fl

où l'indice i dans l'expression entre crochets indique que l'on y doit poser x = Xi, j = o.

Dans les deux termes de droite de l'équation (7), figure au dénominateur le premier membre de l'équation J = o exprimé respectivement par les coordonnées des deux points de discontinuité, et au numérateur le premier membre de l'équation de la ligne voisine j)^ — t = o exprimée par les mêmes coordonnées. Remplaçant donc l'axe des xpar une droite quelconque Ux= o, désignant encore les deux infinis de la différentielle de troisième espèce par ç et 73, et passant des intersections x^'^ de la ligne u aux intersections d'une ligne u-\- du dont l'équation est donnée par E(w/-i- dui)xi=i o, on aura, dans le second membre de (7),

yj = MÇ, r/ =z iir^, vj — î=: l^i[f/ui-^ «/), vj' — s = lT,i[dui-+- Ui).

Par conséquent, pour les n points de rencontre x^^^ et x^'-^ + ^/x^'^ de deux droites h^=o et 'Z[ui-\- dui)xi= o avec /"= o existe

L\ GÉOMÉTRIE SCR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. igj)

l'équation différentielle

/ = i C'est là l'équation cherchée, de laquelle résulte j^ar intégration le théorème d'Abel, établi d'abord, il est vrai, exclusivement pour les intersections d'une droite avec f. Mais si nous effectuons sur la courbe primitive une transformation unidéterminative Xi=^i{j), les fonctions c^),- étant du m'*""® ordre, à la place de m^= o intervient la courbe du m'^™® ordre EH,(pj= o; en outre, une différentielle normale de troisième espèce se transforme encore en une différentielle de même nature (p. 170). Récrivant donc après la transformation x au lieu de j- et désignant l'équation de la nouvelle courbe primitive par a;^= o, nous obtenons l'équation différentielle (7) sous la forme

yr ^.-.(^.-^^) -1 ^An^m

en posant ç(-t-') = 2«/''^/(x). La somme qui figure dans le premier membre renferme Ji termes, tandis que (f et / se coupent en mv points, V désignant l'ordre de la nouvelle courbe F ^ o:^^^^ ^' ^^ raison en est qu'une courbe du réseau 2u,(})e= o rencontre la nouvelle courbe f=: o seulement en n points mobiles. Si donc nous passons d'une courbe cp du réseau à une courbe voisine, Ji seulement des mv points d'intersection varient, n pouvant d'ailleurs être aussi alors égal k mv (par un choix convenable de la transformation de F en une courbe /"). En effet, pour les points de / communs auxdevix courbes (^=:oetd(i^ = o, les quantités dxi s'évanouissent à la fois, en sorte que les différentielles correspondantes doivent d'elles-mêmes disparaître dans la somme. L'équation (8) représente donc l'équation dißerentielle du théorème d'Abel pour les intégrales de troisième espèce sous sa forme la plus générale; on doit y choisir les dxk de telle manière que les points x'^' H- dx^^^ forment le système des points d'intersection avec y d'une courbe voisine de (j> = o.

Nous pouvons imaginer que l'intégration de l'équation (8) soit réalisée de telle sorte que le système des points o;^'^ sury= o passe

d'une situation dans laquelle il satisfait à la condition (s^ = o k une autre situation dans laquelle il est traversé par une courbe (|/ = o du même ordre que ç = o. On peut mettre ce fait en relief en considérant un faisceau de courbes 9 -i-lf^ = o ( ' ) et en intercalant entre les systèmes de points d'intersection qucy=o a en commun avec <p = o(X = o) ett|'=i-o(X = oo) ceux que détermine f=o avec cp 4- X^j; ^ G (pour les valeurs de X comprises entre o et 00 ). Ces systèmes intercalaires réunissent les systèmes limites tels que, tandis que X se meut de o à oo , les systèmes de points se meuvent des limites inférieures de l'intégrale aux limites supérieures. Dans l'intégration elle-même, on a donc affaire à la seule variable X. Par intégration de l'équation (8) on obtient ainsi le théorème d'Abel sous l'énoncé suivant, dans lequel S$t) est défini comme à la page i68 (-) :

La somme des nui intégrales norm.ales de troisièm.e espèce similaires [c est-à-dire formées de la même manière) ayant pour infinis ^, r,, dont les limites inférieures x''^ sont les mn systèmes de valeurs qui correspondent aux mn intersections de f= o avec une courbe du m'^"'^ ordre <p =: o, et les limites supérieures y^^^ donnent les mn intersections avec une courbe du nV-^^^ ordre (]; =z= o, est égale au logarithme d'une fonction algébrique, et, pour préciser, a lieu l' équation

On peut ici, au lieu de S^^, écrire aussi Tl%r^j H^y, en différant

(*) La variable 1 joue alors le même rôle que précédemment la variable Ç dans le faisceau AÇ — B = o, pour la démonstration de Riemann. {^Voir p. 8io.)

(') Voir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 47- On obtient une démonstration simple du théorème (sans emploi de l'équation différentielle) au moyen des principes de

Riemann, si l'on conduit l'intégrale / log ^ t^II;,, autour de la surface de Riemann

sectionnée, et autour des points |, >;, arW, ^('^; voir Clebscu et Goroan, p. laS, et, pour les intégrales de première espèce, Weber, Math. Annalen, t. VIII, p. 49- Le théorème a été découvert par Abel, pour les intégrales hyperelliptiques, Journal de Grelle, t, 3, p. 3i3; pour le cas général (1826), Mémoire sur une propriété générale d'une classe très étendue de fonctions transcendantes {^Mémoires des Savants eYr««- ^ew, t. VII, 1841).

