CHAPITRE I

satisfaire aux équations

les indices ayant une signification analogue à celle qu'ils avaient (p. i58). Il vient donc

(6) Q = 2XvQ/+«xiî,

û étant une courbe du [n — p, y«"'« ordre, et, pour préciser, une courbe adjointe ày*, si nous admettons, comme on peut le faire pour abréger, que les courbes Q = o et Q^ = o soient simultanément adjointes df. Actuellement, en vertu de (6), on a

Mais ici chacun des termes de la somme qui figure à droite est une différentielle de deuxième espèce, car, à cause des déterminations faites relativement à Q/ = o, on peut poser

ü.i=- O désignant une courbe C,i 2 qui passe par les n — 2 autres intersections de la tangente de x^'^ avec /= o. Le dernier terme du second membre de l'équation (7) peut être décomposé en une somme de n — i intégrales de troisième espèce. On a donc finalement

L'intégrale V dei'iejit, d'après cela, inßnie en chacun des points

x^'^, de la même manière que la fonction log(x — ^) H

devient inßnie pour x ^='i.

On traitera d'une manière analogue les dilTérentielles dans lesquelles figure au dénominateur une puissance supérieure de u^. C'est dans cette classe d'intégrales abéliennes que doit être rangée l'intégrale d'aire Jjdx, qui répond à une courbe Y[x^j) = o donnée en coordonnées rectangulaires. En effet, pour x = X\'. X3, J = XalXa, on a

LA GÉOMÉTRIE SLR USE COURDE AXCEBRIQUE. l'ji

Celte intégrale, où figure la troisième puissance de Ux^ se déduit de V si l'on pose, Q désignant la fonction du numérateur,

ôF

Au point de vue de certaines applications qui doivent venir plus lard, une importance particulière s'attache aux remarques suivantes. Nous pouvons, entre autres choses, réunir en un point double de/"les points \, yj qui figurent dans la dilFerentielle ^S^,. Mais D. passe par ce point double comme courbe adjointe à f, et a par suite n — i points d'intersections communs avec la ligne |y; ; en d'autres termes, 0 renferme cette droite tout entière. On a donc

les quantités «/ étant les coordonnées de la droite qui figure au dénominateur de d^i^. La différentielle elle-même prend consé- ([uemment la forme

Il passant ici par tous les points multiples de f, à l'exception du point double situé sur Ujc\ cette même différentielle est d'ailleurs devenue complètement indépendante de Ux- La différentielle dont il s'agit fournit également la représentation des intégrales indiquées sous le n" 1 (p. i6i) et qui ne sont pas constamment finies, puisqu'elles deviennent infinies aux points doubles de/"; car il est aisé d'apercevoir que toute différentielle de la forme n° 1 qui devient infinie en plusieurs points doubles peut être développée en une somme de différentielles dont chacune ne devient infinie qu'en un point double. Nous pouvons encore ramener ces différentielles à des différentielles de troisième espèce; elles aussi deviennent logarithmiquement infinies en deux points (^voir p. t63), le point

(') De la formule qui sera ainsi obtenue, on déduira toutes les propriétés (et en particulier la détermination des périodes) de l'intégrale y^t/x, qui ont été indiquées par M. Marie {Comptes rendus de V Académie des Sciences, 187.^, p. 692, 707, 865, 943). Foir aussi, pour les courbes de genre /> = o, i, Hermite, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, I" Partie. Paris, i8;3.

i;j4 TOME m. — CHAPITRB I.

double pouvant être regardé comme placé d'abord sur l'une des branches qui le traverse, puis sur l'autre. Cette dernière circonstance devient évidente si l'on résout le point double, par transformation unidéterminative de la courbe primitive, en deuxpmnts distincts, ainsi qu'il sera plus amplement expliqué tout à l'heure.

On reconnaît d'une manière analogue qu'une dißerentielle infinie à point de rebrousseinent uniifue doit être considérée comme une dißerentielle de deuxième espèce ( ' ) ; car toute droite menée par le point de rebroussement y réunit deux points infiniment voisins, à la différence d'une droite passant par le point double qui doit être considéré comme ligne de jonction de deux points différents de la courbe.

