II I , I II

On peut considérer m tangentes doubles de cette espèce comme une courbe de contact adjointe décomposable de l'ordre m\ suivant que l'on choisit le nombre m, il résulte alors immédiatement des théorèmes généraux qui précèdent une série de théorèmes sur la situation respective des tangentes doubles, dont la plupart ont été trouvés par Hesse et Steiner par voie algébrique (').

(') ^o«> Hesse {Journal de Grelle, t. 49, 55 et 59; Steiner, ibid., t. 49, et Cayley, ibid.. t. 68). Des démonstrations algébriques d'autres propositions sur les tangentes doubles, publiées sans démonstrations par Steiner, ont été données par Clebsch : Ueber die Anwendung der Abel'schen Functionen, etc., § 10 {Journal de Grelle, t. 63); des démonstrations géométriques l'ont été par Geiser {Journal de Grelle, t. 73). Le dernier paragraphe de ce dernier Mémoire doit être corrigé d'après une note de Frahm. {Math. Jnnalen, t. VII, p. 635.)

D'après une remarque précédente (note i de la page 242), la théorie des tangentes doubles est étroitement liée à ce qu'on appelle la théorie des caractéristiques paires et impaires, pour ^ = 3. Riemann s'en était aussi occupé; mais ses recherches n'ont été publiées qu'après sa mort {Gesammelte TFerke, Leipzig, 1876, p. 4^6) ; une étude détaillée des caractéristiques a été donnée par H. Weber dans l'Ouvrage cité (p. i35).

Une question d'une autre espèce est celle de la realité des tangentes doubles. Déjà Plücker avait montré qu'elles peuvent être toutes réelles. {Foir sa Théorie des Gourbes algébriques). Toutefois ses résultats numériques ne sont pas tous corrects. Une exposition complète de tous les cas qui peuvent se présenter (comme en général de toutes les formes possibles d'une courbe du quatrième- ordre) a été donnée par Zeutuen {Math. Annalen, t. VU, p. 4 10). Sur la connexion de ces théories avec celle des vingt-sept droites sur une surface de troisième ordre, voir Geiser [Math. Annalen, t. I, et Zectuen, ibid., t. VIII). On trouve un résumé des dilTérentes méthodes d'exposition dans Salmon, Higher plane curves, art. 25i etsuiv. Nous avons déjà fait observer, dans la note de la page 64 (t. II), que l'on peut, d'après Hesse, obtenir une courbe du quatorzième ordre, déterminant par ses intersections avec C^ les cinquante-six points de contact des tangentes doubles.

En partant de la théorie des intégrales abéliennes, et en étudiant la réalité de leurs périodes et la fixatisn de leurs intégrales normales, Klein a été conduit àdéter-

Nous considérons d'abord les cas les plus simples où m = 2 el 7n = 3 .

Il existe (p. 284) 2" — i = 63 s}'stèmes de coniques (<) qui touchent C4 en quatre points. Une semblable conique de contact, le système de périodes qui la concerne étant déterminé par les nombres m,, m2, ms, yj, </2> ^3 (avec la seule condition que les noml)res /n, q ne soient pas tous égaux à zéro, ces nombres pouvant du reste prendre toutes les valeurs o et i), se décompose toujours en deux tangentes doubles

{m\, m;, /«; ; q\, q'^, q'.^ ), {m[, n^, in\ ; 7';, q^, q\).

lorsqu'on a, en même temps (i = 1 , 2, 3),

(i4) m'i -\- m'i^-^mi, q\ -{- q'^^E^q^ (mod. 2),

en supposant (toujours pour le module 2)

