CHAPITRE I

miner la valeur de la fonction algébrique — aux p points x''' par

une équation de degré p. On peut encore généraliser le problème

en considérant, au lieu de — > le quotient %•> dont le numérateur et

le dénominateur doivent être du même ordre, autrement dit en cherchant les courbes du faisceau cp — /i|> = o qui passent par les

points x''^K Les valeurs que prend ^ en ces derniers points se dé-

termineront alors par une équation algébrique

(3°) (|)''-«.(|)""+m4|)"' + --- + Mp=o.

dont les coefficients Mj sont des fonctions à déterminer des sommes d'intégrales ^hi et il suffit de connaître les racines relatives

à une fonction , pour pouvoir calculer les racines relatives à toute

autre fonction ^f (comme dans le faisceau de rayons u — "k^). Ces fondions M/ ou plus généraleiiient les fonctions sjmétj'iques des p valeurs que prend une Jonction homogène de dimension 7iulle aux p différents points sont appelées fonctions abéliennes des arguments v définis par ( 29) ( ' ). Ce sont des fonctions 2. p fois

(') Ce sont d'autres grandeurs que Riemann (dans ses Leçons) a désignées sous le nom de fonctions abéliennes. Soient xO, xO, . . .. xC"') ^ — i points dans lesquels la courbe primitive est touchée par une courbe adjointe C„3, ce qui, en général, ne peut se produire qu'en un nombre fini de systèmes de points, et soit p = o l'équation de cette courbe C„j, ^ =: o l'équation d'une autre courbe C^-, de même espèce ayant

pour points de contact ^('^ ; le quotient 4 /? est proportionnel à un quotient de fonctiens 0 dont les arguments ne diffèrent des grandeurs

où V) ei z sont des points choisis arbitrairement, que par une constante. Les rapports y/? '. ^ ainsi formés, comme aussi les quantités y/j? et y'^ elles-mêmes, sont

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIOCE. Î!23

périodiques de ces grandeurs, puisque les p intégrales de première espèce (d'après ce qui a été dit, p. i86) ont ^p systèmes de modules de périodicité, que par suite les grandeurs p» peuvent être augmentées d'une manière quelconque de semblables périodes et ([ue, pour préciser, v>h peut l'être de • ,

im,,v:l -\- aii.q^ -f- ii^,,q.i -f- . . . H- «^aÇ'p

sans que l'équation (3o) soit par là modifiée.

Actuellement l'introduction des intégrales de troisième espèce se iait de la manière suivante. Considérons la somme de p intégrales Ilr^ conduites entre les mêmes limites é^\ x^'^ et ayant deux infinis H, r,. Cette somme

se présentant comme fonction symétrique des limites supérieures, et les fonctions symétriques de ces dernières ayant déjà été considérées comme fonctions des quantités v, peut être aussi considérée comme fonction de ces mêmes quantités, ainsi qu'il sera expliqué plus en détail incessamment. Et c'est à la représentation effective de cette fonction ^ë,, que peut se ramener le problème de l'inversion. Les coefficients de l'équation (3o) peuvent en effet s'exprimer de la façon suivante par les fonctions S.

Nous mettrons, dans l'équation (9) du théorème d'Abel (p. 200 et 202, note), à la place de ^ successivement x^'\ x^-\ . . . , x^p^ ; à la place de n successivement c^*^ c^^\ . . . , c^p^ ; nous prendrons ensuite, au lieu de la courbe <p = o, une courbe quelconque du faisceau 9 — Xi|; = o, et nous désignerons par r/^'^ les points d'intersection de f= o avec ^ ^= o qui ne sont pas situés en même temps sur (p = o, par ^^'^ les points d'intersection de cp — ?.t|; = o avecy= o qui ne sont pas situés sur <p et (|/. Nous obtenons alors, en vertu du théorème d'Abel et de la proposition sur la permuta-

alors des fonctions abéliennes des grandeurs c/^, i\\, dans le sens de Riemann. {Voir, sur ce sujet, Roch, Journal de Crelle, t. G6, p. io4, et Riemanm, Gesammelte Werke, Leipzig, 1876, p. l\b&.)

i24 TOME III. — CHAPITRE l.

lion du paramètre et de rargument (p. 187 et siiiv.), les équations qui suivent :

'4(.^)..,--']-'4(i).r':h-sr--

Les points ^^'\ 75^'^ sont coordonnés l'un à l'autre comme le prescrit le théorème d'Abel (p. 201), et les sommes qui figurent au second membre se rapportent aux couples d'intersection ainsi formés. Les contours d'intégration sont également régis par ce même théorème : ils ne sont donc éventuellement pas les mêmes que ceux qui se présentent dans les équations (29), et au contraire fourniraient, au lieu des quantités Vh-) des sommes d'intégrales v\ qui diffèrent des '^h par des modules de périodicité. Mais les sommes du second membre ne varient (p. 187), par changement du chemin d'intégration, que de multiples de l'expression

\ / du/i (abstraction faite de la période 2/71 qui se présente

également dans le premier membre); et ces dernières sommes s'évanouissent, d'après le théorème d'Abel, puisque |, y? sont des systèmes de points d'intersection pouvant être ramenés directement les uns aux autres par variation continue de la constante À. 11 n'est donc pas nécessaire d'y avoir égard.

