fait avec celui qui a été trouvé pour y

(•) Une symétrie de cette nature se présente, par exemple, si le point -/p'' des courbes en x = r prend naissance par le fait que la courbe répondant à x se décompose en •/ courbes séparées, de telle manière qu'on ait à considérer, par exemple, un système simplement infini de courbes parmi lesquelles y passent par tout point du plan. Les cas non encore examinés dans le texte, et où des branches particulières du point multiple des courbes çj touchent la courbe/, etc., se résolvent par combinaison des méthodes employées pour les hypothèses séparées. D'ailleurs, le résultat numérique reste toujours le même. {Foir p. 87.)

• 02 TOME Ht. — CHAPITRE I.

Nous nous proposons de faire usage de la formule établie relativement à (çcj-') pour traiter quelques exemples dont plusieurs nous seront utiles incessamment; nous passerons ensuite à l'établissement d'une formule similaire pour trois correspondances. Ces exemples se référeront à la considération d'une famille linéaire de courbes dépendant de trois paramètres [^)^ savoir :

Nous admettons, pour plus de simplicité, que toutes les courbes de la famille soient adjointes ày( c'est-à-dire qu'elles passent par les points doubles de/) et qu'elles rencontrent en outre /en M points mobiles. Les diverses propositions que nous allons établir ont été choisies, pour partie, en tenant compte de problèmes que nous traiterons plus tard et qui montreront clairement la connexion, mentionnée en commençant, de ces explications avec la théorie des systèmes spéciaux. Nous distinguerons les différents exemples par des lettres majuscules.

A. Par tout point de /passe un réseau de courbes du système (4o) à M — I points d'intersection mobiles ; on peut donc pour tout point de f trouver, d'après (Sp),

couples de points tels que par chaque groupe ternaire ainsi formé passe un nombre simplement infini de courbes du système (4o)-

B. On demande de déterminer le nombre de ceux des faisceaux de courbes compris dans (4") dont les courbes se touchent toutes en un point et y ont en même temps un contact du premier ordre avec f= o, tandis qu'un autre point de base [lequel est mobile)

( ' ) Les exemples dont il s'agit présentent un intérêt particulier pour la théorie des courbes de l'espace. {Voir Brill, Math. Annalen, t. IV, p. 522, et t. VI, p. 5o.)

LA GÉOMÉTRIE SIR L'NF. COURBE ALCÉBRIQl'E. 1 03

est situé sur f[^). Nous extrairons d'abord du système (4o) l'ensemble des courbes, en nombre doublement infini, qui touchent yj et de cet ensemble doublement infini les deux systèmes simplement infinis qui passent respectivement par deux points fixes A et B non situés sur f. Par A et par un point quelconque de f passent alors, d'après la formule de la p. 171, t. II, encore 2 (M H-/? — 2) courbes tangentes. Les deux systèmes simplement infinis nous donnent donc sur f deux correspondances

et le nombre de leurs couples communs est égal à

Or par A et B passent encore 2 (M -\- p — i) courbes tangentes qui sont communes aux deux correspondances; et le point de contact de chacune d'elles forme avec chacun de leurs autres M — 2 points d'intersection un couple de l'espèce cherchée. Le nombre dctnandé est par conséquent égal à

^ 4(M-2) (Mh-p — 2) — 8/> — 2(M — 2)(M-+-/^ — i) ^^'''' \ =2(xM-2)(M-3) + 2p(M — 6).

C. On demande de trouver sur f le nombre des groupes ternaires de points par lesquels passent les courbes en nombre simplement infini et formant un faisceau du système (4o) dans lequel se rencontre dans un faisceau de cette nature une courbe qui touche f en deux des trois points du groupe ternaire.

