V GÉOMKTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE
une forme plus symétrique. Nous avons en effet, par suite de l'équation de condition y= 0, en posant /^= - y- :
et de là résulte
( 8 ) f\:fi'.fi = x^ dx^ — ^3 dx.^ : Xj dx^ — .r , dx^ : .r, dx^ — .r ^ dx^ .
Nous avons d'ailleurs, en vertu de (G),
d^N ./a . «^ = .r3 dx^ — .rj ^.rj,
d'où aussi, en faisant {xdx)i = x^dx^ — x^âx^, • • • -, et en vertu de la symétrie par rapport aux trois coordonnées suivant (8),
d^v.f,.u^=z[xdx],■, (/ = i,2, 3).
Si l'on multiplie respectivement ces trois équations par les grandeurs arbitraires ci et qu'on forme la somme des produits, il vient
dW ( c,/i -f C2/2 + C3/3 ) . «^ == 2 zt Cpr2 dx^ = { cxd.T].
Nous obtenons donc pour L'intégrale [6) la représentation homogène suivante :
J [u^x-\- u,r -^- «3 )J'[j- ) J u^.l c'iJi J u^ . a^a^
Pour l'évaluation de W, dont la valeur est complètement indépendante des quantités c,, nous devons à présent déterminer d'une manière convenable ces grandeurs arbitraires. Dans ce but, nous ferons usage du théorème général suivant :
Le déterminant (^cxdx), divisé par le produit de deux formes ternaires algébriques (p, ^|>, est proportionnel à une dißerentiellc exacte si l'on fait les quantités Ci proportionnelles aux déterminants binaires formés avec les premières déris^ées partielles de cp et ^ par rapport à x,, x^, X3, c'est-à-dire si l'on fait
Ox^ c)./-3 ÔX2 ÔX3 ' ^ drj c/.r, 0x3 d.r,
° ^ ~ Oxi Ox^ dr, âx^
La démonstration est excessivement simple. Soit en effet
? = <% ■} = <; il vient
d'où, suivant une identité connue (p. 352, t. I, équation V),
p{cxdx) = mn[a^a,i^ — ^x^dx)"'x^^ k"-^' = nii^.d!^ — n-^.cff,
et par conséquent
, , [cxclv] (Il d<a
ce qu'il fallait démontrer.
Pour notre cas, posons maintenant
(il) rçizrzi/^, -pzzza^ac, P<^i = ( "« j'^'ci
il vient alors, d'après (lo),
(il) ^N=z n^-^^^-^^ ^ ' rrdia^r,,) r/(,/^)l I ^^^a^ar^
p étant un facteur à déterminer. La considération suivante conduit à cette détermination. De (i i) résultent
(i3) «c= o et a^=zo;
nous avons donc, par l'effet de La substitution ( 1 1), choisi pour le point c un des points de rencontre de la droite Ux = o avec la conique f=o. Or il nous suffit de connaître les rapports des c,, car la modification simultanée que ces quantités recevraient de la multiplication par un même facteur n'influencerait que la constante arbitraire de l'intégrale. Toutefois nous devons assigner une valeur déterminée à la grandeur p dans (i i), parce que dans les deux membres des équations (i i) figurent les mêmes rapports proportionnels Cl, Co, C3. En effet, de la multiplication respective des quantités c/ par des grandeurs arbitraires vi et de l'addition des produits résulte l'identité
('4) p<V= (rtCHifl^;
p doit donc être une expi^ession du premier ordre par rapport aux
LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. l4l
Ui et aux Uik. Actuellement, nous désignerons par c\ les coordonnées du second point de rencontre de la ligne u avec j =0, de telle sorte que
il résulte alors de (i4) pour i^/=: bibci{f= àl=. bl) (l5) pùcbi.'= [abu)ach^i=z - [abu)[acb^ — ^c«c') = - [abu]^. D'un autre côté, nous avons, à cause de a;. = o,
<Tpi\.z7:z (t( avu )a^=z ( âr^'V — *^c^c') "c =^ — *'c •^c^c''^ — *'c • ^c ^c'i
et par conséquent
«r = bf. b^i.
