I.A GEOMETRIE »CB «.-«E f.OCRBB ALCEBRIQCE. 17t

par un procédé de différentiation ; on a en effet, si a""* a^= o ( ' )y

A l'aide de cette relation, on peut déduire leS'propositions relatives à la différentielle i/E; des propositions similaires relatives à la différentielle r/S;,;. On obtient ainsi en particulier ce résultat, que rintégrale fclEi devient infinie pour xi = li, comme

, — —7 pour X = '^. L'intégrale de deuxième espèce devient

donc au point l algébriquement inßnie au premier ordre, ce que l'on vérifie aussi sans peine directement en faisant usage de l'équation (5).

Nous ne voulons pas ici insister davantage sur les intégrales citées sous le n" 3 (p. 162); on pourra déduire leurs propriétés de celles des intégrales de première, de deuxième et de troisième espèce, en employant ïe procédé de différentiation indiqué précédemment. Faisons toutefois remarquer qu'une différentielle dans le dénominateur de laquelle figure le carré d'une expression linéaire, c'est-à-dire une différentielle de la forme

peut toujours se ramener directement à des différenùeltes de seconde et de troisième espèce.

Pour démontrer cette proposition , nous déterminerons n courbes Q, = 0, Q2= o, ... , Q«= o telles que Qä= o touche la courbe primitive en torns ies points derencQHtpe x^^^ de u^ = o> à l'exception du point x'*'. Nous pouvons alors déterminer n constantes kt, telles que la courbe

passe par ta tota-lité des n points jr^'\ ear il suffit pour eela de

(') roir sur ce sujet Clebscii et Gordan, p. 28. M. Thomae obtient les intégrales de deuxième espèce en diflerentiant celles d« première espèce par rapport aux paramètres dont dépendent les points de ramißcalion {Journal de Crelle^ t. G6 et 71).