Ces dernières explications, ainsi qu'il a déjà été énoncé, présentent un intérêt particulier si l'on soumet la courbe f à une transformation unidéterminative. Nous abordons maintenant l'examen de l 'influence exercée par une pareille transformation de la courbe prindtive sur une dißerentielle de première, de deuxième ou de troisième espèce. Supposons que la transformation à.ej[x) = o en une courbe du v'*^'"^ ordre 'P{j) =^ o soit, comme à la page i , donnée par des équations de la forme

y-ri=^i{^]. f*j2=*2(-ï), f*j3=*3(-^).

et que par leur intermédiaire p:'F[j) z=: F(<î>) se change en M. y. On a alors pour tous les points de/^ o

et par suite, puisque (p. i4)K ^ —

/ df df f)f\ „ ,rà^ r), àFly),

\ dxi 0.1-2 da:^J ^ L ^fi <^.>'2

en posant

O-Tj 0X2 0X3

(') Au point cuspidal, elle est en effet algébriquement infinie au premier ordre. (Foir p. 166, note).

LA GÉOMÉTRIE SOI l'NE COCRBE ALGEBRIQCE. I';,^

Il vient ensuite, d'après le théorème sur la multiplication des détentninants,

f*' ( ^J dy) ~ ( A- * û?* ) = - ( <?;r rf.r ) . ( *, *2 *» ) ,

{^i^i^%) désignant encore le déterminant fonctionnel et s l'ordre des ^/. Or les relations établies ici suffisent pour la transformation de notre différentielle. Admettons qu'une différentielle de cette nature soit donnée pour la courbe F, que cette différentielle soit de la troisième espèce, et que les deux points qui donnent des infinis soient sur la ligne v ; on trouve immédiatement

Q.[y) . [kydr) __Xl(<l>) . (<!•,*,*.,) . [c..Td:r\

L'expression qui figure dans le premier membre et celle qui figure dans le second sont d'une nature tout à fait semblable, sauf en ce que, à la place des fonctions Q. et \'y, se trouvent respectivement les fonctions Û(<ï>).(<î>,<l>2<p3) et 2t',<î>,.M, et qu'à ia place des quantités absolument arbitraires k apparaissent les quantités également arbitraires c.

Or fi est une courbe du [n — a)''"'"^ ordre adjointe à F, d'où, suivant une proposition précédente (p. 20),

u)[x) = o étant une courbe d'ordre s -i- n — 3 qui, en dehors des points multiples et des points communs des 4>, rencontre f uniquement aux points correspondant aux intersections de Cl avec F. Gonséquemment w(x) passe aussi en particulier par les n — 2 intersections de la courbe llvi^i= o avec y, qui correspondent aux n — 2 points de Vy= o situés sur û. Le second membre de l'équation

Uly] . [Irydj) (,i{.T] . { crdr)

représente donc une différentielle qui devient infinie, uniquement aux deux points où le même fait se présente pour la différentielle qui figure dans le premier membre, et représente en

conséquence encore une difFérentielle de troisième espèce; car, d'après ce qui précède, pour tout point commun /'p'^ des 4> qui est un point commun ï'p'*' de /(i>i)' w(x) s'évanouit r -h i — I fois, c'est-à-dire toujours le même nombre de fois que le détei^minateur du second membre. On doit d'ailleurs pouvoir représenter la différentielle figurant au second membre de telle façon qu'au dénominateur n'entre qu'une fonction linéaire. Car si ^, 73 sont les points de notre différentielle qui donnent des infinis, et que Q.' := o soit une courbe adjointe à f, et passant par les n — 2 autres intersections de la droite (x^r;) -- o avec f, il existe évidemment, en vertu de f=: o, une équation de la forme

Les points ^, tî peuvent en particulier former l'un des couples de points de f qui se réunissent en un point double de F; alors i^{j) est divisible par Vy, et dans le premier membre de l'équation ci-dessus figure ime différentielle de troisième espèce, de la nature mentionnée en dernier lieu et représentée par l'équation (8). Nous avons donc le théorème suivant ;

Dans une transformation uni determinative de la courbe f, une dißerentielle de troisième espèce se change toujours en une différentielle de troisième espèce, et il en est ainsi indépendamment de la circo/istance que les deux points de cette intégrale donnant des infinis soient séparés surf ou réunis en un point double de f; au contraire, une différentielle de l'une des catégories peut être ramenée à une différentielle de l'autre catégorie.