L\ GÉOMÉTRIE SUR l'NE COCRBE ALCËBRrQUE. 201

au plus de S^^, par l'adjonction d'une intégrale de première espèce (p. 187)-, car nous verrons incessamment que la somme correspondante d'intégrales de première espèce est nulle. Il est nécessaire d'ajouter une remarque sur les chemins d'intégration choisis pour les intégrales. Si on les laisse arbitraires, il peut encore s'adjoindre dans le second membre des modules de périodicité des 11^^, absolument quelconques (p. 187). Mais si l'on range les points x^'^, j'^^'i par couples de telle sorte que le point x^'^ se transforme en j'^'^ (*) lorsque, dans le faisceau cp-f-X^|; = o, on passe de 9 = 0 à ^' = 0 (ainsi qu'il a été fixé plus haut), on obtient, dans le premier et dans le second membre de (9), la valeur zéro, quand on rapproche infiniment les courbes <p, (p, et par suite dans le choix correspondant du contour d'intégration ne se présentent plus de périodes de n^Tj. Or, dans le passage de 9 à (j* par le faisceau 9 -h X«];, aucun des points x''^ ne doit atteindre le point \ ou w, car, pour la situation correspondante de co -f- l<i^, 17^^ serait infiniment grand, et par conséquent l'équation (9) deviendrait illusoire, ou, au moins, nécessiterait un examen plus approfondi. On peut enfin rapprocher les points y'^^^ j^^^ et x^'\ Jt^^^ indéfiniment les uns des autres; par là deux intégrales de la somme deviennent égales en supposant que l'on puisse ramener leurs contours d'intégration l'un à l'autre sans franchir un infini de 17^^ ou un des points de ramification cai'actéristiques pour les périodes de n^y,; on admettra que cette supposition soit réalisée. Nous résumerons ces règles dans le théorème suivant :

Da/is l'équation (9), les limites supéiieures et inférieures des cliemins d'intégration employés dans le premier membre sont coordonnées de telle sorte que ces chemins deviennent infiniment petits lorsque l'on rapproche infiniment les courbes 9 = 0, 4^ = o, et les dijjéients chemins doivent être situés de telle manière que deux d'entre eux soient directement réductibles l'un à l'autre lorsque leurs limites deviennent égales, et aucun d'eux

(') Cet arrangement n'est, au surplus, pas complètement déterminé.

a03 TOME m. — CHAPITRE I.

( OU bien tous) ne peut couper le chemin sur lequel on arrive de

Pour les recherches géométriques, les intégrales de première espèce et celles des intégrales de troisième espèce qui deviennent infinies en un point double de^presentent une importance particulière. On obtient ces intégrales comme cas particuliers de S^^ ou T\.<^^^ si n,j 2 renferme le facteur (^yjx), et il s'agit alors de savoir si la fonction du [n — 3)'*™« ordre restante ne passe plus par un point double de y (p- 173), ou bien si elle est de nouveau adjointe kf.

Dans le premier cas, nous avons ^,= 73/; 9 (H) devient par suite égal à 9(>3), et(|'(^) à ^{r,), en sorte que le second membre de (9) arrive à la valeur zéro. Dans les deux cas, figure dans l'équation (6), à chaque terme de la somme qui se trouve au numérateur du premier membre, une fonction d'ordre n — 3 de x, tandis que la fonction linéaire disparaît au dénominateur; mais une telle somme est, d'après une proposition connue de la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples, égale à zéro, en sorte que dans le second membre de (9) au second cas aussi se présente une valeur nulle ou une constante. Mais on peut supposer cette constante égale à zéro si l'on a fixé les chemins d'intégration de la manière convenue. On a donc ce théorème :

La somme des intégrales similaires de première espèce (-) ou de celles des intégrales de troisième espèce qui ne deviennent infinies qu'en un point double de J, prises entre des limites qui sont déterminées par le système de points d'intersection de la courbe

(') Ces hypothèses faites, on peut aussi, d'après le théorème sur la permutation du paramètre et de l'argument, p. i88, écrite aussi l'équation (9) sous la forme

(CrEBSCH et GoRDAN, op. cit., p. 127).

(') Cette proposition résulte au surplus directement de (9), car cette dernière équation a toujours lieu, de quelque manière que l'on puisse former Sj,;, pour les mêmes points f, vj; or la difïérence de deux semblables valeurs de Sjn est (p. 170, une intégrale de première espèce.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COLRBE ALGÉBRIQCE. 2o3

y = o avec une courbe du m'^'"* ordre o = o ef par le système de points d'intersection de f=o avec une courbe du w'^"*^ ordre i|; = o, est toujours nulle ( ' ).

lia été préalablement supposé ici que les coyrbes <p = o, tp = o ne passent pas toutes deux par le point double. En effet, la proposition devient alors inexacte pour les intégrales de troisième espèce qui deviennent infinies au point double, puisque l'on n'a plus zéro dans le second membre. Car soit pour un instant

on a, dans ce cas, j)^,- étant les coordonnées du point double.