Si l'on ajoute maintenant les équations (32) et qu'on passe des logarithmes aux nombres, on trouve, en vertu de (3i),

i^v l''^\ —\ -y^ /xc;.rw...x(/';x

et dans cette équation est contenue la solution de notre problème dès que les fonctions S sont encore exprimées par les quantités t^.

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COVROE ALGÉDRIQUE. 225

Si l'on pose en effet

M ne renfermant en dehors des constantes (car nqus avons assigné à la grandeur }. une valeur quelconque) que des fonctions E, on peut aussi écrire l'équation (33), eu égard aux coefficients M/ de l'équation (3o), sous la forme

IP 4 Ml y-^ H- . . . + M^ = M.

Il suffit de former cette équation p fois successivement pour autant de différentes valeurs de X pour obtenir un nombre égal d'équations avec M/ pour inconnues, et l'on peut aloi's, au moyen de ce système d'équations linéaires , exprimer ces dernières quantités par les fonctions G. Les coejjlcients de l'équation de

degré p dont les racines sont les p jonctions \%\ deviennent

consécjuemnient des combinaisons rationnelles des différentes transcendantes e~'=-'^.

Il ne s'agit donc plus que d'une étude plus approfondie de la fonction Gç^, et la théorie des fonctions abéliennes fait voir que cette fonction est rcprésentable par les fonctions 0 dont les arguments dépendent essentiellement des grandeurs données Vh et de certaines constantes. Pour la détermination de ces constantes, il est avantageux de choisir, au lieu des grandeurs c^'^, d'autres grandeurs «^'^ définies de la manière suivante : Menons en un point quelconque [). la tangente SLf= o; cette tangente coupe encore^ en n — 2 points ; faisons passer par ces derniers une courbe adjointe du (n — 2)'^""' ordre tangente 3if= o en tous les points où elle rencontre/", c'est-à-dire en p points. Pour chaque point ^, on peut trouver 2^/' courbes de cette espèce Cn-t, comme nous le verrons plus tard ; mais parmi elles il en est une qui se trouve désignée d'une façon complètement déterminée pour les limites inférieures (elle dépend du choix du système canonique de sections transverses de la surface de Riemann employé pour la définition des périodes aïk, p. 181 et suiv.); nous désignerons ses points de contact par a' '■ , a.^^\ . . . , cc^pK En substituant ces points aux points c^'^ dans les équations (29) du problème d'inversion et écrivant en

Cleiiscii. — Geometrie, III. l5

même temps w^ au lieu de Vh-, en sorte que, pour /* = i , 2, . . . , p, on ait

on trouve le résultat suivant ( ' ) :

en sorte que l'équation (33) se transforme en

' = /'f^^ -\ ®{o^„- f duA.&l f'duA

(36) ttV^/^"' -fT ^ ^''- ' ^^" ^

la fonction 0 étant définie par la série p fois infinie

Z« solution du problème est doJinée dans V équation (36), ainsi qu'il ressort des explications précédentes. Maintenant, à la place des a^'^ et des w^, on peut réintroduire les grandeurs c^'^ et \>h.

(') Foir Clebscii et Gordan, loc. cit. Ok peut aussi établir ces formules et, en particulier, la détermination des arguments des fonctions 0, par les points /x et aW, au moyen des principes de Riemann, en faisant usage de ce qui est dit au § 25 des Fonctions abéliennes de Riemann; consulter sur ce point Weber, Zur Theorie der Umkehrung der Abel' sehen Integrale [Journal de Grelle, t. 70), et Fuciis, Zur Theorie der Ahel'schen Functionen {ibid., t. 73, p. 3o6). Pour /j = 2, la formule correspondante a déjà été établie par Rocn, ibid., t. 65, p. 42) suivant la marche indiquée par Weber; voir aussi pour ce cas Brill, ibid., p. 276.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 22

Car si l'on pose

(3,) ..^-^J^äu,,,

en sorte que .

on a naturellement aussi, comme dans (36),

(38] ttV-^/^"' tt \ ^-^ I ^^ y- J.

el, en divisant le premier membre de (38) par celui de (36), on obtient de nouveau le premier membre de l'équation (33). Les grandeurs w^ et hh qui interviennent dans les arguments de la fonction 0 sont ici définis par les équations (34) ei (37); et les a.^'^ sont les points de contact d'une courbe déterminée comprise pat^mi les 2^p courbes du (n — ij"""^ ordre (^) qui passent par les n — 2 autres points de rencontre de la tangente menée en [X àJ=o, et touchent en outre la courbe f= o en p points.

