L.V GÉOMÉTRIE SVR UNE COURBE ALGÉDRIQUE. l

Entre ces grandeurs, on déduit de l'équation (7 ) la relation

(8) ßi-f^i-h fh-ß'.-^ -■' -rl5,^. = 0;

Tune d'elles s'exprime donc linéairement en fonction des autres, et il reste 2;> variations de I linéairement indépendantes les unes des autres, ou, suivant l'expression usitée, o^p a modules de périodicité » de l'intégrale l. Nous pouvons en conséquence énoncer le ihéorème suivant :

Une intégiale de première espèce a en général ap modules de périodicité. Si nous appelons I la valeur de l'intégrale prise le long d'un chemin quelconque, \''^'> ,¥-\ . . . ,¥^^^ ses modules de périodicité ,

est la valeur la plus générale que puisse acquérir l' intégrale par variation du contour d'intégration, /n^'^ m^'^\ . . . , m'^-P^ étant des nombres entiers, positifs ou négatifs.

La proposition est vraie pour chacune des intégrales de première espèce en nombre p — i fois infini. Mais on aura toujours à considérer uniquement p quelconques de ces dernières, car toutes les autres s'expriment comme fonctions linéaires et homogènes de celles-là, pourvu que l'on prenne les p intégrales dont il s'agit toutes suivant le même chemin que l'intégrale à exprimer par elles. C'est ce que nous ferons toujours dans ce qui suit. Soient I, ,l2, . . . , \p, /^intégrales de cette espèce prises suivant un contour quelconque (mais le même pour toutes); le système de valeurs de ces intégrales le plus général le long d'un autre contour quelconque est représenté par le tableau

l,,-hmi')i;,> + rnC-n^f -4- . . . -f- w(«/')I<^'". Les modules de périodicité forment un système de 2p^ constantes

dans lequel les 2/> grandeurs de la même ligne horizontale se rapportent à une même intégrale et à des circuits indépendants les uns des autres autour des points de ramification, les p grandeurs d'une même ligne verticale à un même circuit et à des intégrales différentes. Mais ces modules de périodicité I-^*' ne sont pas indépendants les uns des autres; il existe, au contraire, entre eux des relations algébriques, et en particulier entre les Ij^*' de deux lignes horizontales ont lieu des équations qui sont linéaires par rapport à ces mêmes quantités dans chacune de ces deux lignes.

Pour développer les équations dont il s'agit, le mieux est de choisir pour Ijif' les ip valeurs de l'intégrale I^, valeurs qu'acquiert cette dernière prise le long de l'une des coupures a^ et b^; ce sont là, en effet, aussi des circuits autour de deux points de ramification, circuits de telle nature qu'aucun ne puisse se réduire aux autres. Actuellement nous désignerons par B^' la valeur de l'intégrale \h prise le long de Z»^, par Aj^' la valeur de l'intégrale prise le long de a^. Nous poserons par suite

j'p+\) — AU) i(p+2) — A(2! Tf2/'; A(/')

Comme les coupures b^ et a^ s'entrecroisent, et que deux coupures peuvent être supposées tracées aussi près ou aussi loin qu'on voudra autour des points de ramification, on peut évidemment exprimer la même chose en disant que l'intégrale Ih. "varie de la (laantité B)^' au cas de franchissement de la coupure a^, de la quantité P^f^ au cas de franchissement de la coupure b^, et reste ^ au contraire, constante pour les coupures c^. L'intégrale est donc, d'après les hypothèses faites par nous sur la position des sections transverses, discontinue pour les coupures a^ et b.,, tandis que, pour tout le reste, elle a partout sur la surface de Riemann un parcours fini et continu.

Actuellement, pour établir les relations annoncées entre les modules de périodicité, nous prendrons l'intégrale flhdlk tout le long du périmètre de la surface décomposée, simplement connexe, c'est-à-dire successivement dans le sens positif et dans le sens négatif sur toutes les coupures a^, b^ et Cy, ce qui donnera la valeur

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQCE. l8o

zéro, et l'on trouve ainsi les relations (')

(9) ^{A^;>B<i;'-B<:'Al^'j = o.

