CHAPITRE I

Les considérations précédentes ne donnent aucun résultat si le point double se transforme en un point de rebroussement, les points ^ et y; se confondant alors. Pour trouver la valeur de l'intégrale dans le voisinage du ppint de rebroussement, nous devons donc considérer les termes du second ordre infinitésimal, ce qui s'effectue ainsi qu'il suit, en introduisant de nouvelles variables /', s, t pour les alentours du point '>^ Nous poserons

( 45 ] .i-i -- rji -i- s^i-{- fÇ,-.

Pour obtenir la courbe J= o exprimée par les variables /', s, t sous la forme la plus simple possible, nous placerons ^ au point d'inflexion de la [n — 3 ^«"'e polaire àej, c'est-à-dire de la courbe du troisième ordre rt"~^«^.=: o et ^ au point de rencontre de la tangente d'inflexion de ^ avec la tangente de rebroussement de j ; on a de la sorte les équations

a''r^ ol ai = o, «"~^ al ar^ — o.

Pour un point dans le voisinage de j (c'est-à-dire pour des valeurs infiniment petites de ^ et t), il vient donc

/( ^ ) £i- < ^ - « ( « — I ) r«-3 [ re a"f' a} H- \ [n - 1 ) s' n^-' «?]-,...,

et par conséquent l'équationy^r::: o se transforme en

(46) 3 rt- a'^'r^ ar + [n — 1) s'^a'^'r'^ al z^o (').

Si nous faisons ensuite coïncider c avec ^, nous obtiendrons

(4,) B/^a'i-'ar={n-i)7—Ka'^-^ar.i,

OU, en vertu de (46),

Enfin, pour le numérateur de dY, on trouve

(48) {■Çrdz:]^-={-Çj^)[rds-sdr).

(') Par suite, t^ devient comparable à s^ dans le voisina[fe de j , ce qui concorde avec les résultats précédents (t II, p. 28 et 33).

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALCÉBUIOUE. l6j

Pour le calcul de ^V, nous devons encore développer la fonction — suivant les puissances de s et t. Il vient, par suite de la substitution (54), en première approximation,

I ( 1 SU: -\- t'Iy

u^ ru y -r stii H- tiiy^ ru y r- uy

doù

Qrt-2 O""- ;•"-*

~Q';-^(«-^)(,vQ:+^Q.)«,]4-...,

et par conséquent, si, en tenant compte de [^~)-, on substitue les valeurs trouvées, qu'on pose - = jt/ et qu'on exprime la grandeur t par p au mo3'en de (4Ö), on aura

r/fA ( « — 2 ) Q; i< ,. — Q ,. ui du. "1

On tire enfin de là par intégration, A, B, C désignant des constantes dont les valeurs sont faciles à emprunter aux expressions trouvées pour dV ( ' ),

OU, puisque, d'après (45), /a = = '^^"'?

C) ?'o«> ClEBSCU et GORDAN, op. cit., p. i3

l66 TOME m. — CIIAPITRB I.

C'est là la valeur de V dans le voisinage du point de rebroussement^'.

L' intégrale \ devient, d'après (49)> algébriquement inßnie au premier ordre en un point de rebroussement ( ' ).

On devra traiter d'une manière semblable une intégrale qui devient infinie en un point multiple de /. Toutefois, la manière la plus simple d'opérer consiste à supposer que le point multiple a été préalablement résolu de la manière connue (t. II, p. 210 et suiv.) par des transformations unidéterminatives ; car, dans une transformation de cette espèce, le caractère de la différentielle ne change pas, ce qu'on démontre, ainsi qu'on le fera plus tard pour les différentielles de troisième espèce. La différentielle apparaît alors comme combinaison des différentielles portant les n°* 2 et 3 {p. i6r et suiv.).

VII. — Les intégrales normales de première, de deuxième et de troisième espèce.

Les intégrales désignées (p. 161) sous les n"* 1 et 2 vont maintenant être étudiées avec plus de soin sous le rapport de leurs propriétés.