Dans un système de points d'intersection, p points, comme on sait, ne sont pas déterminés par les autres si le système est découpé par une courbe adjointe du [n — 3)»ème ordre, et cette circonstance doit aussi se présenter dans le problème de l'inversion, ce dernier ne pouvant plus alors donner de résultat. En effet, dans ce cas, les fonctions 0 employées s'annulent identiquement, c'est-à-dire indépendamment des points ^, n qui entrent dans les limites supérieures de leurs arguments, car il existe une proposition [-) d'après

(•) Le choix à faire parmi ces courbes dépend du système de modules normaux de périodicité que l'on prend pour base, c'est-à-dire de la manière dont on choisit le système canonique de sections sur la surface de Riemann (p. i83). A chaque système semblable de périodes correspond, //. étant donné, une des courbes C„,, dont il s'agit, et réciproquement; -voir sur ce sujet Cledsch et Gordan, op. cit., p. 3i4 et 33 1, ainsi que Fucns, loc. cit., et pour/; = 2 la Section XI de ce Chapitre.

(') Voir RiEHANN, § 22 et 23; Clebsch et Gordan, p. 206.

laquelle, en supposant les arguments w déterminés comme dans ( 35), la fonction 0(çv) considérée comme fonction de ^ s'annule aux

points x^'^ a:'^^ . . . , x^^\ c'est-à-dire pour ^ = j:^*^, x^^)^ ^

jc^P^ ; elle devient conséquemment nulle si les p arguments w/i ont la forme (pour | = x^p^ par exemple)

x^^\ ...fX^P"*^ étant des points entièreiuent arbitraires, tandis que les a^'^ dépendent de ju. Si maintenantes points x^'^, . . . , x^p^ sont situés avec p — 2 autres points x^/'+*^ . . ., x'^^J-a) sur une courbe adjointe C,2 3, cette dernière forme, ensemble avec la tangente de i). une adjointe C«o. Par n — 2 intersections de cette dernière avecy (savoir les Ji — 2 intersections restantes de la tangentes en ju) passe aussi la courbe Qn-2 qui est tangente aux points «('^ On a donc, d'après le théorème d' Abel,

^' /•^•'' '^~' /'^•"'+'' ri^ /'M

y \ du,,-^ y \ du/,-^ ï du,,+ / du,,= o,

et les arguments Wh prennent en conséquence la forme

'h — y / (^"h + / ^^"li = — 7 / '^"A — / ^^"h — I ^^«/,

^^JySi) Je ^^ J uM) Jodr-i) J OL^P)

Mais, à cause de ©(w^) = 0( — Wh)i la forme des arguments concorde précisément avec la forme (Sp), car, à part le signe, on n'a fait que mettre ^ à la place de x^p~*\ ce qui est indifférent, puisque la position des p — i points x^'^ dans (3c)) était complètement arbitraire. La fonction ©f co^ — / duh 1 s'évanouit donc identiquement i^c' est-à-dire indépendamment de |) lorsque les p points x^'^ des équations (29) sont situés avec p — 2 autres points sur une courbe adjointe du [n — 3 )'''"*^ ordre, et que les quantités m^ sont définies par (34)-

Le problème de l'inversion devient alors indéterminé, et il faut supposer connu un autre [p — i)'eme point pour .pouvoir déterminer

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COL'RDE ALGÉBRIQl'E. 229

encore sans ambiguïté les p — i points restants. D'autres particularités se présentent encore si les points x^''> sont découpés par une courbe adjointe dont l'ordre est inférieur an — 3, les dérivées de la fonction 0 par rapport à w^ s'annulant alors jusqu'à un certain ordre; mais nous n'entrerons pas davantage dans l'examen du sujet ( * ).

IX. — Les courbes de contact. — Les tangentes doubles des courbes du quatrième ordre (^).

Tandis que le théorème d'Abel apprend à exprimer dans des formules simples l'objet du tliéorème du reste (p. ipS), la possibilité et la déterminabilité du problème d'inversion permettent une série d'autres applications géométriques dont les résultats (tant qu'il s'agit de questions relatives à la géométrie du nombre) peuvent s'établir aussi par voie purement algébrique si l'on fait usage du principe de correspondance précédemment traité (t. II, p. i46 et suiv.). Ces applications, de même que celles données plus haut pour le cas de p = i, c'est-à-dire pour la théorie des fonctions elliptiques (t. II, p. 355 et suiv.), ont pour point de départ le problème de la division, et montrent comment les solutions de certaines équations algébriques qui se présentent dans la Géométrie peuvent être représentées d'une manière simple à l'aide de la division des fonctions abéliennes. Le fait a une valeur d'autant plus grande que les relations particulières, ou autrement dit les groupements des racines entre elles, seront, par cette méthode, mis parfaitement en lumière, tandis que le principe de correspondance ne fournirait d'abord que le nombre des solutions, et qu'il faudrait encore faire une application compliquée des théorèmes sur les systèmes de points d'intersection pour étudier le groupement. Nous traiterons d'abord le problème suivant, dans lequel nous supposerons que la courbe f=^ o soit d'ordre n et de genre p, et