a étant un point quelconque sur l'une des tangentes de j-, tel conséquemment qu'un point voisin de | sur la surface de Riemann (comparez p. 189), et ß un point de l'autre tangente de y (voisin de//). Mais ces deux quotients ne sont plus égaux l'un à l'autre; on n'obtient donc plus zéro pour différence de leurs logarithmes. u4u contraire, à l'égard des intégrales de première espèce, ce théorème subsiste même quand les courbes <p, ^ passent par les points doubles de f; donc, en particulier, p différentes équations de la forme (9) ont lieu pour les courbes adjointes si l'on pose zéro dans le second membre. C'est ce qu'on vérifie directement sur (6), car, dans le premier membre de cette équation, on obtient alors une somme de la forme

y„-3(.r,-, o) somme qui est nulle, d'après un théorème connu d'Algèbre. En

(') Un autre cas, où, dans le second membre, apparaît la valeur zéro, se présente lorsque la courbe du faisceau p -\- irp = 0, qui passe par |, renferme encore par là même rj. Si, en effet, p est le paramètre de cette dernière, on a simultanément

?{ï)-^p-p(ï) = o et 5s(>,)+yj.^(>5) = o, d'où

effet on aurait au second membre de (6), û renfermant le facteur

ax -t- bj -\- c,

et cette dernière expression s'annule pour x= Donc, tant

que le théorème se réfère à des intégrales de première espèce, il nous ramène à notre point de départ; car son contenu résulte aussi de l'équation différentielle (5) par intégration. Dans ses équations, ne figurent que les intersections non situées aux points singuliers de y, comme cela doit être; car les autres sont communes aux courbes o cl ^ qui déterminent les limites. Le nombre p des conditions transcendantes ainsi trouvées concorde exactement avec le nombre des conditions algébriques qui, suivant ce qui précède, doivent exister entre les points d'intersection d'une courbe du m'^'"® ordre avec f dans le cas de ni~^n — 3. Nous verrons plus tard quelle modification se produit au cas de m'^n — 3 .

On peut maintenant se poser la question (déjà indiquée plus haut) de savoir si réciproquement, lorsque les/? équations (5) ou leurs équations intégrales existent, on peut toujours obtenir des courbes coupant respectivement la courbe primitive aux points qui se présentent aux limites de l'intégrale, et si, par suite, le système de points en question est caractérisé complètement par les équations (5) comme système complet des intersections de/ avec une courbe adjointe. Nous répondrons plus tard affirmativement à cette question.

Actuellement nous nous proposons d'établir le théorème d'Abel d'une autre manière (sans faire usage de transformations unidéterminatives), et cela d'autant plus volontiers que nous mettrons ainsi en relief sa connexion avec d'autres théorèmes purement algébriques qui émanent principalement de Jacobi.

Soient dans le plan p points quelconques x^'^ j:^'-^ . . . , x^t^^ ; leur ensemble pourra être représenté par une équation de classe \j. en coordonnées lignes telle que u\ = o. Joignons séparément ces points à deux points ^ et yj choisis de même d'une manière complètement arbitraire. Les équations des deux systèmes ainsi obte-

LA GÉOMÉTRIE SIR UNE COl'RBE ALGÉBdlOtE. 3o5

nus de fx rayons chacun seront respectivement (j^jc^)!^= o, (^■^xr}Y= o, et l'on peut poser

Ces deux systèmes de rayons se coupent en a- points dont p sont précisément les points o:^'^ ; ils ont donc, en dehors de ceux-là, [i[li — i) points communs. Par ces intersections restantes on peut, dans tous les cas, faire passer une courbe d'ordre 2// — 2

car une courbe de cette espèce ne sera déterminée que par (ju — i)(2p-|-i) conditions; il reste donc ^u^ — i paramètres arbitraires dont nous disposerons plus tard d'une manière convenable. Après ces fixations, nous allons montrer que l'égalité suivante est une identité (' ) :

= A.(x.rÇ)(^-f-B.(x^>:)(^.

Dans la seconde partie du premier membre figure ici une somme de ^ termes dont chacun se compose encore du produit de 0^W(^v;xf*^) par /ut — i autres facteurs, car l'indice k ajouté au signe de produit H indique que, dans le produit figurant au A'*"'' terme de la somme, le facteur correspondant à l'indice i = k doit être négligé; ensuite l'indice k, ajouté au terme entre crochets, signifie qu'il y faut faire y = a:^*^ et l'indice i ajouté à l'autre expression entre crochets signifie qu'il y faut faire z = x^'^ ; enfin

(') Si l'on imartine que les deux paramètres qui déterminent les rayons des faisceaux issus de I et >7 aient été introduits comme variables, on peut aussi produire cette équation par l'emploi, deux fois répété, de la décomposition ordinaire en fractions simples; comparez p. i53 et suiv. C'est par de telles opérations que Cleuscu et GoRDA» arrivent aux théorèmes de Jacobi et d'ABEL {op. cit., p. \\ et suiv.).

ao6 TOME m. — chapitre i.

e symbole y^ sera équivalent à / de telle sorte que u\ = ii\^. Pour prouver l'exactitude de l'équation (i i), nous avons à montrer que l'expression figurant au premier membre représente une courbe passant par la totalité des ft^ points d'intersection de (;^j;^)(*=o et (j^xyi)(^= G. Faisons d'abord, dans ce but, x égal à x^^^\ c'està-dire se confondant avec le point de rencontre de la ligne joignant x^'"^ à I et de la ligne joignant x^^^ à r, ; le premier terme à gauche est nul, parce que 0 doit passer par ce point, et chaque terme de la somme dans la seconde partie est nul à cause des équations

car un de ces facteurs se rencontre en chaque terme de la somme. Si l'on pose ensuite dans (ii) x=^x''^\ il vient également zéro dans le premier membre, les deux termes se détruisant l'un l'autre. Dans la somme de \i. termes, le terme qui répond à l'indice h = ;• est, en effet^ le seul qui ne disparaisse pas. Mais, pour 7> = /•, existent les équations

W (.r('-)Lr(')).(,çx('-)) =^.{^^,r('-)H)^-i{;.-,$),

qui se déduisent aisément des équations (lo) par formation polaire, et, en vertu de ces équations, le seul terme qui reste de la somme, c'est-à-dire le /■'^'°"', est précisément égal et de signe contraire au premier terme du premier membre, comme nous l'avons énoncé. L'expression du premier membre s'évanouit donc en fait pour tous les \>.- points d'intersection des deux systèmes de fx rayons chacun, ce qu'il fallait démontrer.

