CHAPITRE

(lux trois correspondances (4") ct. se composent chacun de trois points def séparés les uns des autres, est donné par l' une des trois formules [r, 5, Z = i , 2, 3) :

f -*- {?r?s)ccyy-t — 2^! [j^],, Ci, -h [z.r],,S, + [.rj ],-,),, j,

dans lesquelles x/, ^j, p./ o7it les signißcatiojis précédentes, et en outre {(fiCf>fi)xzj - • -, sont définis par (49)> [x^J/Aj • • •? P^f (5o). Si en pai'ticulier chacune des correspondances est formée symétriquement par rapport à chaque 'variable, cas ou l'on a nécessairement

le nombre des groupes ternaires communs devient ( < )

( 52 ) g ( yi ¥2 ?3 ) = "-«i ■''-2 ■''-3 — P ( H «2 «3 + ■''-2 «3 «) + ■''-3 «1 «2 ) + 2/? Kl ag aj.

Faisons encore observer que la formule (5i) ne cesse pas d'être vraie lorsque les correspondances ©,, ^2 ne sont pas représentées par deux équations particulières, mais par la coexistence simultanée de trois équations de la forme (48)

*(/, zjzzio, ^' [z,x)z=z o, ^"(.r, j) = o,

ayant respectivement pour nombres caractéristiques

[l,m)ay {rn,k]h, [k,l)c,

sans qu'il soit nécessaire de les considérer comme le résultat de l'élimination de x, y, z respectivement entre f-=. o et deux des équations ^^ = 0, 92= o, 93= o, ainsi que nous l'avons fait auparavant. Actuellement, à chaque point z correspondent m couples x-y qui sont déterminés par O = o, 4>'= o, et les deux points de chaque couple sont liés l'un à l'autre par l'équation <!>"= o, etc. Dans l'établissement de la formule (5i), nous n'avons effectivement fait nulle part usage des équations cp, = o, 92=0, mais seulement des équations (48). Si donc on adjoint à<I> = o, ^'=^0,

(•) Ces formules ont été obtenues par une autre voie, ainsi que les formules correspondantes relatives aux groupes quaternaires communs de quatre correspondances, par Brill, Math. Annalen, t. VI, p. 56.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGKIlKlQL'b. Il3

<i>"z= o une correspondance cj» = o (au Heu de ©s dans la démonstration précédente) possédant les nombres x, X, ^^ a, ß, y, on obtient encore pour le nombre des groupes ternaires communs la formule

(53) {•l'«!''*", <f] = ky. -\~ n -+- ma — 2/>(öa 4- b[i + 6-7), en posant dans (5i)

[fl'?t)yz=f^y i9l?2)zx^^'^i, {?l?î)a.'y=' f'h [j-]l2^-", [z.r]i^zzb, •/3 1= -/, ).3 = )., ^3 = ti, «3 -- a, 1^3 :zs^ fj, y.^ -z y,

et dans le cas de la symétrie on déduit de (53) la formule

(54) > {^^'<^",f) = - A/. ~ paoL.

Cette dernière remarque nous sera précisément utile pour la solution du problème suivant :

Etant donné un système linéaire ijuadruplemenl infini de courbes,

(55) «i^i-f- a2y2-^-a3?3+ a4'jP4+a5yä=:o,

qui rencontrent f en M points mobiles et sont adjointes à f, on demande de déterminer sur f le nombre des groupes ternaires par lesquels passe un système doublement infini de ces courbes, c est-à-dire de trouver le nombre des systèmes de valeurs x, y, z satisfaisant au système d'équations qui suit ( ' ) :

I 9M ?2(-^) ysl-^) ?M ?ö(-^)

(56) S(iu345)3^-j î.(j) f,{y) ^3(7) n(j) nlj)

(') En fait, la solution de ce problème est généralement possible (comp. p. 117). A l'aide des formules correspondantes, relatives à quatre correspondances, on trouve traité dans Brill, loc. cit., le problème qui consiste à délerminer le nombre des groupes quaternaires situés sur f, par lesquels passent des courbes en nombre triplement inßni, faisant partie d'un ensemble linéaire sextuplement infini adjoint à f. Une formule générale, pour le nombre des solutions d'une matrice à K lignes horizontales el R-(- « lignes verticales, dans le cas où existent en outre R équations de la forme (5y), a été donnée dans le Mémoire de Brill et Nöther. {Voir la note de la p. 58.)

