XIII. — Les courbes du genre p~i

Nous passons maintenant aux courbes du //»ème ordre à ~n[n — 3 )

points doubles, pour lesquelles p = 1. Nous examinerons d'abord (comme au cas àe p = o) les questions purement algébriques non

(') 11 résulte encore de là que x, A, /x" sont trois points en chacun desquels une conique peut avoir un contact simple avec la courbe primitive, car les points tangentiels de x, 1, (j!' sont encore en ligne droite (t. II, p. 266; -vo/r aussi Steiner, Journal de Crelle, t. 66, et l'Ouvrage de Schröter : Steiners Forsehingen über sjnthetische Geometrie, t. II).

L\ GÉOMÉTRIE SUR l'NE COl'RBE ALGÉBRIQl'E. 3l3

assujetties aux règles générales qui ont été développées ci-dessus ( ' ), savoir la transformation en xma courbe normale et la déterminalion du nombre et du sens des modules. Nous y joindrons encore quelques remarques sur l'introduction des fonctions et des intégrales elliptiques dans ce sujet; toutefois, dans ces observations, nous pourrons nous borner à un court résumé, parce qu'elles ne nous offrent que des applications de nos théories générales et que nous av ons déjà insisté sur les faits correspondants dans les courbes du troisième ordre.

Gomme courbe normale on trouve ici la courbe géîiérale du troisième ordre, et cela de la manière suivante [^). On considérera

les-«(« — 3) points doubles et cuspidaux conjointement avec

27Z — 3 autres points fixes choisis arbitrairement sur la courbe

comme les - (« -f- 2)(« — i) — 2 I points de base d'un réseau du

[n — i^^nie ordre. Les courbes de ce dernier rencontrent encore 0,1 en

n[n — i) — n[n — 2,) — [in — 3) = 3

points mobiles; si donc on les emploie comme courbes de transformation, on obtient de fait une courbe du troisième ordre. Une réduction subséquente de l'ordre est impossible , parce qu'il n'existe aucune courbe du genre p = i qui soit d'un ordre inférieur au troisième.

Aux courbes du réseau qui passent par un point quelconque x de C,i répondent unidéterminativement dans la transformation les rayons du faisceau passant par le point correspondant j" de G3 ; donc, en particulier, aux quatre courbes tangentes du premier faisceau répondent les quatre tangentes du faisceau de rayons dont il vient d'être parlé, et de là résulte que le rapport anharmonique des quatre tangentes des quatre courbes en question en un des

(*) En effjt, une courbe adjointe C^, est, en général, précisément déterminée par

-«(« — 3) points doubles; niais elle ne rencontre plus / ailleurs, en sorte que les

recherches faites plus haut sur les courbes adjointes C„, deviennent illusoires.

(') Voir Clebscu, lieber diejenigen Curven deren Coordinaten sich als elliptische Functionen eines Parameters darstellen lassen {^Journal de Grelle, X. 64, et Clebsch et GoRDAN, op. cit., p. 69).

3l4 TOME III. — CHAPITRE I.

points de base du faisceau [x par exemple) est égal au rapport anharmonique (indépendant de j^) des quatre tangentes menées de J àCs [t'oir t. II, p. 325, et t. III, p. 69). Ce rapport anharmonique donne donc le module unique de notre courbe elliptique; on reconnaît que cette dernière ne possède qu'un seul module parla circonstance que G3 a également, par rapport aux transformations linéaires, un invariant absolu unique (savoir précisément le rapport anharmonique précité). Or, comme le rapport anharmonique des quatre tangentes issues àe j est indépendant de la position du point j- sur Gj, nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Dans un faisceau de courbes adjointes du (n — lyème oj-^yg^ dont 2« — 3 points de base sont situés en des points simples de la courbe primitive G« [d'' ordre n et de genre i),il existe, en général, quatre courbes touchant G„ en un point qui ne coïncide avec aucun des in — 3 points de base, et le rapport anharmonique des quatre tangentes de ces courbes en l' un des points de base est indépendant de la situation de ces derniers sur G«. Le même rapport anharmonique donne en même temps le module de la courbe.

Au lieu des courbes d'ordre Ji — i , nous aurions pu également employer, pour la transformation, un réseau d'adjointes dii ^ième ordre rencontrant G« en trois points mobiles, et un réseau de cette espèce peut être obtenu, pourvu que s soit supérieur kn — 3. Il suffît, en effet, de prendre encore arbitrairement \n{s — n-\- 3) — 3] points fixes sur G«; alors, en effet, le nombre des points d'intersection mobiles est égal à

ns — n[n — 3) — n[s — « -4- 3) -4-3 = 3.

Il résulte de là que le théorème énoncé en dernier lieu pour les courbes d'ordre n — i est également vrai pour les faisceaux de courbes adjointes du 5'èwe ordre, dont n[s — 7Z-f-3) — 2 points de base sont situés en des points simples de G«, pourvu que s soit supérieur à n — 3 (*), etil en est encore ainsi, en particulier, pour une courbe prim,itiv>e du troisième ordre. En effet, le nombre

(') Voir aussi Cayley, Proceedings of the London mathematical Society, i6 octobre i865.

LA GÉOMÉTRIE SUR CNE COCRBE ALGÉBRIUCE. 3l5

des courbes tangentes du faisceau dépend uniquement du nombre des points d'intersection mobiles et du genre de la courbe primitive (t. II, p. 171); il est donc, au fond, indépendant de s.

