V GÉOMÉTRIE SUR l'NE COCRRE ALGÉBRIOIE. iSg

i\ étant choisi de telle sorte que mn — a/., soit égal ou supérieur à zéro ( ^ ). L'équation des lignes qui joignent ? aux "k autres points étant donnée par (t|;.r^)^= o, à la place de la seconde équation (34) intervient la suivante

(■fr?)>-rz=A/H-BV"'N, "

?^ — t\ intersections de B = o avec /= o étant réunies en ^. Nous déterminerons ensuite une courbe G == o de l'ordre \-\-n — 3 répondant aux équations (35) et (36), en sorte que la Â'*""* polaire de o?^*^ s'évanouit l'k fois pour tout point a:^*«'^ {'^). A la place de S vient alors l'expression

S' = M:^'+"-»Bi. '" JJ (•fr(OÇ)>-'v(^v;?)''

X JJj^(')^|)'-'(-f.r(')H)w,(,^,.y,. I

Actuellement, de l'équation qui se présente à la place de la première équation (?4)> savoir

(^^Çr= J|(j:(')x?)'-'

') Parmi les v points est, en général, compris un point de cette espèce, car on ne peut pas disposer arbitrairement des nombres /-, puisque, pour w>« — 3, par

exemple, -(« — i){n — 2) sont déterminés par les autres.

(*) La condition nécessaire à la possibilité de cette détermination est ici(iw> p. ij5).

Pour rv=i, /n> I, elle est toujours satisfaite. Pour les cas exceptionnels, il faut entrer dans des considérations particulières, comme dans l'hypothèse précédente.

l6o TOME m. — CHAPITRE I,

résulte par formation polaire

et, en ayant égard à ces relations et à (35), on reconnaît que S' a un zéro simple en chacun des points x^'^ et un zéro d'ordre A — j\ au point ^ (en vertu des propriétés de B) ; de plus, en disposant convenablement des constantes de C , on pourra obtenir qu'un (X — /\+ j^ème point de rencontre de S'= o a\ecj'= o tombe en ^. D'ailleurs, S' a un zéro multiple d'ordre /-^ en toute intersection /'A-iple a:(*''^ de B avec/". Si donc on entend par R= o une courbe de l'ordre 1-+- ii — v — 2 qui comprend r^ — i fois seulement tout point jc^*''^ (comptant //f fois), ne comprend au contraire pas les points x^, et possède en ^ un zéro d'ordre X — z'.,— v 4- 2, on a la relation analogue à l'équation (3-)

(4i) . S'^ P/+RJJ (x(').r?).

Substituant dans (39), divisant dans . les deux membres par {^x^)^ et posant encore, pour abréger,

31,= TT (^c').r ?)'•.■-!, il vient, à cause de (34) et (4o) et en vertu de/'= o.

En vertu des conventions faites relativement à R, le quotient R'.Ol, devient infini seulement aux points d'intersection de N avec y et conséquemment aux mêmes points que W, mais en chacun d'eux (en '^■=x^'''> également) il devient infini d'un ordre moins élevé, et, pour préciser, de l'ordre r^ — i en x^. La fonction ^ est donc ramenée à une fonction qui devient infinie d'un ordre moindre d'une unité aux mêmes points et peut par conséquent être traitée semblablement à ^, de manière à conduire à des fonctions

LA GEOMETRIE SUR UNE COURBE ALGEBRIQUE

tle l'espèce de celles qui se présentent dans la somme (4^) et au dénominateur desquelles ne figurent que des puissances de fonctions linéaires. Or, pour ces dernières, on a

Les termes de la somme (42) se déduisent donc, à des facteurs constants près, des termes de la somme qui figure dans (38) par

application réitérée du procédé de formation polaire \ -— r/.

Pour finir, nous allons supposer en outre des circonstances précédentes que la courbe N = o ait un point multiple d'ordre (/ en un point double P dey. Alors, généralement, en ce dernier sont situées 2(7 intersections des deux courbes; l'équation (j^x^)'''"= o renferme donc un rayon multiple d'ordre 2*7. Par suite, on peut, comme dans le cas précédemment considéré, employer pour la décomposition en fractions simples une fonction S' analogue à celle formée dans l'équation (Sp). La courbe S'= o passe alors simplement par le point double, de même que la courbe n(x^'^x^) =^ o composée de mn — 2^-f-i rayons. En conséquence, l'équation (4i) a lieu de nouveau^ et il en est de même de l'équation (42), qui se déduit de cette même équation et de (Sp).

Dans cette dernière apparaît comme premier terme du second membre une fonction qui a, au point double P, un zéro d'ordre (/ — I seulement. Le résultat reste donc le même. On procédera enfin d'une manière semblable en cas de survenance de points multiples, en sorte que toute fotiction algébrique ^ peut être, en vertu de J= o, développée en une somme de Informe (42).