La même chose a naturellement lieu lorsque les deux points donnant des infinis sont infiniment rapprochés l'un de l'autre, ou lorsqu'on pose il = Vy-, <î>, ^I^ = o étant une courbe adjointe à/".

Donc (<) :

ZJne différentielle de prennère ou de deuxième espèce se change toujours, lors d'une transformation unidéterminatii'e de

(') Pour les différeulielles de première espèce, voir Clebscii et Gordan, p.

LA GÉOMÉTRIE SLR INE COl'RRE ALCÉRRIOtE. I77

la courbe pri/nitive, en une rliffctenficllo de première ou deuxième espèce respectivement.

Nos recherches précédentes ont été de nature purement algébrique, et elles se sont rapportées à des quotients de fonctions algébriques. En passant aux intégrales de nos différentielles, nous devons encore porter notre examen sur d'autres recherches et en particulier sur celles relatives aux propriétés périodiques des intégrales algébriques, car c'est précisément sur ces dernières que reposent les applications géométriques ultérieures de ces théories (^voir l'exemple des intégrales elliptiques, t. Il, p. 302 et suiv.). Ce n'est pas toutefois ici le lieu de donner une exposition détaillée des faits dont nous parlons ; nous nous bornerons à un court aperçu des résultats, aperçu qui sera d'autant plus utile que nous y trouverons l'occasion de mettre en connexion et de définir des systèmes de désignation dont nous ferons usage plus tard.

Dans la considération d'une intégrale algébrique, il est à remarquer, avant toutes choses, que la valeur d'une telle intégrale peut toujours dépendre du contour d'intégration employé, et n'est conséquemment pas déterminée d'une manière complète. Les questions qui découlent de là se résolvent de la manière la plus simple possible, si l'on fait usage des représentations de Riemann, ou, en d'autres termes, si l'on prend pour base l'équation de la courbe en coordonnées rectangulaires, et qu'on développe l'une de ces dernières coordonnées considérée comme fonction de l'autre sur la surface de Riemann correspondante, représentation qui présente au surplus une grande utilité pour l'étude purement algébrique du champ de valeurs représenté pary=o [voir l. II, p. 366, ^t t. III, p. S'y). Dans ce qui suit, nous résumerons en peu de mots les résultats ainsi obtenus, dans la mesure où nous devons en faire usage plus tard pour les recherches, mais sans pouvoir donner d'une manière absolument complète les démonstrations qui s'y j^apportent.

Nous considérerons d'abord Vinlëgrale de première espèce. La valeur d'une semblable fonction est déterminée si l'on donne la limite inférieure et la limite supérieure, ainsi que le chemin le long duquel l'intégrale va de l'une à l'autre. Deux contours d'intégration qui peuvent être ramenés l'un à l'autre, soit par le fini, soit