(') Voir RiEMANN, Ueber das Ferscluviiiden der 0 Functionen {Journal de Crelle, t. 65), et Theorie der Abel'schen Functionen, § 14 et 16.

(') Foir, pour les matières traitées dans celte Section, Clebsch, Ueber die Anwendung der Abel'schen Functionen in der Geometrie [Journal de Grelle, t. 63, p. i8() et suiv.).

23o TOME IIF. — CHAPITRE I.

qu'elle ait «^ points multiples d'ordre i sans qu'entre leurs modules existent des relations spéciales.

Soit m'^n — 3, et soient inn — 2«, t ( t — i ) — pr poirits donnés d'une façon quelconque sur la courbe primitive; on demande de faire passer par ces points une courbe adjointe du m'"-''"" ordre ajant en p points un contact d'ordre r — i avec la courbe primitive.

Nous poserons, pour abréger,

( I ) mn — Iv.iiii — i ) — pr z=z >.

Soient maintenant c'^^\ é^-\ . . . , c^p^ les points où la courbe primitive f=2 o a un contact de l'ordre r — i avec une courbe adjointe C/n. Supposons en outre que cette dernière courbe passe en outre par certains points a^^\ a^-\ . . ., a^'>K Nous prenons cette courbe unique comme connue (*); notre problème consiste alors à faire passer par les 1 points donnés x^*\ x^-\ . . . , x^'-'> une autre courbe adjointe C^^ ayant avec /= o en ^ points un contact d'ordre r — i, ou, en d'autres termes, à trouver les points de contact j('\ ^-(2^, . . . ,j^P^ de celle-ci. Or ces derniers, d'après le lliéorème d'Abel, satisfont aux p équations transcendantes

"•' 'SX!."'"""^Σ"'''""=°

quelques-uns des termes de la seconde somme disparaissant si quelques-uns des points x^'^ devaient coïncider avec les points a^'-^; cette circonstance peut toujours se présenter sans que les explications suivantes en soient influencées. Si l'on entend par intégrales de cette seconde somme les valeurs que lesdites intégrales prennent sur des contours d'intégration arbitrairement choisis, on peut, dans le second membre de (2), remplacer la valeur zéro par le système le plus général de modules de périodicité

(') Cela est permis, parce que l'existence de semblables coui-bes résulte d'une simple numération de constantes. Nous n'introduisons d'ailleurs cette courbe que pour faciliter la désignation des termes constants qui entrent dans le théorème d'Abel.

LA GÉOMÉTRIE SIR USE COURBE ALGÉnRIQUE. 23 1

P/t de l'intégrale iih, P^ satisfaisant à la relation

(3) V,,= 2m,Jn-h 7iai/iH-92«2/i-+-.- • + 7/>«p/n

et il nous faut faire cette substitution si nous voulons avoir tous les systèmes de points j)^^'^ On trouve, en divisant, par /• (*),

relation où, au second membre, ne figurent que des grandeurs connues, en sorte que ces équations sont celles du problème de l'inversion, problème qui est en général résoluble pour m'^n — 3, quelle que puisse être la nature des grandeurs Vh qui entrent dans les équations (29) (p. 220). On voit aussi par là que, par un choix déterminé des modules de périodicité P^, le système des p points j'^'^, et conséquemment aussi la courbe de contact cherchée, peut être déterminé sans ambiguïté au moyen du problème de l'inversion. Mais les points obtenus j^'^ ne varient pas si l'on augmente ou si l'on diminue simultanément les quantités Pa de /■ fois un système de modules de périodicité, car, dans cette circonstance, les valeurs des fonctions 0 que l'on a à employer dans le problème de l'inversion ne subissent absolument aucune modification. Il suffit donc, pour obtenir toutes les courbes de contact possibles, d'assigner aux nombres entiers m^, mo, . . • , nip^ c/j, q^i • • •? (Jpj qui entrent dans les fonctions P^, les valeurs o, i , ...,/• — 1 . On obtient ainsi r'-P systèmes de grandeurs Pa et conséquemment aussi un nombre pare?il de courbes de contact : Le problème proposé a r-P solutions [^). Parmi les courbes de contact trouvées est

(') Si l'on voulait choisir autrement les limites inférieures c''^ les seconds membres de ces équations ne varieraient que de quantités constantes. Soient, par exemple, c '', c^'', ..., c''''' les autres points de rencontre d'une courbe C,„ passant par les points d-'\ et soit z un point quelconque de la courbe, on obtiendrait, à la place de (2),

' = /' (i) ' = '7' ' = ^ ri)

[*) On peut eifectuer par extraction de racines la résolution de l'équation du

232 TOME III. CIUPITRE I.

encore en particulier comprise celle supposée connue qui est tangente aux points c^'K On l'obtient en attribuant simultanément à tous les nombres nii, qi la valeur zéro.