A tout point z de y répondent, d'après (40'

couples de points x-j, en sorte que par z, x el y passe encore un faisceau de courbes du système (4o)- Ces 2N points (les points x et

(') Ce nombre est égal au nombre des tangentes d'une courbe gauche d'ordre M et de genre/» qui rencontrent encore une fois la courbe dont il s'agit, tandis que (^i) donne le nombre des cordes triplement sécantes qui passent par un point quelconque de cette même courbe.

les points j^ à cause de la sjmétrie) sont, d'après ce qui précède

(p. 92) , les zéros simples d'un quotient J^y = — ^ dans lequel ^j et II

dépendent rationnellement des coordonnées du points; car l'équation ^^ = o prend ici naissance par élimination de .r entre f[x) = o et entre le système d'équations

<pi(j) <P2(j) n{y) TÀr)

Cette observation permet en même temps de reconnaître que ^y est symétrique en y et z. Eu égard à ce fait, nous écrirons X^yz au lieu de ^y, ^yz^= o nous donnant ainsi entre j)^ et z une correspondance en vertu de laquelle à tout point y répondent 2N points z et à tout point z 2N points y, correspondance dont la multiplicité de valeur en y = z est donnée par le nombre

C'est là une conséquence de ce que, dans (27), on a à poser

/^ rr: /^' z= T = t' = y := 7' = I , a = a' = M — 2 ;

il faut alors retrancher, du nombre résultant, M — 2, à cause de la courbe qui passe par A, B et z, A, B étant deux points quelconques du plan introduits, comme précédemment dans un réseau, pour l'établissement des correspondances (p. 79). Or, nous pouvons employer la correspondance à laquelle nous avons affaire, bien qu'elle ne soit pas représentée par l'évanouissement d'une fonction entière de ^, y, de la même manière qu'une correspondance ordinaire, tant que'les nombres caractéristiques a, ß, y ( ici les nombres respectifs, 2N, 2N, M — 4) ne figurent que linéairement. Si nous désignons en eff'et ces nombres pour iX'j^ par «, b, c, pour II par a', b' , c', on a

et puisque diyz passe par tous les points de rencontre de II avec f le nombre des coïncidences devient égal à

a -\- fj -h 2cp — (a'+ ^'+ 2c'/î) = K+ ß H- 2yp;

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURDE ALCÉBRIQl E. loô

enfin le nombre des couples de points qui lui sont communs avec une autre correspondance (a', ß')^ {*) est égal à

ûp'+ bx' — -icy'p — a'p' — b' a.' ■+- ic'Yp = a S' + ßx' — 2yy'p,

Nous ferons plusieurs fois usage de cette remarque.

Il existe d'ailleurs dans le système (4o) 2(M -hyy — 3) courbes qui touchent f en z et en un autre point y, ce qui nous donne une correspondance

[2(Mh-/.-3), 2(M + /;-3)];.

Gomme, d'autre part, nous avons trouvé une correspondance (2N, 2N)m^ représentée par ^^^=0, le nombre des groupes ternaires cherchés devrait être d'abord égal à

Mais dans ce nombre sont compris, chacun comptant deux fois, les groupes ternaires déterminés par (42); car, s'il existe un nombre simplement infini de courbes tangentes en z et passant en outre par X et j , il j a parmi elles, en toute hypothèse, une courbe qui est tangente à la courbe primitive en x et une autre qui lui est tangente en j\ Si donc nous retranchons du nombre trouvé le double du nombre (42), le nombre cherché ici sera égal à

Ce nombre donne en même temps, comme il est aisé de le voir, le nombre des points x de f pour lesquels deux des N couples de points correspondants (4i) sont situés infiniment près les U7is des autres. Si en effet une courbe du système triplement infini passe par X et est tangente en y et z, elle appartient en même temps au faisceau déterminé parjy et à celui déterminé par z -^ dz qui fait

(') Il n'est pas non plus nécessaire que cette autre correspondance soit représentable par l'évanouissement d'une fonction entière. {Voir la note de la p. iio.)

Dans la circonstance que nous avons reconnu la représentabilité des correspondances qui se rencontrent ici, sous la forme 4^ =: o, se trouve précisément la grande utilité des explications qui précèdent pour les questions qui s'offrent actuellement; car c'est par là seulement que la formule de correspondance devient applicable. {Voir la note de la page i53, t. II.)

partie du réseau passant par x. Mais ce dernier faisceau a un autre point de base dans le voisinage de y, et ce point doit en même temps être situé sur^, puisque la courbe de ce faisceau de laquelle il a été parlé passe par le point j^-f- dy voisin de j sur y. Donc les points y, z d'une part et les points y-\-dj, z -h dz d'autre part forment un des N couples de points qui répondent à x.