Il faut ici, ou bien que les nombres q ou bien que les nombres m ne soient pas tous nuls. Nous admettrons que l'un au moins des nombres qi, q^ soit différent de zéro (au cas contraire, il suffirait, dans la détermination suivante, de permuter les nombres q avec les nombres m). Alors, en premier lieu, les équations (i4) montrent que, pour des nombres donnés qi, les nombres q\, ^'^- peuvent être choisis de six manières différentes. Il existe, en effet, généralement huit combinaisons qui satisfont aux équations cidessus; mais de ces dernières il faut retrancher les deux dans lesquelles tous les nombres q' ou tous les nombres q" sont nuls, ce qui ne peut se présenter d'après notre tableau. Ces six manières donnent trois couples de systèmes q'i, q], parce que deux combinaisons du même couple ne diffèrent que par permutation des q' avec les q" . Or, dans chacun de ces couples, il y a au moins un

miner les caractéristiques qu'il faut attribuer à une tangente double donnée, si la courbe est supposée donnée par une figure, et à indiquer les systèmes de coniques réelles qui touchent C, en quatre points {Math. Annalen, t. X, p. 365, et t. XI, p. 293 ). La méthode suivie par lui est analogue à celle dont nous avons parlé pour les courbes C^ où /; = i (t. Il, p. 369).

(') Il faut, en effet, retrancher des soixante-quatre systèmes trouvés d'abord celui des droites qui comptent double. [Voir la note i de la page 236.)

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COUROE ALGÉBRIQUE. 247

couple de nombres </', q" différents entre eux et qui ont conséqucmment les valeurs o et i, de sorte que les nombres d'un autre des trois couples doivent être i et o ou i, i (car autrement tous les nombres q devraient être nuls, ce qui est exclus par hypothèse). Il existe donc un nombre q' et un nombre q" k iïidices inférieurs différents qui sont égaux à i. Actuellement si l'on détermine les nombres m. qui répondent au troisième indice inférieur de telle manière qu'ils satisfassent à l'équation (i4) (ce qui peut avoir lieu de deux façons différentes), les autres nombres m se déterminent successivement au moyen de (i4) et (i5). A chacun des trois couples </', q^' correspondent donc deux couples m', m"; autrement dit, on a ce théorème :

Dans cliaciui des trente-six systèmes de coniques de contact figurent, six couples de tangentes doubles.

Comme, pour deux couples appartenant au même système, la somme de tous les nombres m/, ainsi que la somme de tous les nombres qi, est constamment paire, on a encore ce théorème (qui est d'ailleurs un cas particulier d'une proposition donnée, p. 282) :

Les points de contact de deux couples appartenant au même système sont situés sur une conique ( * ).

(') Soient

uu' z^ o, »'c'=o, wn''= 0

les équations de trois couples de tangentes doubles du même système. Par les points de contact du quatrième couple de ce système et par les points de contact de chacun des trois couples précités, on peut faire passer une conique. On obtient ainsi trois coniques a, = 0, »•,= o, «,= 0 qui appartiennent au même faisceau, en sorte que

A, ff, -H Â, 7,-f- Ajffj^ o.

Les quotients \jiiu' :\/ww' et y l'c' : y/fvw' deviennent respectivement aux mêmes points que les quotients a, : o-^ et e-^ ; 7, nuls ou infinis du premier ordre; en déterminant convenablement les constantes, on peut donc poser

V <<«' : v'cf ' : i{/ww' = 5, : ïj . <r, ;

et il existe par suite entre trois couples du même système une équation de la forme

A, \Juu' -I- A, \Jvv' -I- A3 \Jww' == o. Il existe de même, entre trois coniques de contact quelconques S, = 0, S,-= 0, S,= 0,

Le nombre des coniques ainsi obtenues est égal à celui des soixante-trois systèmes multiplié par le nombre 1 5 des combinaisons de six couples deux à deux et divisé par trois, parce que chaque groupe de quatre tangentes dont les points de contact sont situés sur une conique peut être décomposé de trois manières en deux couples, en sorte que chaque conique se présente trois fois. On trouve ainsi que le nombre de ces coniques est égal à 3i5. Ce qui précède permet immédiatement de grouper les tangentes doubles qui leur correspondent respectivement.