Clebscu. — Géométrie, III. o

Nous désignons par (12345)3 le nombre cherché et d'une manière analogue par (1234)3 le nombre des couples de points y-z qui, dans l'hypothèse de x fixe^ satisfont au système

?ii^j î'ai-^] rA^) nl-^J ?i(j) ?2(j) ?3(j) n(j)

¥i(z) ?2(z) 73(2) î-il^)

par [(1234)3(345)3] le nombre des groupes ternaires qui satisfont en même temps aux équations ( 58) et à l'équation unique

ysi

?3(j) n(j) ?ä(j) ?3(z) ^(2) yä(z)

par [(123)3(34)3] le nombre des groupes ternaires qui satisfont aux systèmes d'équations

yi(jr) çp2(^) çp3(

Tllr) ?2{j) ?3(j) yi(z) ^2(2) ?3(2)

enfin par (3)3 le nombre des groupes ternaires de valeurs déter

minés par le système

zl:=0,

c'est-à-dire par Ç3(^) = o^ Cf3(j) =0, a53(^) = o.

A chacun de ces systèmes d'équations, il faut naturellement adjoindre encore les équations (57), ce que nous ne rappellerons plus expressément par la suite.

Actuellement les solutions du système (56) sont, en toute hypothèse, comprises parmi les [(1234)3(345)3] solutions communes des équations (58) et (Sg), car, d'après une proposition mentionnée plus haut (p. 54), toutes les solutions communes d'une matrice à q lignes verticales et A" lignes horizontales [q^k] sont comprises parmi les solutions communes de q — k-\~i déterminants mineurs d'ordre Ä" de la matrice, indépendants les uns des autres. Or, dans notre cas, nous avons ^ = 5, A — 3, d'où y — /: -h i = 3^

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COLRBE ALGÉBRIQUE.

ii5

et le système (58) représente précisément, d'après le même théorème, deux équations indépendantes l'une de l'autre. Parmi les [(1234)3(345)3] solutions précitées, se trouvent encore celles qui satisfont au système (60) sans satisfaire en même temps à toutes les équations (56), ainsi qu'on l'établit à l'aide de la proposition en question. Dans les solutions de (60), sont également englobées celles de (61), bien que ces dernières ne satisfassent pas aux équations (58) et (59). Il faut donc retrancher du nombre [(1234)3(345)3] le nombre [(123)3(34)3] — ('3)3 pour obtenir le nombre (12345)3, c'est-à-dire que nous avons la formule ( * )

Nous avons maintenant à exprimer les nombres qui figurent dans le second membre au moyen des nombres M et p. En premier lieu, (3)3 est égal au nombre des groupes ternaires que l'on peut former avec les M points d'intersection de 93 = o avecy, d'où

(3)3=gM(M-i)(M-2).

Dans (60), l'évanouissement du déterminant ternaire nous représente une correspondance symétrique ^[x^y, z) = o, à l'égard de laquelle, d'après le mode de notation employé dans la formule (54), on a

D'un autre côté, l'évanouissement de la matrice est équivalent à deux correspondances qui sont représentées par trois équations

o, 4)'=o, «J>"zz-0,

Tsi^j n(-^) n[y) n(j)

A z, par exemple, répondent, en effet, tous les M — i points

{') Voir, pour rétablissement de pareilles formules, Salmon, Geometrjr of three dimensions. Une formule plus générale a été donnée par Brill, Math. Annalen, t. V , p. 378 et suiv. Nous avons déjà traité un exemple très-simple, t. Il, p. ii3.

d'intersection de ^3{z)(f^[j) — (i^^(z)(^3[j) = o non situés en z, chacun comptant M — 2 fois, puisque chacun de ces points forme avec chacun des autres un couple x-j répondant à z ; il faut donc, dans (54), poser

/• = ( M — i) ( M — 2), a=zM — -2, et il vient, en conséquence (^),

[(123)3(34),] = ^ (M -i)(]VI-2)^-/.(M- 2).