Actuellement, en appliquant ces considérations sur la fonction ^ à notre différentielle dV, on aperçoit que toute différentielle de l'espèce par nous considérée peut être ramenée à des réunions de différentielles des formes suivantes :

. rx-/r' '11 I 7 /- ^'Ir^ icxdx) 1" DifterentieUes de la t or me —\ -'

2** Différentielles de la forme —^ — Vn '- ' dans lesquelles la

Clebscii. — Géométrie, III. II

jÖa TOME Hl. — CUAIMTlie I.

courbe Q'^"- =■ o passe par n — n des n intejsections de iijc = o avec f=<).

3" Différentielles déduites des précédentes par le procédé (à

appliquer éventuellement plusieurs fois ) \ r,i — , ji désignant les

coordonnées de l'une des intersections de Ux=o a\ecj'= o. — On peut les représenter comme des sommes de différentielles dont les intégrales deviennent chacune infinie, ou bien logarithmiqueraenl en deux points, ou bien algébriquement en un point (en général d'ordre élevé), d'une manière analogue à ce que nous verrons plus ijaS, dans le cas où figure au dénominateur le carré d'une fonction

Nos considérations précédentes se sont rapportées à des infinis

de la fonction placée dans V sous le signe d'intégration | c'est-à-

dV\ .

dire des dérivées -— | j qui provenaient de la nature de la fonc-

tion '"¥. Mais les dérivées -^ peuvent aussi devenir infiniment

grandes, si Fexpression D/^ a""' «t-, qui figure au dénominateur, est nulle. Celte dernière circonstance se présente d'abord lorsque X est un point de contact de la tangente que l'on peut mener de c à la courbe (t. II, p. 7). Alors le point x -\- dx est en ligne droite avec c et x, et par suite l'expression [cxdx), qui est en général un infiniment petit du premier ordre, devient un infiniment petit du second ordre; le quotient [cxdx) '.a"r* ac reste conséquemlöent infiniment petit du premier ordre. Donc, pour un point de contact des tangentes menées de c à la courbe (*), l'intégrale V

C) Si (en coordonnées rectangulaires) on place le point e au point à l'infini de

l'axe Y, ce qui est indifférent au point de vue projectif, ces points de contact seront

les points de ramification de la surface de Riemann. En un tel point, tlx devient aussi

infiniment petit du second ordre; si donc on y a x = a, dV devra se comporter au

ffx point X = a comme , ce qu'il est aisé de prouver directement. ( Voir Clebscii

et GoRDAN, op, cit., p. II, et RiEMAPiN, op. cit., § 7 et 9. En effet, \/x — a est, au point de ramification, une {{randeur infiniment petite du premier ordre, et par suite le quotient de ffx par \x — a en x ^a reste infiniment petit du premier ordre, ainsi qu'il a été obtenu au texte.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. l6'i

ne devient pas infinie ; en effet, sa valeur est aussi complètement indépendante du point c (p. i43).

En outre, l'expression jyf s'évanouit, et cela indépendamment des quantités c/, dès que x est un point multiple de/; cependant nous ne supposerons ici que la présence de points doubles ou cuspidaux de la courbe primitive. Dans ce cas, le déterminant [cxdx]^ dans lequel les quantités dxi se déterminent au moyen de l'équation du second degré a""" «^^ = o, reste infiniment petit du premier ordre, et les dérivées de V par rapport aux xi deviennent infinies. Pour déterminer exactement la nature de ce passage à l'infini, nous partirons de l'équation

(43) ar'a,.u,.d\=q--K[c:rdx),

en prenant dN sous la forme désignée dans le n° 2. Par ^ nous entendons un point de l'une des tangentes du point double j, par Yi un point de l'autre tangente. Au moyen de (43), nous obtiendrons alors, pour un point voisin àe j sur l'une des branches, la valeur de ^V, si nous posons x<== r,-4- î'ii, dxi= ed'^i, e désignant une quantité infiniment petite du premier ordre. 11 vient maintenant, en première approximation,

Choisissons maintenant pour c le point rr, alors, puisque la tangente de la première polaire de y) au point double j coïncide avec la ligne [Tnyx) = o, il viendra, G désignant une constante,

ay'^aia^ = C.{r}Xx], d'où

C étant une nouvelle constante. L'intégrale Y déifient, d'après cela, logarithmiq uement infinie en un point double j def\ savoir, comme H-log(r,j^^) dans la direction d'avancement qui correspond au point ^, et comme — ^^%['^jX) ^^"^^ ^^ direction qui correspond au point n.

Une exception se présente lorsque la courbe Q =: o passe également par y^ l'intégrale restant alors finie.