I2S^A*+2TA

On a d'ailleurs identiquement

et de là résulte pour Ui-=[xdx)i, si nous supposons a^ = o,

a[cxdx)z=^ al a, ( a^ i^l ^,1^ - ^% «| «^^ ) = |«l«c(^Af/,j/— 4/r/A).

En multipliant donc rfV, numérateur et dénominateur, par il, il vient, en vertu de (29),

[cxdx] I Af/ij; — -y.-^idA

alOf. 6 il

\it-if — -}.■], (lii

i/i6^p»— -SA*^Î; -F- — TA«

Il suffit enfin de poser 4^ = "''-1 A-=X ^o«;' obtenir le résultat qui suit

1 1 ). dv. — 7. d\

Cette représentation se distingue d'ailleurs de celle d'Aronhold, par la circonstance qu'actuellement aux dix-huit points d'intersection de la courbe du sixième ordre xA- — 4^^ = o avecy^=: o correspond une même valeur du paramètre /. '. A, tandis que précédemment une même valeur du paramètre n'appartenait qu'à deux points mobiles du faisceau de çayons ^tD-/" — XD- A=: o.

Les intégrales qui appartiennent à des courbes hyperelliptiques peuvent se représenter d'une manière tout à fait semblable, comme fonctions d'un paramètre, au moyen d'un radical du second degré, à la condition d'avoir préalablement amené la courbe à la forme

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COIRDE ALGÉDRIQIE.

normale, c'est-à-dire à la forme (p. 7,0 et suiv ),

f (•*^,/)=J*?(•^)-•M•^)=o• En effet, on a alors

So)

^■[.i;j).dv

Dans le dénominateur figure donc la racine carrée d'une expression du [ip + a)'^"** degré en x. Par l'évanouissement de cette dernière sont représentées les tangentes que l'on peut mener du point multiple d'ordre /> à la courbe C^+2' Cette dernière remarque est encore exacte quand on suppose la courbe Cy,^2 donnée sous la forme

La polaire du point à l'infini sur l'axe Y

coupe en effet Cyj^ï aux 2/^ -h :2 points de contact des tangentes issues du point multiple d'ordre p, tangentes dont l'équation sera donnée par une relation de la forme 'K.2p+i{x) = o, et elle a ellemême au point multiple d'ordre p def un point de même multiplicité dont les branches touchent celles de la courbe primitive, en sorte qu'il s'y trouve /; (/^ -h i ) points d'intersection. Les intersections

de la courbe ( -r- ) =0 avec F =: o sont donc les mêmes que

celles de la courbe X.2p+2{x) = o avec F = o, c'est-à-dire que l'on peut poser (C étant une constante)

âpy-

relation analogue à l'équation {19) et ayant les mêmes applications.