Nous formerons maintenant, dans les deux membres de l'équation (il), la (p. — lyèmo polaire de |, et nous poserons ensuite X = y;, ou, en d'autres termes, nous ferons, dans les deux membres, x=^\-\-^ri^ et nous chercherons les coefficients de Xh--*. Nous obtenons alors, dans le second membre, un résultat identi-

LA GÉOMÉTRIE SIR UNE COl'RBE ALCÉBRIQUE. 2O7

quement nul. On a donc

les indices i, k ajoutés aux expressions entre crochets exprimant que, dans ces dernières, il faut prendre x = x^'^ ou x = x^*^ respectivement. Chaque terme de la somme qui figure au second membre renferme le produit complet, c'est-à-dire s'étendant à la totalité des y. valeurs de l'indice i,

Nous placerons ce facteur devant le signe sommatoire, et dans les deux membres nous diviserons par ce même facteur, ainsi que par le produit complet qui se présente dans le premier membre. Nous obtenons alors le théorème suivant :

Entre [X points quelconques x^'^ du plan, représentés par m^= o, et deux points |, yj également quelconques existe V équation identique

où 0 = o passe par la totalité des [x[[jl — i) intersectiojis restantes des lignes qui joignent ^ et 'n aux points x^'K

De celte identité résulte, par une transformation facile, la proposition appelée théorème de Jacobi, et de laquelle on peut encore déduire le théorème d'Abel. Nous admettrons en particulier que les IX points en question soient les intersections de deux courbes

f^a'^ = o et fiE^a^'=:ro

(intersections que nous supposerons toutes séparées), en sorte que a= mn. Alors les deux systèmes, issus de ^ et yj et composés chacun de ^i. rayons, passent par tous les points de rencontre de f et de cp, c'est-à-dire que nous pouvons poser

Si l'on fait, dans ces équations, x ■■= x^'*^, les premiers membres seuls deviennent égaux à zéro, mais il n'en est pas de même de f et de cp. Donc, pour les intersections restantes, le déterminant

sera nul. Mais si l'on pose dans ( 1 5 ) .r = x^'^ , y et 9 s'évanouissent également. Si donc on forme la première polaire de ^ et y; relativement à (j^x^)!^=o et {^■^x-n)^=o pour x = x''^\ il vient, en négligeant comme nuls les termes multipliés par y, 9,

Dans la deuxième et la troisième équation, les deux premiers membres ont, à cause des facteurs (x^?)> (x^^)' ^^ valeur zéro. D'après le théorème sur la multiplication des déterminants, on a donc (// étant égal à mn)

[yxlY-'[y^\) o ^- I ^ ^ I

si l'on imagine que l'on a écrit toujours x^'^ au lieu de x, et qu'on ait posé M/= (^'l)<* -^^ moyen de cette relation, nous pouvons dans (i4) exprimer le dénominateur qui figure dans le second membre en fonction de A et du déterminant fonctionnel de/", 9 et Ux (c'est-à-dire de la droite ^75). La forme A disparaît alors, eu égard au numérateur, si nous posons en même temps

LA GEOMETRIE SIR UNE COIRUE ALGEBRIQL'E. 209

U étant une fonction quelconque de l'ordre m -h fi — o.. On peut toujours faire ainsi, car la courbe 0 z= o était assujettie uniquement à la condition de passer par les //(/z — i) intersections restantes, et cette condition est remplie par A = o. Au moyen de la substitution indiquée, l'équation (i4) prend la forme suivante :

(17) >.l /„.,..^^>.-i„/;.-iL = (-0'^"'-.'^( ..,

{JL étant éo^al à mn, Ui à (1-^;)/, et l'indice k ajouté à l'expression entre crochets signifiant que dans cette dernière il faut poser x= x''^K C'est là l'équation du théorème de Jacobi; ce théorème est ainsi conçu :

Soient /= o, 9 =: o deux courbes du n^ème ^^ ^^ jj^ième ordre, et II""' = o l'équation en coordonnées lignes de leurs mn points d'intersection [ayant une situation séparée) ; supposons ensuite que A soit deßni par l'équation (16), et que U soit wie fonction homogène et entière quelconque de l'ordre n -+- m — 1, et enßn qu'on ait 0=AU; relativement aux points d'intersection defz=:o et <f =r. o, et à deux autres points quelconques |, y;, existe toujours l'équation (17).