On peut représenter les coordonnées des points d'une courbe générale de genre i comme fonctions générales d'un paramètre, ainsi que nous l'avons fait pour les courbes du troisième ordre (t. II, p. 388, 4ï6 et suiv.), et d'une manière tout à fait semblable. Cette représentation est donnée comme d'elle-même dès l'instant qu'on connaît la transformation de la courbe C« en la courbe Gj et l'inversion de celle-ci; mais elle peut être aussi établie directement de la manière suivante ( ' ). Considérons un faisceau ç-f-X(j; = o de courbes adjointes du [n — ly*™« ordre passant toutes par an — -i points quelconques de C« et rencontrant par suite C« en deux points mobiles. L'équation de ces derniers en coordonnées-lignes Ui s'obtient, par élimination des Xi, entre les équations

(l) /=0, çp + >-|/ = 0, «^=0.

Il se séparera du résultant un facteur du degré n(^n — i) — 2 par rapport aux u/ et ne renfermant pas X; l'équation précités, représentée par l'annulation du facteur qui reste, sera donc de la forme

O = «'i)M^ + «'22"2 ^~ "'33«3 + 2(V23"2"3+ ^''''si^Z^h + ?«'l2«l«2»

les Wi/s étant des fonctions du /z''^""' degré en X. Comme le second membre peut se décomposer en deux facteurs linéaires, le déterminant des Wift s'évanouit, c'est-à-dire que l'on a

Désignons les coordonnées des deux points d'intersection mobiles par Xi, Xi, X3 et ?i, Ha» I3 respectivement; soient, de plus, /i, /a, I3 les coordonnées de la ligne qui jointe: et ^. On peut alors poser

(2) , W,,.=.-/,/;tQ,

(') Pour ce qui suit, ainsi que pour les applications données plus loin de la théorie des fonctions elliptiques, consulter toujours Clebsch, loc. cit. {Journal de Crelle, t. 64 ).

3l6 TOME ni. — CHAPITRE I.

en désignant par W/a les déterminants mineurs du déterminant W; naturellement les grandeurs //, 4, Q dépendent ici de 1, et nous allons déterminer incessamment la nature de cette dépendance. Pour les coordonnées xi, ^i elles-mêmes, on trouve, en vertu des considérations précédentes, les relations (')

( XiÇj=«'i3— /jV^Q, X2Ç3=:«'23 + /iV'Q, ^3?3=«'33.

On déduit immédiatement de là les rapports des quantités x et ^. En introduisant les grandeurs arbitraires y,, ^2, 73 par lesquelles nous multiplierons respectivement ces équations, que nous ajouterons ensuite, nous obtiendrons pour

les rapports des Xi sous la forme

j p.rj = «'1,7, -f-(t'i27.j-t- «'1373 -^ (72/3— 73/2) \/Q,

(4) P-^2=«'2l7l + «'2272+"'2373+ (V3^— yi^sjV^Q.

( 0X3= «'3l7l + «'32 72+ ^«'33 73+ { 7l ^2 — 72 ^ ) VQ-

Si on laisse ici le signe de y/Q indéterminé, ces équations donnent les X aussi bien que les ^, et il suffît d'assigner à la racine, dans un cas le signe positif, dans l'autre le signe négatif (2).

Il ne s'agit plus maintenant que de déterminer le degré de la fonction Q par rapport au paramètre X. L'équation Q = o détermine évidemment celles des courbes du faisceau cp -h ^»j^ = o qui touchent la courbe primitive; d'un autre côté, nous savons qu'il

(') Comparez les équations (9), t. I, p. i3i; il faut y remplacer a par x, ß par |, /s' = — /Jt par Q, I par /.

(') Les expressions {/[) comportent une interprétation géométrique très simple. Si l'on considère, en effet, les quantités y^ comme les coordonnées d'une droite, les coeflicients de y^Q sont les coordonnées du point (variable), où la droite y choisie d'une manière arbitraire (mais Ose) est rencontrée par la li;;ne / (c'est-à-dire par la ligne qui joint les deux points mobiles). Les premières parties des seconds membres sont les coordonnées du pôle de •/, relativement à ce couple de points lui-même, ou, en d'autres termes, les coordonnées du point qui forme, sur la ligne /, avec le point cité et avec le couple auquel appartient x, un système harmonique.

LA CÉOMÉTRIE SCR UNE COURBE ALGÉDRIQUE. 3l7

existe quatre courbes de celte espèce dans le faisceau. La fonction Q est donc du quatrième degré en >.; les grandeurs /, seront suivant (2) du degré n — 2 par rapport à cette même quantité ('). En conséquence, d'après les équations (2), la rejjiésentation paramétrique de la courbe du n^ème ordre de genre i est rationnelle, à part la racine carrée d'une expression Q du quatrième ordre : cette dernière est multipliée par des fonctions rationnelles du {^ji — ^yéme ordre; les autres parties des expressions xi sont des fonctions rationnelles d'ordre n\ les grandeurs yi n'influencent pas les équations (4), ainsi qu'il ressort des équations (3).

Parles équations (4) se trouve au surplus donnée de nouveau comme d'elle-même la transformation d'une courbe C« en une courbe G3, ce qui peut être mentionné brièvement. Si nous écrivons, en effet, Q sous la forme

et que nous posions

(') Pour A = A, : A,, nous pouvons par suite écrire les équations (4) sous la forme

Il vient alors

V^ [pdx^-^ X, dp ) = ««f - * ajx \[qî 4- ( « — 2 ) »{'^ ' x^fA qï + 'i^x'^ il IdKy

et ainsi de suite.

On trouve par conséquent pour les coordonnées u^ de la tangente du point -c