Si l'on porte ce résultat dans (i5), il vient finalement
F désignant comme plus haut (t. I, p. 354) la forme adjointe de/,
' abu]-=z
Par là se trouve démontré le théorème qui suit :
Si, dans la supposition que f{x,j) ^/{xt , Xj, X3 ) e^ a; ^ b'j. soit égal à zéro, on doit éi^aluer l'intégrale
do;
/'{cxdr)
on prendra pour les quantités ci un système de valeurs satisjaisant aux équations
I/ja TOME m. — CHAPITRE I.
ce qui peut se faire par résolution des équations linéaires ( ' )
dajis lesquelles F désigne la forme adjointe [abu)^ de f\ on a alors
(16) W = ' - log ^^ + C.
Le signe de 4 / F doit concorder avec celui employé dans
les équations linéaires et la racine de l'équation f[x,j) = o à introduire dans V expression différentielle concorder avec celle choisie pour V expression de l'intégrale.
Pour donner un exemple de l'applicabilité de la formule (16) dans les cas qui se présentent habituellement, soit
f = x\.+ x\ — xl = [x^ -]- y- — \]^
d'où
-Iy = u\ + u\-uI, y = ^T:^^=\f'[y);
il vient
dx
J [lliX-h «2S/l
log .. , " . : >
^u'I + «I — al «1 ^ -+- "2J + «3 les quantités c/ devant se déterminer par deux des équations suivantes (^/^ = y/-^Fj'
(17) |3Ci= — M2«73— H3C2, pC2=i<3fiH- «1C3, p C3 = «i C^ — «2 Cj .
Si l'on pose encore Ut = Uo = o, «3 =: o, il vient p =\, — 1 = i
(•) Sur la détermination des quantités e^, comparez ce qui a été dit t. I, p. 107 et 116.
LA GÉOMÉTRIE SIR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. l43
et, depuis (17), ^3 = 0, c, =34=:: tco si Co — . i ; d'où
r fi.T
log (.r/ -+- j) =^ arc sin.r.
Posant ensuite u^z= u.^z=l o^ u.y—\^ on aura p^^i- Ct = — c-if d'où C( =:^ I , si C;, = — I , et, par conséquent,
En faisant enfin zf,r=i, u^^^u-i^^o, d'où = 03:= — I , on obtient
dr , I - v/ . -
.ry I — ./- "^
Cet exemple suffira pour expliquer l'usage de la forme homogène d'une intégrale algébrique et mettre en évidence ses avantages pour certaines vues générales.
L'exemple précédent a déjà mis en relief le caractère invariant de la différentielle c/W. En fait, on peut considérer toute différentielle dY de la forme (2) comme un invariant fonctionnel simultané de la courbe primitive y^= o et des zéros et des infinis de la fonction ^ situés sur /= o. Car il est clair, en premier lieu, que l'expression différentielle, étant une fonction homogène d'ordre zéro des x/, ne change pas si les Xi varient simultanément d'un même facteur, et que cette expression, absolument comme pour n= 1 dans le précédent exemple, est, en vertu des équations (7), complètement indépendante du point c, et est déterminée uniquement par 'a fonction ^. Mais, à l'égard d'une transformation linéaire quelconque, on a cette proposition que la d ifféreTitielle d\ n'éprouve d'autre changement que l'adjonction, comme facteur, du déternnnant de la. substitution ('). Si
(') Un fait analogue a lieu pour toute différentielle binaire de la forme
Une telle expression est un covariant bimultané des formes «"*", «^~*. Pour m=. 2, ce sont là les différentielles hyperelliptiques ; pour /n=2, «=2, on a la différentielle elliptique, qui doit être considérée comme un covariant fractionnaire de la forme primitive.
nous posons, en effet,
nous aurons, en désignant par ht les coordonnées du point correspondant au point c (t. I, p, 33 1),
et si nous posons il vient
[cxdx] i=r T\ ( ky-dr),
f[x]=zY{x), ^F(.r)=*(j), "yicxd.r) ^[hydr]
dY =
^cJ\
^/vF,-
Entre autres choses, on peut utiliser ce résultat pour amener l'intégrale V à la forme (i). Dans ce but, posons
X,-= dit -\r b;X -f- Cif,
X, y, t désignant les nouvelles coordonnées. Il vient alors
et enfin
c, «1 ^ + Z^i .r 4- Cj j «1 dt -{- b^ dx -t- c^ dy [cxdx]^= c^ a^t -^ b^x + c^y a^dt -\- h^dx -\- c^dy C3 a^t -f- 63 .r + c-^y a^dt + b^dx + c^dy = [abc).[tdx — xdt),
d'où, faisant entrer i^abc) dans 0 et posant / = i.
rfVi=rt
dV
ici j^ est défini comme fonction de x, au moyen de F = o.