Les r-P systèmes correspondants de chacun p points de contact j)^ occupent les uns par rapport aux autres une situation très digne d'attention. Si l'on distingue par l'addition d'indices supérieurs 7' systèmes de l'espèce en question choisis arbitrairement (en sorte que les points de ces systèmes soient respectivement àésignés par j^*'\j (2*)^ ,,,^jiri)^ et les valeurs correspondantes P^ par Py, P^-', .... P^'^'), et que l'on ajoute les expressions correspondantes (4), on obtient, pour// = 1,2,...,/^,

(5) y r du„+s r ./„,^+...+yr du„+s r\in,~-s

Si donc on détermine les nombres m, q qui entrent dans les quantités P^ de telle façon que

m\\ ' + /?^^f' + . . . -I- w^/' ^ o ( mod, r q'iV -4- <?/." + • • • + 7/r = o (mod. r]

on peut poser zéro au lieu du second membre de (5), et cette équation exprime alors que les ;• systèmes de points de contact jsont situés avec les points donnés x sur une courbe adjointe du ^^^ièrae oi.(^re. Il est visible, d'après (6), que, parmi les /'systèmes, /• — I peuvent être choisis arbitrairement, le r'^'"^ se déterminant conformément aux lois du problème d'inversion de Jacobi. On a, par suite, ce théorème :

Si l'on fait passer une courbe adjointe du //i"'""^ ordre par les

degré r-P correspondante, si l'on considère comme résolu un problème spécial de division en parties égales, qui prend naissance lorsque dans (4) on fait coïncider les a avec les x, d'une façon analogue à ce qui se produit pour les fonctions elliptiques. {Voir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 235 et suiv.) Dans des cas particuliers (par exemple pour des courbes à modules spéciaux), il peut se présenter un nombre infini de solutions. Il résulte en particulier du théorème du texte qu'il existe r'^P courbes d'ordre « — 2 passant par les autres n — 2 points d'intersection d'une tangente de/ et louchant encore cette dernière courbe en p points (p. 225). Mais nous verrons plus tard que certaines de ces courbes C„2 se décomposent en la susdite tangente et en une courbe C„3.

LA GÉOMÉTRIE SUR USE COURDE ALGÉDRIQUE. .233

1 points donnés et par r — i systèmes de points de contact, cette courbe passe encore par un r"""'' sjnème ( ' ).

Dans le problème précédent, nous ferons, parmi les points donnés dont le nombre sera supposé supérieur k [>.r [\x étant un nombre entier), coïncider [i fois /' points, en sorte que les autres X — (x/' points soient seuls donnés ; alors se présente le problème indéterminé qui suit : Une courbe adjointe d'ordre m doit passer par l — fx/' = jun — E a^i ( i — i ) — {p -^ l^)'' points donnés sur la courbe primitive du n''""^ ordre, et avoir, en outre, en p-^ y. points un contact d'ordre r — i avec cette courbe.

Ce problème est, en général, pour le cas de m'^ n — 3, résoluble comme le précédent; p. points de contact restent encoi'e arbitraires, mais les p autres sont alors déterminés (d'après le problème d'inversion de Jacobi). On peut donc faire passer par les points donnés un nombre (x fois infini de courbes de l'espèce cherchée, et encore r^P différents si /ut points de contact sont pris arbitrairement. Si l'on part, dans ce dernier cas, de l'une des r-P courbes, pour laquelle le système de périodes qui figure dans les équations (4) sera supposé avoir la valeur P)^, et qu'on fasse prendre successivement sur la courbe primitive aux fz points arbibitrairement choisis toutes les positions possibles (le nombre de celles qui sont différentes étant infini d'ordre ^j.), on obtient oo '* autres courbes de contact, et à toutes celles-ci répond, dans les équations (4), le même système de périodes P^. Et, par la variation des [JL points en question, on ne peut arriver à aucune autre courbe qui soit donnée par un autre système de périodes; car ces derniers systèmes sont complètement distincts, et caractérisés indépendamment des y. points mobiles. Toutes les courbes que l'on peut ainsi déduire par un procédé continu forment ce qu'on ap-

