CHAPITRE I

n — /'. Ces dernières, en supposant X el [j. déterminés comme dans (12), passejit par // mêmes points du plan, tandis que les autres \ intersections de ces trois courbes, prises deux à deux, sont situées respectiy^ement sur les courbes C, , C2, C3 ( ' ).

Pour « = 2, /• = I , on déduil de là cette proposition connue :

Si trois coniques se coupent en deux mêmes points du plan, elle se coupent encore deux à deux en deux autres points ; les trois droites déterminées par ces couples passent par un même point du plan (2).

De là encore cette conséquence pour «=3, /-^a, par exemple :

Si trois courbes du troisième ordre se coupent en sept mêmes points, elles se coupent encore deux à deux en deux points ; les trois droites ainsi déterminées forment un triangle dont les trois sommets arrivent à reposer respectivement sur les trois courbes du troisième ordre.

Ces applications et ces exemples suffiront pour caractériser les puissantes ressources que nous possédons dans les propositions sur les points d'intersection en tant que ces propositions s'étendent à tout le plan, tandis que dans nos recherches antérieures nous raisonnions toujours sur une courbe fixe. Nous passons maintenant à des recherches d'une autre nature^ où la notion des courbes adjointes présente de nouveau une importance particulière.

VI. — Les intégrales qui appartiennent à une courbe algébrique.

Nous avons déjà plusieurs fois mentionné la connexion intime qui existe entre la géométrie sur une courbe et entre la théorie de

(') Pour r =: I et r = 2, ce théorème a été donné par Olivier, Journal de Crelle. t. 70, p. i56.

(') Ce théorème n'est autre chose que la généralisation projective de la proposition connue, que les axes radicaux de trois cercles passent par un même point (t. I, p. 193).

LA GÉOMÉTRIE SIR IXE COURBE ALGÊBRIQIE. l35

certaines inlégrales appartenant à celte courbe; nous avons en particulier suivi cette connexion dans ses détails à l'égard des courbes du troisième ordre : l'intégrale elliptique de première espèce, dont le module était lié d'une certaine façon au rapport anharmonique de la courbe, s'est présentée à nous comme se rattachant très étroitement à la théorie des systèmes de points d'intersection (t. II, p. 355 et suiv.). Le -développement général des circonstances qui se présentent dans ces questions va nous occuper maintenant, et pour préciser nous traiterons d'abord les points suivants :

i" Introduction d'une forme déterminée pour les intégrales algébriques les plus générales;

2** Réduction de ces dernières à certaines formes normales ; 3° Recherclie des infinis de ces formes normales.

Les formes normales obtenues s.eront ensuite réduites à des types encore plus simples, et il nous restera à établir à l'égard de ces derniers le théorème d'Abel, ainsi qu'à traiter ce qu'on appelle le problème de l'inversion des intégrales abéliennes ( * ), pour avoir

(') La théorie des intégrales et des fonctions abéliennes doit être ici, en général, supposée connue. Les considérations purement algébriques sur les différentielles des intégrales abéliennes et le théorème d'Abel seront seuls donnés avec plus de délai! dans le texte. Pour le surplus, nous résumerons toujours brièvement les théorèmes employés, et nous renverrons pour des détails plus approfondis aux travaux originaux sur la même matière et en particulier aux écrits suivants :

B. RiEMANN, Theorie der AbeVschen Functionen {Journal de Crelle, t. 64, et OEuvres, p. 8i); A. CtEBSCHetP. Gordan, Theorie der AbeVschen Functionen, Leipzig, i866; Briot, Théorie des fonctions abéliennes. Paris, 1879.

Pour les intégrales hrperelliptiques, voir surtout Weierstrass, Journal de Crelle, t. 47 et 52; C, Nelmann, Theorie der AbeVschen Integrale, Leipzig, i865; Prym, Neue Theorie der ultraelliptischen Functionen [Denkschriften der math. phys. Classe der Wiener Académie, t. XXIV, i864) et Theorie der Functionen in einer zweiblättrigen F lache {Denkschriften der Schweizerischen Gesellschaft, t. XXII. Zürich, 1866). D'autres cas particuliers ont été traités par ïuomae ( lieber eine specielle Klasse Abelscher Functionen, Halle "/S 1877, et Heber eine specielle Klasse Abelscher Functionen vom Geschlecht 3, Halle "/S 1879), par H. Weber {Theorie der AbeVschen Functionen vom Geschlecht 3, Berlin, 187G), et par Schottky {Abriss einer Theorie der AbeVschen Functionen von drei Variabein, Leipzig, 1880).

Les travaux ultérieurs de Weierstrass sur cette théorie ne sont pas jusqu'ici connus d'une manière générale.

l36 TOME III. — ClIAPnnE I.

à notre disposition tous les moyens nécessaires aux applications géométriques. Observons immédiatement que les propriétés des intégrales qui se présentent ici conservent le caractère invariant vis-à-vis de toutes les transformations uni-déterminatives de la courbe, ainsi qu'il sera montré plus tard; on verra de nouveau par là le motif qui nous a autorisé à placer la théorie de ces transformations avant les présentes recherches.