Ces relations existent donc entre les modules âe périodicité de deux intégrales I^ et I/^.

Les mêmes considérations conduisent enfin à une forme normale déterminée de r intégrale de première espèce. Nous avons choisi précédemment les intégrales I,, Ij, . . ., \p tout à fait arbitrairement parmi les intégrales I en nombre /> — i fois infini. Au lieu de ces dernières, on peut, en particulier, prendre pour base certaines combinaisons linéaires des fonctions I,, I2, ..., l/> dont les modules de périodicité ont des valeurs particulièrement simples, et, pour préciser, on aperçoit que l'on peut faire nulles toutes les grandeurs correspondantes Bj^'^' pour li^h, tandis que les grandeurs W^^ peuvent toutes être prises égales à une même valeur quelconque; on choisira lir. pour cette valeur [-). Mais il résulte alors de (9) que l'on a A4''''= A)/'", Pour indiquer ce fait, nous ferons usage de la notation ahk\ on aura donc

Les intégrales ainsi choisies et qui forment en un certain sens (en quelque sorte) dans la multiplicité p — i fois infinie des intégrales I un système canonique de coordonnées (dépendant du système canonique de sections transverses) seront appelées intégrales nor-

(') Foir RiEMANN. loc. cit., § 20, et Cleuscu et Gordan, op. cit., p. 106. Pour les intégrales hyperelliptiques, ces équations ont été trouvées par "Weierstkass, loc. cit.; comparer aussi Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques, 2'édit.,p. i84 et 6^4; elles l'avaient déjà été dans l'hypothèse de p = 2, par Rosenhain, Mémoire sur les fonctions de deux variables à quatre périodes, qui sont les inverses des intégrales ultra-elliptiques de la première espèce ( Mémoires présentés par divers savants, Paris, i85i). 11 existe encore d'autres relations qui d'ailleurs, en {jénéral, ne sont pas connues. ( Voir sur ce sujet l'Introduction aux /onctions ahéliennes de Rieniann, et Fcciis, Journal de C relie, t. 71 et 73, Tuomae, ibid., t. 6G et 71, Weber, op. cit., p. 35).

(') RiEMANS, loc. cit., § 20, Clebscii et Gordan, op. cit., p. 108. {Voir sur ce sujet les Mémoires de Prym, Journal de Grelle, t. 71, et Schlaëfli, ibid., t. 76, où il est démontré que le déterminant des équations linéaires ayant lieu pour les intégrales J n'est pas nul en général.) Faisons observer que Riemann choisit la valeur iit au lieu de at/T.

maies et désignées par it,, u^-, •-., Up. Leurs propriétés sont énoncées dans la proposition suivante :

Une intégrale normale de premibie espèce Uh ne varie pas au cas de franchissement d'une section transverse a., ; pour la section a^ seulement, elle varie de 2. in. La première moitié des modules de périodicité des u^ est donc donnée par le tableau :

[Ui) 2/77 O O ... G,

( w,) o 2/71-0 ... o, [Up] o o o . . . 2/7r.

La seconde moitié des modules de périodicité forme un système à déterminant symétrique [puisque ai^ =z a^i) :

(«/,) a^,^ ttj,^ «,,3 ... r/,,p;

c'est-à-dire que V intégrale u^ varie de ah-, au cas de franchissement de h,,. Et les valeurs les plus générales que puissent prendre les intégrales normales par variation du contour d'intégration sont

u\ — u^ + 2/77/;?! -4- «n <jfi -I- a^^fji + • • • -^ axpHin 7i'.^ ~ u^ 4- -iiTzni, -J- <72,7, -4- «2.3^/2 H- ■ • • -*- n-ipHpi

«/,= Up-r- lircnij,-^ ^fpi^i-r ai,^q^-h . . . -f- ap,,q,,. les lettres m, q désignant des nombres entiers positifs ou négatifs.

