L.V GÉOMÉÏBIE SLR t.NE COURBE ALGÉBIllQLE

Nous avons posé Pa= R^ — Q h, Qa étant complètement déterminé par l'équation (8), puisque Q^^ dépend uniquement des points c''^ et a^'^ A chacun des 2^"' (2/' — 1) systèmes de valeurs P^ répond par conséquent un système complètement déterminé de périodes Ra à l'égard duquel les équations ( 'j^ peuvent avoir lieu, et par suite aussi un système entièrement déterminé de points de contact j^'^ d'une courbe adjointe C„3. Nous avons donc ce théorème :

// existe iP~^ [iP — i) courbes adjointes du [n — 3)"""e ordre simplement tangentes à la courbe f= o en p — i points.

Ces courbes se déterminent, si nous résumons les explications précédentes, au moyen des équations

\ / (lu,, + / cla,r^ ^ V,, (// = I, 2,

dans lesquelles p et a^'^ ont les significations connues (p. aaS)^ et qui sont compatibles lorsque les nombres entiers m, q qui entrent dans les quantités P^ satisfont à l'équation (10).

On remarque immédiatement que les équations (11) se tirent des équations (p. 23 1)

' = /-" (12) Sr du, = \v„ {/t = i,o.,...,p),

si l'on fait coïncider un des points j^'^ avec le point p. Ces dernières équations déterminent d'ailleurs en premier lieu les -x^p — i courbes de contact adjointes du (n — a^ème Q^àre qui passent par les n — 2 autres points de rencontre de la tangente de i»- si l'une de ces courbes (dont les points de contact sont a^'^ ) est connue. Mais, comme chacune des courbes trouvées C«3, tangentes en yy — i points, forme, ensemble avec la tangente de f*,une courbe C/i 2 de l'espèce précitée, il n'y aura plus que

courbes C«2 non décomposables dont les points de contact salis-

Clebscii. — Géométrie, III. lO

font aux équations (12). Nous avons par suite le théorème suivant, qui complète le précédent :

Il existe iP'* (2^+1) courbes adjointes du [n— '}.)''""'' ordre passant par les n — 2 points où. la tangente en un point quelconque [>. rencontre la courbe /— o et simplement tangentes à f= o en p points.

On trouve les points de contact de ces courbes au moyen des équations (12) en mettant pour les quantités P^ tous les systèmes de modules de périodicité pour lesquels l'équation (10) n'est pas satisfaite, c'est-à-dire pour lesquels

m^q^A- m^q^ + ...-\-m,,qp~lli (»).

Parmi eux est compris en particulier le système pour lequel mi= qi=o, corrélatif à la courbe tangente aux points «('^euxmêmes qui est caractérisée entre les autres courbes C„2 par le choix du système employé de modules normaux de périodicité (p. 227, note i). La recherche effective des différents systèmes de points de contact est réalisable par une équation du degré ^P~* (2P-\-i); mais il est à remarquer que les racines de cette équation peuvent s'exprimer rationnellement par les racines de l'équation du degré o.p~^[iP — i) dont dépend la détermination des courbes adjointes C,j 3 tangentes en p — i points, ainsi qu'il est enseigné dans la théorie delà division des fonctions abéliennes l^). De même que les courbes de contact du [n — 2)'^""^ ordre répondant au point p se répartissent en deux classes complètement distinctes, de même tous les systèmes de courbes de contact adjointes qui touchent la courbe primitive partout où elles la rencontrent se séparent en deux classes différentes, et les systèmes de l'une de ces classes sont en relation spéciale avec les iP~^ (iP — i )

(') Un système de nombres qui satisfait à cette relation est appelé un système âè caractéristiques pair , tandis que les nombres satisfaisant à (lo) forment un système de caractéristiques impair. Comme nous le verrons pour le cas de /j = 3, il existe entre les nombres de ces systèmes d'assez nombreuses relations, qui sont interprétées dans la géométrie par le groupement des courbes €„, et C„j. La théorie des caractéristiques a été particulièrement étudiée par Sciiottky dans l'Ouvrage cité (p. i35).

( 'J Voir Clebsch et Gordan, op. cit., p. 266 et suiv.

