CHAPITRE I

Nous revenons à l'examen approfondi de noire différenlielle générale

dans laquelle W désigne une fonclion algébrique quelconque de l'ordre n — 3 par rapport aux quantités x/. En fixant d'une manière plus précise la nature de cette fonction, nous allons établir d'abord certaines formes normales pour les expressions différentielles que nous considérerons exclusivement plus tard. Suivant la manière dont se comporte la fonclion ^ aux points simples ou multiples àe J= o, nous avons à traiter successivement différents cas; dans tous, nous montrerons qu'il est nécessaire, avant toute chose, de considérer des différentielles (et leurs intégrales) dans lesquelles W est une fonction entière, ou celles dans lesquelles ne figure au dénominateur de ^ qu'une puissance d'une fonction linéaire des Xi. Nous nous occuperons ensuite de la manière d'être des formes principales obtenues aux points doubles def= o. Soit maintenant

le dénominateur étant supposé désigner une fonction entière d'ordre m, et le numérateur, qui sera également une fonction entière, s'élevant par conséquent à l'ordre m -i- n — 3. Les courbes f= o, N = o se coupent en m/i points, dont l'ensemble peut être représenté par une équation (')

Nous désignerons les coordonnées de ces points d'intersection respectivement par

.x(^), .r(2), ^(3), .. ., .rC««),

en entendant toujours par x^^'> les trois coordonnées x',', x\^\ x"'.

(•) Relativement à une méthode générale pour l'établissement de cette équation sous forme symbolique, voir t. I, p. 35o. Si l'on prend en particulier ç, = i, ?s= o, |j=:o, l'équation du faisceau de rayons sera obtenue par élimination de x, entre /= o et N = 0. (Foir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 5 et suiv.). Alors {x-^^)'"" ^^~ pend uniquement de la seule variable binaire x^ ; .r, (voir la suite du texte).

LA GÉOMÉTRIE SIB L\E COLRIIE ALGÉDRIQLE. l53

Joignons ces points à un point fixe quelconque |. L'ensemble des mn lignes de jonction sera représentée par (j^a:^)'""= o, et nous pouvons poser

Si d'ailleurs nous supposons, ainsi que cela doit arriver d'abord, que les points x^'^ soient tous distincts les uns des autres (et conséquemnient aussi ne soient pas situés en des points multiples de f) l'expression (Sa) doit, en toute hypothèse, pouvoir se représenter sous la l'orme

(33) (^^.rÇ)-«:^-,.l,/+iibN,

Dl, = o étant une courbe de l'ordre m{n— i), qui passe par tous les points de rencontre des jnn rayons avec /"= o non situés sur N = o. En conséquence il vient, pour/ = o,

expression où, en vertu de (32), figure au dénominateur un produit de fonctions purement linéaires. Mais les lignes représentées par l'évanouissement de ce dernier passent toutes par un même point I, en sorte que le dénominateur ne dépend, en réalité, que d'une seule variable binaire, savoir le paramètre du faisceau de rayons passant par ^. On peut donc, suivant les lois de la décomposition des fractions rationnelles binaires, représenter la fonction 'F comme une somme de termes particuliers dont chacun n'a au dénominateur qu'une fonction linéaire; la réduction annoncée de la différentielle ^V aux formes normales de l'espèce précédente se trouve ainsi effectuée.

Mais on peut encore obtenir.aisément le même résultat sans introduire explicitement la variable binaire du faisceau de l'ayons, et nous insistons d'autant plus volontiers sur ce sujet que plus tard nous obtiendrons aussi par une voie analogue des développements en série plus compliqués qui, autrement, se déduiraient à l'aide de décompositions répétées de fonctions rationnelles en fractions simples. En même temps nous ferons un pas de plus dans la régularisation de la différentielle, en ce sens que nous dis-

l54 TOME III. — CHAPITRE i.

poserons le numérateur de telle sorte que deux seulement des zéros de la fonction linéaire du dénominateur donnent lieu à des

Il est utile pour cet objet àe faire coïncider le point ^ avec un des points x^'^ par exemple avec x^"^"\ convention qui sera observée dans ce qui suit. L'équation des autres mn — i points x^'^ étant alors donnée par //|""~^ = o, nous pouvons poser

et à la place de (32) et (33) se présentent les équations

i \i^i>in — 1

(34) (•^-.r?)'«"-!^ JJ (.r(') ./•?), (^.r|)"— >=.A/+BN;

I = 1 B est ici une courbe d'ordre mn — m — i qui passe par tous ceux des points non situés sur N = o où les rayons issus de ^ rencontrenty= o, et mn — a de ses intersections avec j sont placées au point ^ lui-même. On a aussi alors

Ml)!, MB

Actuellement, pour simplifier la notation, posons

mn — I ~ ,j., B -- Bî'", Al = MT"^""'.

