L.V GEOMETRIE SUR INE COL'KUE ALGEBRIQUE

sont pas difficiles à indiquer. Si un point déterminé doit être un point double d'une courbe, cela équivaut, comme on sait, à trois conditions (t. II, p. ^6). Ainsi, par exemple, si y doit être un point double du système (i), on aura nécessairement les trois équations

Donc, pourjy^ = x^*\ figurent dans la matrice (a), au lieu de la première ligne horizontale, trois lignes horizontales provenant des premiers membres des équations (8). En même temps, parmi les /x points du système d'intersections, deux tombent en x^^^en sorte que nous n'avons plus à considérer que ^i — i points séparés. De même nous n'avons plus, en cas de survenance de (? points doubles de C,i, que [j. — d points séparés x^'K A la place de la matrice (2) se présente donc alors une matrice à p -f- cî lignes horizontales etv + i lignes verticales, matrice dont l'évanouissement est par suite équivalent à fx — v + ^ conditions. Si, en outre, il doit se rencontrer dans le système d'intersections ^' points doubles de Cm dont aucun n'est situé en un point double de G«, le système en question ne se compose plus que de ^ — d — ^' points séparés. La matrice qui figure dans (2) ne renferme donc alors que u-h^ — à' lignes horizontales, et le nombre des conditions représentées par son évanouissement sera égal à

fi — V -I- (î — 3' = mn «(«-i-3) -h rj — S' .

De même à la place de (5) se présente une matrice à ii-\- â — §' lignes horizontales et [^ — tt + i lignes verticales.

Le nombre des conditions figurées par l'évanouissement de cette dernière matrice sera donc égal à

T,-rJ-i-â'=:-(n-l){,l- 2) -3

Par consét/ueiit, dans le cas considéré ici, le nombre total des conditions qui existent entre les mn — § — d' points est encore égal à mn — 3/i-t-i. Si la courbe C« est de nouveau donnée comme

CUAPITRE I.

courbe fixe, nin /z (zi -4- 3) + ^ conditions sont considérées

comme satisfaites par là même ; il reste donc encore

relations; ce qui redonne le théorème cité en commençant.

Corrélativement aux théorèmes concernant les intersections de deux courbes algébriques, et par déduction de ceux-ci, on peut établir de nombreuses propositions relatives aux intersections de trois courbes ou plus. Nous donnons dans ce qui suit quelques exemples présentant un intérêt particulier à cause de leurs applications. Ces dernières se réfèrent au problème d'engendrer une courbe algébrique donnée par des faisceaux d'ordre inférieur, d'après le procédé de Chasles que nous avons déjà abordé pour les courbes du troisième ordre. [Foir l. Il, p. 93 et 269.) Nous démontrerons d'abord le théorème suivant ('):

Une courbe du n^ème ordre dans laquelle on a n^ p et «> 9', mais n <i p -\- q, et qui passe par

pq — -[p -^ q - n — i)[p + q — n — 1)

intersections de deux courhes Cp et Cq d^ ordre p et d'ordre q comprend aussi les autres [p -{- q — ri — i)[p — q — n — 2) intersections de ces dernières (-).

Pour le démontrer, nous prendrons sur Gp-i^n — q)[n — ^/-j-3)

points arbitraires, et nous ferons passer par ces points une courbe C«y d'ordre n — c/, ce qui est toujours possible si l'on a« — q <.p',

nous ferons également passer par - [n — /^)(« — /^ + 3) points de

(') Ici, comme en général dans ce qui suit, nous excluons le cas où aux points d'intersection se trouvent des points doubles des courbes considérées; ces dernières pouvant d'ailleurs avoir autre part un nombre quelconque de points doubles ou multiples, et même se décomposer en courbes d'ordre moins élevé.

(*) Foir Cayley, Cambridge a/td Dublin Math, Journal, t. III, i843, p. 21 1.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. Il"]

Cq une courbe Cn-p d'ordre n — p. Nous avons ainsi deux courbes du «'*■"' ordre se composant l'une de Cq et Cn-q l'autre de C^ et C,i-p courbes par les n^ intersections desquelles doit passer

toute courbe du /i'*"*^ ordre qui comprend -n (/z-f- 3) — i de ces

intersections. Mais on a

«étant égal h pq {p -{- q — n — i) [p -\~ q — n — 2) .