Nous devons encore attirer l'attention sur un cas particulièrement important de ce théorème. Si l'on pose

il vient, aussi, en vertu de u-^ = o et «r, = o, Ql~^ ©•J"' = o, et nous obtenons ainsi l'équation (')

Cette équation dépend uniquement des coordonnées des nm

(') Pour ce cas, le théorème ci-dessus a été donné par Jacobi : Theoremata nova

algebraica {Journal de Crelle, t. 14, p. 281). L'équation plus générale (17) se trouve

dans Clebscii et Gohdan, op. cit., p. 41« Pour Ja marche de la démonstration insérée

Clebscii. — Géométrie, III. l4

points d'intersection des courbes/", «ip et des coefficients de leurs équations (et non plus des points arbitraires ^, r\), et présente pour cette raison une importance particulière. Son premier membre est, en effet, complètement indépendant de la ligne u, car, pour un point d'intersection defel 9, on peut toujours poser (comparez p. i4o).

La fonction V""^"*"^ est encore complètement arbitraire; on peut donc composer linéairement toutes les équations possibles (18)

avec -[7i-{- m — 2) [71 -h m — i) d'entre elles , arbitrairement

choisies. Mais V(a:^'') peut aussi, en vertu de J'(^x'-^^) = o, çp(x''') = o, être remplacé par

A étant du (m — 3)iême qj^([yq et B du [n — 3)i«'ne ordre en x^'K sans que l'équation (18), à laquelle on se réfère, soit changée. On peut donc, en vertu dey=: o, cp = o, établir toutes les équations (18) au mo^en de

d'entre elles.

Au moyen de ces mn — i équations, on peut calculer linéaire-

an texte, l'auteur a fait usajje de quelques remarques orales de M. Gordan. L'équation (18) est une extension d'un théorème énoncé p. 2o3 et suiv. pour une variable binaire x, théorème qui dans la forme homogène exprime que, si x'-l\x^^^ sont les racines d'une équation

on a l'identité

2àl{al)a'i''\i °'

V désignant une forme binaire quelconque du (« — a)'«""" ordre. Pour ce qui concerne l'extension à un nombre quelconque de variables, n^oir Clebscu, Journal de Crelle, t. 63, p. 224 et suiv.

LA GÉOMÉTRIE SUR VyE COURBE ALGÉBRIQUE.

ment les rapports des mn grandeurs

^i — ^^ I I \ Tî^i lîT^ I '

mais, d'autre part, on peut, entre mn équation» prises dans la

totalité des -[n-\-ni — i)(^n-{-m — i) équations (i8), éliminer

ces grandeurs, et l'on obtient ainsi un certain nombre de relations entre les coordonnées des points de rencontre de^et cf^, relations où les coefficients de y et 9 ne figurent plus, et qui par conséquent dépendent uniqueinent des coordonnées en question. Le nombre de ces relations, eu égard à ce que les rapports seuls des mn grandeurs S^ y figurent, est égal à

Pour m=n, ce résultat concorde avec celui précédemment obtenu, suivant lequel, entre les 271^ coordonnées des Ji'^ points, doivent exister [n — i)(n — 2) relations (p. 121). Mais, pour m ]> n, ces relations ne peuvent pas être indépendantes les unes des autres, car autrement il pourrait arriver que l'on eût

— (m — Ol^ — ^) "^ — (" — ')(" — 2)^2 '"">

c'est-à-dire que le nombre des relations surpassât celui des inconnues, ce qui ne peut pas être. Nous avons déjà trouvé que le nombre des équations indépendantes les unes des autres entre les coordonnées des mn points était égal à mn — 3n-{-i. Toutefois, on doit être porté à demander de déduire directement ce résultat de la nature des relations auxquelles donnent lieu les équations (18) ou de ces dernières équations elles-mêmes; c'est ce qui a été effectivement réalisé par Jacobi (<); toutefois, nous n'insisterons pas davantage là-dessus.

Ce qui précède est, au premier examen, uniquement vrai pour le cas où les mn points x^'^ sont tous séparés. Lorsque les courbes/" et cp se touchent en un point x^'\ les grandeurs a"~' ai et aPJ^'^ cf-i

(') Voir son Mémoire, cité p. 121.

en ce point (autrement dit les coordonnées de la tangente commune) deviennent proportionnelles les unes aux autres, et par conséquent le dénominateur du terme qu'elles concernent s'évanouit dans le premier membre de (17), et cette équation cesse au premier abord d'être exacte. Cependant, si nous disposons les clioses de telle manière que la fonction U du numérateur s'évanouisse également pour le point de contact et que nous posions pour un instant

la somme des termes du premier membre de (17) qui renferment les points x^'^ et x'^^ -h dx'-'^ sera

1 étant un point de la tangente commune aux deux courbes en x^^^, de sorte que dx'^' = ax/^-h Ty/c De même, dans la somme (17), se présente un terme comptant /■ fois si les courbes y, o ont en un point un contact d'ordre /• — i, et que la courbe U ait en même temps un contact d'ordre ;• — 2 avec les deux courbes. Un fait analogue a lieu au cas où l'une des courbes/", cp passe par un point double de l'autre.

JYous nous proposons maintenant de déduire encore le théorème d' Ahel des équations (17).

Nous transformerons d'abord les expressions qui figurent au premier membre de (17). Dti système de points d'intersection j:^'^ de la courbe cp avec/", passons au système voisin x^'^ ■+- dx'^" qui détermine sur /"une courbe o -t- ^q) = o voisine de <p. Ici, do sera une expression du 77*'^'"'' ordre en x/, expression dont les coefficients sont des grandeurs infiniment petites et doivent être considérés comme des accroissements des coefficients ccihh ... de cp. Pour les points x^'^+ <^x^'^ ont lieu par liypolhèse les relations

(19) in[ <-' a,/^ )/ -f- rjy ( ,r(0 ) .— o, ( a'^-^ 1 a^x )i = o.