Faisons ensuite passer une courbe C d'ordre [i. -\- n — ^ >, QiA+n-3^ Q pgj, l'ensemble des 7^(f*-t-/^ — ^3) points de rencontre de M := o et B = o avec/ -=: o j cette courbe présentera également quelque chose de particulier à l'égard des intersections x'-^^ de JN = o avec /"= o. Nous avons d'abord, en toute hypothèse,

( 35 ) cr" '' =^ ^K'^" ' Br"' + D .f.

JNous déterminerons d'une façon plus précise la courbe C, ainsi qu'il suit. La ligne joignant un point d'intersection x'^'^^ au point | coupe la courbe primitive en /z — 2 autres points que nous désignerons par x^*''^,x^^'^-, . . ., a:'*'"~2^; nous faisons passer par tous ces points (') la (p. — i)'^"" polaire du point .r^*^ relativement àC = o,

C) Comme la polaire en question est d'ordre n — 2, on peut précisément encore satisfaire à la condition dont il s'agit; la polaire ne pourrait comprendre plus de

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE GOURDE ALGÉDRIQUE. 1 53

en sorte que nous avons les équations

(36) c^c^:„=:o, cr:i!,c;;^,,,.:^o,...,c^,cr;j^„,,^o,

pour toutes les valeurs depuis A -= i jusqu'à k = (x. Cela donne fx[n — 2) équations linéaires pour les coefficient^ de G. Parmi ces

derniers, en vertu de (35), -«(/^ — 3) -h i seulement sont arbitraires, savoir les coefficients de l'expression D; et comme la condition

est toujours satisfaite pour m ^^ i, il est, en fait, possible, de disposer la courbe C conformément aux équations (35) et (36). Nous reviendrons encore, en finissant, sur le cas de m = r.

Formons maintenant, à l'aide de la courbe G, l'expression suivante du {(i-h n — 3 )'"■"* ordre

Al L ,=1 J

Les r,i sont ici les coordonnées d'un point quelconque du plan, et l'indice k adjoint au second signe de produits indique que le produit correspondant multiplié par C^^k]{x^''h,^), c'est-à-dire celui qui se présente dans le Ä'*"^ terme de la somme, doit être formé de tJL — I facteurs seulement, le factevir relatif k i = k devant être omis; au contraire, dans le premier terme de là différence S, figure un produit de// facteurs. Cette fonction S s'évanouit d'abord pour tous les points d'intersection de B et f. En effet, pour x = x'^''>^'\ le premier terme s'annule en vertu de /= o, et dans la somme, tous les termes qui renferment le facteur [x^'''> x'''''^'> 'i) s'évanouissent, puisque Jt'^''^^ désigne précisément un point de la ligne joignant x^'''> à H- H ne reste ainsi que le terme correspondant

« — 2 points de la droite sans se décomposer en la droite elle-même et en une courbe C„,.

j56 TOME III. — CHAPITRE I.

dans la somme à Ä:=;-; mais ce dernier disparaît également à cause de (36). En outre, S s'évanouiL pour chacune des [x intersections de N avec f. En effet, pour x = x^''\ tous les termes de la somme figurant dans S qui contiendraient un facteur [x^^^ x^''^ ^) disparaissent, et il reste seulement le terme correspondant à l'indice k = r

-C^;;-^(,r('-),?)J|^(,r(0...('-)H)(^,r(0|)!x-'(^v;;). Or de (35) résulte

et l'on déduit de la première équation (34), par formation polaire, en observant que les autres termes de la somme qui figure d'abord dans le premier membre deviennent nuls pour x = x'-''\