Par intégrale (dgéhrique ou intégrale ahèllenne, on entend une intégrale dans laquelle la fonction sous le signe d'intégration dépend irrationnellement de la variable x, et cela de telle manière qu'elle soit représentable comme fonction rationnelle de deux variables x, y entre lesquelles existe une équation algébrique déterminée (la même pour toutes les valeurs de j?)

Cette dernière est précisément V équation de la courbe fondamentale à laquelle appartient l'intégrale. Quant à l'intégrale ellemême, on peut toujours, après Riemann, la supposer sous la forme ( ' )

où T désigne une fonction algébrique rationnelle fractionnaire en x^y tandis qu'entre x, j existe l'équation du n'*"'® ordre F = o, où, en d'autres termes, x, j désignent les coordonnées d'un point de la courbe fondamentale d'ordre n. Néanmoins nous supposons toujours l'intégrale sous une forme un peu différente qui a été donnée par Aronhold; nous introduirons à cette fin des coordonnées homogènes ^i, JTo? -^3 au lieu de x, j, et ainsi il sera tenu compte à un certain degré, aussi bien des exigences de la symétrie que de la nature projective (ou caractère invariant) de la différentielle. En même temps se trouve indiquée par là une connexion avec l'algèbre des formes ternaires, qui peut être importante pour

(') Voir Riemann, loc. cit., § 9. Lorsque l'intégale n'est pas donnée sous la forme (i), on peut toujours parvenir à cette forme en multipliant le numérateur et le dénomi-

nateur de la fonction, sous le signe d'intégration, par — - •

Or

LA GÉOMÉTRIE 8CR INE COCRBE ALGÉDRIQCE. l3'

l'étude des Intégrales. Pour préciser, nous écrirons toujours l'intégrale sous la forme

àri â.r^ d/'a

OÙ c^, Co, C3 désignent les coordonnées d'un point quelconque du plan, et Xi, X2-, JC-i sont liés entre eux par l'équation d'une courbe du n'^^" ordre f^^ a"= o, tandis que ^ désigne maintenant une fonction homogène fractionnaire du (n — 3)'*™* ordre par rapport aux quantités x/. Toutefois, avant d'entrer dans l'examen approfondi de celte représentation, il sera bon de la développer sur lin exemple très simple (cas de ji=i) (') : les généralisations ultérieures s'obtiendront alors d'elles-mêmes. Nous traiterons l'intégrale

J y/A.r-'-h- li.r -t- C

que l'on ramène habituellement à un logaritlime au moyen de substitutions répétées; ici, en partant de la notation homogène, nous l'évaluerons de suite directement sous une forme plus générale. Nous la mettrons d'abord sous la forme des intégrales (i) et (2). Nous pouvons, en effet, faire disparaître le radical en liant x à une nouvelle variable y par une équation du second degré. Soit

f := n^^ X- -+- 7. r/,2 jrr H- «22/^ + -la^^x -f- 'iu^iX + «33 =: O

cette dernière; on trouve, en la résolvant par rapport kj,

=r v/2(«,2a23 -"U«ä2H ~ l"ll"22— <'\-2]-^'^— {^'ll'hz— "li]-

Si donc nous introduisons les désignations suivantes :

A= («ll'^22 '^12/' B = ?.(<'/,2^23 '^n'^22)' ^^ =^ — ( ^22 <^33 '^ 2 3 ) »

( ' ) P^olr Aroniiold, Ueber eine neue algebraische Behandlungsweise der Integrale irrationaler Differentiale 'von der Form W(^x,y)dXf in welcher U{x, y) eine beliebige rationale Function ist, und zwischen x und y eine allgemeine Gleichung zweiter Ordnung besteht. {Journal de Grelle, t. Gl). Nöus renvoyons instamment à ce travail comme introduction aux idées développées dans le texte.

l38 TOME III. — CHAPITRE I.

il vient

Actuellement nous transformerons toutes les fonctions par la substitution

en fonctions homogènes. Notre équation de condition devient alors

/ses 2 2 a//, ,r/ a:,. ï= 0 f. = o , et dans V nous devons poser .

Xodx, — .r.d.r.^ ^, , , i df la^-O^

en sorte que

Dans le dénominateur figure donc encore une fonction linéaire, ce qui était à prévoir, car l'intégrale (3), pour x = 00 , j^ = 00 , c'est-à-dire pour un point de rencontre de la coniquey= o avec la droite de l'infini, devient elle-même infinie; la même chose doit donc se présenter dans la forme homogène pour le point de rencontre de la ligne X3 = o avec la conique al= o. Maintenant, pour être indépendants de la situation du triangle des coordonnées, nous prendrons pour base de nos considérations, au lieu de V, l'intégrale

Les intégrales V et W ne sont pas différentes Vane de Vautre dans lèsensprojectif. Nous arriverons ici à leur évaluation par une même voie, tandis que,dansle procédé employé habituellement dans le calcul intégral, les deux cas exigent chacun un examen spécial.

L'intégrale W peut se mettre d'une manière remarquable sous