Les integrales de seconde et de troisième espèce peuvent être amenées d'une façon analogue à une forme normale. Une intégrale de troisième espèce S^y; n'a été déterminée d'après la définition donnée plus haut, page l'-jO, que sauf une intégrale de première espèce entrant additivemcnt. En ajoutant une intégrale appropriée, on peut d'abord ramener Sçrj à une autre intégrale dont les modules de périodicité pour les sections a^ sont tous nuls. Nous ap-

LA GEOMETRIE SIR UNE COCRBE ALCKBRIOIE. 187

pellerons cette intégrale une intégrale normale de troisième espèce; elle sera toujours, dans ce qui suit, désignée par n?r,. On obtient ses variations de valeur pour les coupures b^ en déterminant les valeurs des intégrales /nç^<f«v prises dans le sens positif tout le long des contours limites de la surface décomposée. Ges valeurs seront nécessairement égales aux intégrales correspondantes prises relativement à des courbes fermées quelconques tracées sur la surface simplement connexe et comprenant les infinis |, r,. L'intégrale, traitée de cette manière ('), donne pour le module de périodicité de Ylir^ re-

latif à la coupure b^ la valeur / du.^.

La seconde moitié des modules de périodicité de l'intégrale de troisième espèce s'exprime donc par les intégrales de première espèce prises entre les infinis. Enfin UÇrj, dans un circuit autour de t ou >3, varie respectivement de aiTî ou — aiTT, car l'intégrale devient en ces points logaritlimiquement infinie (page 169), et nous pouvons toujours supposer que les valeurs absolues des constantes figurant dans W\r^ aient été déterminées de telle façon que la période logarithmique soit précisément égale à 2ï7r. La naleur la plus générale que puisse prendre Vintégrale fl^r, par variation du contour d'intégration est donc

U'ir,= Uf^r, + OLÎTZM 4- 7i / dui 4- 72 / '^"^1 -+-••• -'- f/p I duj„

m, <7,, (f2, ' . . , qp étant des nombres entiers positijs ou négatijs. Moyennant ces fixations relatives aux périodes, la différentielle dTl\r, est déterminée complètement et sans ambiguïté [ce qui n'a pas lieu pour dS^y.^).

Nous mentionnerons encore ici un théorème important auquel donne lieu l'intégrale jTIcr.^IIaß traitée par une méthode analogue à celle que nous venons de rapporter pour l'intégrale flifr,du^. Ce théorème est ainsi conçu :

L'intégrale noimale de troisième espèce II ne varie pas

(') Voir Clebsch et Gordan, o/i. cit., p. iiG et suiv.

si l'on permute les limites auec les infinis, c est-à-dire que l'on a

Enfin de l'intégrale U^f^ on peut déduire aussi l'intégrale normale de deuxième espèce, en vertu du théorème d'après lequel on a

tyii dÇj (^53

a"~' «a étant égal à zéro. Nous avons à remplacer S^^ par Tlpy,, et nous obtiendrons l'intégrale normale de deuxième espèce

d;i c/^^ t^îs

On obtient alors immédiatement les propositions suivantes (-) :

Les modules de périodicité de Z^ pour les coupures a^ sont tous Jiuls.

Les modules de périodicité de Z^ pour les coupures b^ sont des fonctions algébi'iques du paramètre ^, et, pour préciser, le module de périodicité relatif à la section b^ sera égal à

en posant

f/J.T) . icrdx

du,^

a'tr'

Nous mentionnerons encore, en finissant, la manière dont les propriétés de l'intégrale de troisième espèce Hir) peuvent se déduire de celles de l'intégrale de première espèce par une méthode de passage aux limites au cas où les infinis Uiri se confondent en un point double de la courbe primitive f=o (^), et tous les

(') Voir Clebscii et Gordan, op. cit., p. 117.'