(') Il se peut que, par suite de situations spéciales des > points donnés, plusieurs des premiers systèmes coïncident par groupes; mais il peut aussi arriver que le r'*""" système se confonde avec l'un des premiers. Cette dernière circonstance se produit toujours au cas de r = 2, parce que p points d'intersection sont précisément déterminés par les autres; on ne peut donc plus faire passer par les ). points et par l'un des r'P systèmes qu'une seule courbe adjointe. Celte courbe unique est précisément alors la courbe de contact trouvée. Si [s. systèmes se confondent, la nouvelle courbe C^ a, aux points dont il s'agit, un contact d'ordre // — i avec/= o.

pelle un système de courbes de contact (*). Nous pouvons, en conséquence, énoncer le théorème suivant :

On peut, pour m^ n — 3, déterminer un nombre infini de courbes adjointes du m'^"** ordre ayant, avec la courbe primitive de la question, un contact d'ordre r — i en p + fi points, le reste des points d' interseciioji étant supposé connu et {xr étant é^al ou inférieur à nin — HaiH^i — i) — rp. Ces courbes se partagent en r'-P systèmes, complètement séparés, et tels qu'il est impossible d'arriver d'une façon continue d'une courbe d'un système à une courbe d'u/i autre système en ne passant que par des courbes de contact.

Soit maintenant donnée une courbe adjointe d'ordre m ayant, en p -h [j. points c^'^, un contact d'ordre /■ — i ,et passant par X — ^r points fixes «^'^ ; nous avons

Considérons actuellement /• courbes du même système (pour lesquelles Pa a conséquemmentlamême valeur), et ajoutons les équations correspondantes; il vient semblablement aux équations (5)

Par conséquent, les points de contact de r courbes de contact d'un même sj stènie sont toujours situés sur une courbe adjointe du ni^''""^ ordre qui passe par les points fixes donjiés.

Dans le cas précédemment traité, on obtient en outre la proposition qui suit :

Si, par les points donnés et par r — i systèmes chacun de

(') Cette notion a été introduite dans la Géométiie par Hesse et appliquée par lui aux courbes du troisième et du quatrième ordre {Journal de Crelle, t. 49; i»o/> aussi p. 58 et suiv. et p. 47). Nous mentionnerons incessamment différents exemples pour le cas de « = 4- Pour n = 3, m = 2, voir t. II, p. 266 et suiv.

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COURBE ALGÉimiQL'E. 235

p -h [J- points de contact appartenant à des .systèmes identiques ou différents de courbes de contact, on mène une courbe adjointe du m'^'"^ ordre, celle-ci passe toujours par un /''""'' sjstèjne.

La proposition ci-dessus (p. 232 et suiv.) pedt être envisagée comme un cas particulier du présent théorème.

inn

Sont particulièrement intéressants les cas dans lesquels le nombre — 'Zy.ii[i — i) est divisible par r, de telle sorte que

mn — I.ciii[i — i ) = [/j -h u)r.

Alors se présentent des courbes de contact adjointes ayant, avec la courbe primitive^, un contact d'ordre /■ — i partout où elles la rencontrent (les points singuliers de /" exceptés), et les systèmes qui prennent naissance dépendent uniquement de la courbe primitive elle-même et de l'ordre m de la courbe de contact; ils ne sont donc plus caractérisés en outre, comme précédemment, par certains points particuliers choisis arbitrairement sur la première. Le nombre des systèmes distincts peut ici, suivant les cas, différer de celui indiqué par le nombre r'-P, les autres propositions trouvées plus haut continuant à être exactes.

Admettons en effet que le nombre M[= m/i — 'Zoiii[i — i)] des points d'intersection mobiles d'une courbe adjointe C,„ ait, avec /•, un facteur commun, en sorte que M = M'.5, }• = }■'. s, d'où aussi r'[p -+- y.) = M', M', /' étant des nombres premiers entre eux. Aussi souvent que tous les nombres m, q entrant dans les quantités P^ renferment le facteur .?, on a

^P/^=^Pk (Ä=,, 2,. ..,/.),

les P^ étant des expressions analogues aux P^. On a constamment alors

r/«/, + ...+ du, =o (niod. P;j,

c«) Jc'P+'f-) J

et cette équation nous apprend que la courbe répondant aux j^ ^'> a un contact non d'ordre ;• — i , mais seulement d'ordre ;' — i , et

n'intervient conséquemment dans la question que parce que, comptée s fois, elle représente une courbe improprement dite ayant un contact d'ordre /• — i. En faisant abstraction de ces courbes exceptionnelles et observant que, d'après ce qui précède, le nombre de tels systèmes particuliers est égal à /'^^ (*), on arrive à ce théorème :

Si le nombre total M des points d'intersection mobiles d'une courbe adjointe du m"""'' ordre (m èla/it supérieur à n — 3) est égal à [p -i- p-)r, il existe des sj sternes de courbes de contact ayant, as^ec la courbe primitii^e, un contact d'ordre r — i en p -{- y- points dont p. sont quelconques. Si l'on a. M = M' . jf, /• = /'.s, ]M', /•' étant des nombres premiers entre eux, le nombre de ces systèmes est égal à r-P — r'-P ; dans le cas seulement où, M et r sont des nombres premiers entre eux, le nombre des systèmes dont il s' agit est égal à r-P.