Le ternie ci-dessus mentionné qui reste de la somme figurant dans S devient donc égal à

c'est-à-dire égal, sauf le signe, au premier terme de S pour X = j:^'"^ ; S lui-même est donc nul, ce qu'il fallait démontrer. L'équation 8 = 0 représente, d'après cela, une courbe qui passe par toutes les intersections simples de y"= o et [^xl^)v-=^o. Au point ç, d'après notre détermination de B = ü, chacun des termes de S (et par conséquent S lui-même) s'évanouit au degré p. — I de multiplicité. Mais, comme la courbe (pour m>i) n'est pas encore complètement déterminée parles conditions (36), nous pouvons encore disposer de C de telle sorte qu'un p"^""® point d'intersection de S = o avec/ = o tombe à |. On peut, pour cette raison f poser

(37) S = P./4-R.(•^rÇ)^

R = R"~" désignant une fonction entière homogène du (/î — 3)'^nie

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALCÉDRIQUE. 1 57

ordre par rapport aux xi- Si nous divisons enfin dans les deux membres de (37) par le produit

nous obtenons, en vertu de (Sa) et (34), sous la condition y-:::^ o, la décomposition suivante de 'F en tractions simples :

MB

y. II

Toute fonc lion algébiique du [11 — 3)'""'' ordre qui ne devient infinie que pour un certain nombre de points de f distincts peut donc se décomposer^ à l'aide de f=:z o, eri une Jonction entière d'ordre n — "à et en une somme de fondions dont les dénominateurs sont linéaires et qui ne deviennent inßnies qu'en deux des points d' évanouissement de ces derniers, le numérateur devenant nul en vertu de (36) pour les n — 2 autres (' ).

Il nous reste encore à traiter le cas où /n = i , où, par suite, dans le dénominateur de ^ figure une fonction linéaire u = u^, dans le numérateur une fonction M du (n — 2)'*™® ordre, en sorte que

^ =i —' Supposons que les points d'intersection de u^ avec J soient désignés par j:^*\x^2)^ ^ , ., j;^"^, et soient Qo-=o, Q3=o,. . . , Q„=z=o des courbes spéciales du [n — 2)'^""* ordre comprenant tous les points de rencontre de la droite avec f= c, excepté pour Q2 les points x^*^ et x^-\ pour Q3 les points,xf'^ et x^^^-, . . . , pour

(') La possibilité d'un tel développement résulte au surplus immédiatement des conceptions de Riemann ; car une fonction algébrique est complètement définie (à une constante près) sur la surface de Riemann qui répond k/=o par ses zéros et ses infinis; mais les deux systèmes se confondent pour les deux membres de (38). Au cas où plusieurs des intersections de / et N sont situées sur une droite passant par f, quelques modifications sont à apporter au texte, mais elles sont sans influence sur les résultats.

l58 TOME m. — CHAPITRE I.

Q„ les points x"^ et x'^^ On peut alors, dans l'équation (*) M - /î 2 Qi - ^-3 Qî - ... - /.„Q« :^-- o,

déterminer les n — i constantes ki de telle sorte que la courbe ainsi représentée passe par Ji — i points d'intersection de la droite avec /= o, et conséquemment renferme cette droite tout entière. En effet, si l'on indique par des indices supérieurs que les coordonnées du point d'intersection en question ont été introduites dans les fonctions M et Q/, il suffit de satisfaire aux équations

pour que les points x^^\ .r^-'),. . ., x'-"'^ soient situés sur la courbe précédente. Si l'on détermine les constantes ki par ce moyen, la courbe dont il s'agit se décompose en une courbe du (n — "^y^^^ ordre 11=0 et en la droite w^= o, de sorte que l'on a identiquement

et il vienl, par suite

expression dans laquelle chacun des termes de la somme ne devient infini qu'en deux points. Le résultat précédent reste donc encore exact jyour m = i .

Nous mentionnerons encore les modifications que subissent les développements précédents lorsque, parmi les mn intersections, plusieurs coïncident (toutefois non en des points singuliers de f). Supposons qu'il n'y ait'plus que v de ces points x^'^ ayant une situation distincte, et que chacun d'eux compte respectivement /v fois, en sorte que

/'i + /•2 -t- • • . + Tv = mn.

Faisons coïncider encore le point 'i avec un de ces points, x^'''> par exemple, et posons, pour abréger,

\ = mn — }\,

(') Foir Cledsch et Gordan, op. cit., p. i8.