(*) Foir RocH, Uebcr die Zahl der CoiistaïUen, etc., Journal de Crelle, t. 64, et Clebsch et GoRDAN, op. cit., p. 120.

(') De semblables coiisidéralions de limites ont été données par M. Maximilien Marie, op. cit., lorsqu'il s'est appliqué à déterminer l'influence d'un point double sur les propriétés de l'intégrale ffdx au point de vue de la périodicité.

LA GÉOMKTRIE SUR UNE COURUE ALGÉBUIOLE. l8()

autres cas se réduisent à celui-là par transformation unidéterniinative de f= o (p. 17Ö). Les considérations nécessaires à cet objet présenteront pour nous de l'importance, parce que par leur intermédiaire on peut envisager le problème appelé problème de l'inversion généralisé comme un cas limite du problème de Jacobi de l'inversion des intégrales abéliennes, et plus tard nous pourrons nous référer à ce qui va suivre.

Si, par variation continue des coefficients def[x) ou F{x,j-). nous faisons en sorte qu'un point double prenne naissance, deux des points de contact des tangentes issues d'un point quelconque du plan tomberont en ce point double sans compter néanmoins comme points de contact proprement dits, [f^oir t. W, fig. 18, p. 55.) La chose a lieu en particulier pour le point à l'infini de l'axe Y; autrement dit, sur la surface de Riemann, qui répond à F = o, deux points de ramification se rapprochent sans cesse l'un de l'autre, la coupure de ramification qui les joint se raccourcissant de plus en plus. Lorsque les deux points sont arrivés à coïncider, deux feuilles de la surface s'y rencontrent; néanmoins on ne peut plus, par un circuit autour du point de coïncidence, parvenir d'une feuille à l'autre. On peut, au point en question, éloigner par flexion les feuilles l'une de l'autre sans changer par là le caractère de la surface; mais on ne peut pas prolonger sur l'autre feuille un chemin qui va jusqu'à ce même point sur l'une. Les deux feuilles ont, au lieu dont il s'agit, ce seul point commun; les points qui s'y trouvent réunis doivent, pour tout le reste, être traités comme deux points entièrement distincts, et seront, pour cette raison, désignés par deux lettres différentes ^ et >:. Nous dirons alors qu'au point double de la courbe correspondent les deux points ^, n de la surface.

On peut supposer que la forme normale de la surface et notre s^ystème canonique de sections transverses aient été choisis de telle sorte que les deux points de ramification qui doivent venir à coïncidence forment un couple autour duquel est tracée une coupure Z>v, bp par exemple. Alors, après la déformation, bp est sur l'une des deux feuilles une courbe fermée environnant le point ^. Actuellement la coupure correspondante «v se compose d'une courbe qui part de ^, passe sur l'autre feuille en franchissant la coupure de ramification U, caractérisée par le tracé du système de sections

igO TOME m. — CHAPITRE I.

Iransverses (p. 180), et revient ensuite au point yj sur cette dernière feuille; le chemin dont il s'agit joint alors seulement les points l et n l'un à l'autre, sans former d'ailleurs une courbe fermée.