On devra, en général, supposer que le nombre /' est de la forme /•"% r^' , . , . ; 7-,, /'a,... étant des nombres premiers, et alors, suivant le caractère de ce nombre /', il se présente encore d'autres particularités, mais nous ne développerons pas ici ce sujet (2), parce qu'il s'agit uniquement de distinctions prolixes et non de recherches nouvelles. Au résultat trouvé en dernier lieu se rattachent diverses propositions relatives aux cas où les points de contact de plusieurs courbes de contact sont situés encore ensemble sur une courbe adjointe. Ces propositions sont encore vraies alors même qu'on ne considère pas des courbes de contact d'ordre égal. En effet, si M' /•', ^\ M", /■", /, ... ; W^\ r^^l , yM^ désignent les nombres qui correspondent aux différentes courbes de contact considérées ensemble [en sorte que M^'^ = [p -\- [jM^)?-'-'^'], il suffit

(•) Si un semblable système est formé par des courbes adjointes d'ordre n — 3 ou d'un ordre moins élevé, sa multiplicité peut être supérieure à /jl, p — i points seulement ou un plus petit nombre étant déterminés par le problème d'inversion (p. 227 et suiv.). Ainsi, par exemple, il existe, pour une courbe du quatrième ordre C^, 2° — i systèmes distincts de courbes proprement dites C3 en nombre simplement inlini dont chacune a avec C, quatre contacts du premier ordre; en même temps se présente le système des droites comptant double, or ce dernier se compose d'un nombre doublement infini de courbes.

('} Foir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 242 et suiv.

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COURBE ALGÉliRIOLE. 287

que les équations

soient satisfaites pour que les pp-v-'Z^^^'> points, de contact des courbes ayant respectivement M', M", . . . , M^e^ points d'intersection mobiles soient situés sur une nouvelle courbe adjointe. On suppose ici que le nombre

pp -\- il' -^ il" -Jr . . .-\- p(p)

peut être fait égal à

hn — ^ot.ii[i — i),

h étant précisément l'ordre de cette nouvelle courbe. Nous n'attirerons l'attention que sur un seul exemple des nombreuses propositions qui découlent de cette source.

Pour le cas où M devient égal à pr, nous obtenons, par les théorèmes précédents, des classes de courbes de contact complètement déterminées, dont' aucun point de contact ne peut plus être choisi arbitrairement. C'est ce qui arrive, par exemple, pour «=4i p = 3, m := 3 (d'où M = 12), /• = 4} et nous obtenons immédiatement ce théorème :

Il existe 4®= 4096 courbes du troisième ordre ayant en trois points un contact du troisième ordre ai>ec une courbe donnée du quatrième ordre sans point double.

Si l'on désigne ici les nombres correspondant aux différentes courbes de contact qui entrent dans les systèmes de périodes Pyi par des indices supérieurs, les points de contact de trois courbes sont toujours situés sur une nouvelle courbe du troisième ordre lorsque

^'ii + "4 + '"a + ^hi = o ( n»od. 4 ), ÎA H- 4'h + (("h + 9a = o (mod. 4).

Les courbes du troisième ordre ainsi obtenues se groupent en trois classes. Les courbes de la première classe ont un contact simple aux points de contact de deux des courbes trouvées, celles de la seconde classe ont un contact simple aux points de contact d'une courbe et passent par les points de contact de deux autres,

238 TOME m. — CHAPITRE 1.

enfin celles de la troisième classe passent par les points de contact de quatre courbes différentes.

On obtient la première classe en prenant deux fois deux des nombres m, q égaux entre eux, en posant par exemple Tn'=iï^"^ m"= 77z"", q' =z q'"^ q" = q"" , cequi entraîne l'existence des équations

2(w;,+ m;) = o, 2(7;,-t-ç;) = o (mod. 4).

La deuxième classe s'obtient en choisissant m'" égal à m"", et m' et m" différents, en sorte que

i^'h + '"'h -+- 2 ml = o, ç), 4- <7a + 2 7/» = o ( mod. 4 ) .

Au contraire, dans la troisième classe, il faut prendre les quatre nombres m, q tous différents.