D. O/i demande d'obtenir sur f le nombre des groupes quaternaires par lesquels passe un nombre simplement infini de courbes du système [^o), c est-à-dire le nombre des solutions communes du sjstème d'équations

?2(^) 7.(j) ?2(-'0 Î^IO

les quantités X^ étant des grandeurs arbitraires, de telle façon que l'on puisse remplacer cette dernière relation par l'évanouissement de tous les déterminants mineurs du déterminant S±9,(x)cf,(j)93(^)cf,(^).

Par tout point z de y passe une courbe 4^^^ = o, qui possède, d'après (44)? enj=. z un point de M — 4 valeurs et qui, d'après (41), détermine sur/* 2N autres points } ^^\ J^^^ • • -•, y^^^\ Ces points se rangent en N couples, tout point j^'^ formant avec un autre point, que nous désignerons par j •''*"'"'• = x^'\ un couple tel que par j'^^\ x^'^ et z passe encore un nombre simplement infini de courbes du système (4o). Construisons maintenant pour chaque point j^'^ la courbe correspondante 4^^(')yj= o, qui est à l'égard de j^'^ ce qu'est J(^-y = o par rapport à z. Cette courbe s'évanouit M — 4 fois en j^'^ = Yi, passe une fois par x^'^ et par z et détermine en outre sur^par ses intersections 2N — 2 points yj (non situés sur 41 ^j = o) qui se rangent de nouveau en couples ri^ ^. Désignons par Il^yj le produit de toutes les expressions 41j'"rj; alors l'équation

n,, = 41yi)v Jiir^s • • • "Cy>-'o 0''\ O'^' • • -t'''^> = o représente une courbe correspondant à z qui s'évanouitM — 4+ '

LA GÉOMÉTRIE Si:R UNE COURBE ALCÉBRIQCE. IO7

lois en tout point j^'^ et 2N fois en z, et qui de plus détermine sur/par ses intersections 2]N(2N — 2) points n, chacun comptant une fois. Si l'on prend parmi ces derniers un point •/) et le correspondant \, on a, en partant d'un point y^^\ les relations suivantes. Les points z, j^'^, x^'^ forment un groupe ternaire de l'espèce considérée dans l'hypothèse A; les points j^'\ m, \ forment un second groupe ternaire ainsi défini : toute courbe du système triplement infinr qui passe parj^^'^ et z passe aussi par xf'\ et toute courbe qui passe par j'^'^ et n passe aussi par \. '

Actuellement, pour des positions particulières de z, il peut arriver que m coïncide avec ^, et alors chaque courbe menée parj'^'^ et z passe aussi bien par jt^'^ que par ^, c'est-à-dire que les points z, y{i)^ xii)^ I forment un groupe quaternaire de l'espèce cherchée. Toutefois rj ne doit pas ici se confondre avecj^''\ c'est-à-dire se trouver parmi les points découpés sur /" par 4^zr, = o, points par chacun desquels, d'après ce qui précède, Il-yj passe M — 3 fois. Les points cherchés z sont donc les points de coïncidence de la correspondance représentée par l'équation

correspondance qui, d'après les remarques ci-dessus sur Il-r,, possède en s = vj un point de la valeur

Le nombre de ses points de coïncidence est, d'après les explications données dans l'hypothèse C, égal à

= 2(M — i)(M-2)(M — 3)(M — 4) — 4/>(2i\P— iiM-M3)-f ^p\

Mais si Yi coïncide avec ^, il peut arriver en même temps que le point correspondant \ coïncide avec a:^'^ cas où les deux groupes ternaires z, j^^'^, x^'^ et j^^\ yj, ^ deviennent identiques; y'^^^ est donc alors un des points considérés dans l'hypothèse G, pour lequel deux des N couples correspondants (4i) se confondent. Nous avons par suite encore à soustraire du nombre trouvé le nombre (45). Gomme d'ailleurs les points z, j^ x, ^ entrent symétriquement dans chacun des groupes quaternaires restants, il

I08 TOME m. — CIIAPITHE I.

nous faut encore diviser le reste par 2. 3. 4 = 24. Le nombre des groupes ijualernaires cherché se trouve finalement, d'après cela, être égal à

(46) -i(M-2)(M-3)MM-4)-l/,[(M-3)(M-4)-p + i].

Ces résultats étant ainsi obtenus à l'égard de deux correspondances simultanées et du nombre de leurs coïncideiices, nous en ferons actuellement usage pour la considération simultanée de trois correspondances entre trois points x, j, z de la courbe primitive (p. 77). A ce sujet se rattachera l'examen d'un exemple très instructif pour la théorie des systèmes spéciaux.