Nous avons de même, pour la détermination du nombre

[(1234)3(345)3], la correspondance particulière (59) possédant les nombres

y. nr: M — 2, « = I,

et deux correspondances représentées par les trois équations

J^{j,z)=^o, Jl{z,x]=zo, 4^(a;,j)=:o,

J^{X, z) :i= o, par exemple, étant la courbe qui, d'après ce qui a été dit sous les rubriques A et C (p, 102 et suiv.), détermine surjr= o les couples de points x-j qui répondent à z, en vertu du système (58), en sorte que l'on a respectivement, d'après (40 et (44),

d'où, suivant (54), [(1234)3(345)3] = [^ (M- 2)(M-3)-p](M- 2) -y.(M- 4). En ayant égard à (62), il vient finalement, pour le nombre des

(') Nous n'avons pas encore considéré de correspondances appartenant à l'espèce qui se présente ici, où dans le premier membre figurent des puissances parfaites; mais nos formules demeurent exactes, parce qu'on peut faire dériver ces correspondances d'autres correspondances par passage à la limite. On pourrait, du reste, dans le cas du texte, considérer d'abord exclusivement les correspondances données par révanouissement de déterminants simples. 11 suffit alors, à cause de la complète symétrie qui existe, de multiplier le résultat par M — 2.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COl'RnE ALGÉBRIQUE.

groupes ternaires cherchés,

Le problème traité en dernier lieu est un cas particulier du problème plus général formulé plus haut : sur la courbe primitive déterminer R points G'^, tels que les courbes qui passent par eux dans une famille t fois infinie forment une famille q fois infinie (p. 56). Nous avons trouvé comme condition nécessaire pour la résolubilité du problème

et cette inégalité est ici satisfaite en réalité, car nous avons à poser

Le problème en question présentait un intérêt particulier pour les systèmes de courbes adjointes du [n — ^y*«"« ordre, et cela comme conséquence de l'applicabilité du théorème de Riemann et Roch aux systèmes d'intersections de ces courbes. De leurs ip — 2 points de rencontre, p — i sont déterminés par les p — i autres; nous avons donc à prendre

au moins dans la supposition que l'ensemble quadruplement infini donné de courbes G„3 ne soit pas en relation spéciale avec la courbe primitive; et cet ensemble est fixé par p — 5 points quelconques dey. Ces derniers forment avec chaque groupe ternaire de l'espèce déterminée par nous un groupe spécial Gr de points, par lesquels passe un nombre doublement infini de courbes adjointes C„3, c'est-à-dire que nous avons

Les équations du théorème de Riemann et Roch (p. 5-?)

donnent ensuite

Par les p autres intersections de ce système doublement infini

passe donc un nombre simplement infini de courbes adjointes Cn-3 , et les groupes Gr = Gp__2 forment eux-mêmes un système simplement infini gpL^; mais il existe un nombre r fois infini de systèmes de cette dernière espèce, t étant égal à

Inversement, on peut aussi partir du problème où il s'agit de trouver des groupes G^, par lesquels passe un nombre simplement infini de courbes adjointes C„3, et ce dernier problème dérive précisément de celui traité [problème D), pour M r= ;? -+- 2 (p. 106 et suiv.). Le système triplement infini donné est ici fixé par p — 4 points quelconques de /, et ceux-ci forment avec chacun des groupes quaternaires cherchés un semblable groupe spécial G^, tandis que, par les autres p — 2 points, peuvent être menées des courbes C«__3 en nombre doublement infini. Nous avons traité déjà avec détail cette relation (p. 47)) et nous avons montré que le nombre des groupes ternaires (63), répondant à p — 5 points fixes, c'est-à-dire (à cause de M =• jt? -+- 3 )