De plus, il existe soixante-quatre systèmes de courbes du troisième ordre qui touchent chacune la courbe du quatrième ordre en six points (p. 234)« Les intégrales qui correspondent aux points de contact satisfont alors toujours aux équations

/ du,^ -h / du,, -+-... -I- / du,, = - R/, ;

et les soixante-quatre systèmes se séparent, ainsi qu'il a été indiqué, en deux classes suivant que le système de périodes R^ figure aussi en même temps ou non dans les équations (7)

du„+ /

c'est-à-dire suivant que, dans le système P^ = R^ — Q^ qui se présente dans (11), on a Y^mq ^e i (ce qui arrive vingt-huit fois), ou 'Lmqï^o (mod. 2) (ce qui arrive trente-six fois). On a, en conséquence, la proposition suivante (voir p. a43 et suiv.) :

Parmi les soixante-quatre systèmes de courbes du troisième ordre, vingt-huit ont la propriété que dans chacun d'eux les six points de contact de chaque courbe sont situés sur une conique,

faisant partie du même système, en vertu de/= o, une identité de la lorme

'^voir aussi Hesse, loc cit.). Nous reviendrons, à l'occasion du connexe [i, 2], sur les recherches de Aronhold, qui sont liées à celles-ci.

Les rapports \/u : v^w, ^v ; y/w sont alors des fonctions abéliennes dans le sens de Riemann (voir Rocii, Journal de Crelle, t. 66, p. io5, et les Ouvrages de Riema.nn, Weber et Klein que nous venons de citer, ainsi que la note ci-dessus, p. 222).

L\ GÉOMÉTRIE Sl'U UNE COURRE ALGÉBRIQUE. 249

laquelle passe encore par les points de contact d'une tangente double déterminée ; cette tangente double est toujours la même pour le marne système. Les points de contact des courbes des trente-six systèmes restants ne sont pas situés sur une conique avec ceux d'une tangente double. '

Mais, d'autre part (p. 234), les deux classes ont la propriété commune que les points de contact de deux courbes du même système sont situés sur une courbe du troisième ordre.

Les trente-six systèmes, dont la seconde classe est formée, et dontchacunestau surplus triplement infini, parce que, pour chaque courbe, trois points de contact restent encore arbitraires, sont en relation spéciale avec les trente-six systèmes simplement infinis de coniques tangentes en trois points et passant par les deux points de rencontre d'une tangente quelconque de f. En effet, chacune de ces coniques réunie à la tangente forme également une courbe C3 tangente en six points; seulement, en deux de ces points (les points de rencontre de la tangente choisie), le contact est un contact improprement dit, parce que C3, aux points dont il s'agit, a des points doubles. D'après cela, on reconnaît immédiatement l'exactitude de la proposition suivante : Chacun des trente- six systèmes de courbes de contact du troisième ordre qui nont pas, avec les tangentes doubles, la relation caractérisée dans ce qui précède renferme un système simplement injini de courbes dojit chacune se décompose en une tangente de fet en l'une des trente-six coniques répojidant à cette dernière. Ces coniques, pour le même système de courbes Cn, appartiennent toutes à un même système de courbes C2. — Les six points de contact de chaque courbe d'un sy stème de courbes C3, les trois points de contact de chaque conique faisant partie du système correspondant, les deux points de rencontre de la tangente précitée et le point de contact de cette dernière sont encore situés sur une courbe G3 (* ).

Aux systèmes de courbes G3 considérés ici appartiennent aussi les quatre mille quatre-vingt-seize courbes du troisième ordre précé-

( ' ) Un théorème entièrement analogue a naturellement lieu pour les courbes de contact adjointes d'ordre n — 2 relatives aux courbes d'ordre « et de genre/». (Comparer p. 2'|3.)

demment mentionnées qui ont, avec C, en trois points, un contact du troisième ordre (*), les six points de contact étant ici réunis par couples (p. 287). On a, en effet, pour ces courbes,

du,, + / du,, -{- du,, Uee? - R/, ;

chacune d'elles fait donc partie du svstème de courbes de contact auquel appartient le système de périodes R^. Mais réciproquement de cette équation résulte

du,, -h / du,, -H- / du,, — y R/,

rRl.