Toutes les courbes d'ordre n qui passent par a des pij points donnés et par les points arbitrairement choisis sur G^ et Cq respectivement, passent donc aussi par les pq — a intersections restantes de Cp et G^. Mais ce sont là toutes les courbes du n'*""" ordre qui passent par les a points en question, car le nombre des paramètres linéaires pour l'ensemble complet de ces courbes est égal à

et notre construction précédente nous fournit un nombre y fois infini de faisceaux différents de courbes G,,,

7 étant égala - {/t — p)[n— p-\~3) + - (« —q]{n — ? + 3) ,

et conséquemment en tout un système y -H i fois infini de courbes G« ; on a en effet, en vertu de la relation (9), y -+- 1 = ß. Toutes les courbes G« menées par les a points passent donc bien par les pq — a. points restants, ce qu'il fallait démontrer. Nous avons supposé dans cette démonstration Ji — q <^yy,d'où aussi n — p <^q ou n<^ p -h q, ainsi qu'il a été indiqué plus haut. Au surplus, pour n ^^ p ~V- q — I ou n = p -i~ q — 2, notre théorème n'énonce rien. Pour n<^q oun <^p, la construction des courbes Cn-q ou G„^ cesserait d'être possible.

Il résulte de là en particulier, au cas de p =1 q = in^ que :

Si, parmi les m? points de hase d'un faisceau de courbes

d^ ordre m,

a. = m^ — — ( im. — n — i ) [im — n — 2)

sont situés sur une courbe d'ordre n, n étant plus grand que m, mais égal ou inférieur à 2 m, les autres ni- — a points de base de ce faisceau sont aussi sur la courbe du n'^ème oj-dre.

Avant de faire usage de ce dernier résultat pour des applications subséquentes, faisons observer que dans ce qui précède se trouve renfermée une solution spéciale du problème précédemmenl posé : déterminer dans le plan Q points tels que par ces points passe un nombre /• fois infini de courbes d'un système linéaire t fois infini donné. Nous avons en efl'et ici

t=-n{n + 3), Q—yjfjr, ,- :^ - /i [ft + 3] — a.

Un groupe ainsi composé de Q points sera précisément donné par tout système complet d'intersections de deux courbes du/>'^™® et du //'^^'^ ordre, sous les conditions /i>> y, /z^/?, /z 5 /^ + ^ ; au contraire, par un système quelconque de />^ points passerait un nombre

moindre, et seulement ~n(ji -\-'6)—p(/ fois infini, de courbes G«.

La proposition énoncée en dernier lieu pour le cas de p =x ^ = m est importante pour la question de savoir s'il est toujours possible, dans le cas dem<^n, de déterminer sur une courbe donnée G« m- points tels que par eux passe un nombre simplement infini de courbes G^, question particulièrement intéressante pour l'étude du tracé des courbes donné par Ghasles (t. II, p. 96). En effet, pour n^im, il suffit, d'après cette proposition, de se demander s'il est

possible de placer (x = ni- [im — Ji — i)[im — n — 2) points

de base d'un faisceau de courbes G„j sur une courbe G« donnée, les autres points de base étant nécessairement alors sur cette même courbe. Or les conditions nécessaires à remplir pour cet objet sont données par l'évanouissemeut des déterminants mineurs à t dimensions du Tableau (7), si l'on fait

LA GÉOMÉTRIE SIR UNE COURBE ALGÉBRIOl'E. 1 2()

ce qui donne 2 ( a — ^ -f- i ) relations entre a inconnues ( les a points étant assujettis à se trouver tous ensemble sur C«). Parmi ces derniers,

= m [m -h 3] — ///* — ?. H [im — n — i)( 2fw — n — 2 )

restent donc arbitraires, et l'on peut choisir à volonté un pareil nombre des points a sur la courbe G«.

Si, au contraire, n est plus grand que 2/n, nous avons dans le Tableau (7)

et, par conséquent, m- — 3m -f- 2 relations, c'est-à-dire que le nombre des points qui restent arbitraires est égal à

m- — ( nr — 3 /« + 2 ) = 3 m — 2 .

