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LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE
Pour effectuer la démonstration générale, posons .
Q = p — I + p> d'où li=p — I — p.
Par les Q points x^^\ x^^^ . . . , x'^' doivent, par hypothèse, passer des courbes Cns en nombre /• fois infini, c'est-à-3ire que tous les déterminants à p — /• dimensions doivent s'annuler dans le tableau ( * ) :
■.rW
Mais l'évanouissement de ces déterminants exprime précisément que p — /• quelconques des Q points x^'^ sont situés avec /• points arbitraires sur une courbe adjointe C«3. Les relations dont il s'agit sont donc aussi représentées par le système d'équations qui suit (-) :
7) 0( \ / du,,-+-\ / du,,— \ du,A = o,
où les indices /tj, /r2i . . . , A^/-+P t qui affectent le premier signe sommatoire sont censés indiquer que dans la somme les termes répondant aux valeurs i = /r, , A^o? • • • , ^>+f-i doivent être négligés, en sorte que la somme ne se compose plus que de
termes; la notation z'*'* désigne d'ailleurs /• points quelconques. Dans ces équations, la distribution des limites inférieures a^'^ par rapport aux limites supérieures x^'^ est encore très arbitraire. Pour nous affranchir de ce caractère arbitraire, et pour pouvoir donner à la notation une tournure plus simple, nous introduirons comme limites inférieures toujours le même point ,a et.
(') Voir p. 53. Il faut remplacer alors dans ce passage R par Q, y par r, t par l> — \.
(') Parmi les équations représentées par l'évanouissement du déterminant précité, ('■ -h i)(Q — />-+-/•-+-!) seulement sont indépendantes les unes des autres (p. 56) et, corrélativement, les relations en 0 établies ici dépendent encore aussi les unes des autres. Le fait qu'inversement les relations (7) sont également suffisantes pour entraîner l'annulation de tous les déterminants k p — r dimensions du Tableau précédent se reconnaît aisément.
aßo TOME III. — CHAPITRE I.
en outre, des constantes K^ définies par (*)
Jf'y- ri'- rf^
(lu,^ -h I clui,-\- . . . -f- / du,,.
Les équations (7) se transforment alors en
(8)«( y r'' ciu„+s r du„-hK„- rdu„ )=o.
Désignant ensuite par .r'^"^**, .r'^+-', . . ., x'^+'" le groupe des R points résiduels des points olM\ on a, d'après le théorème d'Abel,
\ / du,,-{-\j dii,,+ Q.K,,= o.
Les arguments de la fonction 0 (8) se transforment donc en
). i du,, + y du/,—ii,,~ du,,.
du,.
Or, comme en toute hypothèse ;• est inférieur à R, nous pouvons, dans ces formules, faire coïncider r — i des points z*^'' avec /■ — I quelconques des points x'^"^'', poser, par exemple.
Si nous écrivons ensuite, pour abréger, z au lieu de z'^'', l'équation (8) devient
[9 0|- ^ / du,,+ A / dn,,-h j du,, + K,,— j du,,
D'autre part, nous aurions pu aussi, par exemple, faire coïncider z^'''^ avec x'^'' et non avec 0:'^+^'*, changement qui laisserait l'équation (9) invariable pour le reste; seulement, dans la première intégrale de la seconde somme, interviendrait la limite supérieure
(') Ce sont là les constantes désignées dans Riemann, loc. cil., § 22, par Aji. (Foir :s notes des p. 226 et 227.)