A la classe des problèmes coniplètenient détenninés appartient aussi le suivant qui présente une importance considérable pour la géométrie sur la courbe /', ainsi que pour le problème de l'inversion des intégrales abéliennes, mais se distingue des questions traitées jusqu'ici en ce qu'il s'agit à présent de courbes du (n — 3yème Qjdj-e^ Nous serons conduits ensuite par la succession des idées à des considérations relatives aux tangentes doubles de la courbe générale du quatrième ordre et à la situation des points a^'^ qui, dans le problème de l'inversion, ont été choisis conformément à la nature de la question pour limites inférieures de l'intégrale. Il s'agit, dans le problème que nous abordons, de construire une courbe adjointe du [n — "^y^me Qj-dj-Q^ telle quelle ait un contact simple en p — i points avec la courbe donnée d'ordre n et de genre p.

Nos notations précédentes continuante être observées, les équations entre les intégrales auxquelles conduit ce problème se représentent de la manière suivante, R^ désignant une combinaison numérique entière des périodes (*)

(7) / du,,+ \ du„ + ...-h du;,~--R,,

Jcii} Jc^% Jép-i) ''

(') Une courbe de cette espèce ayant pour points de contact c''^ est présupposée connue. {Foir la note de la page 280.)

LA GÉOMÉTRIE SCR l'.NE COt'RDE ALGÉBRIQUE. 289

Le nombre de ces équations est supérieur d'une unité à celui des inconnues. Elles sont toutefois compatibles, car il existe une relation entre les sommes des intégrales Uh si leurs points-limites supérieurs sont situés sur une courbe adjointe G„3 ; et cette relation, comme il a déjà été mentionné plus haut (p. a'aS), est donnée par l'évanouissement identique de la fonction <r)[vi, . .Vp), oix -

= > / dui,+ \ du,,,

■4-J Jc/ß) Juir)

les a^'^ désignant encore les points de contact de la courbe C„2 qui répond à [x suivant un mode déterminé (p. aaS), tandis que [j. est quelconque. Or la tangente de f*, ensemble avec la courbe G«3 dont les points de contact c^'^ figurent dans les limites inférieures de (7), forme également une adjointe Grt 2 qui passe par les autres n — 2 intersections de cette tangente avec/j et, par conséquent, a deux points communs avec la courbe partout où elle la rencontre encore. Il doit donc exister un certain système Qa de modules de périodicité pour lequel, d'après le théorème d'Abel,

du,, -h du,, -h... -h du,, 4- / du,, = - Q„.

cil) Jcf2) Jép-i) J ij. 2

Les arguments Vf, des fonctions 0 récemment mentionnées deviennent, eu égard à (7),

2 2 Si donc les équations (7) doivent avoir lieu simultanément, il faut qu'il y ait évanouissement de la fonction 0 I - R^ Q^ ) ou

0(-Pä|) si l'on pose P^= R^ — Q^, en sorte que Pa désigne

encore un système de périodes. Or, des propriétés de périodicité des fonctions 0 résulte immédiatement ce théorème (') que la

fonction Q[-Vh\ s'annule toujours et en général uniquement

(') Voir Clebscii, loc. cit., § 8, et entre autres auteurs Clebsch et Gobdax, op. cit., p. 260, ÎNeumak.n, op. cit., p. S;.

24o TOME 111. — CHAPITRE 1.

lorsque ses arguments sont un des systèmes de demi-périodes

pour lesquels la somme muq i-\- m^q^-h . . . + nipqp est un nombre impair, c'est à-dire pour lesquels on a

(lo) rn^qy^ m=^q^-\- . . .-^ m^,q^,■=zoM.-^\.

Il y a donc autant de fonctions 0(-Pa| s'évanouissant que

l'équation (lo) a de solutions entières. Pour trouver le nombre de ces dernières, admettons que Ä' des nombres m soient égaux à zéro, et que les p — Ä" autres soient égaux à i ; les nombres q qui répondent aux premiers nombres m peuvent alors être zéro ou l'unité, ce qui donne 2* combinaisons. Mais la somme des autres nombres q doit être impaire, c'est-à-dire que l'un d'eux est toujours déterminé par les p — h — i autres. Ces autres nombres peuvent donc encore être choisis de iP~^~'^ manières difFérentes; autrement dit, il existe, dans ce cas, iP~- systèmes des quantités q. Suivant la manière dont parmi les p nombres nih on choisit les Ix qui doivent être nuls, on a

i .1. . .k différents cas, et par conséquent en tout

systèmes des nombres m, q pour une valeur donnée de h. Enfin k peut prendre les valeurs o, i, . . .,/> — i; le nombre total des solutions possibles est donc

2'^-» 11 + - +^ ' -f ...H-/J I =^''-HlP—i].

r p pip — f^ 1

C'est là conséquemment le nombre des systèmes P^ des demimodules de périodicité pour lesquels la fonction 0 ( - P^ ) s'annule.