Si donc on demande de déterminer sur une courbe du n'^'"^ ordre m- points {^m <Cn) tels que ces points forment les points de base d'un faisceau du m'^"'^ ordre, on peut en prendre arbitrairement sur C,i - [( 2 //t — /z )^ 4- 3 « — 2] au cas de n S 2m, et "5 m — 1 au cas de Ji~^ im [^).

Après avoir trouvé, conformément à ce théorème, un faisceau de courbes G^, on peut toujours obtenir un second faisceau de courbes G«to dont les (n — m)- points de base sont de même situés sur C„ et qui est lié projectivementau faisceau de courbes G,„, de telle sorte que les intersections des courbes correspondantes des deux faisceaux engendrent G« suivant le procédé de Ghasles. Les courbes du faisceau du m'^™* ordre coupent en effet G« en

(• ) Voir Chasles, Détermination du nombre des points, etc. [Comptes rendus, 21 septembre 1857) ; Cremona, Theorie der ebenen Curven, p. 77 et suiv., dans l'édilion allemande de Curtze. Pour n^= im — i et n =: im — 2, les deux nombres sont identiques; en sorte que les indications du texte concordent avec celles de Chasles.

Clebsch. — Géométrie, III. 9

l3o TOME III, — CHAPITRE I.

m[n — m) points mobiles. Si nous faisons actuellement passer par

m[n — m) (m — i ) ( '" — ?. ) de ces points d'intersection d'une

courbe déterminée C,„ du faisceau une courbe C«,w, celle-ci passe

aussi, par là même, par les - i^m — ')("'■ — ^ ) Points restants. Car

si C^ est une seconde courbe de notre faisceau, et que l'on décrive

par - [n — m)[n — m 4- 3) des [n — m) 7« autres intersections de

0,1 et C'^ (lesquelles ne sont conséquemment pas situées sur C;;^) une courbe On-m, nous avons deux courbes du /z'*™" ordre : C« et Cm -f- On-m- Or la courbc C'„i comprend

m^ — - [lin — n — i ) (2 m — n — 2 )

H [n — m)[n — m -f-3) = nm [m — \)[m — 2 )

points de rencontre des deux courbes; elle comprend par suite

encore -[m — i)('*^ — 2) autres intersections, et, comme G^ passe

par tous les m- points de base de l'un des faisceaux, il se trouvera parmi ces dernières

points communs à C« et C„j, et conséquemment

points qui doivent être communs à C„ et C«„j. La courbe Qn-m passe donc, en fait, par toutes les m. (n — m) intersections de C,„ avec C« (' ) qui ne sont pas des points de base pour notre faisceau de

( ') C'est aussi ce qui résulte directement du théorème plus général de Cayley : Si, parmi les intersections de deux courbes C^ et C„ ( m étant < « ), mp — - (m -^ p — n — i){m -\- p — n — 2 )

LA GEOMETRIE SIR UNE COURUE ALGEBRIQUE. l6l

courbes C,„. Par là il est démontré que l'on peut mener une courbe Cn-m par les m(n — m) points où C,i rencontre C'„, . Cette courbe Cn-m coupe C„ encore en

( n — m) n — m [n — m) -^ [n — m )'^ points.

D'ailleurs C„ = o, C'^=o, Crt,«=o étant les équations des courbes considérées et G„t=o l'équation d'une autre courbe d'ordre m , comprenant les m- points de base choisis , on pourra déterminer une courbe C^„j = o et une constante y. telles que l'on ait identiquement

car nous n'avons affaire, qu'à des intersections simples. Mais alors C'„„j passe également par les (n — //i)^ points qui sont situés sur C« et €„,„, et non sur C^ ('); en d'autres termes, le faisceau C«^„/ -H X C/i„i = o est projectif par rapport au faisceau

C'„^ + l Cm = O

et engendre C„i de la manière demandée. Dans la démonstration précédente, nous n'avons eu égard qu'au cas de n^ini\ il est facile d'y ajouter des considérations analogues pour l'hypothèse contraire. Nous nous bornerons à énoncer les résultats ainsi obtenus dans la proposition suivante :

*Sï les m- points de base d' un faisceau de courbes G,« se trouvent sur une courbe G«, il existe toujours un faisceau de courbes dn-m projectif par rapport au premier faisceau dont les [n — m.)poinls de base sont situés de même sur G„ et engendrant avec

sont situées sur une courbe C [p étant <h), il y en a encore

autres qui se trouvent sur cette courbe, et les m[n — p) points restants sont situés sur une courbe d'ordre n — m.