LA CliOMÉTRIE SUR UNE COCRBE ALCÉBRIQLE. iGl
^(U-+-*i\ Or, comme les points x'^'' ont été choisis à volonté parmi les Q points x^'^ l'équation (9) subsiste alors même qu'on choisirait un autre de ces points pour j:'*'' ; le point dont il s'agit doit seulement n'être pas compris parmi les points x"'-K x""\ . . . , .r(^'+p-i). On peut donc prendre, pour :i:<^'*, Q — ;• — p -H 2 = /? — /• H- i autres points x^^^ et aussi, d'après la remarque que nous venons de faire, chacun des R points a:'^"*"'\ Considérée comme fonction de x'^'', la fonction 0, qui figure au premier membre de (9), s'évanouit en conséquence pour R-|-/? + i — r = ^p — /' — p valeurs différentes de a:'*'*. Gomme actuellement R est toujours supérieur à /', on a aussi
p — I — p — ''^ o, ou
ip — p — r >> p -h I .
Donc, comme fonction de x'*'\ la fonction 0 s'évanouit pour plus de p valeurs de a:**'' et par conséquent ( * ), en général, indépendamment de X**''. Un fait analogue a lieu pour x'^-\ . . . , x(*'-*-?-j); eu désignant donc par z^^\ z^-\ ... . , 3"+f', \ points quelconques de/, on aura toujours l'équation
laquelle exprime que par R — r + i points quelconques du groupe résiduel dépasse encore une fandlle r -h p fois infinie de courbes Crt 3. Or on a R — r -\-i = p — r — p; si donc j^^\ . . .,y^~'"~^' sont n'importe lesquels des R points x*^"^", on aura toujours l'équa-
(') Foir RiEMANN, loc. cit., § 22, et lieber das Verschwinden der Q- Functionen, § 2 (Journal de Crelle, t. 65). Les considérations présentées dans le § 3 de ce dernier Mémoire, sur quelques cas particuliers des systèmes spéciaux, concordent au fond avec celles du texte; la différence dans l'exposé est uniquement causée par le choix différent des limites inférieures. D'après les § 4 et suivants du Mémoire cité, le cas où la fonction 0 s'évanouit, indépendamment de certaines parties de l'argument, peut toujours se ramener à l'évanouissement de toutes les dérivées d'un ordre déterminé prises par rapport aux arguments.
tion
fiiy^'n
f.ij^'n •••
?Ar^'')
car autrement il faudrait qu'il existât une relation linéaire entre
les fonctions cf^, ce qui serait en contradiction avec un théorème connu. En d'autres termes, il y a évanouissement de tous les déterminants mineurs d'ordre r -\- p de la matrice (dans laquelle
Gela veut précisément dire que par l'ensemble des R points de Gr passe encore un système r + p fois infini de courbes G«3 (p. 54 ).
Les groupes spéciaux, dont l'un était donné
'oupe Gq,
forment conséquemment eux-mêmes un système spécial g\^\ oii
OU
ce qui est de nouveau l'équation du théorème de Riemann et Roch. On reconnaît encore que r/ ne peut pas être supérieur à / • + jO en observant que la même marche de démonstration peut être suivie dans l'ordre inverse ; la supposition ^ = /■ -j- p + i conduirait donc au nombre /' -4- i au lieu de /' pour la multiplicité des groupes G^.
Une autre démonstration de notre théorème fondamental se rattache, ainsi qu'il a été mentionné, à la représentabilité des fonctions algébriques par des intégrales de deuxième espèce (').
(') Foi'r RoCB, lieber die Anzahl der willkürlichen Constanten in algebraischen
LA GÉOMÉTRIE SIR l'NE COURBE ALGÉBRIOI'E. 203
Nous énoncerons d'abord le théorème à démontrer sous une forme un peu différente.