les nombres m, f/ dans R^ et K'/, ne pouvant actuellement acquérir que les valeurs o et i. En conséquence, si l'on a disposé des R^, les R^ peuvent encore être choisis de soixante-quatre manières différentes. Donc, dans chacun des soixante-quatre systèmes de cubiques de contact, il j a soixante-quatre courbes ayant en trois points un contact du troisième ordre. Cela concorde avec ce fait que (p. 23 1) par deux points quelconques d'une courbe C4 on peut faire passer soixante-quatre coniques tangentes à G4 en trois points. Or si l'on fait passer ces coniques par les points de contact d'une tangente double, leurs points de contact à elles sont en même temps ceux où une courbe C3 peut avoir avec C4 trois contacts de troisième ordre (p. 248). On obtient ainsi les 28.64 courbes de contact qui appartiennent aux vingt-huit systèmes mentionnés, mais on voit qu'il existe encore 36.64 courbes de contact aux points de contact desquelles une conique qui passe par les points de contact d'une tangente double ne peut pas en même temps toucher G4. Ces exemples suffiront pour signaler le caractère des propositions qui se présentent ici. Nous pouvons résumer ces dernières dans le théorème plus général qui suit :

Il existe soixante-trois systèmes de courbes de l'ordre ini et soixante -quatre systèmes de courbes de l'ordre 2m-|-i simple-

(') L'équation du degré 4° = 4096» <io"t dépend Ja détermination de ces courbes, été étudiée par C. JoaoAN, Traite des Substitutions, p. 3o5.

LA GÉOMÉTniE SL'R U>E COIBBE ALCÉDRIQUE.

ment tangentes à la courbe C/, aux points où elles la rencontrent. Et ces derniers se partagent en deux groupes, l'un de vingt-huit^ l'autre de trente-six; les points de contact de toute courbe des vingt-huit systèmes du premier groupe sont toujours situés, en même temps que les points de contact d'une tangente déterminée j)armi les vingt-huit tangentes doubles, sur une courbe d'ordre m -\- i, tandis que rien de semblable ne se produit pour les trentesix systèmes du second groupe. Mais tous possèdent la propriété que les points de contact de deux courbes du même système sont situés sur une courbe du même ordre.

On peut aisément passer de ces théorèmes à la discussion détaillée des cas où les points de contact de six, huit, . . . , tangentes doubles sont situés sur des courbes G3, G,; divers théorèmes relatifs à ces cas ont également été établis par Hesse et Steiner. Nous nous contenterons ici de donner un exemple qui se réfère à des propositions d'un autre caractère. Suivant ce qui a été dit p. 286, il existe 3^ — i = '-ji'è systèmes de cubiques ayant un contact du second ordre avec C4 en quatre points. Entre les intégrales ont lieu ici les équations

du,, -+- I du,, -f- / du,, -i- / du,,^IIB- P,„

c(I) Jc^% Jc'^l JrAil ^

dans lesquelles le système des P^, étant admis que les points c''^ soient les points de rencontre d'une droite quelconque avec C^, ne doit jamais s'annuler, parce qu'autrement C3 se composerait d'une seule droite comptant trois fois. Si l'on considère ici une courbe appartenant à celui des autres systèmes dans lequel aP^ se présente toujours à la place de P^, et qu'on ajoute les équations qui répondent à une semblable courbe aux précédentes, on trouve que la somme des intégrales analogues est toujours congruente à zéro. Les sept cent vingt-huit systèmes précités se f^aitagent deux à deux en trois cent soixante-quatre couples, tels que les points de contact de chaque cowbe de l'un des systèmes et ceux d'une courbe du système correspondant sont situés sur une conique.

On peut aisément établir une foule de théorèmes semblables pour les courbes de cet ordre et des ordres supérieurs.

Dans les problèmes que nous venons de traiter, il s'agissait toujours de plusieurs contacts d'un même ordre. Or on peut généraliser ces recherches d'une manière remarquable en se proposant le problème suivant :

Déterminer les limites supérieures x^'^ de telle ma/iière gu elles satisfassent aux p équations

qi 1 àu,^ -'r qt \ du,, -^ . . . -V- qp \ du,,= v,,

dans lesquelles les quantités q^ désignent des nombres entiers positijs (^i) et Vh des quantités données arbitrairement.