Clebscii. — Géométrie, III. Ï2

par l'infini, mais sans qu'il y ait franchissement d'un point de ramification de la surface, fournissent toujours le même résultat pour la valeur de l'intégrale; car cette dernière (comme intégrale de première espèce) ne devient infinie en aucun point de la surface. Mais si les deux chemins comprennent des points de ramification et pas plus tous qu'aucun, en sorte qu'il ne soit pas possible de transformer directement un contour d'intégration en l'autre, on a en présence deux valeurs différentes de l'intégrale, quoique les limites supérieures et inférieures de l'intégrale soient les mêmes. On peut alors mettre à la place du second chemin le premier augmenté d'une courbe fermée qui comprend le second contour d'intégration parcouru dans sa direction primitive et le premier parcouru dans la direction opposée; on peut donc considérer le second chemin comme dérivant du premier par l'adjonction d'un contour entourant les points de ramification franchis et pouvant serrer ceux-ci d'aussi près qu'on le voudra, contour qui est, par suite, équivalent à un contour fermé tracé autour des points de ramification dont il s'agit, puisque le chemin qui joint ce dernier contour au premier est parcouru deux fois en sens opposé et ne fournit par conséquent aucun accroissement à l'intégrale. Toutes les modifications qu'éprouve l'intégrale par changement du contour d'intégration sont, par suite, représentables par les valeurs prises par l'intégrale, le long des lacets qui entourent les points de ramification. Il s'agit donc d'abord de déterminer le nombre des chemins de cette espèce, indépendants les uns des autres (non réductibles par déformation et combinaison), qui sont possibles sur la surface.

Il est utile, pour cet objet, de se former des idées plus précises sur la conformation des surfaces de Riemann, et de faire les fixations nécessaires. En premier lieu, on peut toujours, suivant la marche indiquée par Liiroth, prendre pour point de départ relativement à ces surfaces une certaine forme normale, c'est-à-dire faire certaines hypothèses simples sur le groupement des points de ramification et des feuilles qu'ils réunissent ( * ) ; on reconnaît alors, entre autres choses, que l'étude des modules de périodicité peut se ramener au type plus simple des intégrales hyperellip-

(*) roiVLÛROTH, Math. Jnnaleu, t. IV, p. 181, et Cledsch, ibid., t. VI, p. 216.

LA OKOMÉTBIE SUR UNE COURBE AIXÉDRIQUE. 1 79

tiques. La marche d'idées qui conduit là est, en résumé, la suivante. Nous supposerons que le nombre des feuilles de notre surface soit désigné par //i, et celui de ses points de ramification par /• [*); de plus, nous entendrons par groupe de points de ramißcation l'ensemble de tous les points qui réunissent de telle, façon les deux mêmes feuilles que ces feuilles ne se présentent plus comme réunies par d'autres points de ramification. Dans chaque groupe est nécessairement renfermé un nombre pair de points de ramification, comme on l'aperçoit de suite directement. Actuellement, un examen plus approfondi montre que ni dans l'ordre des points de ramification ni dans la succession suivant laquelle les feuilles sont liées ne se trouve rien de spécifique, pas plus que dans le nombre des points qui sont employés dans l'arrangement donné pour chaque groupe; ce derniei; nombre est assujetti seulement à ne pas être nul. On peut donc, en particulier, préférer un arrangement dans lequel un groupe se compose de /• — 2 (m — 2) points de ramification et tous les autres groupes de deux de ceux-ci seulement. Alors deux feuilles, la première et la seconde par exemple, sont liées entre elles par /' — 2 (m — 2) points de ramification; les m — 2 autres feuilles ne sont plus connexes entre elles, et chacune d'elles est seulement rattachée à la première ou à la seconde par deux points de ramification. Ainsi se trouve établie la forme normale précédemment mentionnée de la surface de Riemann.

Une surface ainsi ramifiée peut toujours être réduite de la même manière, par un système canonique de sections transi^erses, en une surface simplement connexe, comme la surface à deux feuilles employée dans les intégrales hyperelliptiques; ce système de sections transverses est analogue à celui pris par Riemann pour point de départ de ses considérations (-).

Il suffit en effet, dans notre arrangement des points de ramification, de considérer la liaison de la première et de la seconde feuille, car une feuille qui est connexe avec la première par deux

(') On a toujours alors ■2p=r — 2(w — i). En général, m sera égal à l'ordre de la courbe primitive, r à sa classe, augmentée du nombre des points de rebroussement. ( Foir la note i de la page 2i5, t. II.)