La multiplicité des groupes Gr résiduels d'un groupe donné Gq peut être définie algébriquement ainsi qu'il suit. Faisons passer par Gq une courbe adjointe quelconque ^ = o qui découpera le groupe G^ sur f] par ce dernier groupe menons une autre courbe du même ordre, X=iO, qui peut d'ailleurs elle-même
être complètement arbitraire. Alors ^- = f est une fonction algébrique qui devient infinie aux points Gq, et la multiplicité q du système g^^^ qui répond au même résidu G^ est évidemment inférieure d'une unité au nombre des constantes arbitraires dont on peufencore disposer dans la courbe j^ = o si aucune autre condition n'est imposée à cette dernière que celle de passer par les points du groupe Gr et d'être adjointe kf. Mais on verra, en examinant la chose de près, que ce nombre dépend du nombre /• -t- i des adjointes Crt 3 linéairement indépendantes les unes des autres que l'on peut faire passer par le groupe Gq. Le théorème que nous avons à démontrer est donc le suivant :
Si une fonction algébrique 1 déifient inßninient grande du premier ordre en Q points Gq, et qu'en ces Q points puissent s'éi^anouir r -h i fonctions c{>(x), entre lesquelles n'existe aucune relation linéaire [en d'autres termes, s'il passe par Gq un système r fois infini de courbes C„3 ), X renferme le nombre Q — p-\- r-r-i de coefficients arbitraires [c'est-à-dire que la. groupe Gq appartient à un système q fois infini, pour lequel «y = Q — p -{- r -\~ i ).
Pour la démonstration, nous représenterons la fonction X sous une autre forme. Une fonction qui devient en Q points o:^'^, . . . , x'^* algébriquement infinie du premier ordre est évidemment donnée par une somme de Q intégrales de deuxième espèce, dont chacune devient infiniment grande en l'un des points x^'^ (p. 171), et à cette somme on peut encore adjoindre des combinaisons
Functionen {Journal de Crelle, t. 6i, p. 872), et, pour le cas le plus simple, Kiemann, îoc. cit., § 5. C'est encore sur cette reprcsentabilité que repose la démonstration du principe de correspondance de MM. Brill et Cayley par l'application des intégrales abéiiennes, démonstration mentionnée t. II, p. 147, note.
linéaires quelconques d'intégrales (partout finies) de première espèce, de sorte qu'on obtient l'expression (<)
où les ûCi et les ß,- désignent des constantes. Sous le symbole Hci, on comprend ici l'intégrale normale de deuxième espèce qui devient infinie au point .r^'^ et est complètement déterminée par ce point, en sorte que
tandis que la première série des modules de périodicité de 5ô/ s'évanouit et que le module de périodicité de %i pour la section transverse èy est donnée par une fonction algébrique, savoir (p. 188)
avec (a"r'fl„)i=: o. La somme (11) varie donc, pour une section transverse «v de la surface de Riemann décomposée, de 271/«.,, et au contraire, pour une coupure b,„ de
Pi 5';' +(^2 5'^» -h.. .-i-PQ5Q + «i«iv+ «2O2V + . ..+ '^pap,.
Si donc on détermine les constantes cx-i et ß/ encore arbitraires, de telle façon qu'on ait les équations
* ai=:a2=:. . .= ap=0,
('2) Pl5;»+P2i)'2' + .-- + PQ5li*=0 (v=.I, 2,3, ...,/.),
l'expression (11) représente une fonction qui est continue et uniforme dans toute la surface de Riemann répondant à /"= o, et reste aussi partout finie, excepté aux Q points x^'^ où elle devient algébriquement infinie au premier ordre ; autrement dit, cette expression est une fonction algébrique de Xi, X2, x^. Et réciproquement la fonction \, qui devient elle-même infinie aux mêmes Q points, ne peut différer de l'expression (11) que d'une constante C.
(') Pour limite inférieure de l'intégrale 5ô;, a été choisi un point fixe quelconque dtt /; la limite supérieure est le point mobile x.
LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉORIQUE. 305
On a en conséquence
(i3) ).=:| = ;3.5i,-i-ß,&, + ... + ,^y5cQ + C.