Soient donc données les trois équations

et

trouver le nombre des groupes ternaires composés de trois points situés séparément qui satisfont simultanément à ce sj stème d'équations. Supposons que, en vertu des conditions ft = 0, cpa = o, cj,3 = 0, à tout couple de points x, j respondent respectivement ^,, ]Xi, ^3 points z àe f non situés en x ou j , qu'à tout couple j, z répondent de même respectivement ■A.^, y„2, ^3 points x, et à tout couple z, X respectivement X,, Ag, X3 points j)^ Admettons ensuite qu'une équation a-, = o s'évanouisse à l'ordre «/ poury = z, à l'ordre ß/ pour z = x, à l'ordre y^- pour jr = j^. Supposons en outre, pour plus de simplicité, que les courbes répondant à j-z, z-x ou x-j en vertu des équations (47) passent par tous les points doubles de /' = o ( * ) .

L'élimination de x, j^ ou z entre ^,=z:o, ©2 = " ei J = o nous donne d'abord les équations (-)

(48) -Ci2(j,^)=o, il,,{z,x):=o, S^,^[x,y) = o,

(') Les modifications qu'il sera nécessaire d'apporter dans le cas contraire, principalement aux nombres {fifk)xri ®t*^-' ^°"* faciles à déterminer, d'après ce qui a été dit p. gi.

(') Sur l'emploi de semblables correspondances représentées par des fonctions fractionnaires, voir ce qui a été dit plus haut, problème C.

LA GÉOMÉTRIE SCR USE COCRBE ALCÉRRIOUE. IO9

OÙ les fonctions 4^rt (comme à la page 92) ne sont pas nécessairement des fonctions entières. Le nombre des points x qui sont associés à un point z en vertu de ^^{z^x) = o est alors égal à {^{<^2)xy, ce dernier nombre désignant le nombre des couples de points x,j qui, dans Thypothèse de z fixe, satisfont simultanément aux correspondances Ç) = 0,^2 = o» en sorte que l'on ait

( ?i ?2 )xy = ■''•1 ^2 + --«a 5^1 — 2 7i y^p..

C'est également là la mesure du nombre des points j^ qui répondent à s: en vertu de 4^,2 (7, z) = o, et la signification correspondante se retrouvera dans les nombres suivants :

( ( ?'■ fk ) yz = ^ J H- + ^-A- y-i —'i-'^i a-kP >

(49) ( 9i9k]zx = l^r^k + H'^i— ^piPkP,

! (?/?-t)xj = --«Ayt H- '^k\ — 2 7/7ytP.

Désignons ensuite par [jT^]'* la multiplicité de valeur du point j = z dans l'équation ^ik{Y, z) = o, c'est-à-dire dans le résultat de l'élimination de x entre les équations '^/=o, Ok=o\ nous aurons alors, d'après (27),

i[y^]ik = ^i'^k + «A- >'/ — Pnk — Pkth [zx]ik = Pih + h'^i — 7i"-k — 7&«/, [•'y-]/A-= 7iH--^7ky-i— '^iPk—<^-kPi-

Par le point z et par chacun des {<f\^'i)xy points x associés à z en vertu de ^\2{x^z)-:=o, faisons passer la courbe ^3 (x,j",z):=o qui correspond à ce point o: et à z. Toute courbe de cette espèce a encore X3 autres points d'intersection j^, tandis qu'en outre y^ sont situés en x et a^ en z. Le produit de toutes ces courbes égalé à zéro, ou autrement dit le résultat de l'élimination de x entre -t«2(^,j) = o, 93 = 0 et/(a:) = o,

p étant égal à (■p» 92)0:^5 représente alors une correspondance entre y et z, en vertu de laquelle à un point z de la courbe primitive 'sont associés Çhi->ryz){^{<^i)xy points j)^. Parmi ces derniers, Y3('f)^2):rj sont situés aux points de rencontre x de la courbe 4^i2(x, z) = o avec y^ à cause de ces points qui tombent en X =j) , Jious aurons donc plus tard à opérer une réduction. En

j = z la correspondance 11^3= o a d'ailleurs un point de la multiplicité de valeurs a3(^iy2)xj- Le nombre des points z qui, inversement, répondent k j ne doit pas être immédiatement tiré de l'expression choisie pour Tl^^, parce que les quantités x^*^, x^-\. . ., x^f' dépendent encore de z, mais ce nombre doit être égal au nombre des couples de points x-z qui, en vertu des équations 4^12 (jKj -z) = o, ^3= o, l'épondent à un point j^ donné, et dont les points z ne sont pas situés enj^ (les points homologues x ne pouvant d'ailleurs se confondre avec z, mais le pouvant avec j"), c'està-dire que le nombre en question sera égal au nombre