En vertu àe f= o, la différentielle dV dépend naturellement d'une variable unique. Toutefois, pour introduire explicitement cette dernière, il faut en général résoudre des équations d'ordre élevé. Celles-ci ne sont du second degré que pour les courbes hyperelliptiques, comme on va le voir dans ce qui suit.
LA GÉOMÉTRIE SIR L'NE COURBE ALGÉBRIQUE. l45
Nous allons d'abord, pour le cas de Ji = 3, où T peut être supposé égal à I , mettre la différenlielle ^V sous la forme précédemment employée de la diftérentielle elliptique (t. II, p. 419)) ainsi que l'a fait le premier Aronhold ( * ). Nous placerons le point c sur la courbe y = o, et nous entendrons par Ux= o, p^=l o deux droites passant par c. Chaque rayon du faisceau
(18) y.Ux — \i'x=zo
coupe C3 en deux points mobiles ; les coordonnées de ces derniers peuvent donc s'exprimer en y., X au moyen d'un radical du second degré. Mais il n'est pas nécessaire de les calculer d'une manière effective, et l'on peut arriver au but ainsi qu'il suit. Dans le faisceau (18) sont comprises, comme l'on sait, quatre tangentes de C3, tangentes dont les points de contact ne sont pas situés en c. Les valeurs correspondantes des paramètres z, À seront données par une équation du quatrième degré, telle que <p(x, X) = o, en sorte que ^[vx-, Ux) = o représentera le produit de ces quatre tangentes. La courbe <p :== o rencontre C3 quatre fois en c et deux fois en chacun des quatre points de contact; mais C3 est rencontrée de la même manière par la courbe [a^.ac]-= o. On a donc, en choisissant convenablement les constantes qui entrent dans o,
Il vient ensuite, puisque pci peut être fait égal à [uv)i., et que uX = Ux, <7y, = Vxi
(20) p{c.Td.r) = «^(Vx — "x«c/x"-= 7^1(h. — -Aca), f[p^, u^] = (r*'^(x, ).),
d'où (2)
[c.rd.r] I l(h. — y.(l\
On obtient d'ailleurs immédiatement l'expression écrite en dernier lieu sous la forme demandée, dans laquelle figurent les invariants S, T, si l'on place en particulier le point c en un point d'in-
(') Monatsberichte der Berliner Akademie, 25 avril 1861.
(') Les points de contact des quatre tangentes sont donc les points de ramilkation de la surface de Riemann qui répond à l'intégrale.
Clebsch. — Géométrie, III. lO
l46 TOME III. — CHAPITRE I.
flexion de C3, de manière à avoir simultanémenl
f[c)~al = o, A(c) = «?, = o.
Actuellement, le produit des quatre tangentes menées de c à C» est donné par l'équation (t. II, p. 226)
(2.1) 3(D/)^-4/Dy=..o,
où
Parmi ces tangentes est nécessairement comprise aussi la tangente d'inflexion de c, et du premier membre de l'équation (21) doit pouvoir se séparer un facteur D-/". Pour effectuer cette séparation, il faut faire usage des propositions d'après lesquelles la courbe f= G peut être considérée c omme la hessienne de trois autres courbes du faisceau v.f — XA -z o déterminées par l'équation (t. 11^ p. 258 et 3oo)
( 22 ) Gl ( •/, — X ) = vJ" — - S y.).« -f- 1 T ).^ = o,
et la hessienne est toujours touchée par les tangentes d'inflexion delà courbe primitive (*). Il ressort de cette dernière remarque que les trois tangentes menées de c äj'= o en dehors de T>^J= o sont précisément les tangentes d'inflexion de c par rapport aux trois courbes primitives correspondant à f= o, en vertu de (22). Ces tangentes sont donc déterminées par (22), si en même temps
■/Dy— /D2a = o,
D^A étant égal à a^ «cî ^^ produit de leur équation est, par suite,^
(23) G,(DU,— DV) = (D2A)» — -S.D^A.(Dy)2 + ^T(Dy)»=:o.