Ici existent entre les grandeurs ßi les p équations^ ('2); Q — p d'entre elles peuvent donc être prises à volonté. Alors la fonction X renferme encore Q — P -+- ^ coefficients arbitraires, c'est-à-dire que les courbes X = ® déterminent sur f un système Q — p fois infini de groupes Gq dont l'un est traversé par tp = o. Cela concorde avec le fait qu'en général p intersections sont déterminées par les autres. Si, en particulier, Q = p-|-i, les rapports des grandeurs ß< sont complètement déterminés, et nous avons un système simplement infini de groupes G^^i qui seront donnés par le faisceau y^ — Xî|/ = o. Il peut toutefois arriver, pour des positions particulières des points x, que les équations (12) ne soient pas indépendantes les unes des autres. Ainsi, par exemple, l'une sera une conséquence des autres si Q= p et si le déterminant de (12) s'évanouit. Mais de ce dernier on peut séparer le produit
r(rxa^ -1 r [cTu] -[ r (erg) 1
lequel, puisque iJL[xtx)i= a". ' a/, est indépendant des points x^'K L'équation en question se transforme donc en
'fy{xU>)) f,{.vi")) ... fp{
Par conséquent, dans ce cas, les Q=yy points o:^'^ sont situés sur une courbe (j) = o, et le nombre des constantes arbitraires dans X est égal à Q — /;H-i-f-i = 2, c'est-à-dire que, par le résidu de p — 2 points, on peut encore faire passer un système simplement infini de courbes C„3, ce qui concorde avec les résultats connus. SembJablement, pour une valeur quelconque de Q, le nombre des constantes arbitraires est augmenté de r-\-\ si entre les équations (12) existent ;■ H- I relations de la forme
C, ?i(.f(')) -i- C,î-2 (.rC)) 4- ... 4- C^yp(.f(0) = o.
266 TOME ill. CHAPITRE r.
OÙ les quantilés C^- sont des constantes, ou, en d'autres termes, si par les points x^'^ passent /■ + i courbes différentes ^, résultat qui fournit de nouveau le théorème énoncé plus haut, Par là se trouve aussi à nouveau démontré le fait que tout système spécial peut être traversé par des courbes adjointes C«3 .
Pour élucider cette matière, nous considérerons un exemple; soit donnée une courbe primitive /'= o du cinquième ordre sans point double, d'où p = 6. Ici toute fonction entière du deuxième ordre des x/ est une fonction cj>. La fonction
a.. T. -+- fl,,r, -+- eu. T.. a y.
devient infinie aux cinq points d'intersection de h^^zo avec f=i o. En ces points s'évanouissent trois fonctions y indépendantes les unes des autres, savoir : hxOCi, h^x^, h^x-^ ; X renferme donc le nombre 5 — 6-f-2H-2 = 3 de coefficients arbitraires, lesquels sont, par le fait, les grandeurs «<, «2? «3-
XI. — Systèmes de points d'intersection de courbes non adjointes avec la courbe primitive. Extension du problème de l'inversion.
Les recherches géométriques que nous avons précédemment rattachées au théorème d'Abel et au problème de l'inversion se référaient expressément aux points d'intersection de courbes adjointes, et il suffisait, dans cette étude, de considérer des sommes d'intégrales àe première espèce (p. 2o3). Dans ce cas, en effet, le nombre p des équations se confond avec le nombre p des relations qui ont lieu entre les points d'intersection, et le problème d'inversion de Jacobi nous a appris la détermination de p intersections par les autres au moyen de ces p équations intégrales, en supposant que l'ordre de la courbe sécante est supérieur k Ji — 3. Si l'on a au contraire afiaire à des courbes non adjointes, un plus grand nombre de points d'intersection se trouvent déterminés par les autres; aux /^ équations précitées entre des intégrales de première espèce, qui doivent toujours continuer à avoir lieu, il doit donc se joindre encore d'autres équations, et c'est par l'ensemble de ces deux catégories que le système de points d'intersection est de nouveau caractérisé d'une manière complète. C'est ce qu'on
' LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIOUE. 267