C'est évidemment ce problème qu'il faut résoudre pour trouver les courbes d'un svstème linéaire qui sont adjointes ày"=o, et qui touchent cette dernière en p points où elles ont avec elle des contacts des ordres q^ — i, </2 — I7 •••> '//? — i respectivement. C'est encore par la théorie des fonctions 0 que l'on peut aborder cette question ('). Nous nous bornerons à indiquer les théorèmes suivants, auxquels on est conduit par ces recherches :

Dans un système de courbes adjointes d'ordre m [^ n — 3) qui dépendent de

-^'i q\ -4- /"a^^ + • • • -+- ^^qn — f>\— f>\— . ■ . — fi„

paramètres linéaires et qui coupent la courbe f= o en des systèmes de

points mobiles dont p sont déterminés par les autres, il y a

courbes dont chacune a avec f=o en Ä", points des contacts (') Voir le Mémoire de M. Lindemass, cité t. II, p. 174 et suiv.

LA GEOMETRIE SIR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 253

d'ordre q^ — i, en k^ points des contacts d'ordre q-, — i> •••» en h\ points des contacts d'ordre q„ — i .

SI tous les nombres Âv sont égaux à l'unité et que a soit égal à yy, ce nombre devient en particulier égal à ,

q\q\ . . . qlp[p — X][p - 2) . . .Z .7.. ^ .

Si au contraire A", =/^, Ao^ A3 ... = A,j= o, q^ = q, le nombre des solutions devient égal à q^P, et, en effet, dans ce cas le problème n'est autre que celui de la division des fonctions abéliennes (p. 23o). Aux théorèmes sur le groupement des solutions de ce dernier correspondent, dans notre généralisation, des théorèmes analogues qui se réfèrent au groupement des diverses solutions dans le cas où tous les nombres qi sont divisibles par un facteur commun.

Le résultat énoncé n'a plus lieu si les courbes proposées sont de l'ordre n — 3 (ou peuvent êlre remplacées par des courbes d'ordre n — 3 d'après le théorème du reste). On parvient ici au théorème qui suit :

Lorsqu'il n'y a que p — \ points entre les intersections mobiles des courbes adjointes du système linéaire proposé qui soient déterminés par les autres, et que l'on suppose, pour plus de simplicité, les nombres qi tous différents entre eux, le nombre des courbes demandées devient égal à

^lll • ■ ' ^ P[p — f) ■ ■ ■ [P - " -^ *)

— lqi'ii---<iAp[p — ^)- • ■ (/' — ^ + 2)l7i<72.. .<7,i

-+-(| + i)(|-t-2)/?. .. (/J — (7 + 4)2ryi<72...<7,-2

expression oïl l'on a désigné de la manière connue par Hqiq-i ... qi la somme de tous les produits à i facteurs différents que l'on peut Jormer avec les a nombres qi.

Ce nombre doit être divisé par i, 2, 3, . . . , A, si A des nombres qi sont égaux entre eux. Pour k = (J^ m= n — 3, ^ = i , a =^ p — i ,

a54 TOME III. — CHAPITRE I.

qi=.i^ on retrouve ainsi le nombre iP'^ [iP — i) des courbes Crt 3 qui ont avec f^=o en p — i points des contacts simples

(p. 243). PourÄ= 2, /// = I, /? = -(/z — ï){n — 2), ■^ = /; — /î 4-2,

(7=2, </, = <72=^2, le nombre en question devient égal à

-n(ji — ^){n- — 9), qui est en effet celui des tangentes doubles

(t. II, p. 64).

X. — L'évanouissement de la fonction 0. Observations sur le théorème de Riemann et Roch.

Nous avons déjà fait remarquer précédemment (p. 228) que la fonction ©(vi, ^2, . . . , Vp) dont les/? arguments sont définis par ( ' )

^'h = / (^^h + / du,, + . . . + / dui^ — / dU;„

Ju'M J<yß) J a.^P) J IX.

s'évanouit indépendamment de \ si les points a:^'^ sont situés sur une courbe Crt„3 adjointe à /"= o, c'est-à-dire si la courbe Q^n-z déterminée par p — i des points x'^^^ renferme aussi le pï^™" point; en d'autres termes, nous avons mentionné ce résultat qui s'obtient pour \ = x^'-^ que la fonction 0 s'évanouit toujours si ses arguments sont de la forme

fluji^ j clu/^-h . . .-{- j du/i-+- j du/i,

les points x^'^.r^-', . . ., x^p~*^ pouvant alors être complètement arbitraires. Ce cas est un premier exemple du fait que les relations algébriques entre les systèmes de points d'intersection de courbes adjointes C„3 peuvent s'exprimer de la manière la plus simple lorsqu'on a recours aux fonctions transcendantes 0. Parle développement ultérieur de cette remarque on peut aussi obtenir toute cette catégorie de propositions relatives aux courbes adjointes C^.s que nous avons précédemment traitées en nous rattachant au théorème du j'este, et qui nous ont en particulier conduits à ce