Considérons actuellement nos p intégrales u.^. Si un nouveau point double prend naissance sury= o, une intégrale quelconque de première espèce I se changera par là en une intégrale de troisième espèce, car la fonction cj> qui figure au numérateur de la différentielle d\, égalée à zéro, ne représentera pas nécessairement une courbe passant par le nouveau point double. Mais on doit remarquer comme une circonstance très importante que les p — i intégrales normales de première espèce u,, Mo?« • • ? «/>-< ^^ f'=- o deviennent les p — i intégrales normales de première espèce u\, u'2, . . . , u' de la courbe défoj-mée f = o, si nous supposons que les deux points de ramification entourés par la coupure bp se sont réunis au point double def. En effet, les intégrales a, ,. . . , Up i ne varient pas lors d'un circuit autour de la section transverse, puisqu'elles ont toutes pour la coupure ap la période zéro. Par conséquent les intégrales u\, u'^,. . ., m' , restent également invariables lors d'un circuit autour de è^, c'est-à-dire du point double situé à l'intérieur de bp ; elles ne deviennent donc pas logaritlimiquement infinies en ce dernier; ce ne sont pas des intégrales de troisième espèce : ce sont, au contraire, des intégrales normales de première espèce, puisque leurs autres propriétés satisfont aux conditions qui se rapportent à ces dernières. Au contraire, l'intégrale Up a pour la coupure ap la période airr; l'intégrale qui en dérive lors de la déformation acquiert donc par un circuit autour de la coupure bp, c'est-à-dire autour du point ^ ou yj, un accroissement égal à 217:; elle devient donc logarithmiquement infinie en ^ ou n. C'est une intégrale de troisième espèce, et nous la désignerons en conséquence par EL^r].

Pour les intégrales m^, les grandeurs ai;>^, «2/)> •••, ^p-i,p ne sont plus actuellement à considérer comme des périodes, car nous les avons trouvées respectivement égales aux valeurs des intégrales m,, zfj,..., m^__, prises le long de la coupure ap, et cette dernière n'est plus une courbe fermée pour la surface déformée; elle ne représente donc plus un circuit complet. Mais, comme elle joint l'un à l'autre les points ^ et yj, nous

1,A GEOMETRIE SIR INE COL'RDE ALGEBRIQUE

On a d'ailleurs rt/A= «a/, et les grandeurs a^, , a^o» • • • > «/)(,/> sont les périodes de l'intégrale u^, qui se transforme en 11?/,. Les p — i périodes de l'intégrale Jiir, pour les coupures bi, b^, ■ . . , bp^i

sont donc en fait données par les intégrales j du^, Conséquem-

ment lï^rj est aussi de prime abord une intégrale noi'male de troisième espèce. En effet, ses périodes pour les coupures a,, a2,- • ., «/>! sont toutes ensemble nulles comme celles de l'intégrale Up ; d'autre part, la période 21*71 de Up pour la coupure ap donne maintenant la période logarithmique de l'intégrale Tlfr,', de son côté, la période app devient infiniment grande, car on a

et l, Y] sont les infinis de nçr^. Mais une période infiniment grande ne doit plus compter comme période. Nous avons ainsi établi toutes les propriétés caractéristiques qui appartiennent à l'intégrale normale.

VIII. — Le théorème d'Âbel et le problème d'inversion de Jacobi.

Les difféi'entielles et les intégrales dont nous avons expliqué les principales propriétés présentent une grande importance lorsqu'il s'agit de formuler certains problèmes géométriques ou algébriques, et cette importance se montre spécialement à l'égard des questions que nous avons précédemment traitées à l'aide du théorème du reste (t. II, p. i38 et suiv.). Nous revenons de nouveau à ce dernier.

On peut représenter la substance de cette proposition sous une forme symbolique qui conduit directement aux applications du théorème d'Abel. En effet, si deux groupes de points G^ et G„ sont découpés sur la courbe primitive f= o par une courbe adjointe,

iga TOME !ll. CIIAPITBR 1.

nous pouvons exprimer symboliquement celle circonstance par l'équation

(i) Go-4-G„=--^o.

Si, maintenant, G^ et G„ sont traversés par une courbe adjointe A = G, Gq et Gv par une autre, Bi= o, G„ et G,,, par une troisième, a = o, le théorème du reste exprime que G^. et G^. sont traversés aussi par une courbe adjointe. Dans la conception symbolique précitée, cela veut dire que, des trois équations