P{/'-i)[g(/' + i)-iJ'

doit se confondre avec le nombre (46) des groupes quaternaires répondant k p — 4 points, c'est-à-dire ( à cause de M = ^ -}- 2 ) avec le nombre

lP{p-A\ß[P~^)[p-^)~{P~^)\

pour T = o. En effet, p étant égal à 6 si t =: o, les deux nombres deviennent alors tous deux égaux à 5; et pour p=6, s'il s'agit de systèmes d'adjointes C„3, les deux problèmes peuvent, en outre, être ramenés l'un à l'autre.

Pour p rr= 5, les deux nombres deviennent égaux à zéro; il n'existe donc plus de groupes spéciaux de l'espèce en question, ce qui concorde avec les résultats obtenus antérieurement.

V. — Sur les systèmes de points d'intersection des courbes algébriques.

La base essentielle de nos recherches relatives aux systèmes de points sur une courbe donnée a été le théorème énoncé t. II,

LA GÉOMÉTRIE SUR CNE COCRBE ALGÉBRIQUE. TI9

p. i3i, et d'après lequel, parmi les points d'intersection d'une courbe donnée du n"""^ ordre f=: o avec une courbe du m'^'"^ ordre qui doit passer par à points doubles de la première sans y avoir elle-même de points multiples, ilj en a

1 ° dans le cas de m^n — 2, -(« — i)(« — 2) — ^ au plus,

2° dans le cas de m <^n — 2, mn m ( w + 3) — S au plus,

qui sont déterminés par les autres.

Si Cw devait passer par tous les points doubles, on en déduisait les propositions relatives aux courbes adjoiîites, propositions où le genre de la courbe /=: o jouait un rôle important. Si nous nous sommes d'une manière générale borné à ces dernières, c'était d'abord parce que beaucoup de questions prennent une tournure plus simple à l'égard des courbes adjointes, mais surtout parce que les systèmes de points d'intersection des courbes de cette espèce présentent le caractère de l'invariance vis-à-vis des transformations uni-déterminatives de la courbe primitive (p. 20), tandis que, à l'égard des courbes non adjointes, la même chose n'a pas lieu sans restriction. Si, en effet, dans l'ensemble des groupes de points déterminés par de semblables courbes, un groupe renferme l'un des points doubles de la courbe primitive n'appartenant pas aux points fixes du système, en ce point se confondent immédiatement deux points du groupe. Si donc nous résolvons le point double, par une transformation uni-déterminative, en deux points séparés |, n d'une nouvelle courbe, à chaque ensemble de groupes de points sur cette nouvelle courbe correspond un ensemble qui présente, par rapport à ^, y), cette particularité que chacun de ses groupes comprenant ^ comprend aussi nécessairement y) et réciproquement. Un système de cette espèce ne peut donc plus être défini qu'à l'aide de nouveaux points fixes (^ et yj précisément).

Nous nous proposons maintenant d'utiliser, dans un autre ordre d'idées, le théorème précité, sans nous restreindre aux courbes adjointes. Nous examinerons en particulier de plus près les relations qui existent entre les points d'un système d'intersections, et

TOMF, III. — CIIAPITIIE !,

nous énoncerons le théorème ci-dessus sous une forme plus générale. A ce sujet se rattacheront différentes applications qui nous ramèneront, entre autres choses, au tracé des courbes par des faisceaux projectifs qui a été donné par Chasles. Nous aurons en même temps l'occasion de formuler d'autres questions connexes à nos précédentes recherches.