Actuellement nous mettrons pour la fonction quelconque U^'"^"~" le produit Û„2'^9j Q. = o étant une courbe adjointe à/" et passant par 71 — 2 des intersections de u avec/" (p. 168). Nous place-

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COCBDE ALCÉBRIQl'E. 21 3

rons ensuite les deux points Ë, »3 aux deux autres points d'intersection de w avec y, en sorte que

Si l'on écrit encore, eu égard à (19), mcx."^'^ o-dxß^ lieu de — ^y, qu'on multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque terme dans le premier membre de (17) par a""' rtc> c étant un point quelconque , et qu'on ajoute au numérateur le terme Q..a"~^ adx'Ot"x~^ °^c, nul en vertu de a"""' adx'=- o, il vient

Ici nous pouvons encore poser et par là nous obtenons, pour «,= (|r,)/,

et au second membre figure maintenant une différentielle de troisième espèce, comme dans le théorème d'Abel.

La transformation du second membre de (17) se rattache ù l'identité qui existe pour ß (p. 168), savoir

Nous avons à remplacer 0 par A.n.^<p, A étant défini par l'équation (16). Il vient alors, d'après l'identité précitée,

0^--«(-/3?a:)(!:C.r) = ( |-/;?)2./(.r) . A(x) .(?y(a:) + (Çvjjr) .N. A.^y.

Mais des équations (i5) résulte

et si l'on substitue dans la dernière équation et que l'on forme ensuite la |üt'*"* polaire de n pour x=.\ (en d'autres termes, si l'on pose a: = ^ -h Xy/, et qu'on cherche de part et d'autre le coefficient de Xi^), il vient

On a ensuite, d'après (i 5) et (20), et l'on trouve, en conséquence,

Par substitution de cette valeur dans le second membre de (17), on obtient enfin, en vertu de (21),

ce qui n'est autre chose que l'équation différentielle (8) dont, par intégration, le théorème d'Abel s'est déduit sous la figure connue. Nous auofis ainsi fourni la seconde demonstratio?! directe de ce théorème.

Si, parmi les points xS^\ quelques-uns (;• par exemple) se rapprochent indéfiniment les uns des autres, 7' différentielles deviennent égales dans la somme qui figure au premier membre; mais aucune autre particularité ne se présente, car le dénominateur de la différentielle ne devient pas nul, ainsi qu'il arrivait cependant dans le théorème de Jacobi. La raison en est qu'alors par /• — i des points voisins passe aussi la courbe cp-f-^<p=:o, et que par suite, pour U = û.^9, le numérateur s'évanouit toujours au même ordre que le dénominateur, c'està-dire que le déterminant fonctionnel àe f, 9 et m, ce qui s'accorde avec les remarques précédentes concernant l'équation (i^) (page 212).

On aperçoit facilement qu'au lieu de l'équation (i^) du théorème de Jacobi il suffit d'employer l'équation plus simple (18) si l'on veut établir le théorème d'Abel seulement pour les intégrales de première espèce, et conformément à cette observation la démonstration pourra se simplifier si, au préalable, on établit directement l'équation {18). Mais c'est une chose très importante que, réciproquement, de cette dernière équation on puisse aussi déduire le théorème d'Abel pour les intégrales de troisième

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 2l5

espèce; c'est à quoi l'on arrive en se basant sur les réflexions suivantes ( ' ).

Dans la démonstration du théorème de Jacobi, l'irréductibilité de la courbe y^E a" = o n'a été supposée nulle part; l'équation est donc encore "vraie lorsque la courbe f ou o se' décompose. Si nous posons en particulier

// étant ainsi égal è p -+- q, il vient

Si nous désignons, d'après cela, par y^''> les points d'intersection de Z»^ = o et a"' = o, par ^('' ceux de c^ = o et a^ = o, l'équation (18) se transforme en

Les quotients qui se présentent ici sont complètement indépendants des quantités iti; on peut donc aussi poser, dans la première somme, M/=c/cJr', et dans la seconde somme Ui=. bihP~\ en sorte qu'il en résulte l'équation

j = mp i = mil

et, à cause de la symétrie complète qui existe, les deux sommes sont aussi égales à

V^ r ym-t-p+'z-i ~i

(') f'oir Harnack, lieber eine BehandlungsweUe algebraischer Differentiale in homogenen Coordinaten {Math. Annalen, t. 9, p. 871 et suiv.). L'équation (18) y est obtenue par discussion de l'équation du w«'"""' degré qui détermine les valeurs du quotieiit

aux mn points j:(''. Comparer la note 2 de la p. igfi.

x^'^ désignant les points d'intersection de ^^ = o avec cj. = o. Or, si l'on choisit en particulier c^ égal à (^yj^r) = Ux, l'équation (24) se transforme en

l — llip i=r)ll

2j i[bc..u]b>;r^c<';-'ii-^2u L(^««)V'«r'J/

En partant de là on arrive de nouveau au théorème d'Abel de la manière suivante. Le premier membre se transforme immédiatement en vertu de {21), pour \ = ùp^d(^ (sauf un facteur numérique m), en la somme des différentielles de troisième espèce qui se présentent dans (28), à la seule condition d'y remplacer a", par b^. Mais on peut traiter d'une manière tout à fait analogue le second membre de notre équation en intervertissant seulement les rôles des courbes bP^oetUx= o. Il vient alors en premier lieu, si l'on procède comme pour la formation de l'équation (21),

OU, en vertu de pzk= [ua)kOt.'^'\

en supposant actuellement Uz^^= o et Udz= o. La différentielle qui figure au second membre se réfère donc à la droite ^^=0, au lieu de se référer à la courbe a'^== o. Nous pouvons, en conséquence, pour les points de cette droite, introduire une nouvelle variable binaire Y,^ '. y.o au moyen de la substitution

Zk = '^i Ik -H >'-2>iÄ, dz,,= lj,dy.^ H- r,kd-^^.