{ ?,) Gq -4- G„ -^^ o, G« -1- G„. -^ o, G«, -f- G„ :-. o

doit résulter la quatrième équation Gy. -f- G,i' = o, et, par là, se Irouve exprimée celte proposition, que no ils pouvons combiner, (l'une manière quelconque, suivant les lois de l'addition et de la soustraction, les différentes équations symboliques de laforme[i). Les résultats obtenus par celte voie coïncident, d'après ce qui y est contenu, avec le théorème du reste. Noire distribution des points d'intersection de A ::=: o avec la courbe primitive f~- o en deux groupes Gq et G„ était d'ailleurs très arbitraire; nous aurions pu aussi bien former d'autres groupes au lieude ceux-là (etmême plus de deux simultanément) avec les G + R points d'intersection. Pour exprimer cette égalité de rôle de toutes les intersections de A ;= o (non situées aux points multiples de/), nous introduisons ces points isolément. Désignons-les suivant un certain ordre par j?^'\ xS-K . . x'''^\ pétant égal àQ-hR, et nous pourrons, à la place de (i), poser l'équation symbolique suivante :

( 3 ) G^(i) + G;r(-:) -f- Ga;(3) -i- . . . -4- G^(?) = o,

les groupes particuliers G se composant chacun d'un point.

Il y a lieu de se poser la question de savoir si l'on peut remplacer ces relations symboliques par des relations effectives, autrement dit s'il existe des fonctions F (.x) àe X\, x^, x^ telles que pour les intersections xS''' d'une courbe adjointe avec f non situées aux points singuliers de y existe l'équation effective

(4) F [xi')) H- F [xr-)) + . . . + F (a:(f)) ^ o,

dans le second membre de laquelle pourrait aussi figurer, au lieu de o, une constante quelconque.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COIRBE ALGÉBRIQUE. igS

Or nous reconnaîtrons pour être des fonctions de cette nature les intégrales algébriques traitées par nous, et, s'il s'agit de systèmes d'intersections de courbes adjointes, les intégrales (constamment finies) de la première espèce. On reconnaît en effet que la fonction F (x) ne peut devenir infinie en aucun point de f. Car si tel était le cas, en x^^\ par exemple, réquation-'(4) ne pourrait plus subsister que si F devenait en même temps infini négatif en un autre des p points d'intersection; mais, si l'on trace par x^' toutes les autres courbes possibles, \e?, p — i points d'intersection restants deviendraient différents et encore différents ( '), toute la courbey étant ainsi parcourue par eux; c'est-à-dire que F devrait devenir infini en tous les points de y, ce qui rendrait encore illusoire l'équation (4)- F est donc, en toute hypothèse, une fonction constamment finie de x, et l'on est conduit par suite à choisir pour la fonction F(x) une intégrale de première espèce. Nous partirons maintenant d'une telle intégrale, et nous montrerons réciproquement qu'à son égard existe en fait un théorème de la forme (4)- C'est là le théorème d'Abel pour les intégrales de première espèce.

Le théorème dont il s'agit est d'une nature purement algébrique si l'on part, non des intégrales, mais des différentielles de première espèce, et nous allons incessamment en donner deux démonstrations où l'on ne fait usage que de calculs algébriques. Dès que l'on passe aux intégrales, on doit faire des hypothèses déterminées relativement au parcours du contour d'intégration sur la surface de Riemann qui correspond k f= o, et abandonner ainsi le terrain purement algébrique, ainsi que nous le verrons d'une manière plus approfondie.

Avant d'établir les deux démonstrations en question, nous ferons connaître en peu de mots comment, après Riemann, en faisant usage de théorèmes connus de la théorie des fonctions, on peut arriver au but d'une manière très simple (2). Soit ß = o une courbe adjointe du même ordre que A = o, et ne passant pas par

(') Cette conclusion devient inexacte pour les points doubles de /; en effet, dans les courbes non adjointes se présentent des intégrales de troisième espèce. (Comparer p. 2o3.)

{') Voir RiEM.vss, loc. cit., § 14.