(') Pour la signification des points //. et «'•), voir p. 225 et 2^

L\ CEOMETniE SLR UNE COURDE ALGÉBRIQUE. 300

que l'on appelle le théorème de Riemann et Roch. L'examen de cet ordre de faits va nous occuper maintenant.

L'introduction des fonctions 0 dans les théories dont il s'agit repose, d'après ce qui précède, sur la solution du problème de l'inversion qu'elles permettent précisément d'obtenir. Mais on peut aussi aborder ces théories d'une autre manière, savoir par l'intermédiaire des intégrales de deuxième espèce, et à ce mode de représentation on peut rattacher de même une étude des groupes spéciaux et des systèmes spéciaux. Nous insisterons d'autant plus volontiers sur ces dernières méthodes que jusqu'ici nous n'avons pas encore trouvé l'occasion de nous occuper d'une manière un peu approfondie des intégrales de deuxième espèce.

Si nous parvenons ainsi, à l'aide de l'algorithme simple que met à notre portée la théorie des intégrales abéliennes, à traiter les questions énoncées d'une façon plus directe que nous n'avons pu le faire par voie purement algébrique (par exemple dans le théorème de la p. 143, t. II, oii nous n'avons fait que conclure de c/ à (7-1-1), si, d'autre part, c'est historiquement par la première marche que l'on a été conduit d'abord à poser et à résoudre le problème signalé plus haut, on doit néanmoins beaucoup apprécier l'intérêt capital que présente par elle-même une démonstration purement algébrique de propositions algébriques. Les recherches suivantes ne sont donc pas destinées à remplacer les démonstrations précédentes dont nous parlons, mais seulement à éclairer une autre face du problème offert par cette manière de poser la question. On peut d'ailleurs observer que la théorie des fonctions transcendantes n'a pu jusqu'ici être employée par nous à indiquer le nombre des groupes ou des systèmes spéciaux possibles d'une espèce déterminée tandis qu'auparavant nous avons réellement effectué des déterminations numériques de cette sorte, au moins pour des cas particuliers, à l'aide de l'extension du principe de correspondance (p. 106 et suiv. et p. 1 13 et suiv.).

Le fait que toute famille spéciale gl^\ c'' est-à-dire toute famille pour laquelle (p. 49)

peut formier les intersections de courbes adjointes du [n — "^yème ordre, s'établit de la manière suivante. Considérons d'abord un

groupe de points dans lequel p — i points seulement (et non /?) sont déterminés par les autres. Alors, parmi les p équations du problème d'inversion

du,, =

du,,-\- 1 du,,-\-. . .-f- / ou parmi les équations difïerentielles correspondantes

'".^ î»/,[.r(')].[cx(Of/x('l]

na\il Oc

l'une doit être la conséquence des autres; ou, en d'autres termes, on doit pouvoir déterminer des constantes c^^^, c^-^, . . . , c'^p'', telles que l'on ait

(2) c-,yi[.r(')J -I- c^^^lxi')] + . . . + c,,^j,[xi')] = 0.

Mais ces p équations n'expriment précisément pas autre chose que ce fait, savoir que les points .r''^ sont situés sur la courbe de degré n — 3 : c, (j), -H-. . .H- Cjo9j,= o. Si, en effet, parmi les points d'un groupe le nombre de ceux qui sont déterminés par les autres est moindre encore (précisément comme dans le cas de ^^Q — p-h i), il faut nécessairement que plusieurs des équations (i) soient la conséquence des autres, et l'on sera semblablement conduit à un plus grand nombre de relations de la forme (2). Mais ces dernières expriment toujours que les points en question (conjointement avec les points fixes d'un groupe résiduel) sont toujours situés sur différentes courbes adjointes C„3, et peuvent en conséquence être déterminés par une famille linéaire de courbes de cette espèce, ainsi qu'il a été énoncé.