(') Voir Riemann, op. cit., § 10; Prym, loc. cit., et Neomann, op. cit., p. !^ob. Le système de sections transverses dont il est fait usage dans le texte est d'ailleurs uu peu différent du système de Riemann.

l80 TOME III. — CHAPITRE I.

points de ramification seulement, c'est-à-dire par une ligne de passage ( section de ramification), peut toujours être déformée de telle sorte qu'ensemble avec la première feuille elle ne forme qu'une feuille, ainsi que cela est connu dans les surfaces à deux feuilles dont les feuilles sont liées par deux points de ramification seulement. Entre la première et la seconde feuille, nous avons r — 2 [m — i) =i ^p-h 2 points de ramification, et par conséquent p H- 1 sections de ramification ; et l'on dispose autour d'elles de la manière suivante le système canonique dont il a été parlé.

On place d'abord, sur la première feuille par exemple, y^ sections ^,, l)o, . . . ,bp, chacune autour d'une des p lignes de passage, en sorte qu'une ligne de passage n'est pas entourée par une section b.^.

On relie alors les sections b l'une à l'autre dans un ordre quelconque par les sections de rattachement c, , Cs, . . . , Cy,, ; enfin, on dispose p autres sections rt, , Oo. .... «y, de telle sorte que chacune d'elles, en partant de la (/?+ i)'^°'* ligne de passage U, ait son cours partie sur la première, partie sur la seconde feuille et conduise chacune à l'une des p autres lignes de passage, ainsi qu'il est représenté dans \à fig. i pour/; = 3 (les sections qui ont leur cours sur la seconde feuille sont figurées par des points). Or, on peut

Fig. I.

imaginer que le système de courbes ainsi tracé soit composé de ip sections transverses ('); et celles-ci forment dans leur ensemble une courbe revenant sur elle-même lorsque l'on parcourt

(') Il faut considérer comme première section transverse la courbe b^, après que l'on a préalablement converti la surface sphérique (fermée) de Riemann par l'enlèvement d'un point en une surface non fermée. Les -ip — i autres sections transverses sont c. et b., c„ et *,, . . ., c et h , «,, «j, a^, . . ., o„.

I,A GÉOMÉTRIE SCR UNE COCRDE ALGÉBRIQUE. l8l

les sections successivement dans le sens positif et dans le sens négatif; c'est-à-dire que la surface ainsi décomposée a une seule courbe d'encadrement. Elle est, par suite, décomposée en même temps parles ip sections en une surface simplement connexe; .va connexité est donc égale à ip -\-i{^).

En faisant usage de ce système canonique de sections transverses, on résout la question de savoir quels sont les changements de valeur d'une intégrale de première espèce par l'effet du changement du contour d'intégration. En effet, tout chemin qui a son cours sur la surface simplement connexe ainsi décomposée, c'està-dire qui ne franchit pas les sections ai,bt, Cj, peut être l'csserré de manière à se réduire à un point; une intégrale I, prise le long d'un tel chemin, donne toujours une somme nulle, et deux chemins de cette sorte réunissant les mêmes points conduisent à la même valeur de l'intégrale. Nous n'avons plus à considérer que les changements qui peuvent survenir lorsque les coupures dont nous parlons 'viennent à être franchies. Or tous ces changements de valeur peuvent se représenter par des fonctions linéaires et à coefficients entiers de ip grandeurs, comme on le reconnaît de la manière suivante. Nous imaginerons que les 2/^ -|- 2 points de ramification (entre la première et la seconde feuille) qui entrent en considération aient été numérotés, et cela de telle sorte que le n° i soit lié au n" a, le n"3 au n°4, • • • ? le n° ip -f- i au n" 2/^-1-2, au moyen d'une section de ramification. Nous choisirons ensuite deux points quelconques 5, et^a de la surface situés l'un au-dessous de l'autre sur la première et la seconde feuille respectivement, et nous désignerons par a/t la valeur de l'intégrale I prise le long d'un chemin qui part de 5i sur la feuille supérieure, tourne dans un petit cercle autour du /i'^"'" point de ramification et revient alors en ^2 sur la feuille

Fig. 2.

inférieure [fig- 1). L'intégrale I donne évidemment une somme (') Voir RiEinsN, op. cit., § 7, et Neumann, loc. cit.