LA GÉOMÉTRIE Sl'R UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 24^

groupes de points de contact des courbes adjointes G«3. Supposons en effet qu'une courbe adjointe coupe la courbe primitive, abstraction faite des points singuliers de cette dernière , en M = 2pt points, et qu'une semblable courbe touche la courbe primitive en a^*\ a^-\ . . . a^'^^ \ alors, pour les autres 2-/' — i systèmes de courbes de contact ont lieu les équations

du,, + / du,,-^...-^ \ du^=- R/„

ad) Ja^% Ja^V-) ^

Ra désignant un système quelconque de périodes. Actuellement nous attribuerons aux nombres entiers qui entrent dans R^ des valeurs, telles que les équations (7) puissent aussi avoir lieu; il viendra alors, si nous entendons par R^ les mêmes grandeurs dans

(i3)et(7),

i4) \ / du,,-^ y I duh^o

4mJJa(i) 4^ Jc(i)

Si donc le nombre ^-\-p — \-\-^aii[i — i) est divisible par /z (^ ), les points x^'^ et y^'-^ sont encore situés sur une courbe adjointe, ou, en d'autres termes, le groupe des points x^'^ est résiduel du groupe des points j^'^ (t. II, p. iSj). Nous avons donc ce théo-

rème

Parmi les i-p systèmes de courbes de contact adjointes^ qui sont sim.plem.ent tangentes à la courbe primitive f eîi ^points, et ne la rencontrant plus ailleurs, les points singuliers exceptés, il en existe toujours

[^ -{- p — I -i- ^ocii[i — i) étant égal à /in],

(') Dans le cas contraire, les points a:''', j-''' seraient situés, avec un certain nombre de points fixes, sur une courbe adjointe, et avec ces mêmes points fixes se trouveraient les points «''^ et c^'' sur des courbes adjointes. Si l'on a p =-{u — i)(« — 2 )

et 2/A = mn, il vient k = -[m-\- n — 3); il faut donc que l'un des nombres /«, « soit

pair et l'autre impair;^ si ici /n( = 2v) est le nombre pair, parmi les 2"* systèmes st compris celui des courbes du v'*""" ordre comptant double.

2!\!f TOME lit. — CHAPITRE I.

uP~* (2P — 1), tels que le groupe des points de contact de chaque courbe du système est situé, as^ec les p — i points de contact d'une courbe déterminée faisant partie des précédentes courbes de contact du [n — Z)"""'' ordre, sur une courbe adjointe d'ordre h. Si, au contraire,

l/. -+■ p -\- 'Lv.ii[i — I ) ^= ^'"^»

il existe parmi les i-p systèmes précités, ainsi qu'on le reconnaît d'une manière analogue, 2^~*(2/'+i) systèmes, tels que leurs points de contact sont situés, avec les p points de contact d'une des courbes C«2 ci-dessus, sur une courbe C/j.

Si nous prenons, par exemple, Ji = 4, /^ = 3, les courbes C„3 relatives à ce cas sont données par les ^-[1^ — i) = 28 tangentes doubles de la courbe C4. Que l'on fasse maintenant passer par les points de contact de l'une de ces tangentes doubles un système de coniques ; ces dernières déterminent un système de six points mobiles sur C/,, et aux six points de chacun des groupes Ge ainsi obtenus une courbe C3 peut avoir un contact simple. Mais il existe aussi des courbes C3, tangentes partout en leurs points de rencontre qui ne peuvent être déterminées de cette façon.

Nous nous proposons maintenant d'appliquer les résultats généraux obtenus à la recherche des tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre.

Ainsi qu'il vient d'être énoncé, le nombre de ces dernières, tel au surplus qu'il est connu d'après les formules dePliicker, est égal à 28. Chacune d'elles sera désignée par la suite (placée entre parenthèses) des nombres correspondants m, q qui entrent dans les systèmes de périodes P^ des équations (12), c'est-à-dire par

nit, m.-,, m

Ces nombres peuvent être o ou i, tels cependant que l'on ait toujours

'"i^i "+■ "^2(72+ "^sîs ==i (mod. 2).

Si donc nous prenons, pour les quantités m, tous les systèmes possibles composés des nombres o et i, le système o, o, o seul excepté, et que nous déterminions, conformément à l'équation pré-

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉDRIQIE. 24b

cédente, les quantités correspondantes <7, nous obtenons les vingthuit tangentes doubles dans le tableau suivant :

(100.100) (010,010) (001,001) (on, 010) (100,110) (010,110) (ooi,oii) (oiij^ooi)

(100.101) (010, ou) (001,101) (011,110) (ïoo,iii) (010,111) (001,111) (011,101)