aperçoit aisément, si l'on imagine que la courbe primitive dégénère graduellement, de façon à acquérir un point double. Alors le genre de la courbe s'abaisse d'une unité, et, comme il a été mentionné plus haut, p — I des p intégrales normales de première espèce se transforment en les intégrales normalos de première espèce de la nouvelle courbe; la p'«'"« intégrale, au contraire, se transforme (par vm choix convenable du système de sections transverses de la surface de Riemann) en une intégrale normale de troisième espèce pour la nouvelle courlie, intégrale dont les infinis I, % se trouvent réunis l'un à l'autre dans le nouveau point double qui prend naissance [voir p. 190). A la place des p équations du problème d'inversion de Jacobi, interviennent donc actuellement, si nous désignons par t: = p — i le genre de la nouvelle courbe, les t: H- 1 équations
dm
au moyen desquelles on a de nouveau à déterminer les limites supérieures x'''K On obtient de même q équations où figurent des intégrales de troisième espèce si les courbes considérées ne passent pas par r/ points doubles de la courbe primitive, et (/ équations de cette sorte ont effectivement lieu, d'après le théorème d'Abel, pour les intégrales de troisième espèce. Le problème de la détermination des points x^'^ au moyen des p -\- q équations est ce que l'on appelle l' extension du problème de V inversion ( ' ).
La résolution de ce dernier problème ne résulte pas d'ailleurs, sans autre développement, de celle du problème de Jacobi, par le passage aux limites indiqué. Comme, en effet, dans ce passage, une période de l'intégrale 11%^ devient infiniment grande, on ne peut
(') Poury^ = I, y =1 2 ce même problème a été traité (sous d'autres points de vue) par RosEMiAiN '^Mémoires des Savants étrangers, t. XI, p. 3^6); il l'a été d'une manière générale pouryj = i, par Clebscu {Journal de Crelle, t. 64); pour /> = 2, par Bkill, ibid., t. G4; pour les courbes de genre quelconque, par Clebscu et Gordan, op. cit., p. 148, 270 et suiv.
plus Utiliser immédiatement la fonction 0 employée pour le problème de Jacobi; il faut, au contraire, introduire une autre fonction, qui, au surplus, est une combinaison des fonctions,© ordinaires et de fonctions exponentielles. Dans ce qui suit, les faits dont il s'agit (*), et en particulier les propriétés de cette nouvelle fonction, ne seront exposés que pour le cas de p = 2 (nous récrivons p au lieu de ti); de cet exemple ressortira suffisamment la méthode suivant laquelle on aura à procéder dans le cas général. Nous nous proposons de faire usage des résultats pour les courbes du quatrième ordre qui ont un point double, et en particulier pour la déteriîdnation de leurs tangentes doubles.
Nous désignerons les deux intégrales normales de première espèce par u^, «2 et l'intégrale normale de troisième espèce qui répond au point double de la courbe G4 par u^. Nous prendrons pour base de nos considérations une surface de Riemann à deux feuilles et six points de ramification, telle qu'elle correspond à l'équation de G, (p. 177)
si l'on considère j^ comme fonction de x. Les six points de ramification sont reliés deux à deux par trois sections de ramification; nous tracerons autour de ces derniers les coupures a,, «2> ^n ^25 c,, C2, suivant la manière dépeinte dans la /îg". i (p. 180), pour p = ^. Au moyen de ces coupures la surface est alors décomposée en une surface simplement connexe dont le bord est précisément formé par ces coupures. Nous désignerons les valeurs d'une fonction cp pour deux points opposés de ce bord par (p+ et ©", distinguant ainsi, suivant la manière connue, lui côté positif et un côté négatif de la courbe qui limite ce bord.
En vertu de nos fixations précédentes sur les intégrales normales, pour tout point de la coupure «,, ont lieu alors les équations
dans lesquelles la limite inférieure de l'intégrale ui a été choisie
(') Pour ce qui concerne le problème d'inversion de Jacobi au cas de^: renvoyons encore une fois au Mémoire de Pkym, déjà cité p. i35.