Or le produit de l'expression qui figure au premier membre dans D-f doit se confondre avec l'expression qui figure au premier
(') C'est là une conséquence immédiate du fait que la polaire linéaire d'un point de la hessienne, relativement à la courbe primitive, touche la hessienne en un certain point (t. 11, p. 225), car la tangente d'inflexion de la courbe primitive est précisément la polaire du point d'inflexion {voir aussi la note 3 de la p. 4i6, t. II).
LA GEOMETRIE SDR UNE COURBE ALGËPRIQUE. I^-J
membre de (21), sauf un facteur constant (M) à déterminer, c'està-dire que nous avons, en vertu àef= o ( '),
(•24) M.3(D/)^=:Dy.Gi(D^A,-Dy),
ce qui concorde encore avec l'équation (19)^ caf le faisceau (18) est ici remplacé par le faisceau /cD^y — XD^A. On voit sur cette équation que M doit être du huitième degré, par rapport aux coefficients de f, et du sixième par rapport aux quantités c/. Mais, comme tout covariant du sixième ordre de / peut s'exprimer par un seul covariant de cette espèce et par y, A (t, II, p. 3i4), nous pouvons, en vertu de a^. = o, oc^ —- o, poser
9 étant le covariant unique dont nous avons parlé (t. II, p. 3 19),
et G désignant un facteur numérique. La détermination de ce dernier se fait très simplement à l'aide de la forme canonique. Pour plus de simplicité, nous prendrons pour y une courbe à invariant S évanouissant (ce qui est indifférent pour la question présente) ; il vient alors (t. II, p. 3ii et 3i3)
/:=: x\ -{- xl -h .vl, A = 6.r, .r^Xj,
ou, si nous choisissons pour c le point d'inflexion ayant pour coordonnées o, I, — I,
J)/=a:l—xl, Dy=X2+^3, y(c)=-8, D«A = -2X,.
De là résulte, par un calcul simple,
3(U/)^ = 4/.Dy-^D^/[2(Dy)^-(D^A)3].
(') Cette équation subsiste d'ailleurs encore si c est un point quelconque de ^. Alors, en effet, le sommet du faisceau xD'y — >tD'A = o est situé au point tangentiel de c, et les tangentes issues du sommet sont D*/= o, et C, (D'/, — D'A) = o [voir t. Il, p. 4i5). Seulement, il faut alors déterminer M d'une autre manière.
D'un autre côté, il vient, d'après (aS), pour notre cas,
Gi(D^A,-D^/) = {D^A)3-2{D^/f.
A cause de M = 9(c), C = — 8C et, en vertu de/— o, il résulte donc de (24) C ■= — -y) et l'on obtient
Kn conséquence, si c est un point cVinßexion, existe, en vertu
de f[c) =; o, A(c) = o, J[x) = o, L'identité
6) -^y(c).(D/)^.= Dy.Gi(D^A,-DV).
Par là se trouve calculé le dénominateur de notre différentielle en fonction de x— - D^ A et \ = T>-f. Pour le calcul du numérateur, observons que
(27) ocf^=[Ka],Klal,
parce que c est le point d'intersection de a^a^= o et aloc^^^ o, d'où aussi
l p{c.rclx] = a*al[u^a,i^ — a^a^^)
(28) ^=D*A.rf(DV)~Dy.rf(D'A) ( =-^cil-ldy..
La détermination du facteur p s'opère d'une manière identique à la détermination du facteur correspondant dans les équations (11).
Soit c' un point quelconque de la ligne D-AH=zf^=o; nous aurons
t7«/= o-a/a| := (ce'),-.
De (27) résulte ensuite
p('^= (aa(')a^.«;.= (ö!('m)«|, d'où, pour ^'J•= a^ae«^'^ ^/^e'^c'?
pbl.b^t=z [abii)a%bf.bc'=^~ [abu][acbc' — bcac-)a^b^.
[abuY a^bc — - [ab x) {abp]Oebca.l^%.