Il vient alors, en vertu de l'identité (22) relative à Xî,

et le déterminant [czdz) devenant égal à (c^rj)(xiC^X2^ — xa^/y-i), expression où (c^yy) = Mc, la différentielle (26)* se transforme en

m = ma log — •

Nous avons à former la somme de ces différentielles étendue à toutes

LA GÉOMÉTRIE SUR t'NE COUBBE ALCEnniQl'E. 217

les racines de l'équation (x, oc^-h Xo«,))"— o. Mais cette somme est égale à

Or, comme le facteur numérique m, d'après la transformation indiquée, s'est présenté de la même manière dans le premier membre de (25), nous avons à nouveau obtenu en fait, au moyen de (s^), le théorème d'Abel pour les intégrales de troisième espèce.

De même que le théorème de Jacobi, le théorème d'Abel est également vrai pour les courbes décomposables. Ce théorème étant censé connu pour les intégrales qui ne deviennent infinies qu'en des points doubles dey, on peut en déduire son énoncé pour d'autres intégrales sans revenir au théorème de Jacobi. Si l'on pose en effet

et qu'on désigne par j^^^ les points d'intersection de a^ = o et /3^ = o, par z^'^ ceux de « '" = o et y^=o, l'équation du théorème d'Abel se transforme immédiatement en

i — inii i = iiii> i = mr/

Une somme de dijj'éreniielles qui appartiennent à la courbe primitive ß^ = o et deviennent infinies en quelques-uns ( * ) des jfoints d'intersection de cette dernière avec 7^= o 5e trouve donc ramenée à une somme de dißerentielles qui appartiennent h la courbe primitive yj= o et deviennent infinies aux mêmes points d'intersection de cette dernière avec ß^ = o. Il résultera immédiatement de là pour nous qu'une somme d'intégrales à infinis quelconques, étendue aux points de rencontre de la courbe primitive ß5 = o avec une courbe «"'= o, est représentable par des logarithmes et des fonctioné algébriques, ce qui, au surplus, ressort déjà de la réduction précédemment donnée d'une diff'érentielle quelconque à des sommes de difl'érentielles ayant une fonc-

(') Par les autres intersections des deux courbes passe aussi alors la courbe 6 = o.

lion linéaire au dénominateur (p. i5a et suiv.). Dans le cas actuel, on devra recourir à une décomposition analogue à celle employée alors pour réaliser en fait l'évaluation delà somme d'intégrales. Désignons, en effet, par u^^^zo l'équation des points d'intersection de 7^.= o avec ß^ — o; on a (p. i54)

(^.r^)/-/:=Bl3^.+CvJ, d'où -— = -- — — — , en vertu de ß^. =r o, et par suite aussi

i = /np i=- 1)1/111

Dans le second membre figurent des différentielles qui se rapportent à la courbe (^^xiy^=o comme courbe primitive. Mais celte dernière se décompose précisément en lignes droites ; on peut donc décomposer encore la somme qui est au second membre en une somme de différentielles dont chacune se rapporte à une seulement de ces pc/ droites, et peut conséquemment être évaluée directement par l'introduction d'une variable binaire, ainsi qu'il a été fait récemment pour les différentielles de troisième espèce. On arrive ainsi naturellement à un résultat identique à celui donné par une décomposition de l'expression qui figure au premier membre en fractions simples.

Considérons encore comme application du principe développé ici le cas particulier où la courbe primitive se décompose en trois lignes droites, telles que x, = o, X2= o, jt-3 = o. Pour ses points d'intersection x^'^ avec a"' :=; o, nous obtenons alors

V^ r [crdr] I

^ L.7;, X^ 63 -T- X^ J:^ Cl -r- J-'i -Il C-î J ,

relation où l'on a désigné par j^'^ les points de rencontre de x^ =^ o avec Xi = o, par z^'^ ceux avec Xi= o, par i''^ ceux avec 0:3 = o.

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE CODRBE ALGÉBRIQL'E. 219

Il vient alors, semblablement à ce qui arrivait pour l'équation (26),

On trouve de même pour les sommes qui répondent aux lignes x^ = o, X2= o les valeurs respectives

dlogl-'^]' et rflog

Mais l'intégrale de la somme de ces trois valeurs est égale à log ( — i)"' = 171171, et par conséquent existe la relation

\ "^ I vll)--l2/ «^(/«) ,ll)(2) ,(/") /11). (2) /'/") . '

Cette équation se confond avec la proposition appelée théoième (Je Carnot, proposition que l'on énonce habituellement sous la forme suivante :

Si J Ij' Ij) a'j "V'' ^3» '2'« ^'/' -^^"^ ^^^ rapports de distances des points d'intersection d'une courbe du m"'"'^ ordre avec les côtés d'un triangle aux sommets de ce triangle, entre ces rapports de distances existe la relation (28).

Des propositions analogues ont lieu pour les points de rencontre de la courbe avec un nombre quelconque de droites (').