Clebsch. — Géométrie, III. l3

1^4 TOME ni. — CHAPITRE I.

les points jc^'^ ...,a:^p\ Posons

^ sera alors une fonction rationnelle deXf, X2, X3 qui [/{^) étant égale à o] est ramifiée commey"et devient simplement infinie aux p points x^^^ ; et à chaque valeur de ^ répondent ( en vertu de /=. o ) p points X, savoir les intersections mobiles de /= o avec la courbe A^ — B = o. On peut donc inversement représenter les points x de f sous le bénéfice dey= oet A(^ — B = o comme des fonctions à p valeurs du paramètre ^ (*)• Alors la dérivée d'une intégrale de première espèce (p. 167) par rapport à ^, dérivée que nous désignerons par DJ,

de, a'^ ^ a^

est une fonction à p valeurs de (;|, et nous désignerons ses p valeurs particulières par DJ^'^, . . ., DJ^f\ Ces dernières sont donc les racines d'une équation du p'^""' degré qui s'obtient en éliminant les xi et les dxi entre les équations

AÇ — B = o, A.^i: + ?! ^ dxi — 2 4^ f/.r, = o, OXi OXi

/(x) = o, rt2~*«c DJ = 92 ±ria:2--;^5 2-r— rf.r/=:o,

dont la seconde exprime précisément que les points x -\- dx doivent être les points de rencontre de A(^ + f/^) — B=:o avec

Les fonctions symétriques des dérivées DJ^'^, . . . DJ^f^ d'autre part (c'est-à-dire les coefficients de l'équation en question) sont des fonctions à détermination absolument unique de ^; le fait a aussi lieu en particulier pour la somme

A = DJ(i) -+- DJ(2) + . . . -1- DJ(f).

Or l'intégrale /A (/^ comme intégrale de première espèce reste

(') Une substitution de cette espèce est celle employée, p. i5o, d'après Brioschi, pour l'intégrale elliptique.

LA GÉOMÉTRIE SUR VSE COURBE ALGÉBRIQUE. I95

partout finie; elle est donc une fonction de ^ qui reste holomorphe (suivant la désignation de MM. Briot et Bouquet) dans tous les points du plan servant à la représentation de ^, et qui, par suite, d'après un théorème connu (•), est une constante; sa différentielle est donc nulle, c'est-à-dire que nous avons la relation

A^i: = r/j(«) +rfJ(2î-f-...-f-^/J(p) = o(2),

dans laquelle

ry(cxr^.r)"|

Or, il existe p différentielles de première espèce, linéairement indépendantes les unes des autres, et les considérations précédentes sont applicables à chacune d'elles. Nous obtenons donc, en particulier pour la différentielle des intégrales normales u>i, ce théorème :

Si l'on désigne par .r''^ les intersections de f avec une courbe adjointe K, et par x^'^ -h dx^^^ les intersections de f avec une courbe voisine de A, p de ces dernières étant supposées ne pas coïncider avec les points x^'^, on a les équations

(5) du)l^-\-du\^^ + ...du); = o.

Nous verrons ultérieurement que, réciproquement, au moyen de ces p équations, p des points x^'^ sont, en général, déterminés par les autres, mais qu'au contraire ils ne déterminent pas autant de points si l'ordre de A = o est inférieur an — 2. Actuellement, on obtient par intégration le théorème d'Abel pour les intégrales

(' ) Voir, par exemple, Neumasn, Theorie der Abel'schen Integrale, p. 24 el suiv., ou Di'RÈGE, Theorie der Functionen eines complexen Arguments, ou encore Briot et Bou- QiET, op. cit., p. 20J.