Nous ferons d'abord observer que le théorème précédent, d'après la manière dont il a été établi, a lieu indépendamment de la question de savoir si la courbe primitive est ou non réductible. Ainsi on peut, sur toute conique, choisir complètement arbitrairement huit points pour intersections de cette courbe avec une courbe du quatrième ordre; au contraire, sur une courbe du quatrième ordre, se décomposant en deux coniques, trois points d'intersection avec une autre courbe du quatrième ordre sont déterminés par les treize autres. Si donc, dans ce dernier cas, on a pris arbitrairement sur l'une des coniques huit points d'une courbe C4, on ne peut plus choisir arbitrairement que cinq points sur l'autre conique. D'un autre côté, si C4 passe par i, 2, 3 ou 4 points de rencontre des deux coniques, il y aura respectivement 12, 11, 10, 8 points d'intersection arbitraires, et 2, 1,0,0 déterminés respectivement par les autres (^ ).

Notre théorème fondamental peut d'ailleurs s'énoncer sous une forme plus générale, si nous ne supposons pas, comme auparavant, qnuïie courbe C„(y"= o) soit donnée comme ßxe, ainsi que nous l'avons fait déjà pour ni = n dans la proposition d'après laquelle

toutes les courbes du 72""«" ordre qui ont en commun - w(« -f- 3) — 1

p. i33). Si, en général, mn points (m étant plus grand que n) doivent être situés sur une courbe C«, il existera nécessairement entre

points passent par - {n — i)(« — 2) autres points déterndnés (t. II,

leurs coordonnées mn /z(« + 3) équations, car la courbe G^

(') Lorsque la courbe primitive se réduit à des droites, le contenu de ces propositions sur les points d'intersection peut se formuler dans ce qu'on appelle le théorème de Carnot. i^foir Salmon, Higher plane curves, art. 124, ainsi qu'une remarque dans la Section suivante, sur le théorème d'Abel.)

h\ OEOMKTIUE Sl'R UNE COURBE ALGEnBlOlE.

est déjà déterminée par -n(n-f- 3) points. Si, de plus, les /wn points

doivent être situés sur une courbe d'ordre m, on peut toujours remplacer cette dernière, la courbe C« étant actuellement donnée, par une courbe (t. II, p. i3o) dépendant seulement de

m/i ( « — I ) ( « — 9. ) constantes.

Entre les mn points existent donc encore - (n — i)(n — 2) autres relations, en sorte que l'ensemble de ces dernières devient égal à

mn /?(/^ -4- 3) H [n — i][n — 2) = '«« — 3« 4- i.

Pour m = n, au contraire, nous avons un ensemble infini de courbes C,, passant par les n^ points, et conséquemment (zz — i )(n — 2) relations seulement entre les an^ coordonnées des n^ points; alors,

en effet, -[n — 1)(« — 2) sont encore déterminés par les autres,

comme cela doit être. Nous avons donc le théorème suivant (') :

Si mn points sont situés sur deux courbes, l'une d^ ordre m, l'autre d'ordre n, ces points n'étant d' ailleurs assujettis à aucune autre condition et étant des points simples des deux courbes, il existera^ pour le cas de m'^n^ entre les imn coordonnées des mn points mn — 3^^ + i relations ; mais, pour m = n, ce dernier nombre est égal à «' — 3« -\- 2.

Si actuellement la courbe du «'*'"'' ordre est donnée comme fixe, mn «(«-+- 3) équations seront absorbées par l'effet de cette

circonstance, et il ne reste plus que les - (« — i)(/z — 2) relations

mentionnées en dernier lieu ; en même temps chacun des mn points ne dépend plus que d'un seul paramètre. Il suit encore de là que

-[n — i)(« — 2) points sont déterminés par les autres.

(') l'otr Jacobi : De relationibiis quer locum habere debent, Ptc. (^Joiiriinl de CreUe t. 15, p. 285.)

lit TOME III. — CHAPITRE I.