(') Ce fait est aussi une conséquence immédiate de notre théorème sur les groupes résiduels. {Foir t. II, p. i38.)

le premier, par les points de rencontre de deux courbes correspondantes, la courbe C« ( ' ).

Par les considérations précédentes se trouve en même temps fournie la démonstration complète du fait que /ouie courbe C„ peut être engendrée par deux faisceaux projectifs du m'*""* et du ( n — /w)'^"^ ordre n'ayant aucun de leurs points de base en un point double de C„ ; m peut d'ailleurs prendre toutes les valeurs depuis i jusqu'à n — i.

Le théorème démontré en dernier lieu est évidemment vrai aussi pour une courbe décomposable. Nous nous proposons, pour finir, d'en faire une autre application qui nous conduira à des cas particuliers intéressants.

Soient C, = o, Co= o deux courbes d'ordre n. Ces courbes déterminent un faisceau C, -f- 5tC2 = o de courbes ayant n-^=p -\- q points de base. Nous choisirons le nombre q de telle sorte que par q des li- points de base soit précisément déterminée une courbe K3 = o du {11 — /-^'ème ordre, c'est-à-dire que nous prendrons

(10) f^ = l[n-r)[n-r-\-Z], et, par suite,

(11) p z=z n} — q =z ~ n [n -\- "xr — 3) r[r — 3).

Faisons passer par les p autres intersections de C( avec Go une troisième courbe quelconque du /z'*"® ordre €3=0. Les deux courbes C3 et K3 formeront ensemble une courbe G3 Kg = o d'ordre a n — r, sur laquelle sont répartis les points de base du faisceau G, -}- y. Go = o. D'après le théorème démontré en dernier lieu, il doit donc exister un faisceau du [n — /-y«"« ordre projectif par rapport au faisceau G, -f- )t G^^ o, ayant de même ses [n — 7-)=^ points de base répartis sur G3.K3 = o, et engendrant avec le faisceau G,+zG2 = o, par les points de rencontre des courbes correspondantes, la courbe G3.K3=o. Soient maintenant K^ = o. Ko = o

(') Voir CuASLES, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres {^Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 28 décembre iSo^).

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COCRBE ALGÉBRIQUE. l33

les courbes du second faisceau qui correspondent respectivement aux courbes ( ' ) Co = o, G, = o du premier; s'élève ici la question de savoir combien parmi les (/i — /')' points de base du second faisceau se trouvent sur C3 et combien surKg.

Or, le faisceau G, -+- xGo^o coupe G3 en n'^ — p= q points mobiles ; il en est donc de même aussi du faisceau K2 4- y. K, = o. Les courbes de ce dernier rencontrent en conséquence G3 encore en X = /î (n — 1') — q points fixes, et par suite p. = [n — r)^ — X points de base du faisceau sont situés sur K3 ; on a d'ailleurs ici en vertu de (lo) et (i 1)

il'^p — rn = ^«(n — 3)— ^r(r— 3),

(« rf -l-^L[n-r){n — Zr+ 3).

En outre, comme l'équation de la courbe G3.K3= o doit résulter de l'élimination de */. entre les équations

C+x. Cj=o, K2+/. Ki = o,

il existe entre Gi, G2, G3, K,, Ko, K3 une identité delà forme

(i3) «1C1K1+ «2C2K2+ «3C3K3EES0,

les oii désignant des constantes. Entre les trois courbes G, et les trois courbes K< règne, d'après cela, une complète symétrie, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si trois courbes d'ordre n G, , Go, G3 ^e coupent aux mêmes

points, elles se coupent encore deux à deux en

points et déterminent par là trois courbes Ki, Ko, K3 d'ordre

(') Les indices i, a sont choisis de telle sorte que l'équation de la courbe K,C, = 0 apparaisse sous la forme C, K, — C,K,, et que, par suite, entre C,, C„ C,, K,, K,, K, existe une identité de la forme (i3).