En premier lieu, il est clair qu'il peut exister des intégrales qui ne deviennent infinies pour aucun point de la courbe, et dont conséquemment la différentielle pour tous les points de la courbe reste infiniment petite du premier ordre; ce sont évidemment les différentielles de la forme

si l'on détermine la courbe R de telle sorte qu'en tous les points de/" elle ait un zéro du même ordre que le dénominateur, excepté aux points de contact des tangentes proprement dites que l'on

(') Et non à l'ordre -■> car le point de rebroussement est un point de ramification

de la surface de Riemann correspondante, et en un tel point, si x devient égal à a,

est une grandeur infiniment petite du premier ordre. (Comparer la note de

la page 162.)

L\ GÉOMÉTRIE SVH VSZ COVKBE JkL£ÉBRIOCE. 167

peut mener de c à la courl>e, points pour lesquels le déterminant [cxdx) devient également nul (p. 162}. Or il suffit pour cela tle choisir pour R^~^ = o une courbe d'ordre n — 3 adjointe à f, ainsi qu'il ressort immédiatement de la définition donnée pour celte nature de courbes (p. a3). En effet, la courbe dont il s'agit a en tout point singulier de/ autant de points communs avec/ que la polaire a'^^ a^j en retranchant du nombre de ces derniers les points de ramification (t. 11^ p. ai 5) qui peuvent être situés aux points multiples; mais pour ceux-là le déterminant (cj^i^js:) devient de nouveau infiniment petit du deuxième ordre, si l'on passe du point multiple x à un point x-f- dx^ en avançant sur la branche sur laquelle le point de ramification s'est rapproché de x, ot notre différentielle reste, en fait, une quantité infiniment petite du premier ordre, de quelque manière que l'on puisse choisir le point X -h dx dans le voisinage de x. A l'exemple de Riemann, nous désignerons toujours une courbe adjointe du [n — S^em« ordre par 9, et l'intégrale qui reste constamment finie par J. Nous appellerons la différentielle de cette dernière dißerentielle de première espèce :

De nos précédentes observations sur les courbes adjointes d'ordre n — 3 (p. -n) résulte immédiatement ce théorème :

Il existe p diß'erentielles de pr entière espèce Iméairement indépendantes les unes des autres, ou, en d'autres termes : Toute différentielle de première espèce appartenant à f peut être représentée comme combinaison linéttire de p autres dijférentieliei similaires.

Parmi les différentielles désignées sous le n" 1 (p. 161), nous commencerons par nous occuper, dans ce qui suit, uniquement des différentielles de première espèce qui viennent d'être définies,, toutes les autres pouvant être considérées comme des cas particuliers des cas désignés sous les n*" 2 et 3, ainsi qu'on le verra encore incessamment. De mèmey dans les différenlielles désignées

l68 TOME III. — CHAPITRE I.

SOUS le n" 2, nous nous proposerons de considérer d'abord celles seulement qui ne deviennent pas finies aux points doubles de/; c'est-à-dire que nous remplacerons la courbe Q = o par une courbe adjointe du [n — 2)'""'^ ordre H""" = o. Cela est toujours possible, car la courbe û 1= o n'est assujettie, en dehors de cette condition, qu'à passer par n — 2 points de rencontre de la droite w.r = o, Ux désignant la fonction linéaire qui figure au dénominateur de la difTérentielle. Donc, parmi les points de rencontre de la courbe Q. =z o si\ccf= o,

peuvent encore être choisis arbitrairement. Les deux autres points de rencontre de Ux= o SLvecf= o étant désignés par ^, yj, les dérivées de l'intégrale par rapport aux Xi ne deviendront infinies qu'en ^ et yj. Ufie telle difféientielle, qui ne prend une valeur infinie qu'en deux points distincts de f, s' appelle une différentielle de troisième espèce, et l'ijitégrale correspondante, qui devient infinie en ces deux points seulement, s'appelle seinblablenient une intégrale de troisième espèce ( ' ),

Cette dernière intégrale sera, dans ce qui suit, désignée par S|t,, ^, Ti étant les deux points où elle devient infinie. Sa difTérentielle est donc définie par

. . ci^-^icTclx] alr''{cxdx]

en supposant l'existence des équations suivantes :

(3) • a--^[;-(,r.]{tXx)^[W.Y'f+[l-o^r).^.