Enfin faisons encore observer que du théorème d'Abel établi pour les intégrales de troisième espèce on peut aisément déduire le théorème d' Abel relatif aux intégrales de deuxième espèce

par application du procédé \ tt^« (P- '70' ^ ^^ place des logarithmes interviennent alors dans le second membre des fonctions algébriques. Mais nous n'insisterons pas davantage là-dessus.

Ici se présente naturellement la question suivante, dont nous avons déjà dit quelques mots plus haut : La réciproque du théo-

(') On les démontre d'ailleurs algébriquement par une méthode élémentaire. {T'oir la Géométrie de position de Carnot, ainsi que la note de la p. 120).

rème d'A,bel esL-elle vraie, c'est-à-dire peut-on toujours conclure des équations (8) ou de leurs/? équations intégrales

c(l) Jc(% Jé'f-)

que Jes y. points x^'^ sont situés tous ensemble sur une courbe adjointe? Observons ici que [t. n'est pas nécessairement divisible par n, car, d'après ce qui précède, tous les points d'intersection qui sont situés en même temps sur la courbe qui détermine les limites inférieures disparaissent. Or, comme par mn — Sa/i{i — i) — p points quelconques on peut toujours faire passer une courbe adjointe du m'^'"^ ordre, notre question revient au fond à celle de savoir si, par les équations du théorème d'Abel relativement aux intégrales de première espèce {*)i p points sont en général déterminés sans ambiguïté par les autres. Or il en est effectivement ainsi, comme l'apprend l'examen du problème de V immersion des intégrales ahéliennes appelé problème de Jacobi. Ce dernier peut se formuler de la manière suivante (-).

Soient doJiTiées les p équations

'^9) S£'''"'^"" %C'""=''- ■■■• îxr*"="-

les quantités i>i, v<>, ...' ^p étant des constantes indépendantes les unes des autres ( sai'oir les sommes intégrales 7iégati</es s'éten-

(') Pour ce qui concerne les questions correspondantes relativement aux intégrales de troisième espèce, voir plus loin la Section sur les systèmes de points d'intersection des courbes non adjointes.

(') Il a été ainsi énoncé (quoique non résolu) par Jacobi pour les intégrales hyperelliptiques {Journal de Crelle, t. 9 et 13). Il diffère du problème d'inversion de Riemann, où l'on se propose de déterminer une limite supérieure, les valeurs c^ des/> intégrales u^ étant données pour cette limite supérieure, et qui dérive de celui de Jacobi si l'on fait coïncider p — i des points xW avec les points correspondants c(". Ce problème n'est naturellement résoluble que si entre les grandeurs v,^ existent p — i relations d'une certaine espèce. {Voir sur ce sujet C. Neumann, Ioc cit., p. SgS et suiv., et p. 5i'|, Prym, Ioc. cit.)

LA GÉOMÉTRIE SUR INE COIRBE AI.CÉURIOIE. 221

dantaux // — p autres points connus) et les quantités c''^ désignant des points (juelconques ßxes wie fois pour toutes, points qui peuvent de toutes les manières possibles se confondre totalement ou partiellement en un seul : on demande de déterminer les p limites supérieures x^^^ comme fonctions, des grandeurs données ^h ( ' ) .

La solution effeclive de ce problème est en dehors de nos considérations; elle s'effectue, d'après Rieniann, à l'aide des fonctions 0 (-).

On résout le problème par l'intermédiaire d'intégrales de troisième espèce en développant d'abord une méthode au moyen de laquelle une somme de p intégrales normales de troisième espèce ayant les mêmes limites c^'^ et x^'^ est représentable comme fonction des grandeurs données Vi, i^o, .. .,Wp (^). Pour déterminer les p points a:^'^ on peut d'abord déterminer les p rayons d'un faisceau «^— Xç'^=o qui passent par ces points, c'est-à-dire établir l'équation du y^»'^"'« degré en À qui détermine ces rayons. Si l'on cherche alors les rayons correspondants d'un second faisceau, on peut trouver les points x'^'\ comme étant leurs points d'intersection, par des équations linéaires. Il est à remarquer que les rayons précités du second faisceau peuvent se déterminer rationnellement (et pour préciser au moyen d'évquations linéaires) si ceu\ du premier sont connus. Il s'agit donc de déter-

(') FojV Clebsch et Gordas, op. cit., p. i38. Dans les p équations (29), à la même limite supérieure x'^i) répond toujours la même limite inférieure cW. C'est là une différence avec la méthode de Riemann pour déterminer les limites inférieures; Riemann, en effet, emploie toujours dans la même somme, quand môme les limites supérieures sont différentes, une même limite inférieure, et au contraire dans chacune des /> sommes d'autres limites inférieures. {Voir Riemann, op. cit., § 15 et 10.)

(») Foir Riemann. loc. cit., § 17 et 22. La théorie de ces fonctions se trouve en détail dans Riemann, Theorie der Abcl'schen Integrale, Leipzig, i865, p. 28 et suiv., et p. 442 et suiv. Il est à remarquer que la définition donnée par Riemann des fonctions 0 s'écarte de celle que l'on trouve dans Clebscii et Gordan, op. cit., p. 98, en

ce que les arguments diffèrent d'un facteur numérique-» ce qui a sa raison dans le

choix différent des modules normaux de périodicité des intégrales de première espèce. (f^oir plus haut, p. i83.) (') Voir Clebscii et Gordan, op. cit., p. i38-200.