Nous effectuerons d'abord la démonstration du théorème de Riemann et Roch au moyen des fonctions 0 dans quelques hypothèses particulières. Le cas le plus simple est celui où par p — i points x^*\ x^-\ . . .,x^P~^^ passe encore un nombre simplement infini de courbes C«3 ('). Alors ces points sont tous situés conjointement avec un yy'^™^ point quelconque z àef sur une courbe

(') On a par conséquent Q = R=jo — i, /• = i, et il en résulte aussi 7 = t, car on toujours Q-i-R = 2/* — 2, Q — R=25r — ar {voir p. 35 et 52 ).

LA GÉOMÉTRIE SUR BNE COURDE ALCfinRIOLE. 267

Crt 3, c'est-à-dire que, d'après un théorème cité en commençant, existe indépendamment de z el ^ la relation

(3) ö( y / ^^"h-f- f du,,- f riuAz=o.

D'un autre côté, suivant le théorème d'Abel, comme la courbe G«3 complétée par la tangente de ju. forme une courbe C„2, on a, en désignant par J^*\j^^\ - ..,j^^^~*', lesp — i autres points d'intersection d'une autre courbe Cn.a passant par les points x^'^^

(4) > / ^^«/.+ > / du,,+ i\ du,,= o.

Les arguments de la fonction 0 qui intervient dans (3) deviennent

donc égaux à

— y I du,, -^ / du,, — / du,, — 2 / du,,

"=— / I "^"à— / ''«/.+ / du,,.

De l'équation (3), par suite de ce que 0 est une fonction paire de ses arguments, résulte donc, indépendamment de | et z, cette autre relation

laquelle exprime que lés /? — i points j^'^ sont situés ensemble, avec tout point quelconque $ de/", sur une adjointe C/,3, c'està-dire que par les points y^^^ passe encore un système simplement infini de courbes C^.s ; or c'est là le théorème trouvé page 35.

Un autre exemple nous sera fourni par le cas de Q = p (d'où R = p — 2), r = i, dans lequel par p points x^*\ a:^^)^ , ^ j^^ip) passe encore un nombre simplement infini de courbes G«3. Alors tout groupe de p — i de ces points x^^' est situé, ensemble avec

CtEnscii. — Céoinétrle, \\\. l"]

258 TOME III. — CnAPlTRB I.

tout point quelconque z ( ' ), sur une courbe Crt 3, c'est-à-dire que nous avons les p relations

l'indice )i ajouté au signe sommatoire étant supposé indiquer que dans la somme le terme correspondant à l'indice i = /f doit être négligé. Si les points j^^*^, ... ,j'''~'^ parmi lesquels on doit d'ailleurs négliger j)'^*^, sont les p — 2 points résiduels par rapport aux.r('^, nous pouvons ici, d'après le théorème d'Abel, remplacer l'équation (4) par la suivante

(6) > / du,,+ y \ du,,+ / du„+ \ du,,= o.

Les arguments des fonctions 0 qui figurent dans (5) deviennent par suite égaux à

' ^ ' /V«) rz /^y- r*!J- r? r'xik

— \ / du,,-\- \ du,,— \ du,,~ I du,,— / du,,~ /

— \ / du,,— / du,,— I du,, -h 1 du,,.

du,,

Les équations (5) expriment donc aussi que par les p — 2 points j('\ par l'un des p points x^''> et par un point quelconque ^, on peut faire passer encore une courbe Cn-3 ; conséquemment par les points j''^ passent p faisceaux différejits de courbes Gn-z et par suite aussi une famille au moins doublement infinie de courbes de cette espèce. On reconnaît, en reprenant le même raisonnement en sens inverse, que la multiplicité de celte dernière famille ne peut non plus être supérieure à 2. Nous avons donc (7 = 2, ainsi que l'exige le théorème de Rieraann et Roch.

(') On suppose naturellement ici qu'il s'agit uniquement de points de/= l'étude algébrique de cet exemple, p. 43 et suiv.)