Cette dernière équation résulte immédiatement des conditions

(') L'intégrale de deuxième espèce sera définie incessamment {roir Riemann, § 2; Clebsch et GoRDAN, p. 20. Il est à remarquer que les désignations du texte ne concordent pas avec celles introduites par Legendre et Jacobi pour les intégrales elliptiques; en effet, l'intégrale elliptique normale de troisième espèce de Legendre a quatre infinis, (^'oir Kö.nigsberger, Theorie der elliptischen Functionen, i'" Partie, p. 276, et Briot et Rovqiet, Théorie des fonctions elliptiques, 2' édition, p. 68i.)

LA GÉOMÉTRIE Sl'R USE COURBE ALGÉBRIQIE. 169

que nous avons imposées à la fonction û; les quantités "C^i sont ici Jes coordonnées d'un point quelconque [introduites uniquement dans le but d'écrire l'équation sous forme homogène, de même que le facteur (^y?^)^ mis auprès de/] et N est une fonction entière du [n — i^ème ordre. L'équation dont il s'agit ^ une importance particulière pour une application qui viendra plus tard. .

Le mode suivant lequel l'intégrale S^,, devient infinie aux points ^ et yj est aisé à déterminer. Nous poserons (comme à la p. IÖ3) a= ^ H- £^, e étant une quantité infiniment petite et ^ un point de la tangente de |; nous obtiendrons alors en première approximation, pour c/ = m.

Mais de l'équation (3), si l'on forme dans les deux membres la première polaire de « pour x = ^, résulte

(4) fif-2=/7«f-'«„

et l'on obtient conséquemment pour le voisinage du point ?

l^-nrf.r)

L'intégrale S^^^ se comporte donc dans le r>oisinage du point ^, où elle devient inßnie, comme + log(^r5a:), et, par suite, dans le 'voisinage du point de même espèce m, comme — log(^y;x) ( ' ).

Il a été observé précédemment que, pour la courbe û, p points d'intersection peuvent encore être pris arbitrairement sur /". La différentielle ^Sï^ n'est donc nullement définie par les points t et y;, et, au contraire, nous obtiendrons une autre courbe û' et une autre différentielle r/Sj^ si nous remplaçons ces p points, en totalité ou partiellement, par d'autres. Relativement à la fonction ft' existent alors également (pour une fixation convenable des valeurs absolues de ses coefficients) l'équation (3) et par conséquent aussi

(') Cela reste vrai même quand un point où l'intégrale devient infinie tombe en un point de contact des tangentes menées de c h/. La situation de c est complètement indifférente. Les points f , r^ peuvent aussi se réunir en un point double, ainsi qu'il sera expliqué ultérieurement.

fJO TMIE IM. — CKAPITRE I.

TéqualioD (4) qtti en est déduite, c'est-à-dire que l'on a

Il résirlte que la différence S^"' — ^i'"~" s'évanouit pour x=^'^ et X =n. La courbe û — |Q'=: o comprend donc la droite ^yj tout entière, et l'on peut poser

£i — £i'= {|ï7.ï).ip,

9 étant une courbe adjointe C«3. 6Ï ffo/zc, pour les deux mêmes points ^, Ti donnant des infinis, on forme de deux manières différentes la différentielle de troisième espèce <fS|,, les deux formations, quand, on dispose com^enablement des constantes gui y figurent, ne diffèrent entre elles que d^une dißerefitielle de première espèce.

Si nous rapprochons indéfiniment sur la même branche de courbe les deux points de la différentielle de troisième espèce qui donnent des infinis, dS^n donne naissance à une différentielle de seconde espèce. La ligne ^m deviendra la tangente defau point unique que nous désignerons par ^, et l'on peut par suite (e« se servant de la notation d¥^i) définir la différentielle de deuxième espèce par l'équation

il est encore actuellement adjointe àjf et passe pair les n — 2 autre* points où la tangente de^ en ^ rencontre f. Pour 12 existe donc, yj étant wa point quelconque, une équation de la forme

(5) û^^^..ry= [ar^a^^Y./-\- «r'^«,.Mr*.

La eonrhej'est louchée par la courbe M, en tous les points de ren-eonEre de Ja ligne [^fjx) =o, à l'exception do point | tnimême.

En ce qui concerne la différentielle de deuxième espèce, observons ici, s»iis indiqiter la démonistralion, qo'wöe tcHe fofaetiom peut toujours, à part une différentielle de première espèce entrant additivement, être déduite d'une différentielle de troisième espèce