Il est, au surplus, facile d'établir effectivement les mn — 3n -f- 1 relations entre les mn points

x(*\ a;(^\ . . ., a:M ^^ étant égal à mn),

car, si nous désignons par

Ti(^) = o, Yaf^) = 0, . . . , Yv+i(.r) = o V étant égal à - n(« H- 3) ,

les équations de v + 1 courbes du n"*™" ordre linéairement indépendantes les unes des autres, en sorte que, par exemple,

., Y«+iW

l'ensemble des courbes du n'*™® ordre est représenté dans le système infini d'ordre v

Par conséquent, les conditions pour que (i = mn points x^^^ soient situés sur une courbe C„ sont données par le système surabondant d'équations

xM)

où, dans le premier membre, figure une matrice à v + i lignes verticales et ^i lignes horizontales. Ce système comprend, en effet, d'après une proposition précédente (p. 54), seulement

Il — V = mn /z ( « H- 3 ]

équations indépendantes les unes des autres, comme celles, par exemple, qui proviennent de la condition

Yi{x(')) W^[x(0)

LA GÉOMÉTRIE SUR L'NE COCRBE ALGÉBRIQUE. I33

si l'on attribue successivement à l'indice i toutes les valeurs depuis i = V -h I jusqu'à i = yL. Or ces dernières, équations veulent simplement dire que les points x'^*', . . . , x'"*' doivent être situés sur la courbe C„ déterminée par les points x^'K. . . , ar'"'. Soient encore

o, Xi[-^) = o,

= o I TT étant égal à - (« — i][n — 2)

les équations ôe p. — tt 4- i courbes quelconques Cm linéairement indépendantes les unes des autres. Alors l'ensemble des courbes C„i est représenté par le système

(4) «lZl(-^)+«2X2(-^)-

A étant du (m — n)'^"® ordre en :r ; et les autres tt relations apparaissent sous la forme

in-i){n-^)

Xn— r+l

,vM '

D'après un théorème plusieurs fois cité, le nombre des équations indépendantes les unes des autres est, en fait, égal à tt. JYos mn — 3n-{-i relations sont donc données par les équations (3) et (5).

Lorsque m. = n, ce résultat prend une tournure un peu différente. Si, en effet, n^ points doivent être situés sur deux courbes d'ordre w, ils se trouvent avec un [n--+- i^^^e point quelconque du plan sur une certaine courbe C«. Donc, pour m^=n^ nous avons les relations (voir les équations du problème D, p. 106) :

.. ^v+,(.rC«)

^,[xW) .

T,(.rC.))

^,{xW)

OÙ les X/ désignent des quantités quelconques, et où /ui = n^. Le

nombre des équations indépendantes les unes des autres est, en conformité avec ce qui précède, égal à [n — i)(/z — 2) = w* — 3n4-2. On est conduit à un système déquations analogue à celui du cas traité en dernier lieu (en tant que celui-ci exigeait l'évanouissement de tous les déterminants mineurs d'une matrice) par l'examen du problème suivant :

Etant donné un ensemble linéaire t fois inßni de courbes du

^ième ort/ze

on demande de déterndner dans le plan des groupes de R points, tels que par ces points passe un système q fois inßni de courbes C^ du système dojiné [q étant plus grand que t — R). Ce problème est exactement analogue à celui qui a été traité page 53, si ce n'est qu'alors les R points étaient soumis à la condition restrictive de se trouver sur une courbe C„ donnée, et il conduit de même à la condition que tous les déterminants mineurs d'ordre t — </ -h i du tableau

JR)\

soient nuls. Cela fournit (</-+- i)(R — t-{-q] équations indépendantes les unes des autres entre 'jlJ\ inconnues, les 2R coordonnées des R points. Pour que la solution soit possible, il est donc nécessaire que l'on ait

Il n'a pas encore été fait d'étude détaillée sur le nombre des solutions dans les divers cas particuliers; ces cas devraient d'ailleurs être traités à peu près comme l'exemple de la page 1 13 (').

Les modifications que subissent ces considérations lorsque l'une des courbes étudiées passe par des points doubles de l'autre ne

(•) Nous apprendrons incessamment à connaître un exemple concernant la solution du problème posé dans le texte; nous parlerons aussi encore du cas où les m* points de base d'un faisceau de courbes C doivent se trouver sur une courbe fixe C„{n > m).