(') Le fait que cette somme doit être nulle peut aussi se déduire directement, par Toie algébrique, de la nature du problème d'élimination susénoncé. ( Voir, sur ce sujet, Harsack, Math. Annalen, t. IX, p. 871 et suiv.) On trouve aussi dans ce travail, établie, d'une manière efiective, l'équation du quatrième degré relative aux points d'intersection d'une droite avec une courbe C, ; l'équation correspondante pour une courbe C, a été indiquée par le même auteur {ibid., p. 235).

de première espèce, théorème qui se présente à la place de l'équation symbolique (3) pourjO = Q-hR, et est, par suite, en connexion avec le théorème du reste. En vertu de l'inversion du théorème que nous venons d'indiquer, laquelle forme l'objet principal de la théorie des fonctions abéliennes, on peut aussi déduire du théorème d' Ahel le théorème du reste, ainsi qu'il est visible d'après les explications données en commençant, et le contenu de ce théorème se trouverait ainsi établi a priori. Mais il était d'une importance capitale que l'on apprît à envisager cette proposition purement algébrique, indépendamment des fonctions transcendantes du théorème d'Abel, ce dernier représentant d'ailleurs le théorème du reste sous une forme très avantageuse pour les applications. En outre, le théorème d'Abel permet d'établir de la manière la plus simple certaines formules de contact qui ne peuvent être immédiatement données par le principe de correspondance sous une forme facile à saisir.

Nous nous proposons maintenant de donner une manière directe d'établir les équations (5). On peut, au surplus, généraliser le problème de façon à considérer aussi les systèmes de points d'intersection de courbes non adjointes et les sommes de différentielles de troisième espèce; à l'égard des intégrales de cette nature nous établirons le théorème d'Abel de deux manières différentes.

Nous commençons par l'examen du système de points d'intersection avec une droite quelconque (' ). Choisissons cette dernière pour axe de coordonnées, et prenons un système de coordonnées rectangulaires tel que la susdite droite coïncide avec l'axe des x, et que, par suite, son équation soit donnée par j-^ = o. L'introduction des nouvelles coordonnées s'effectue au moyen d'une transformation linéaire. Or, nous avons vu précédemment que, dans une telle transformation, une différentielle algébrique subil, en fait de modification, l'adjonction de la première puissance du déterminant de la substitution comme facteur, et c'est là une conséquence de ce que dans le numérateur figure le déterminant [cxdx). Mais dans la forme normale d'une différentielle de troisième espèce figure au dénominateur le déterminant {l'^x), en sorte que le dé-

(') L'auteur doit la démonstration suivante du théorème à une communication de Brill.

LA GÉOMÉTRIE SUR U.NE COURBE ALGÉBRIQUE. 1 97

terminant de substitution précité disparaît (comparez p. i44)- Si donc nous désignons actuellement par x,r les coordonnées rectangulaires, par |, Yi et ^', r! respectivement les coordonnées des infinis, notre différentielle normale de troisième espèce se transforme en une différentielle de la forme

n„2 (.r. j) .dy

(„.r.^,,y^,)'iy^

dans laquelle a = r! — r,, h = ^ — ^, c =i\r} — r,i^.

Nous considérerons une somme de différentielles de cette nature, formée par rapport aux n points d'intersection de /= o, les dj devant être choisis de manière à déterminer les points de rencontre d'une droite voisine de l'axe des x Awec f. Nous admettons que cette droite voisine est menée parallèlement à l'axe des x k\a distance infiniment petite e, en sorte que j — £ = o est son équation.

En désignant donc par Xi, ji les coordonnées des n intersections, par dxi^ dji les différentielles correspondantes, on aura les équations

j/=o, dri=t.

Notre somme de différentielles est conséquemment la suivante :

£i„.-^[.ri, o].£

[axt-^c )./;,.

l'expression^, indiquant que, dans les dérivées partielles de^par rapport à x^ on doit également poser y^ = o et x = xi. Le facteur £ est commun à tous les termes de la somme, et peut, par suite, être placé devant celle-ci. La somme qui reste alors n'est autre

évidemment que le développement de l'expression — \r-^ — - en ^ ^^ ^ fi./[x,o)

fractions partielles simples, si, dans ce développement, on pose x = • Nous avons donc d'abord l'équation

/^--,oj

f{x, o) étant égal à {x — Xt){x — Xa),. . ., (x — x«).