La correspondance ïlyz=^o doit nécessairement être satisfaite pour qu'il existe par rapport à j , z un troisième point x tel que le groupe ternaire x,j,z satisfasse aux trois équations (p,-=o. Une seconde correspondance nécessaire de cette espèce entre j, z est donnée par la condition 4^i2(jr) ^) = o, et cette correspondance est de la forme

Nous trouverons par suite le nombre de leurs couples communs à toutes les deux égal à ( ' )

{fl?2)xy\{?lf2)yz{H+ 7z] + ( ?l?2)xyl^3—V'ßi[-^^]ll] -+■ (?l?2)a:z(?l?2W(>'3+ 73) — ^P[jz]liCt3{fif^)^y.

(') On peut aussi, en fait, employer directement la formule relative à (yp') pour la détermination des couples communs de deux correspondances données sous la forme

<S>, *' passant respectivement par tous les points de rencontre de Y, Y' avec/", tandis que la réalisation de la division n'est pas possible, à cause des circonstances qui se présentent aux points fixes, etc.

Soient, en effet, les correspondances *, Y, *', Y' respectivement caractérisées par les nombres

il faudra retrancher du nombre des couples communs des correspondances *, 4', c'est-à-dire du nombre

(fl -h a) (*' -I- /3' )-(-(«'-+-«')(* -H /5)— 2{c-{-y){c'-h-/)p:

LA OÉOMËTRIE SVR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. I I I

Ce nombre indique combien de couples de points x-z en 4^,2(x, z) forment conjointement avec un couple j-z en •Ci2(j5 -) un groupe ternaire x-y-z de (^3 = 0. Mais, pour chacun des {'i\^i)xy couples x-z répondant à z [en vertu de ^,2(x, z) = o], il n'y en a qu'un seul, parmi les (<pi<f2)a-/ couples j-z, qui satisfasse aussi à la troisième équation (48), savoir 4^, 2(^7, j)) = u, c'est-à-dire qui puisse donner lieu à un groupe ternaire commun des trois équations (^i= o. Or, comme nous aVons considéré toujours uniformément tous les (cpicp2)ay couples, il nous faut conséquemment diviser encore le nombre trouvé par (cf, <f-i)xx'i ce nombre devient alors égal à

{?lfi]yz{y'i-^7i] -+■ {fl?2]x2{\-^ 7i)

Mais, d'après ce qui précède (p. 109), sont encore compris dans ce total les groupes ternaires pour lesquels x coïncide avec 7 % Cette circonstance ne peut se présenter qu'aux points de coïncidence de l'équation J^f2{^jj) = o, puisque tous les groupes ternaires trouvés doivent satisfaire à cette dernière, et pareillement aussi chacun de ces

points de coïncidence donnera lieu à un groupe ternaire improprement dit de la nature dont il s'agit, groupe comptant y^ fois à cause du point de ^3 valeurs de ©a en x =J- On obtient donc le nombre

(?1?2?3) = [fin)yzH-^ {9l?2]zx'^3

+ {?i?i)xyl^-s— 2pj[Jr2]l2a3-^[^.r],2p3^-[.r^],2).3|,

et enfin, comme ce nombre doit dépendre symétriquement de 9,, 92, <p3 [ce dont on s'assure facilement aussi par le calcul en ayant égard à (49) et (5o)], on a la proposition suivante :

Le nombre des groupes ternaires qui satisfont simultanément

1° le nombre ab' -f- ba' — 2 ce'/» des couples communs de Y et Y' ; a" le nombre a ß'-h bx' — icy' p des couples communs de *' et Y ; 3° le nombre a.' ß+ b' ot. — 2c' y p des couples communs de * et Y'. Il reste alors de nouveau le nombre ocß'-h ßx' — 2yy'p, ce qu'il fallait démontrer.